Bayesyen Nash dengesi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Bayesyen Nash dengesini, ara aşama beklenen getiriyi, eşik stratejisini, küresel oyunu, saflaştırmayı ve Laplace inancını tanımlar.
• Uygulama — Rakibin maliyetini bilmeyen bir firmanın üretim kararını ve özel maliyetleri olan iki komşunun gönüllülük eşiğini Bayesyen Nash dengesi olarak hesaplar.
• Analiz — Ortak bilgi altında birden çok dengesi olan bir koordinasyon oyununun, oyuncular küçük gürültülü özel sinyaller aldığında neden tek bir eşik dengesine indiğini çözümler.
• Değerlendirme — Küresel oyun kuramının öngörülerini laboratuvar bulgularıyla karşılaştırarak, kendini gerçekleştiren krizlerin politika yoluyla önlenebilirliğine dair iddiaları değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir sabah, bir ülkenin parası sabit bir kurla dolara bağlı. Bankada çalışan bir döviz satıcısı, merkez bankasının kuru savunmak için yeterli rezervi olup olmadığını kendi hesabıyla tahmin ediyor; tahmini kesin değil. Aynı sabah binlerce başka satıcı da kendi tahminlerini yapıyor. Her biri, ötekiler saldırırsa kurun düşeceğini, ötekiler beklerse saldırının zararla biteceğini biliyor. Satıcı, kendi tahminine ve ötekilerin kendi tahminlerine göre ne yapacağına dair tahminine dayanarak karar vermek zorunda.

Önceki derste eksik bilgili durumları türler ve doğanın hamlesiyle kurmayı öğrendik. Kurulan oyunun nasıl çözüleceğini ise açık bıraktık. Bu ders o çözüm kavramını tanımlıyor ve şaşırtıcı bir sonucunu inceliyor: biraz eksik bilgi, birden çok dengesi olan bir oyunu tek dengeli bir oyuna çevirebilir.

Hikâye — kendini gerçekleştiren saldırılar

Döviz krizlerinin kuramında uzun süre iki görüş çatıştı. Bir görüşe göre kriz, kötü temellerin, yani yüksek açıkların ve düşük rezervlerin kaçınılmaz sonucudur. Öteki görüşe göre aynı temeller altında hem kriz hem sükûnet mümkündür: herkes saldırırsa kur düşer ve saldırı haklı çıkar, kimse saldırmazsa kur ayakta kalır ve beklemek haklı çıkar. Bu ikinci görüş, krizleri «kendini gerçekleştiren» olaylar olarak görüyordu; ama hangi dengenin seçileceğini söyleyemiyordu ve bu yüzden politika önerisi üretmekte zorlanıyordu.

Stephen Morris ve Hyun Song Shin, 1998'de bu çıkmaza bir çözüm önerdi.

Aynı fikir bankalara da uygulandı. Bir mevduat bankası, herkes paranı çekmeye koşarsa batar; kimse koşmazsa ayakta kalır. Banka hücumunun kendini gerçekleştiren yapısı bilinen bir sonuçtu, ama hücum dengesinin ne sıklıkla gerçekleşeceği belirsizdi.

Kavram — her tür için en iyi tepki

Önceki dersten hatırlarsak strateji, türden eyleme giden bir kuraldır; aranan denge de tek tek eylemler değil, bu kurallardan oluşan bir profildir.

Birçok uygulamada denge stratejileri basit bir biçim alır.

Veri ve kanıt — bilgi yapısı davranışı değiştirir mi?

Morris ve Shin'in sonucu, bir bilgi kavramının ince bir ayrımına dayanır.

Bu ayrım, serinin ilk dersinde rasyonelliğin ortak bilgisini işlerken gördüğümüz ayrımdır: bir şeyi herkesin bilmesi yetmez, herkesin herkesin bildiğini bilmesi ve bu zincirin hiç kopmaması gerekir. Küresel oyunlar, bu zincirin temellere dair bilgide koptuğu durumu inceler.

Temeller ortak bilgiyse, koordinasyon oyunları birden çok dengeye sahip olabilir. Her oyuncu temellere dair biraz farklı bir sinyal alırsa, ortak bilgi kaybolur ve bir oyuncu, ötekilerin neye inandığından ve onların kendisinin neye inandığından emin olamaz. Bu belirsizlik zinciri, ortaya tek bir eşik dengesi çıkarır.

Frank Heinemann, Rosemarie Nagel ve Peter Ockenfels, bu kuramın öngörülerini laboratuvarda sınadı.

Bu bulgu iki yönlüdür. Bir yanda kuramın karşılaştırmalı öngörüleri tuttu: getiriler değiştiğinde eşikler kuramın söylediği yöne kaydı. Öbür yanda kuramın en çarpıcı öngörüsü, yani ortak bilgi ile özel bilgi arasındaki keskin fark, deneyde büyük ölçüde görülmedi: insanlar ortak bilgi altında da eşik stratejileri kullandı ve tek bir noktada eşgüdüm sağladı.

