Eksik bilgili oyunlar

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Türü, doğanın hamlesini, Harsanyi dönüşümünü, ortak önseli, sonsal inancı ve itibar etkisini tanımlar.
• Uygulama — Eksik bilgili bir durumu doğanın hamlesiyle başlayan bir oyun ağacına dönüştürür ve bir oyuncunun gözlemlerinden sonra rakibinin türüne dair inancını Bayes kuralıyla günceller.
• Analiz — Sonlu tekrarlanan bir mahkûmlar ikileminde, rakibin işbirlikçi bir tür olabileceğine dair küçük bir olasılığın rasyonel oyuncuları neden işbirliğine yöneltebildiğini çözümler.
• Değerlendirme — Laboratuvar deneylerinde gözlenen «kendiliğinden önsel» bulgusunu, itibar modellerinin gerçek davranışı açıklama gücü bakımından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir şehre yeni bir kafe açılmak üzere. Mahalledeki yerleşik kafe zincirinin sahibi, rakiplerle fiyat savaşına girmekten hoşlanmayan, uzlaşmacı biri mi, yoksa her rakibe karşı zarar pahasına savaşan inatçı biri mi? Yeni girişimci bunu bilmiyor. Yerleşik zincir ise bilinmediğini biliyor ve bu bilinmezliği kullanabileceğinin farkında.

Şimdiye kadar incelediğimiz oyunlarda her oyuncu, öbürlerinin getirilerini biliyordu. Bilinmeyen tek şey, rakibin hangi stratejiyi seçeceğiydi. Ama gerçek stratejik durumların çoğunda oyuncular birbirleri hakkında daha temel bir bilgiden yoksundur: rakibin maliyetini, sabrını, niyetini, ne kadar riske girmeye hazır olduğunu bilmezler. Bu ders, bu tür bilinmezliklerin nasıl modelleneceğini ve en ilginç sonuçlarından birini, itibarın nasıl inşa edildiğini ele alıyor.

Hikâye — kendiliğinden gelen bir önsel

Bir önceki dersin önemli bir sonucu şuydu: bir mahkûmlar ikilemi bilinen bir sayıda tekrarlanırsa, son turdan başlayan çözülme bütün turlarda aldatmaya yol açar. Ama laboratuvarlarda insanlar sonlu tekrarlanan ikilemlerde sık sık işbirliği yapar, özellikle oyunun başında. Bu, rasyonellikten bir sapma mıdır?

David Kreps, Paul Milgrom, John Roberts ve Robert Wilson, 1982'de başka bir açıklama önerdi. Oyuncular, rakiplerinin küçük bir olasılıkla her zaman işbirliğine karşılık veren bir tür olabileceğine inanıyorsa, rasyonel oyuncular bile oyunun başında işbirliği yaparak bu türü taklit etmek isteyebilir. İşbirlikçi görünmek, bir itibar inşa etmektir.

Colin Camerer ve Keith Weigelt, bu fikri bir laboratuvar deneyiyle sınadı. Deneyde katılımcıların bir kısmının belirli bir türde olduğu biliniyordu ve öbür oyuncular bu türün olasılığını biliyordu.

James Andreoni ve John Miller ise aynı soruyu doğrudan sonlu tekrarlanan bir mahkûmlar ikileminde sordu.

Kavram — bilinmeyeni doğaya bırakmak

Eksik bilgili bir oyunu modellemenin zorluğu şudur: bir oyuncu rakibinin getirilerini bilmiyorsa, rakibinin ne yapacağını nasıl tahmin edecek? Ve rakip, birinci oyuncunun bu bilinmezliği nasıl gördüğünü nasıl tahmin edecek? Bu düşünce zinciri sonsuza uzanabilir. John Harsanyi, 1967–1968'de yayımlanan üç bölümlük makalesinde, bu zinciri tek bir adımla basitleştiren bir yöntem önerdi.

Bu dönüşümün işlemesi için, türlerin olasılıkları hakkında bir varsayım gerekir.

Oyun ilerledikçe oyuncular birbirlerinin eylemlerini gözlemler ve bu gözlemlerden rakiplerinin türüne dair bilgi çıkarır.

