Evrimsel oyun teorisi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Evrimsel kararlı stratejiyi, replikatör dinamiğini, şahin–güvercin oyununu, çekim havzasını, uzlaşımı ve stokastik kararlı dengeyi tanımlar.
• Uygulama — Bir şahin–güvercin oyununda evrimsel kararlı karışımı ve iki dengeli bir koordinasyon oyununda çekim havzalarını hesaplar.
• Analiz — Küçük hataların uzun dönemde neden tek bir uzlaşımı seçtiğini ve taş–kâğıt–makas türü oyunlarda neden durgun bir denge yerine döngüler görülebildiğini çözümler.
• Değerlendirme — Tarım sözleşmeleri ve laboratuvar deneylerinden gelen kanıtlara dayanarak, rasyonel hesap yerine taklit ve uyumla açıklanan davranışların ekonomideki yerini değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir ovada toprak sahipleri ile ortakçılar her yıl ürün paylaşımına dair sözleşme yapıyor. Toprağın verimi tarladan tarlaya değişiyor; bazı tarlalar çok verimli, bazıları zayıf. Ekonomik hesap, paylaşım oranının tarlanın verimine göre ayarlanmasını öngörür: verimli tarlada toprak sahibi daha büyük pay istemeli. Ama sözleşmelere bakıldığında başka bir şey görülüyor: aynı ilçede neredeyse herkes aynı oranı kullanıyor, komşu ilçede ise herkes başka bir oranı. Tarlaların verimi sürekli değişirken paylaşım oranları basamaklar hâlinde değişiyor.

Bu serinin önceki derslerinde oyuncular hesap yapıyordu: rakibi öngörmek, inancı düzeltmek, sonra en kârlısını seçmek. Bu ders başka bir soru soruyor: oyuncular hesap yapmasa, yalnızca başarılı olanı taklit etse ya da çevresindekilere uysa, hangi davranışlar ayakta kalır? Cevap şaşırtıcı biçimde çoğu zaman Nash dengesine çıkar; ama hangi dengenin seçildiğine dair, rasyonel kuramın veremediği bir cevap da verir.

Hikâye — Illinois'deki ortakçılık sözleşmeleri

H. Peyton Young ve Mary Burke, açılıştaki tabloyu ABD'nin Illinois eyaletindeki tarım sözleşmeleri üzerinde inceledi.

Bu bulgu, ekonomik davranışın yalnızca fiyatlar ve getirilerle değil, geleneklerle de biçimlendiğini gösteriyor. Ama gelenekler keyfî değildir: hangi geleneğin nerede yerleştiği, getirilerle uyum arasındaki dengenin ve tarihin ürünüdür.

Kavram — popülasyonun dengesi

Evrimsel oyun teorisi, biyolojiden doğdu. John Maynard Smith ve George Price, 1973'te hayvanların aynı türden rakipleriyle neden çoğu zaman ölümcül olmayan biçimde dövüştüğünü açıklamak için oyun teorisini kullandı. Fikir şuydu: bir popülasyonda yaygın olan bir davranış, nadir bir alternatife karşı daha başarılıysa, o alternatif yayılamaz.

Bu kavramın en bilinen örneği, bir kaynak için karşılaşan iki bireyin oyunudur.

Evrimsel kararlılık durağan bir kavramdır: bir popülasyonun istila edilip edilemeyeceğini söyler. Popülasyonun zaman içinde nasıl değiştiğini ise bir dinamik tanımlar.

Veri ve kanıt — döngüler ve uzlaşımlar

Bir oyunun birden çok dengesi varsa, dinamik hangisine gider? Bu, başlangıç noktasına bağlıdır.

Bazı oyunlarda ise dinamik hiçbir dengeye yakınsamaz. Taş–kâğıt–makas oyununda her strateji birini yener, birine yenilir. Popülasyonda taş çoğalırsa kâğıt kazançlı hâle gelir; kâğıt çoğalınca makas, makas çoğalınca taş. Kuram, bu oyunda karışımın Nash dengesi etrafında dönen döngüler öngörür. Timothy Cason, Daniel Friedman ve Ed Hopkins, bu döngülerin insanlarda görülüp görülmediğini sınadı.

Birden çok dengeli koordinasyon oyunlarında ise uzun dönemde hangi dengenin gözleneceği sorusu Peyton Young'ın bir başka çalışmasının konusudur.

Neden önemli? — hesaplamadan dengeye

Evrimsel oyun teorisi, ekonomik kuram için iki şey yapar. Birincisi, rasyonelliğin güçlü varsayımlarına bir alternatif sunar: oyuncular yalnızca başarılı olanı taklit etse bile, ayakta kalan davranışlar çoğu zaman Nash dengeleridir. Armen Alchian 1950'de benzer bir fikri firmalar için ileri sürmüştü: firmalar kâr en yüksekleme hesabı yapmasa bile, piyasa kâr edemeyenleri elerse, ayakta kalanlar kâr eden firmalardır. İkincisi, dengeler çoğaldığında hangisinin yerleşeceğini de söyler: rasyonel kuram iki trafik uzlaşımını eşit derecede denge sayarken, evrimsel kuram hangisinin uzun dönemde daha olası olduğunu söyler. Geleneklerin, teknik standartların, sözleşme biçimlerinin ve toplumsal normların ekonomideki rolünü anlamak için bu ikinci katkı özellikle önemlidir.