Neden önemli? — politika için tek bir cevap

Birden çok dengeli bir model, politika yapıcıya «kriz olabilir de olmayabilir de» der; bu, hangi önlemin ne kadar işe yarayacağını hesaplamayı imkânsız kılar. Tek dengeli bir model ise krizin hangi temeller altında başlayacağını söyler ve bu eşiğin rezervler, işlem maliyetleri ya da mevduat sözleşmeleriyle nasıl kaydırılabileceğini hesaplamaya izin verir. Goldstein ve Pauzner'in yaptığı tam olarak budur: hücum olasılığını sözleşmeye bağlayarak, bankanın sağladığı likiditenin faydasını hücum riskinin maliyetiyle tartan bir sözleşme tasarlamak.

Bayesyen Nash dengesinin önemi bununla sınırlı değil. Açık artırmalar, ihaleler, rakibin maliyetinin bilinmediği fiyat rekabeti, ortak bir işe gönüllü katkı ve sigorta piyasaları, hepsi bu kavramla çözülür. Her birinde oyuncular, rakiplerinin ne bildiğini değil, ne bilebileceğini ve her olası bilgi durumunda ne yapacağını hesaba katar.

Model

Bu bölümde Bayesyen Nash dengesini birkaç küçük oyunda hesaplıyoruz. Sayılar kurgusaldır.

Çözümlü örnek — Maliyeti bilinmeyen rakip

İki firma aynı ürünü üretiyor ve pazar fiyatı P = 100 − Q ile belirleniyor; Q iki firmanın toplam üretimidir. Birinci firmanın birim maliyeti 20'dir ve bu herkesçe bilinir. İkinci firmanın birim maliyeti yarı yarıya olasılıkla 10 ya da 30'dur; ikinci firma kendi maliyetini bilir, birinci firma bilmez. Firmalar üretim miktarlarını aynı anda seçer.

İkinci firmanın her türü, birinci firmanın üretimi y olarak verilmişken kârını en yükseğe çıkarır. Maliyeti c olan tür için en iyi üretim (100 − c − y) ÷ 2'dir: düşük maliyetli tür için (90 − y) ÷ 2, yüksek maliyetli tür için (70 − y) ÷ 2. Birinci firma ise ikinci firmanın beklenen üretimine karşı en iyi tepkiyi verir: (80 − E[z]) ÷ 2; burada z ikinci firmanın üretimidir. İkinci firmanın beklenen üretimi, iki türün ortalamasıdır: E[z] = (80 − y) ÷ 2.

Bu iki denklemi birlikte çözersek: y = (80 − (80 − y) ÷ 2) ÷ 2, yani 4y = 160 − 80 + y ve y = 80 ÷ 3 ≈ 26,7 bulunur. Düşük maliyetli tür (90 − 26,7) ÷ 2 ≈ 31,7, yüksek maliyetli tür (70 − 26,7) ÷ 2 ≈ 21,7 üretir. Beklenen üretim 26,7'dir ve birinci firmanın varsayımıyla tutarlıdır. Bu üçlü, yani birinci firmanın tek miktarı ve ikinci firmanın türe göre iki miktarı, Bayesyen Nash dengesidir.

Çözümlü örnek — Bilginin değeri kimde?

Aynı pazarı tam bilgiyle çözelim. İkinci firma düşük maliyetliyse, iki firmalı miktar rekabetinin bilinen çözümü birinci firmaya (100 − 40 + 10) ÷ 3 ≈ 23,3, ikinci firmaya (100 − 20 + 20) ÷ 3 ≈ 33,3 verir. İkinci firma yüksek maliyetliyse birinci firma (100 − 40 + 30) ÷ 3 = 30, ikinci firma (100 − 60 + 20) ÷ 3 = 20 üretir.

Eksik bilgide birinci firma, rakibin türüne uyum sağlayamadığı için her durumda aynı miktarı, 26,7'yi üretir: düşük maliyetli rakibe karşı tam bilgide üreteceğinden fazla, yüksek maliyetli rakibe karşı az. İkinci firmanın türleri de buna tepki verir: düşük maliyetli tür, rakibi beklediğinden fazla ürettiği için 33,3 yerine 31,7 üretir; yüksek maliyetli tür ise rakibi az ürettiği için 20 yerine 21,7 üretir. Bilgi eksikliği, tam bilgideki tepkileri ortalamaya doğru çeker.

Çözümlü örnek — Her türün sapma denetimi

Dengenin doğru olduğunu görmek için her türün tek başına sapmak isteyip istemediğine bakalım. Yüksek maliyetli tür için birinci firmanın 26,7 ürettiği bir pazarda üretimin z olduğunu varsayarsak kâr (100 − 26,7 − z − 30) × z = (43,3 − z) × z olur. Bu ifade z = 21,7'de en yüksektir ve değeri yaklaşık 469'dur. Yüksek maliyetli tür örneğin 25 üretseydi, kâr (43,3 − 25) × 25 ≈ 458'e düşerdi.