Veri ve kanıt — itibar neden işe yarar?

Kreps ve arkadaşlarının açıklamasının merkezinde bir mekanizma vardır.

Camerer ve Weigelt'in yüzde 17'lik kendiliğinden önsel bulgusu, bu mekanizmanın ilginç bir yanını gösteriyor. Deneyi tasarlayanlar, katılımcılara belirli bir tür olasılığı söylemişti. Ama katılımcılar, rakiplerinin bu olasılığın ötesinde, kendiliğinden işbirliğine yatkın olabileceğine de inanıyor gibi davrandı. Andreoni ve Miller'ın «kendiliğinden diğerkâmlık» bulgusu da aynı yöndeydi: insanlar deneye bir işbirliği eğilimi getiriyordu ve öbürleri bunun farkındaydı.

Bu bulgular, sonlu tekrarlanan ikilemlerdeki işbirliğini rasyonellikten bir sapma olarak değil, eksik bilgi altında rasyonel bir davranış olarak yorumlamanın bir yolunu sunar. Rakibin işbirlikçi olabileceğine dair küçük bir olasılık bile, rasyonel bir oyuncunun oyunun başında işbirliği yapmasını akıllıca kılabilir.

Neden önemli? — tanınmayan rakiplerle oynamak

Eksik bilgi, piyasaların olağan hâlidir. Bir firma rakibinin maliyetini, bir banka borçlusunun ödeme niyetini, bir işveren başvuranın verimliliğini, bir hükümet bir başka ülkenin kararlılığını bilmez. Harsanyi'nin yöntemi, bu belirsizliklerin hepsini aynı çerçevede modellemeyi mümkün kıldı; 1994'te Nobel ödülünü Nash ve Selten'le paylaşmasının nedenlerinden biri de buydu.

İtibar etkisi ise günlük ekonomik ilişkilerde sık görülen bir davranışı açıklar. Yeni açılan bir dükkân, ilk müşterilerine cömert davranarak güvenilir bir esnaf olduğunu gösterir; bir merkez bankası, bir enflasyon şokuna sert tepki vererek kararlı olduğu itibarını kazanır; bir firma, ilk rakibine karşı sert davranarak sonrakileri caydırır. Bu davranışların hepsi, karşı tarafın inançlarını etkilemeye yönelik yatırımlardır ve değerleri, karşı tarafın ne kadar emin olmadığına bağlıdır.

Model

Bu bölümde eksik bilgili durumları doğanın hamlesiyle kuruyor, inançları Bayes kuralıyla güncelliyor ve itibarın değerini hesaplıyoruz. Deney sonuçları dışındaki sayılar kurgusaldır.

Çözümlü örnek — Harsanyi ağacı

Bir rakip firma, yerleşik bir firmanın maliyetini bilmiyor. Yerleşik firma 0,3 olasılıkla düşük maliyetli, 0,7 olasılıkla yüksek maliyetlidir ve bu olasılıklar herkes tarafından bilinir. Rakip piyasaya girip girmemeye karar verecek; yerleşik firma da kendi maliyetini bildiği için girişe nasıl tepki vereceğini maliyetine göre seçecek.

Harsanyi dönüşümüyle oyun şöyle kurulur. Ağacın kökünde doğa hareket eder ve yerleşik firmanın türünü 0,3 olasılıkla düşük, 0,7 olasılıkla yüksek maliyetli olarak seçer. Yerleşik firma doğanın seçimini görür; rakip görmez. Rakibin karar düğümleri, doğanın iki seçiminden sonra gelen iki düğümdür ve bunlar tek bir bilgi kümesinde birleşir. Yerleşik firmanın ise her tür için ayrı bir karar düğümü vardır. Böylece eksik bilgili bir oyun, eksik gözlemli ama getirileri herkesçe bilinen bir oyuna dönüşür.

Çözümlü örnek — Gözlemden çıkarım

Bir ilçede bir yerleşik zincir iki ayrı mahallede sırayla rakiplerle karşılaşıyor. Zincirin «inatçı» türden olma olasılığı başlangıçta 0,3'tür; inatçı tür her rakibe karşı fiyat savaşı açar. «Uzlaşmacı» tür ise savaşmayı sevmez, ama itibarını korumak için bazen savaşabilir; birinci mahallede r olasılıkla savaştığını varsayalım.