Model

Bu bölümde şahin–güvercin oyununu ve bir koordinasyon oyununu popülasyon dinamikleriyle çözüyoruz. Getiri tablolarını ben kurdum; deney ve anket sonuçları için kaynak kutularına bakın, buradaki rakamlar onlardan alınmadı.

Çözümlü örnek — Pazar yerinde tezgâh kapmak

Bir semt pazarında sabah erken saatte iki satıcı aynı iyi tezgâh yeri için karşılaşıyor. Tezgâh yerinin değeri 4 birimdir. Bir satıcı «sert» davranıp yeri zorla kapmaya çalışabilir ya da «yumuşak» davranıp uzlaşmaya razı olabilir. İki sert satıcı tartışır; tartışmanın maliyeti 6 birimdir ve yeri yarı yarıya olasılıkla kazanırlar: her birinin beklenen getirisi (4 − 6) ÷ 2 = −1'dir. Sert satıcı yumuşakla karşılaşırsa yeri alır: 4. Yumuşak satıcı sertle karşılaşırsa çekilir: 0. İki yumuşak satıcı yeri paylaşır: her biri 2.

Popülasyonun tamamı yumuşak olsun. Bir sert satıcı ortaya çıkarsa, yumuşaklarla karşılaşarak 4 alır; yumuşaklar birbirleriyle 2 alır. Sert davranış yayılır: yumuşaklık evrimsel kararlı değildir. Popülasyonun tamamı sert olsun. Sertler birbirleriyle −1 alır; bir yumuşak satıcı sertlerle karşılaşınca 0 alır. Yumuşak davranış yayılır: sertlik de evrimsel kararlı değildir. Tartışmanın maliyeti kaynağın değerinden büyük olduğu için hiçbir saf strateji kararlı değildir.

Çözümlü örnek — Kararlı karışım

Popülasyonda sertlerin payı x olsun. Rastgele bir rakiple karşılaşan sert satıcının beklenen getirisi x × (−1) + (1 − x) × 4 = 4 − 5x, yumuşak satıcınınki x × 0 + (1 − x) × 2 = 2 − 2x'tir. İki getiri x = 2/3'te eşitlenir. Sertlerin payı 2/3'ün altındaysa sert davranış daha kazançlıdır ve yayılır; üstündeyse yumuşak davranış daha kazançlıdır ve yayılır. Popülasyon, sertlerin payının 2/3 olduğu karışıma yönelir.

Bu karışım, tezgâhın değerinin tartışma maliyetine oranıdır: 4 ÷ 6. Tartışmanın maliyeti artarsa, örneğin pazar yönetimi tartışanları cezalandırırsa ve maliyet 12'ye çıkarsa, sertlerin payı 4 ÷ 12 = 1/3'e iner. Kuram, kurumların saldırganlığın bedelini artırarak popülasyondaki davranış karışımını nasıl değiştirebileceğini gösterir.

Çözümlü örnek — Replikatör dinamiğiyle bir adım

Replikatör dinamiğinde sertlerin payının değişimi, payın kendisine, yumuşakların payına ve iki getirinin farkına bağlıdır: x'in artış hızı x × (1 − x) × (π_sert − π_yumuşak)'tır. İki getirinin farkı (4 − 5x) − (2 − 2x) = 2 − 3x'tir. Dinamik, x(1 − x)(2 − 3x) biçimini alır.

Sertlerin payı 0,1 ise artış hızı 0,1 × 0,9 × 1,7 ≈ 0,153'tür; payı yarıysa 0,25 × 0,5 = 0,125'tir; payı 0,9 ise 0,9 × 0,1 × (−0,7) = −0,063'tür. Her durumda pay 2/3'e doğru hareket eder. Hareketin hızı, karışımın 2/3'ten uzaklığına ve her iki türün de popülasyonda bulunmasına bağlıdır: türlerden biri neredeyse yoksa, taklit edilecek az örnek olduğu için değişim yavaştır.

Çözümlü örnek — Teknoloji standardı

Bir sektördeki firmalar iki dosya biçiminden birini kullanıyor: A ya da B. İki firma aynı biçimi kullanırsa birlikte çalışabilir; A'da her biri 3, B'de 2 kazanır. Farklı biçim kullanırlarsa ikisi de 0 kazanır. A'yı kullanan firmaların payı x olsun. A kullanmanın beklenen getirisi 3x, B kullanmanınki 2(1 − x)'tir. İki getiri x = 0,4'te eşitlenir.