Birinci firma için kontrol, ara aşamada değil önceden yapılır, çünkü onun tek türü vardır: kâr, ikinci firmanın iki türüne karşı elde edilen kârların ortalamasıdır. Düşük maliyetli rakibe karşı kâr (100 − 26,7 − 31,7 − 20) × 26,7 ≈ 21,6 × 26,7 ≈ 577; yüksek maliyetli rakibe karşı (100 − 26,7 − 21,7 − 20) × 26,7 ≈ 31,6 × 26,7 ≈ 844'tür. Ortalama yaklaşık 711'dir. Birinci firma 30 üretseydi, kâr düşük maliyetli rakibe karşı (100 − 30 − 31,7 − 20) × 30 ≈ 550, yüksek maliyetliye karşı (100 − 30 − 21,7 − 20) × 30 ≈ 850, ortalama yaklaşık 700 olurdu. Sapma kârlı değildir.

Çözümlü örnek — Kim kar küreyecek?

Bir çıkmaz sokakta iki komşu var. Kar yağdığında sokak açılırsa her ikisi de 10 değerinde bir fayda sağlar; tek bir kişinin küremesi yeter. Küremenin maliyeti her komşu için farklıdır ve yalnızca kendisi bilir: maliyet 0 ile 15 arasında düzgün dağılmıştır ve iki komşunun maliyetleri birbirinden bağımsızdır.

Bir eşik stratejisi arayalım: maliyeti k'ın altındaysa kürer, üstündeyse bekler. Maliyeti tam k olan komşu kürese de beklese de aynı getiriyi almalıdır. Kürerse 10 − k alır. Beklerse, komşusu kürediği takdirde 10, küremediği takdirde 0 alır; komşunun küreme olasılığı k ÷ 15'tir. Kayıtsızlık koşulu 10 − k = 10 × k ÷ 15'tir; buradan 10 = k × (1 + 2/3) ve k = 6 bulunur.

Her komşu 6 ÷ 15 = 0,4 olasılıkla kürer. Sokağın hiç açılmama olasılığı 0,6 × 0,6 = 0,36'dır. İki komşunun maliyeti de 6 ile 10 arasındaysa, ikisi de küremenin kendine değeceğini bildiği hâlde komşusunun yapmasını umarak bekler; bu durumun olasılığı (4 ÷ 15)² ≈ 0,07'dir. Özel bilgi, kamusal bir mal için bilinen beleşçilik sorununa bir eşgüdüm sorunu ekler.

Çözümlü örnek — Ortak bilgi altında iki denge

İki yatırımcı, ortak bir projeye katılıp katılmamaya karar veriyor. Projenin getirisi bir θ temeline bağlıdır. Katılmayan yatırımcı 0 alır. Katılan bir yatırımcı, öbürü de katılırsa θ, öbürü katılmazsa θ − 1 alır. θ herkesçe biliniyorsa üç bölge vardır. θ 1'den büyükse, öbürü katılmasa bile katılmak kârlıdır ve tek denge ikisinin de katılmasıdır. θ 0'dan küçükse, öbürü katılsa bile katılmak zararlıdır ve tek denge ikisinin de katılmamasıdır. θ 0 ile 1 arasındaysa iki denge vardır: ikisi de katılırsa her biri θ kazanır, ikisi de katılmazsa her biri 0 alır ve hiçbiri tek başına sapmak istemez.

Çözümlü örnek — Gürültülü sinyallerle tek denge

Şimdi her yatırımcının θ'yı tam olarak değil, θ'ya küçük bir gürültü eklenmiş özel bir sinyal olarak gözlediğini varsayalım. İki yatırımcının gürültüleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımdan geliyor. Bir yatırımcı, sinyali x'in bir eşiğin üzerindeyse katılsın.

Sinyali tam eşikte olan bir yatırımcıyı düşünelim. Gürültü küçük olduğu için θ'nın da eşiğe çok yakın olduğunu bilir. Ama öbür yatırımcının sinyalinin kendininkinden yüksek mi düşük mü olduğunu bilemez; simetri gereği her iki olasılık da yarı yarıyadır. Öbürünün sinyali eşiğin üzerindeyse o da katılır, altındaysa katılmaz. Eşikteki yatırımcının katılmasının beklenen getirisi yaklaşık olarak ½ × x + ½ × (x − 1) = x − ½'dir. Kayıtsızlık için bu sıfıra eşit olmalıdır: eşik x* = ½ bulunur.