İkinci mahalledeki rakip, birinci mahallede bir fiyat savaşı gözlerse zincirin inatçı olduğuna dair inancını Bayes kuralıyla günceller. Savaş gözlemlenmesinin olasılığı 0,3 × 1 + 0,7 × r'dir. Zincirin inatçı olma olasılığı, savaş gözlemlendikten sonra 0,3 ÷ (0,3 + 0,7r) olur.

Uzlaşmacı tür hiç savaşmazsa, yani r = 0 ise, savaş gözlemi zincirin kesin olarak inatçı olduğunu gösterir: sonsal inanç 1'dir. Uzlaşmacı tür her zaman savaşırsa, yani r = 1 ise, savaş hiçbir bilgi taşımaz ve sonsal inanç 0,3'te kalır. Ara değerlerde savaş, inatçılık olasılığını 0,3'ün üzerine çıkarır ama 1'e ulaştırmaz. Örneğin r = 0,4 için sonsal inanç 0,3 ÷ 0,58 ≈ 0,52'dir.

Çözümlü örnek — Ne kadar sık savaşmalı?

İkinci mahalledeki rakibin, zincirin inatçı olma olasılığı en az 0,5 ise girmediğini, daha azsa girdiğini varsayalım. Uzlaşmacı zincir, birinci mahallede savaşarak ikinci mahalledeki rakibi caydırmak istiyor; ama her savaş ona pahalıya mal oluyor.

Uzlaşmacı tür her zaman savaşsaydı, sonsal inanç 0,3'te kalır ve ikinci rakip girerdi; savaş boşa giderdi. Hiç savaşmasaydı, savaşmamak zincirin uzlaşmacı olduğunu ele verir ve ikinci rakip yine girerdi. Uzlaşmacı türün yapabileceği en iyi şey, savaşı, sonsal inancı tam 0,5'e çıkaracak sıklıkta yapmaktır: 0,3 ÷ (0,3 + 0,7r) = 0,5 koşulundan 0,3 = 0,15 + 0,35r ve r = 3/7 ≈ 0,43 bulunur.

Bu hesap, itibarın kurgusal bir şey olmadığını, karşı tarafın inançlarını ölçülü biçimde etkileyen bir yatırım olduğunu gösteriyor. Zincir, inatçı türün davranışını belirli bir sıklıkla taklit eder; daha sık taklit ederse taklit değerini yitirir, daha az ederse caydırıcılık oluşmaz.

Çözümlü örnek — İki turlu ikilemde işbirliği

Getirileri tanıdık bir tablodan alalım: iki oyuncu da işbirliği seçerse kişi başı 40, ikisi de aldatırsa 25 düşer; tek başına aldatan 50 toplarken ona güvenen taraf 12'de kalır. Oyun tam iki tur oynanıyor. Rakip p olasılıkla kısasa kısas oynayan bir türdür; 1 − p olasılıkla rasyoneldir ve her iki turda da aldatır.

Rasyonel bir oyuncu ikinci turda her zaman aldatır, çünkü o turdan sonra gelecek yoktur. Birinci turdaki seçimi karşılaştıralım. Birinci turda işbirliği yaparsa: rakip kısasa kısassa birinci turda 40, ikinci turda rakip işbirliği yaparken kendisi aldattığı için 50 alır, toplam 90; rakip rasyonelse birinci turda 12, ikinci turda 25 alır, toplam 37. Birinci turda aldatırsa: rakip kısasa kısassa 50 ve 25, toplam 75; rakip rasyonelse 25 ve 25, toplam 50.