Replikatör dinamiğinde A'nın payı 0,4'ün üzerindeyse A kazançlıdır ve yayılır; popülasyon herkesin A kullandığı dengeye gider. 0,4'ün altındaysa B yayılır. A dengesinin çekim havzası 0,4 ile 1 arasıdır, yani durum uzayının yüzde 60'ı; B dengesininki 0 ile 0,4 arası, yüzde 40'ı. Ama hangi dengeye varılacağı başlangıca bağlıdır: firmaların yüzde 30'u A ile başlamışsa, A daha iyi olduğu hâlde sektör B'ye kilitlenir.

Çözümlü örnek — Hatalar ve uzun dönem

Aynı standart oyununu on firmalık bir popülasyonda düşünelim. Her dönem firmalardan biri biçimini gözden geçiriyor ve çoğunlukla öbürlerinin kullandığına göre en iyi tepkiyi seçiyor; ama ε olasılıkla rastgele bir seçim yapıyor. Sektör herkesin B kullandığı dengedeyse, A'ya geçişin kazançlı hâle gelmesi için firmaların en az yüzde 40'ının, yani dört firmanın hata yapıp A'ya geçmesi gerekir. Herkesin A kullandığı dengeden B'ye geçiş için ise yüzde 60'ın, yani altı firmanın hata yapması gerekir.

Hata olasılığı küçükse, dört hatanın art arda gelmesi altı hatanın gelmesinden çok daha olasıdır. Kabaca, B'den A'ya geçiş ε⁴, A'dan B'ye geçiş ε⁶ ile orantılı bir olasılıkla gerçekleşir. ε = 0,1 için birincisi ikincisinden yaklaşık yüz kat daha olasıdır. Uzun dönemde sektör zamanın neredeyse tamamını A dengesinde geçirir: A, stokastik kararlı dengedir. A burada iki ölçüte göre de üstündür: daha çok kazandırır ve yanlış koordinasyona karşı da daha güvenlidir; stokastik kararlılık, iki ölçütün ayrıştığı oyunlarda riskten baskın dengeyi seçer.

Çözümlü örnek — Getiri mi, güvenlik mi?

Şimdi standart oyununu değiştirelim: A'da her firma 5 kazanır, ama A kullanan bir firma B kullanan biriyle karşılaşırsa uyumsuzluk nedeniyle 0 alır; B ise daha basit bir biçimdir ve B kullanan bir firma, karşısındaki ne kullanırsa kullansın 3 alır. A kullanmanın beklenen getirisi 5x, B'ninki 3'tür; eşik x = 0,6'dır. A dengesi her iki firmaya 5, B dengesi 3 verir; A getiriden baskındır.

Ama A'nın çekim havzası 0,6 ile 1 arasıdır, yani durum uzayının yalnızca yüzde 40'ı. B'den A'ya geçiş için firmaların yüzde 60'ının hata yapması gerekir; A'dan B'ye geçiş için yüzde 40'ının. Stokastik kararlı denge B'dir: daha az getiren ama yanlış koordinasyona karşı daha güvenli olan biçim. Uzun dönemde sektör, herkesin daha çok kazanacağı uzlaşım yerine daha güvenli olana yerleşir. Bu, ikinci derste getiriden ve riskten baskın dengeler arasında gördüğümüz gerilimin evrimsel karşılığıdır.

Çözümlü örnek — Taş, kâğıt, makas

Üç tür satış stratejisi düşünelim: indirimci, kaliteci ve hizmetçi. İndirimci kaliteciyi yener, kaliteci hizmetçiyi, hizmetçi indirimciyi; kazanan 1, kaybeden −1 alır, aynı stratejiler karşılaşırsa 0 alırlar. Popülasyonda her birinin payı 1/3 olduğunda üçünün de beklenen getirisi sıfırdır; bu karışım Nash dengesidir.

Popülasyonda indirimcilerin payı biraz artarsa, onları yenen hizmetçilerin getirisi yükselir ve hizmetçiler yayılır; hizmetçiler arttıkça onları yenen kaliteciler, kaliteciler arttıkça indirimciler kazançlı hâle gelir. Replikatör dinamiğinde bu oyunda popülasyon, dengenin etrafında kapalı döngüler çizer; dengeye ne yaklaşır ne de ondan uzaklaşır. Kazananın kazancı kaybedenin kaybından biraz büyük olsaydı döngüler içe doğru sarmal çizer ve popülasyon dengeye yerleşirdi; küçük olsaydı dışa doğru büyür ve popülasyon art arda bir stratejiden ötekine savrulurdu. Cason, Friedman ve Hopkins'in deneyinde sürekli zamanda gözlenen döngüler, bu dinamiğin laboratuvardaki karşılığıdır.