Bu sonuç, ortak bilgideki 0 ile 1 arasındaki bütün belirsizlik bölgesini ortadan kaldırır. Sinyal ½'nin üzerindeyse katılmak, altındaysa katılmamak tek dengedir. Eşik, iki dengeden riskten baskın olanını seçer: θ ½'den büyükken ikisinin de katılması, ½'den küçükken ikisinin de katılmaması riskten baskındır. Küçük bir özel bilgi gürültüsü, oyunun dengesini belirleyen bir seçim kuralına dönüşür.

Çözümlü örnek — Karma stratejinin özel bilgiyle açıklanması

İki firma küçük bir kasabaya şube açmayı düşünüyor. Yalnızca biri açarsa 1 kazanır; ikisi de açarsa her biri 1 kaybeder; açmayan 0 alır. Tam bilgide bu oyunun simetrik dengesi karmadır: her firma ½ olasılıkla açar. Karma strateji, firmaların zar attığı izlenimini verir.

Şimdi her firmanın açılış getirisine yalnızca kendisinin bildiği küçük bir ek ε eklendiğini varsayalım: ε, −a ile a arasında düzgün dağılmıştır. Öbür firmanın açma olasılığı q ise, bir firmanın açmasının getirisi (1 − q) × 1 + q × (−1) + ε = 1 − 2q + ε'dur. Firma, ε > 2q − 1 ise açar. Simetrik bir dengede her firmanın açma olasılığı q, ε'un 2q − 1'i aşma olasılığına eşit olmalıdır: q = (a − 2q + 1) ÷ 2a. Buradan 2aq + 2q = a + 1 ve q = ½ bulunur.

Her firma artık zar atmıyor: kendi ε değerine göre kesin bir karar veriyor. Ama dışarıdan bakan biri, rakibinin ε'unu bilmediği için, her firmanın ½ olasılıkla açtığını görür. Karma strateji, özel bilgili bir oyunda saf eşik stratejilerinin dışarıdan görünüşüdür.

Çözümlü örnek — Spekülatörlerin saldırı eşiği

Çok sayıda küçük spekülatör, sabit bir kura saldırıp saldırmamaya karar veriyor. Merkez bankasının savunma gücü 0 ile 1 arasında bir θ ile ölçülüyor: saldıranların payı θ'yı aşarsa kur düşer. Saldıran bir spekülatör, kur düşerse 1 kazanır; her durumda c kadar işlem maliyeti öder. Saldırmayan 0 alır. Her spekülatör θ'yı küçük bir gürültüyle gözler.

Sinyali tam eşikte olan bir spekülatör, Laplace inancıyla, öbür spekülatörlerin saldıranlarının payını 0 ile 1 arasında düzgün dağılmış görür. Savunma gücü de eşiğe çok yakın olduğundan, kurun düşme olasılığı, saldıranların payının θ'ı aşma olasılığıdır: 1 − θ. Kayıtsızlık koşulu (1 − θ) × 1 − c = 0'dır; buradan θ = 1 − c bulunur. İşlem maliyeti 0,3 ise spekülatörler, savunma gücünün 0,7'nin altında olduğunu gösteren sinyallerde saldırır.

İşlem maliyeti 0,5'e çıkarılırsa eşik 0,5'e iner: kur artık yalnızca daha zayıf savunma güçlerinde saldırıya uğrar. Tersine, maliyet 0,1'e düşerse eşik 0,9'a çıkar ve neredeyse her kur saldırıya açık hâle gelir. Ortak bilgi altında aynı oyunda 0 ile 1 arasındaki her savunma gücünde hem saldırı hem sükûnet dengesi bulunurdu; özel sinyaller, bu geniş belirsizlik bandını maliyete bağlı tek bir çizgiye çevirir. Spekülatörlerin kendi sinyallerine ne kadar güvendiği, sinyaller yeterince kesin olduğu sürece eşiği değiştirmez; yalnızca eşiğin çevresinde kararların ne kadar keskin değiştiğini belirler. Bu, maliyeti artıran bir vergi ya da düzenlemenin saldırı bölgesini doğrudan daralttığını gösterir.

Çözümlü örnek — Sıcak paranın etkisi

Şimdi spekülatörlerin borç alarak pozisyonlarını büyütebildiğini varsayalım: her spekülatörün saldırısı, m kat büyüklükte bir baskı yaratıyor. Kur, saldıranların payının m katı θ'yı aştığında, yani pay θ ÷ m'yi aştığında düşer. Eşikteki spekülatör için kurun düşme olasılığı 1 − θ ÷ m olur ve kayıtsızlık koşulundan θ = m × (1 − c) bulunur.

m = 1,2 ve c = 0,3 için eşik 0,84'e çıkar: spekülatörler, savunma gücü 0,7 ile 0,84 arasında olan ve sıcak para olmadan saldırıya uğramayacak kurlara da saldırır. Temeller değişmediği hâlde krize açık bölge genişler. Morris ve Shin'in vurguladığı nokta budur: tek denge yalnızca temellere değil, dolaşımdaki sıcak para miktarına ve işlem maliyetlerine de bağlıdır; bu değişkenler politikayla etkilenebilir.