Birinci turda işbirliğinin beklenen getirisi 90p + 37(1 − p), aldatmanınki 75p + 50(1 − p)'dir. İşbirliği, 15p ≥ 13(1 − p), yani p ≥ 13 ÷ 28 ≈ 0,46 olduğunda daha iyidir. Yalnızca iki turlu bir oyunda bile, rakibin yarıya yakın bir olasılıkla işbirlikçi bir tür olması, rasyonel oyuncuyu birinci turda işbirliğine yöneltir. Tur sayısı arttıkça gereken olasılık hızla düşer; Kreps ve arkadaşlarının modeli, uzun oyunlarda çok küçük bir olasılığın bile yeterli olduğunu gösterir. Camerer ve Weigelt'in yüzde 17'lik kendiliğinden önseli bu açıdan önemlidir.

Çözümlü örnek — Ortak önsel olmadan bahis

İki yatırımcı, bir şirketin önümüzdeki çeyrekte kâr açıklayıp açıklamayacağı üzerine bahse giriyor. Birinci yatırımcı kâr olasılığını 0,6, ikincisi 0,4 olarak görüyor ve ikisi de aynı kamuya açık bilgilere sahip. 100 liralık eşit bahiste birinci yatırımcı kâr olursa kazanır. Her ikisi de bahsin beklenen getirisini pozitif görür: birinci için 0,6 × 100 − 0,4 × 100 = 20, ikinci için 0,6 × 100 − 0,4 × 100 = 20.

Ortak önsel varsayımı altında böyle bir durum ortaya çıkamaz. Yatırımcılar aynı önseli paylaşıyor ve aynı bilgiye sahipse, aynı olasılık değerlendirmesine ulaşmaları gerekir. Farklı özel bilgilere sahip olsalar bile, karşı tarafın bahse girmeye istekli olması kendi başına bir bilgidir: karşı taraf bahse giriyorsa, bildiği bir şey vardır. Bu düşünce, aynı önseli paylaşan rasyonel yatırımcıların yalnızca bilgi farkından kaynaklanan bir işlemi gerçekleştirmeyeceğini söyleyen sonuçların temelidir. Gerçek piyasalardaki yoğun işlem hacmi, ortak önsel varsayımının ve rasyonellik varsayımlarının sınırlarını tartışmaya açar.

Çözümlü örnek — Eksik bilgi ile eksik gözlemin farkı

İki farklı durumu karşılaştıralım. Birinci durumda iki firma aynı anda fiyat seçiyor; her biri öbürünün maliyetini biliyor, ama öbürünün hangi fiyatı seçtiğini görmeden karar veriyor. Bu, eksik gözlemli ama tam bilgili bir oyundur: getiriler bilinir, yalnızca eylemler aynı anda seçilir. İkinci durumda firmalar sırayla fiyat seçiyor ve ikinci firma birincinin fiyatını görüyor; ama birinci firmanın maliyetini bilmiyor. Bu, eksik bilgili bir oyundur: eylemler gözlenir, ama getirileri belirleyen bir özellik bilinmez.

Harsanyi dönüşümü ikinci durumu birinci duruma benzer bir yapıya çevirir: doğa birinci firmanın maliyetini seçer ve ikinci firma bu seçimi göremediği için onun düğümleri bir bilgi kümesinde birleşir. Dönüşümden sonra eksik bilgi, doğanın hamlesine dair eksik gözleme dönüşmüş olur. Bu, eksik bilgili oyunları önceki derslerde geliştirdiğimiz araçlarla çözmeyi mümkün kılar.

Çözümlü örnek — Türe göre strateji

Bir ithalatçı, bir tedarikçiyle tek seferlik bir sözleşme imzalayacak. Tedarikçi 0,6 olasılıkla «özenli», 0,4 olasılıkla «özensiz» türdendir. İthalatçı yüksek ya da düşük bir ön ödeme teklif edebilir; tedarikçi ise malı zamanında ya da gecikmeli teslim eder. Özenli tedarikçi için zamanında teslimin maliyeti 10, özensiz tedarikçi için 30'dur; gecikmenin cezası her iki tür için 20'dir.