Çözümlü örnek — Sahibin hakkı

Pazar örneğine bir ayrıntı ekleyelim: her sabah tezgâh yerine önce gelen bir satıcı «sahip», sonra gelen «yeni gelen» rolündedir ve herkes rolünü bilir. Bir satıcı bazen sahip, bazen yeni gelen olur. Şimdi şu kuralı düşünelim: sahipken sert, yeni gelenken yumuşak davran.

Bu kuralı herkes izliyorsa, sahip her zaman 4, yeni gelen 0 alır; bir satıcı iki rolde eşit sıklıkta bulunuyorsa ortalama 2 alır ve hiç tartışma yaşanmaz. Kuraldan sapmayı kontrol edelim. Yeni gelen sert davranırsa, sert bir sahiple tartışır ve −1 alır; yumuşak kalıp 0 almak daha iyidir. Sahip yumuşak davranırsa, yumuşak bir yeni gelenle yeri paylaşır ve 2 alır; sert kalıp 4 almak daha iyidir. Kural kesin bir dengedir ve her iki rolde de sapma kayıp getirir.

Aynı oyunun rol bilgisi olmadan kararlı karışımında satıcıların ortalama getirisi, sertlerin payı 2/3 iken 2 − 2 × 2/3 ≈ 0,67'dir; çünkü tartışmalar yaşanır. Rol temelli uzlaşım, herkese 2 vererek ortalama getiriyi üç katına çıkarır. Mülkiyet benzeri bir kural, kimse onu dayatmadan, yalnızca çatışmanın bedelini önleyen bir uzlaşım olarak ortaya çıkabilir. Tersi, yani «yeni gelen sert, sahip yumuşak» kuralı da bir dengedir; hangisinin yerleşeceği tarihe bağlıdır. Gerçek pazarlarda önce gelenin hakkının tanınması, bu iki uzlaşımdan birinin çok daha yaygın olduğunu düşündürür; ama kuram, bu seçimi getirilerden değil, popülasyonun geçmişinden açıklar.

Çözümlü örnek — Uyumun değeri

Young ve Burke'ün modelinin mantığını basit bir sayısal örnekle kuralım. Bir ilçede iki sözleşme türü var: Y ve K. Her tarla için bir sözleşmenin ekonomik uygunluğu tarlanın verimine bağlıdır; d, Y'nin K'ye göre ekonomik üstünlüğü olsun ve tarladan tarlaya −3 ile +3 arasında değişsin. Bunun yanında yerel uygulamaya uymanın bir değeri var: komşuların Y kullanan payı y ise, Y seçmek 4y, K seçmek 4(1 − y) uyum getirisi sağlar.

Toprak sahibi, d + 4y > 4(1 − y), yani d > 4 − 8y ise Y'yi seçer. Komşuların yüzde 80'i Y kullanıyorsa eşik 4 − 6,4 = −2,4'tür: Y'nin ekonomik olarak 2,4 birime kadar dezavantajlı olduğu tarlalarda bile Y seçilir. Yalnızca ekonomik uygunluğu çok kötü olan tarlalar K'ye geçer. Komşuların yüzde 20'si Y kullanıyorsa eşik +2,4'e çıkar ve yalnızca Y'nin çok uygun olduğu tarlalar Y'yi seçer. Uyum değeri, ekonomik temellerdeki sürekli değişimi, bölgeler hâlinde tekdüze sözleşmelere çevirir. Bu, Young ve Burke'ün anket verilerinde buldukları tekdüzeliğin mantığıdır.

Çözümlü örnek — Komşudan komşuya yayılan standart

Bir caddede on dükkân yan yana dizilmiş ve her dükkân yalnızca iki komşusuyla iş yapıyor. Teknoloji standardı örneğindeki getiriler geçerli: iki komşu A kullanırsa her biri 3, B kullanırsa 2, farklı kullanırsa 0 alır. Bütün cadde B kullanıyor; iki bitişik dükkân bir gün hata yapıp A'ya geçiyor.

Bu iki dükkânın komşusu olan bir dükkânın bir komşusu A, öbürü B kullanıyor. A'ya geçerse A'lı komşudan 3, B'li komşudan 0, toplam 3 alır; B'de kalırsa 0 ve 2, toplam 2 alır. A'ya geçer. Aynı akıl yürütme bir sonraki dükkân için de geçerlidir ve A, caddede dükkân dükkân yayılır. Bütün caddenin geçmesi için yalnızca iki hata yetti; oysa herkesin herkesle iş yaptığı bir piyasada dört firmanın aynı anda hata yapması gerekiyordu. Yerel etkileşim, uzlaşım değişimini hızlandırır ve değişimin sınırlardan başlayarak ilerlemesini açıklar.