Modelin sınırları

Bayesyen Nash dengesi, her oyuncunun öbürlerinin bütün türlerinin ne yapacağını doğru öngördüğünü ve ortak önselin gerçekten paylaşıldığını varsayar. Küresel oyun sonucu ise gürültünün yapısına duyarlıdır: kamuya açık bilgi özel bilgiye göre çok kesin hâle geldiğinde ortak bilgi geri döner ve birden çok denge yeniden ortaya çıkabilir. Heinemann, Nagel ve Ockenfels'in bulgusu da kuramın en keskin öngörüsünün, yani ortak bilgi ile özel bilgi arasındaki farkın, laboratuvarda zayıf kaldığını gösteriyor. Model, eşiğin yönünü ve karşılaştırmalı değişimini iyi tahmin eder; eşiğin tam yerini ise insanların ödeme bakımından baskın dengeye eğilimi kaydırabilir.

Teknik

Tanım

Sonlu bir Bayesyen oyunu şu bileşenlerle yazalım: oyuncular N = {1, …, n}; her k oyuncusu için eylemler C_k ve türler T_k; tür profilleri üzerinde ortak bir önsel p; ve getiriler w_k(c, t), burada c = (c_1, …, c_n) eylem profili, t = (t_1, …, t_n) tür profilidir. Bir saf strateji, her türe bir eylem atayan σ_k: T_k → C_k fonksiyonudur.

Strateji profili σ = (σ_1, …, σ_n), her k oyuncusu ve pozitif önsel olasılıklı her t_k türü için şu koşulu sağlıyorsa Bayesyen Nash dengesi adını alır: σ_k(t_k), Σ_t−k p(t_−k | t_k) × w_k(c_k, σ_−k(t_−k), t) ifadesini c_k üzerinden en yükseğe çıkarır. Burada σ_−k(t_−k), öbür oyuncuların kendi türlerine göre seçtiği eylemlerdir. Kısacası hiçbir tür, kendi bildikleriyle, kuralın ona yazdığı eylemden ayrılarak kazanç sağlayamaz.

Önceden ve ara aşamada en iyi tepki

Eşdeğer bir tanım, stratejiyi oyunun başında, tür öğrenilmeden önce değerlendirir: σ_k, öbürlerinin stratejileri verilmişken, k'nin bütün türleri üzerinden alınan önceden beklenen getiriyi, yani Σ_t p(t) × w_k(σ_k(t_k), σ_−k(t_−k), t) ifadesini en yükseğe çıkarır. Her tür pozitif olasılıklıysa, iki tanım aynı dengeleri verir: önceden beklenen getiri, türlerin ara aşama getirilerinin olasılık ağırlıklı toplamıdır ve bu toplam, ancak her terim kendi başına en yüksekse en yükseğe çıkar. Sıfır olasılıklı türler için önceden tanım bir şey söylemez; ara aşama tanımı ise bu türlerin de en iyi tepki vermesini istediğinde daha güçlü olur. Sürekli tür uzaylarında bu ayrım, sıfır ölçülü kümelerde sapmalara izin verilip verilmediğine dönüşür.

Sürekli türler ve doğrusal denge

Tür uzayı sürekli olduğunda denge, bir sayı listesi yerine bir fonksiyondur. Simetrik bir örnek düşünelim: iki firma P = a − Q fiyatlı bir pazarda üretiyor ve her firmanın birim maliyeti, ortalaması μ olan bir dağılımdan bağımsız olarak çekiliyor; her firma yalnız kendi maliyetini biliyor. Simetrik bir denge q(·) fonksiyonu arayalım. Maliyeti c olan firma, rakibinin beklenen üretimi E[q] verilmişken (a − c − E[q]) ÷ 2 üretir. Rakibin beklenen üretimi de aynı fonksiyonun ortalamasıdır: E[q] = (a − μ − E[q]) ÷ 2, yani E[q] = (a − μ) ÷ 3.

Buradan denge fonksiyonu q(c) = (a − c) ÷ 2 − (a − μ) ÷ 6 olarak bulunur: maliyette doğrusaldır ve eğimi −½'dir. a = 100 ve μ = 20 için ortalama maliyetli bir firma 40 − 13,3 ≈ 26,7 üretir; bu, iki firmanın da maliyetinin 20 olduğu bilinen tam bilgi durumundaki miktarla aynıdır. Ortalamadan uzaklaşan türler ise tam bilgide üretecekleri miktara göre daha az tepki verir: rakibin maliyeti bilinmediği için, firmanın kendi maliyetine verdiği tepki rakibin karşı tepkisiyle desteklenmez. Tam bilgide maliyet farkına verilen tepki, rakibin uyumunu da içerdiği için daha büyüktür.

Harsanyi dönüşümüyle bağlantı

Harsanyi dönüşümü, Bayesyen oyunu, doğanın p'den bir t çektiği, k oyuncusuna ise yalnız t_k'nin gösterildiği genişletilmiş bir oyuna çevirir. Bu oyunun stratejik biçimindeki bir saf strateji, tam olarak T_k'den C_k'ye bir fonksiyondur. Bu yüzden Bayesyen Nash dengeleri, dönüştürülmüş oyunun Nash dengeleriyle aynıdır. Bir başka bakış, her türü ayrı bir «oyuncu» saymaktır: k oyuncusunun her t_k türü, kendi koşullu inancına göre getirisini en yükseğe çıkaran ayrı bir karar verici olarak ele alınır. Bu bakışla, sonlu eylem ve tür kümeli her Bayesyen oyunun, Nash'in varlık teoreminden, en az bir karma Bayesyen Nash dengesi bulunduğu sonucu çıkar.

Saflaştırma

Harsanyi, 1973'te International Journal of Game Theory'de yayımlanan makalesinde, getirileri rastgele bozulmuş oyunlar için bu yorumu kurdu. Model bölümündeki şube örneği, bozulmanın büyüklüğünden bağımsız olarak ½ olasılığını verdiği için özel bir durumdur; genel olarak bozulmuş oyunun denge olasılıkları, bozulma küçüldükçe karma dengenin olasılıklarına yaklaşır. Bu yorum, karma stratejiye yöneltilen eski bir itiraza cevap verir: bir oyuncu, iki eylem arasında kayıtsızsa, neden tam olarak dengenin gerektirdiği olasılıklarla seçim yapsın? Saflaştırmaya göre oyuncu kayıtsız değildir; özel bilgisine göre kesin bir eylem seçer ve kayıtsızlık yalnızca dışarıdan bakanın gözündedir.

Küresel oyunlarda tekliğin mantığı

Model bölümündeki ortak proje örneğinde tekliğin dayanağı yinelemeli baskınlıktır. Sinyali 1'in çok üzerinde olan bir yatırımcı için katılmak kesin baskındır; 0'ın çok altında olan için katılmamak. Bu iki uç bölgeden başlayarak, «sinyali şu düzeyin üzerinde olan herkes katılacaksa, biraz daha düşük sinyalli biri de katılmalıdır» akıl yürütmesi tekrarlanır. Aynı akıl yürütme aşağıdan da yapılır. Gürültü küçük olduğunda iki yönden ilerleyen bu süreç, aynı eşikte buluşur ve yinelemeli baskınlıkla elenmeyen tek strateji, eşik stratejisidir.

Eşikteki oyuncunun öbür oyuncuların davranışına dair inancı belirleyici bir rol oynar. Gürültü küçüldükçe eşikteki oyuncunun inancı belirli bir biçim alır.

Hans Carlsson ve Eric van Damme, 1993'te Econometrica'da, iki oyunculu iki eylemli koordinasyon oyunlarında, gürültü sıfıra giderken bu sürecin riskten baskın dengeyi seçtiğini gösterdi. Morris ve Shin bu sonucu çok oyunculu döviz saldırılarına taşıdı ve eşiğin sıcak para miktarı ile işlem maliyetlerine bağlı olduğunu gösterdi.

Kamuya açık bilginin rolü

Teklik, özel bilginin kamuya açık bilgiye göre yeterince kesin olmasına bağlıdır. Oyuncuların hem ortak bir kamu sinyali hem de ayrı özel sinyalleri varsa, kamu sinyali ortak bilgi gibi davranır: herkes onu bilir ve herkesin bildiğini bilir. Kamu sinyalinin kesinliği özel sinyallerinkine göre yeterince büyükse, birden çok denge geri döner. Bu, politika için ince bir sonuç doğurur: merkez bankasının ya da bir düzenleyicinin kamuya yaptığı açıklamalar, temeller hakkında bilgi vermenin yanında, oyuncuların davranışlarını eşgüdümlemek için bir odak işlevi de görür ve bu işlev ters de çalışabilir.

Varlık, teklik ve çoklu denge

Sonlu oyunlarda karma bir Bayesyen Nash dengesinin varlığı güvencededir; ama teklik genellikle yoktur. Tam bilgili bir oyunun birden çok Nash dengesi varsa, türlerin hepsinin aynı davrandığı bir Bayesyen oyun da bu dengeleri miras alır. Küresel oyunlardaki teklik, özel bir yapıya dayanır: eylemlerin birbirini tamamlaması, yani öbürleri saldırdıkça saldırmanın daha çekici hâle gelmesi, ve temellerin uç değerlerinde bir eylemin kesin baskın olması. Bu iki koşul olmadan gürültü eklemek tekliği güvenceye almaz. Uygulamada bu yüzden bir modelin teklik iddiası, bu varsayımların o uygulamada makul olup olmadığına bakılarak değerlendirilmelidir.