Modelin sınırları

Evrimsel modeller, oyuncuların geçmişe dayanarak uyum sağladığını ve geleceği öngörmediğini varsayar. Gerçek ekonomik aktörler çoğu zaman bir ölçüde ileriye bakar: bir firma, standardın yayılacağını öngörerek erken geçiş yapabilir. Stokastik kararlılık sonuçları, hata olasılığının çok küçük olduğu ve çok uzun bir zaman ufkunun bulunduğu durumlarda geçerlidir; bir popülasyon, stokastik kararlı olmayan bir dengede de çok uzun süre kalabilir. Hataların biçimi de önemlidir: hatalar getiriye duyarlıysa, yani pahalı hatalar daha seyrek yapılıyorsa, seçilen denge değişebilir. Young ve Burke'ün çalışması, kuramın tekdüzelik ve sınırlar gibi nitel öngörülerinin veriyle uyumlu olduğunu gösteriyor; geçişlerin ne zaman olacağını tahmin etmek ise çok daha zordur.

Teknik

Evrimsel kararlılığın tanımı ve Nash dengesiyle ilişkisi

Simetrik iki kişilik bir oyunda saf stratejiler S, bunların karışımlarından oluşan simpleks Σ ve getiri u(p, q) olsun; u(p, q), p karma stratejisini oynayan bireyin q oynayan bir rakiple karşılaştığında beklenen getirisidir. Bir p stratejisi, her q ≠ p için şu iki koşuldan biri sağlanıyorsa evrimsel kararlıdır: u(p, p) > u(q, p); ya da u(p, p) = u(q, p) ve u(p*, q) > u(q, q).

Bu tanım, istilacıların payı ε yeterince küçükken, yerleşik stratejinin, (1 − ε)p + εq karışımına karşı istilacıdan daha iyi yapmasıyla eşdeğerdir. Birinci koşul, p'nin kendisine karşı en iyi tepki olmasını, yani (p, p)'nin simetrik bir Nash dengesi olmasını ister. Her evrimsel kararlı strateji bu yüzden simetrik bir Nash dengesidir; tersi doğru değildir. Kesin bir simetrik Nash dengesi ise her zaman evrimsel kararlıdır, çünkü birinci koşul kesin eşitsizlikle sağlanır. Evrimsel kararlılık, Nash dengesinin bir iyileştirmesidir: zayıf dengeleri, istilacıya karşı ikinci koşulu sağlayıp sağlamadıklarına göre eler.

Şahin–güvercin oyununda karma p = 2/3 dengesi kesin değildir, çünkü dengede her iki saf strateji aynı getiriyi verir; birinci koşul eşitlikle sağlanır. İkinci koşul ise sağlanır: herhangi bir q için u(p, q) − u(q, q) = 3(q − 2/3)²'dir ve q ≠ p* için pozitiftir. Karışım evrimsel kararlıdır.

Replikatör denklemi

Popülasyon durumu, saf stratejiler üzerinde bir dağılım olan x ile gösterilsin; x_s, s stratejisini oynayanların payıdır. s stratejisinin getirisi u(s, x), popülasyon ortalaması u(x, x)'tir. Replikatör denklemi ẋ_s = x_s × [u(s, x) − u(x, x)]'tir. Ortalamanın üzerinde getiren stratejiler büyür, altında getirenler küçülür; popülasyonda hiç bulunmayan bir strateji ortaya çıkamaz.

Bu denklemin dengelerle ilişkisi, kimi zaman evrimsel oyun teorisinin halk teoremi olarak anılan bir dizi sonuçla özetlenir. Her Nash dengesi replikatör dinamiğinin durağan noktasıdır; ama her durağan nokta Nash dengesi değildir, çünkü yalnızca bir saf stratejinin bulunduğu her durum durağandır. Lyapunov anlamında kararlı her durağan nokta bir Nash dengesidir. Her evrimsel kararlı strateji, replikatör dinamiğinin asimptotik olarak kararlı bir durağan noktasıdır. Tersi her zaman doğru değildir. Bu sonuçlar, evrimsel ve rasyonel yaklaşımların büyük ölçüde örtüştüğünü, ama evrimin bazı Nash dengelerini, özellikle kararsız olanları elediğini gösterir.

İki popülasyonlu oyunlar

Şimdiye kadar oyuncular aynı popülasyondan geliyordu: her tezgâh satıcısı herhangi bir satıcıyla karşılaşabiliyordu. Birçok ekonomik ilişkide ise iki taraf farklı popülasyonlardan gelir: alıcılar ve satıcılar, işverenler ve çalışanlar, toprak sahipleri ve kiracılar. Bu durumda her popülasyonun stratejileri ayrı bir replikatör denklemiyle değişir ve bir popülasyondaki getiriler öbür popülasyonun karışımına bağlıdır.

Reinhard Selten 1980'de, rollerin farklı olduğu asimetrik oyunlarda evrimsel kararlı bir stratejinin yalnızca kesin bir Nash dengesi olabileceğini gösterdi: karma dengeler evrimsel kararlı değildir. İki popülasyonlu replikatör dinamiğinde de iç karma dengeler asimptotik olarak kararlı olamaz; yörüngeler ya onların etrafında döner ya da onlardan uzaklaşır. Bu sonuç, asimetrik koordinasyon ve çatışma durumlarında popülasyonların saf uzlaşımlara yerleşmesinin, karma davranışların ise kalıcı olmamasının kuramsal gerekçesidir. Şahin–güvercin oyununda bile, oyunculara rastgele «sahip» ve «yeni gelen» rolleri atanırsa, kararlı karışım ortadan kalkar ve «sahip sert, yeni gelen yumuşak» gibi rol temelli bir uzlaşım ortaya çıkar.

Taklit ve replikatör dinamiği

Replikatör denklemi biyolojik üremeden türetilmiştir; ekonomik aktörler ise üremez. Karl Schlag'ın 1998 tarihli bir makalesi, bireylerin rastgele bir başkasını gözlemleyip, onun getirisi kendi getirisinden yüksekse, fark ile orantılı bir olasılıkla onun stratejisine geçtiği bir taklit kuralının, büyük popülasyonlarda tam olarak replikatör dinamiğini ürettiğini kanıtladı. Bu sonuç, replikatör dinamiğini ekonomide kullanmanın gerekçesidir: kimse en iyi tepkiyi hesaplamasa bile, başarılı komşuyu taklit etmek aynı dinamiği yaratır. Farklı uyum kuralları, örneğin en iyi tepki dinamiği ya da mantıksal seçim dinamiği, aynı durağan noktalara ama farklı yollardan ve bazen farklı kararlılık özellikleriyle ulaşır.

Taş–kâğıt–makas ve döngüler

Genelleştirilmiş bir taş–kâğıt–makas oyununda kazanan a, kaybeden −b alsın; aynı stratejiler 0 alsın. Merkezdeki karışım (1/3, 1/3, 1/3) Nash dengesidir. Replikatör dinamiğinde, a > b ise merkez asimptotik olarak kararlıdır ve yörüngeler içe doğru sarmal çizer; a = b ise yörüngeler merkezin etrafında kapalı döngülerdir; a < b ise merkez kararsızdır ve yörüngeler dışa doğru, sınır döngüsüne yaklaşır. a > b durumunda merkez aynı zamanda evrimsel kararlıdır; a ≤ b durumunda değildir.

En iyi tepki dinamiğinde, a < b iken yörüngeler, Lloyd Shapley'nin 1964'te tanımladığı bir üçgen döngüye yakınsar: Shapley çokgeni. Cason, Friedman ve Hopkins'in deneyinde nokta öngörüsü olarak kullanılan «Shapley çokgeninin zaman ortalaması», bu döngü üzerindeki ortalama karışımdır; dengeden farklı olabilir ve deneyde Nash dengesinin kaçırdığı bazı düzenlilikleri yakaladı.

Stokastik kararlılık

Michihiro Kandori, George Mailath ve Rafael Rob 1993'te Econometrica'da ve Young aynı yıl, uyum dinamiğine küçük rastgele hatalar ekleyen modeller geliştirdi. Hatalarla dinamik, her durumdan her duruma pozitif olasılıkla geçebilen ergodik bir Markov sürecidir ve tek bir durağan dağılımı vardır. Hata olasılığı ε sıfıra giderken bu dağılım, belirli dengelerde yoğunlaşır: stokastik kararlı dengeler.

Bir dengenin direnci, o dengeden çıkıp başka bir dengenin çekim havzasına girmek için gereken en az eşzamanlı hata sayısıdır. Young'ın teoremi, stokastik kararlı dengelerin, bütün dengeleri birbirine bağlayan en düşük toplam dirençli ağacın kökünde bulunduğunu söyler. İki dengeli simetrik 2×2 koordinasyon oyunlarında bu ölçüt, çekim havzası daha geniş olan dengeyi, yani riskten baskın dengeyi seçer. Model bölümündeki standart oyununda B'nin seçilmesi bunun bir örneğidir.

Sonucun bir sınırı, geçişlerin beklenen süresidir. Büyük popülasyonlarda bir havzadan ötekine geçmek için gereken eşzamanlı hata sayısı popülasyonla birlikte büyür ve beklenen geçiş süresi astronomik olabilir. Glenn Ellison 1993'te Econometrica'da, oyuncuların yalnızca komşularıyla etkileşime girdiği yerel etkileşim yapılarında geçişlerin çok daha hızlı olabileceğini gösterdi; bir uzlaşım, küçük bir bölgede başlayıp komşuluk ilişkileriyle yayılabilir. Young ve Burke'ün Illinois'de bulduğu bölgesel tekdüzelik ve keskin sınırlar, bu tür yerel dinamiklerin izlerini taşır.