Bayesyen Nash dengesinin sınırı

Bayesyen Nash dengesi, eşzamanlı hamleli oyunlar için uygun bir kavramdır. Hamlelerin sırayla yapıldığı oyunlarda, örneğin bilgili oyuncunun önce hareket ettiği ve bilgisiz oyuncunun onun hamlesini gördüğü oyunlarda, Bayesyen Nash dengesi yetersiz kalır: dengede ulaşılmayan bilgi kümelerinde inançlara hiçbir kısıt koymaz ve bu yüzden inandırıcı olmayan tehditlere dayanan dengeleri eleyemez. Bu sorun, tam bilgili oyunlarda Nash dengesinin alt oyun yetkinlikle güçlendirilmesine benzer biçimde, inançların ve stratejilerin her bilgi kümesinde tutarlı olmasını isteyen bir iyileştirmeyle çözülür.

Uygulama

Özet kartı

1. Bayesyen Nash dengesinde her oyuncunun her türü, öbürlerinin stratejilerine ve kendi koşullu inancına göre beklenen getirisini en yükseğe çıkarır; bu, Harsanyi dönüşümüyle elde edilen oyunun Nash dengesidir.
2. Maliyeti bilinmeyen bir rakiple miktar rekabetinde, bilgisiz firma her durumda aynı miktarı üretir ve bilgili firmanın türleri bu miktara uyum sağlar; tepkiler tam bilgidekilere göre ortalamaya doğru çekilir.
3. Morris ve Shin'e göre temeller ortak bilgiyken birden çok dengesi olan döviz saldırısı oyunu, sinyallerde küçük bir gürültü olduğunda tek dengeye iner; bu denge sıcak para ve işlem maliyetlerine de bağlıdır.
4. Heinemann, Nagel ve Ockenfels'in deneyinde ortak ve özel bilgi arasında yalnızca küçük davranış farkları görüldü; karşılaştırmalı öngörüler tuttu, ortak bilgi altındaki eşikler ödeme bakımından baskın dengeye doğru saptı.
5. Saflaştırma, karma stratejileri özel bilgili oyunlardaki saf eşik stratejilerinin dışarıdan görünüşü olarak yorumlar.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bayesyen Nash dengesinin tanımında neden yalnızca oyuncuların değil, oyuncuların her türünün en iyi tepki vermesi istenir? Ara aşama beklenen getiri bu tanımda nasıl kullanılır?
2. (Çıktı 2) Bu dersteki miktar rekabeti örneğinde ikinci firmanın maliyeti 0,5 yerine 0,25 olasılıkla 10, 0,75 olasılıkla 30 olsaydı, birinci firmanın denge üretimi ne olurdu? İkinci firmanın türleri ne üretirdi?
3. (Çıktı 2) Kar küreme örneğinde sokağın açılmasının herkese faydası 10 yerine 12 olsaydı, eşik maliyet ne olurdu? Sokağın hiç açılmama olasılığı nasıl değişirdi?
4. (Çıktı 3) Ortak proje örneğinde, katılan bir yatırımcı öbürü katılmadığında θ − 1 yerine θ − 2 alsaydı, küresel oyun eşiği nerede olurdu? Ortak bilgi altında birden çok dengenin bulunduğu bölge nasıl değişir?
5. (Çıktı 3) Küresel oyunlarda kamuya açık ve çok kesin bir sinyal, tek denge sonucunu neden bozabilir? Bunun bir merkez bankasının açıklamaları için anlamı nedir?
6. (Çıktı 4) Bir politika uzmanı, «Döviz krizleri kendini gerçekleştiren panikler olduğu için hiçbir politika onları önleyemez» diyor. Bu görüşü Morris ve Shin'in modeli ve Heinemann, Nagel ve Ockenfels'in deney bulgularıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Eksik bilgili bir oyunda öbür oyuncular, bir oyuncunun gerçek türünü bilmez ve onun olabileceği her türün ne yapacağını hesaba katar. Bu yüzden denge, oyuncunun gerçek türünün değil, bütün türlerinin davranışına dayanır; her türün kendi bilgisiyle en iyi tepkiyi vermesi gerekir. Ara aşama beklenen getiri, bir türün kendi türünü bildiği ama öbürlerinin türlerini bilmediği anda, öbürlerinin türleri üzerindeki koşullu inancına göre hesapladığı getiridir; dengede her tür bu getiriyi en büyük kılan eyleme yönelir.
2. İkinci firmanın beklenen üretimi 0,25 × (90 − y) ÷ 2 + 0,75 × (70 − y) ÷ 2 = (75 − y) ÷ 2 olur. Birinci firma (80 − E[z]) ÷ 2 üretir: y = (80 − (75 − y) ÷ 2) ÷ 2, yani 4y = 160 − 75 + y ve y = 85 ÷ 3 ≈ 28,3. Düşük maliyetli tür (90 − 28,3) ÷ 2 ≈ 30,8, yüksek maliyetli tür (70 − 28,3) ÷ 2 ≈ 20,8 üretir. Rakibin daha büyük olasılıkla yüksek maliyetli olması, birinci firmanın üretimini artırır.
3. Kayıtsızlık koşulu 12 − k = 12 × k ÷ 15 olur; buradan 12 = k × (1 + 0,8) ve k = 12 ÷ 1,8 ≈ 6,67 bulunur. Her komşu 6,67 ÷ 15 ≈ 0,44 olasılıkla kürer; sokağın hiç açılmama olasılığı yaklaşık 0,56 × 0,56 ≈ 0,31'e düşer. Fayda arttıkça her komşu daha yüksek maliyetleri göze alır.
4. Eşikteki yatırımcının beklenen getirisi ½ × x + ½ × (x − 2) = x − 1 olur ve kayıtsızlık için eşik x* = 1 bulunur. Ortak bilgi altında θ 2'den büyükse öbürü katılmasa bile katılmak kârlıdır; birden çok dengenin bulunduğu bölge 0 ile 2 arasına genişler. Yalnız kalmanın bedeli arttıkça, hem belirsizlik bölgesi büyür hem de küresel oyun eşiği yükselir; yatırımcılar katılmak için daha iyi temeller görmek ister.
5. Kamuya açık bir sinyal herkes tarafından gözlenir ve herkesin onu gözlediği bilinir; bu, ortak bilgiye benzer bir durum yaratır. Kamu sinyali özel sinyallere göre çok kesinse, oyuncular davranışlarını öncelikle bu sinyale göre eşgüdümler ve ortak bilgi altındaki gibi birden çok denge yeniden ortaya çıkabilir. Bir merkez bankasının açıklamaları, temeller hakkında bilgi vermenin yanında, piyasa oyuncularının eşgüdüm sağladığı bir odak işlevi görür. Kötü bir açıklama, temeller tek başına haklı çıkarmasa bile, herkesin aynı anda saldırıya geçmesine yol açabilir; bu yüzden açıklamaların içeriği kadar kesinliği ve zamanlaması da önemlidir.
6. Uzmanın görüşü, birden çok dengeli modellerin bir sonucuna dayanır: aynı temeller altında hem kriz hem sükûnet mümkünse, hangi dengenin gerçekleşeceğini politikanın belirlemesi zordur. Ama Morris ve Shin'in modelinde, spekülatörlerin sinyallerinde küçük bir gürültü olduğunda tek bir denge vardır ve bu denge temellere, sıcak para miktarına ve spekülatif işlemlerin maliyetine bağlıdır; bu, rezervleri artırmak ya da işlem maliyetlerini değiştirmek gibi politikaların saldırı eşiğini kaydırabileceği anlamına gelir. Heinemann, Nagel ve Ockenfels'in deneyinde getiri fonksiyonundaki değişiklikler davranışı kuramın öngördüğü yönde etkiledi; ortak bilgi altında bile katılımcılar öngörülebilir eşiklerde eşgüdüm sağladı. Bu bulgular, kendini gerçekleştiren krizlerin bile temellere ve politikaya duyarlı olduğunu gösteriyor; ancak deneydeki eşiklerin kuramın tam değerinden sapması, politikanın etkisinin büyüklüğünü kesin hesaplamanın zor olduğunu da hatırlatıyor.