Evrim ve rasyonellik

Evrimsel argümanlar ekonomide uzun bir geçmişe sahiptir. Alchian'ın 1950'deki fikri, Milton Friedman tarafından 1953'te firmaların kâr en yükseklemesi «yapıyormuş gibi» davrandığı varsayımının bir savunması olarak kullanıldı: hesap yapmayan firmalar piyasadan elenirse, ayakta kalanlar kâr en yükseklemesinin öngördüğü gibi davranır. Sidney Winter 1964'te bu argümanın koşullarını sorguladı: seçilim ancak çevre yeterince uzun süre sabit kalırsa ve başarılı davranışlar yeterince güvenilir biçimde aktarılırsa en iyi davranışı ayakta bırakır. Çevre hızlı değişiyorsa, dünün en başarılı davranışı bugünün kötü davranışı olabilir ve popülasyon sürekli geride kalır.

Evrimsel oyun teorisi bu tartışmaya iki şey ekler. Birincisi, seçilimin hangi dengelerde biteceğini, yani Nash dengelerinin bir alt kümesini kesin biçimde tanımlar. İkincisi, seçilimin her zaman bir dengeye götürmediğini gösterir: taş–kâğıt–makas gibi oyunlarda popülasyon döngüler çizer ve hiçbir an dengede bulunmayabilir. Evrimsel bakış, rasyonelliğin yerine geçmekten çok, rasyonel kuramın öngörülerinin hangi koşullarda hesap yapmayan aktörler için de geçerli olduğunu belirler.

Uygulama

Özet kartı

1. Evrimsel kararlı strateji, küçük bir istilacı grup tarafından yerinden edilemeyen stratejidir; her evrimsel kararlı strateji simetrik bir Nash dengesidir, her kesin simetrik Nash dengesi evrimsel kararlıdır.
2. Şahin–güvercin oyununda kavganın maliyeti kaynağın değerinden büyükse hiçbir saf strateji kararlı değildir; kararlı karışımda saldırganların payı kaynağın değerinin kavga maliyetine oranıdır.
3. Replikatör dinamiğinde stratejilerin payı, getirilerinin ortalamadan farkıyla orantılı değişir; bireylerin başarılı komşuları taklit etmesi bu dinamiği üretir.
4. Young'a göre hatalı uyum dinamiklerinde uzun dönemde tek bir uzlaşım seçilir; iki dengeli simetrik koordinasyon oyunlarında bu, riskten baskın dengedir; Young ve Burke, Illinois tarım sözleşmelerinde bölgeler hâlinde tekdüzelik ve keskin sınırlar buldu.
5. Cason, Friedman ve Hopkins'in sürekli zamanlı taş–kâğıt–makas deneyinde popülasyon dengeye yerleşmedi, belirgin döngüler çizdi; ortalama davranış Nash dengesine yakındı.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Evrimsel kararlı bir strateji her zaman bir Nash dengesi midir? Tersi doğru mudur?
2. (Çıktı 2) Pazar örneğinde tezgâh yerinin değeri 4 yerine 3, tartışma maliyeti 6 olsaydı, kararlı karışımda sertlerin payı ne olurdu? Tartışma maliyeti 2'ye düşseydi ne olurdu?
3. (Çıktı 2) Teknoloji standardı örneğinde A'da her firma 4, B'de 2 kazansaydı, eşik ve çekim havzaları ne olurdu?
4. (Çıktı 3) Getiri mi, güvenlik mi örneğinde on firmalık bir sektör A dengesindedir. B'ye geçiş için kaç firmanın hata yapması gerekir? B dengesinden A'ya geçiş için kaç firmanın? ε = 0,1 için hangi geçiş daha olasıdır ve kabaca kaç kat?
5. (Çıktı 3) Taş–kâğıt–makas türü bir oyunda kazananın kazancı kaybedenin kaybından küçükse popülasyon zaman içinde nasıl davranır? Bu, Nash dengesinin öngörü gücü için ne anlama gelir?
6. (Çıktı 4) Bir iktisatçı, «Gelenekler ekonomik hesabın önünde bir engeldir; rekabet arttıkça ortadan kalkar» diyor. Bu görüşü Young ve Burke'ün bulgusu ve stokastik kararlılık kuramıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Her evrimsel kararlı strateji simetrik bir Nash dengesidir, çünkü tanımın birinci koşulu stratejinin kendisine karşı en iyi tepki olmasını ister. Ama her Nash dengesi evrimsel kararlı değildir: zayıf bir Nash dengesinde, bir istilacı yerleşik stratejiye karşı aynı getiriyi alır ve ikinci koşul, yerleşik stratejinin istilacıya karşı istilacının kendisinden daha iyi yapmasını ister. Bu koşul sağlanmazsa istilacı nötr biçimde yayılabilir ya da yerleşiği yerinden edebilir. Kesin simetrik Nash dengeleri ise her zaman evrimsel kararlıdır.
2. Sertlerin payı kaynağın değerinin tartışma maliyetine oranıdır: 3 ÷ 6 = 1/2. Tartışma maliyeti 2'ye düşerse, maliyet kaynağın değerinden küçük olur; iki sert karşılaştığında beklenen getiri (3 − 2) ÷ 2 = 0,5'tir ve bu, yumuşağın serte karşı aldığı 0'dan büyüktür. Sert davranış, rakip ne yaparsa yapsın daha iyidir; popülasyonun tamamı sert olur ve bu, evrimsel kararlı saf bir stratejidir.
3. A kullanmanın beklenen getirisi 4x, B'ninki 2(1 − x) olur; eşik 4x = 2 − 2x koşulundan x = 1/3'tür. A dengesinin çekim havzası 1/3 ile 1 arası, yani durum uzayının yaklaşık üçte ikisi; B'ninki 0 ile 1/3 arasıdır. A'nın daha yüksek getirisi, onun çekim havzasını genişletir.
4. A dengesinden B'ye geçiş için A'nın payının eşik olan 0,6'nın altına inmesi gerekir; kabaca on firmanın dördünün hata yapıp B'ye geçmesi sektörü bu sınıra getirir. B dengesinden A'ya geçiş için A'nın payının 0,6'yı aşması, yani kabaca altı firmanın hata yapması gerekir. Eşikte firmalar kayıtsız kaldığı için kesin sayılar birer fazla olabilir; bu, karşılaştırmayı değiştirmez. ε = 0,1 için dört hatalık geçiş ε⁴, altı hatalık geçiş ε⁶ ile orantılıdır; A'dan B'ye geçiş kabaca yüz kat daha olasıdır. Uzun dönemde sektör B dengesinde kalır.
5. Kazananın kazancı kaybedenin kaybından küçükse, merkezdeki karışım kararsızdır: replikatör dinamiğinde yörüngeler dışa doğru açılır ve popülasyon, art arda bir stratejinin baskın olduğu durumlar arasında savrulur. Nash dengesi bu durumda popülasyonun herhangi bir anda nerede olduğunu iyi tahmin etmez; ancak zaman ortalaması, Shapley çokgeni gibi döngü yapılarına bağlı olarak dengeye yakın ya da ondan farklı olabilir. Cason, Friedman ve Hopkins'in deneyinde ortalama davranış Nash dengesine oldukça yakındı, ama Shapley çokgeninin zaman ortalaması bazı düzenlilikleri daha iyi yakaladı.
6. İktisatçının görüşü, geleneklerin ekonomik getirilerle çatıştığı durumlar için bir doğruyu yakalıyor: Young ve Burke'ün verisinde sözleşmeler, ekonomik temellerin haklı çıkaracağından çok daha tekdüzeydi. Ama aynı çalışma, bu tekdüzeliğin, getirileri ve uyumu birlikte hesaba katan aktörlerin dinamik seçimlerinden doğduğunu gösteriyor; gelenek, hesabın karşısında değil, hesabın bir parçasıdır, çünkü yerel uygulamaya uymanın kendisi bir getiri sağlar. Stokastik kararlılık kuramı da koordinasyon oyunlarında uzun dönemde tek bir uzlaşımın seçildiğini, bunun rekabetle ortadan kalkmadığını, aksine rekabet ve uyum süreçlerinin sonucu olduğunu söyler. Daha doğru bir sonuç, geleneklerin koordinasyon sorunlarına verilmiş, kendi kendini sürdüren çözümler olduğu, getiriler yeterince değiştiğinde ise sınırlardan başlayarak değişebildiğidir.

İleri okuma

• H. Peyton Young, Mary A. Burke (2001). «Competition and Custom in Economic Contracts: A Case Study of Illinois Agriculture». American Economic Review, 2001. Tarım sözleşmelerinde gelenek ve rekabet.
• Timothy N. Cason, Daniel Friedman, Ed Hopkins (2014). «Cycles and Instability in a Rock–Paper–Scissors Population Game». Review of Economic Studies 81(1). Popülasyon döngülerinin laboratuvar kanıtı.
• H. Peyton Young (1993). «The Evolution of Conventions». Econometrica 61(1). Uzlaşımların stokastik kararlılıkla seçimi.

Sonraki derse köprü

Bu seride oyun teorisinin araçlarını tek tek kurduk: stratejik düşünce, Nash dengesi, karma stratejiler, dinamik oyunlar, tekrarlanan oyunlar, eksik bilgi, sinyaller, pazarlık, açık artırmalar ve son olarak evrim. Bu araçların gerçek dünyada nasıl birlikte kullanıldığını görmek için tek tek oyunlardan çıkıp kurumlara bakmak gerekiyor: seçim kampanyalarında adayların konumlanması, rakip firmaların kapasite ve fiyat kararları, ülkelerin silahlanma, ticaret ve iklim müzakereleri. Serinin son dersi, oyun teorisinin siyasette, iş dünyasında ve uluslararası ilişkilerdeki uygulamalarını ele alıyor.