İleri okuma

• Stephen Morris, Hyun Song Shin (1998). «Unique Equilibrium in a Model of Self-Fulfilling Currency Attacks». American Economic Review 88(3). Küresel oyunların döviz krizlerine uygulanması.
• Frank Heinemann, Rosemarie Nagel, Peter Ockenfels (2004). «The Theory of Global Games on Test». Econometrica 72(5). Kuramın ortak ve özel bilgi altında laboratuvar sınaması.
• Itay Goldstein, Ady Pauzner (2005). «Demand–Deposit Contracts and the Probability of Bank Runs». Journal of Finance 60(3). Banka hücumu olasılığının mevduat sözleşmesine bağlanması.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki oyuncular hamlelerini aynı anda yapıyordu; hiçbiri rakibinin seçimini görmeden karar veriyordu. Ama birçok durumda bilgili taraf önce hareket eder: bir iş başvurusu yapan kişi eğitim düzeyini seçer, bir firma garanti süresini belirler, ve bilgisiz taraf bu seçimi görerek karşı tarafın türünü tahmin eder. Böyle oyunlarda bilgili oyuncunun eylemi bir mesaj taşır ve Bayesyen Nash dengesi, dengede görülmeyen mesajlara verilecek tepkiler hakkında bir şey söylemez. Sıradaki ders, sinyal oyunlarını ve bu boşluğu dolduran denge kavramını ele alıyor.