Tedarikçinin stratejisi tek bir eylem değil, bir kuraldır: «özenliysem zamanında, özensizsem gecikmeli teslim ederim» gibi. Bu kuralda özenli tür 10'luk maliyeti 20'lik cezaya tercih eder; özensiz tür ise 30'luk maliyet yerine 20'lik cezayı seçer. İthalatçı, tedarikçinin gerçek türünü bilmediği için bu kuralın tamamını hesaba katar: zamanında teslim olasılığı 0,6, gecikme olasılığı 0,4'tür. İthalatçının ön ödeme kararı bu iki olasılığa dayanır; tedarikçi gerçekte özenli olsa bile, ithalatçı onun özensiz türünün ne yapacağını da hesaba katmak zorundadır.

Çözümlü örnek — Birden çok gözlemle güncelleme

Bir alıcı, yeni bir tedarikçiyle her ay sipariş veriyor. Tedarikçinin güvenilir olma önsel olasılığı 0,5'tir. Güvenilir bir tedarikçi her ay 0,9 olasılıkla zamanında teslim eder; güvenilmez olanı 0,5 olasılıkla. İlk ay teslimat zamanında gelirse, güvenilirlik olasılığı 0,5 × 0,9 ÷ (0,5 × 0,9 + 0,5 × 0,5) = 0,45 ÷ 0,70 ≈ 0,64'e çıkar.

İkinci ay da teslimat zamanında gelirse, yeni önsel 0,64 kabul edilir ve güncelleme tekrarlanır: 0,64 × 0,9 ÷ (0,64 × 0,9 + 0,36 × 0,5) ≈ 0,576 ÷ 0,756 ≈ 0,76. Üçüncü ayda bir gecikme yaşanırsa: 0,76 × 0,1 ÷ (0,76 × 0,1 + 0,24 × 0,5) ≈ 0,076 ÷ 0,196 ≈ 0,39. Tek bir gecikme, iki aylık birikimi silmeye yeter; çünkü gecikme, güvenilir bir tedarikçide çok daha nadir görülen bir olaydır. Bir gözlemin inancı ne kadar değiştirdiği, o gözlemin iki türde ne kadar farklı olasılıklarla ortaya çıktığına bağlıdır.

Bu hesap itibarın asimetrisini de gösterir: güven yavaş yavaş birikir ama tek bir olayla hızla kaybedilebilir. Bir tedarikçi için zamanında teslimin değeri, yalnızca o ayın siparişinde değil, alıcının bundan sonraki bütün siparişlerdeki inancında yatar.

Çözümlü örnek — İtibarın değeri ne kadar?

Kafe zincirine dönelim. Uzlaşmacı zincir için birinci mahallede bir fiyat savaşının maliyeti 15, ikinci mahallede rakibin girmemesinin kazancı ise 40 olsun. İkinci rakip yalnızca savaş gözlendiğinde ve sonsal inanç 0,5'e ulaştığında girmemeyi düşünüyor; bu eşikte kayıtsız olduğu için girmeme olasılığını q ile gösterelim. Uzlaşmacı zincirin birinci mahallede savaşla barış arasında kayıtsız kalması için 40q = 15, yani q = 0,375 gerekir.

Bu sonuç, dengenin iki tarafının da karma davranışa dayandığını gösteriyor. Uzlaşmacı zincir yaklaşık 3/7 olasılıkla savaşır ve ikinci rakibi kayıtsız bırakır; ikinci rakip ise savaş gördüğünde 0,375 olasılıkla girmekten vazgeçer ve zinciri kayıtsız bırakır. İtibarın değeri, savaşın maliyeti ile caydırıcılığın beklenen kazancı arasındaki bu dengeyle ölçülür. Mahalle sayısı arttıkça caydırılan rakiplerin toplam değeri büyür ve uzlaşmacı türün ilk mahallelerde savaşma isteği de artar.

Çözümlü örnek — Önsel inanç ne kadar önemli?

Aynı iki turlu ikilemde, işbirliği eşiğini önsel inancın farklı değerleri için karşılaştıralım. Rakibin kısasa kısas oynama olasılığı 0,2 ise işbirliğinin beklenen getirisi 90 × 0,2 + 37 × 0,8 = 47,6; aldatmanınki 75 × 0,2 + 50 × 0,8 = 55'tir. Olasılık 0,6 olursa işbirliği 90 × 0,6 + 37 × 0,4 = 68,8, aldatma 75 × 0,6 + 50 × 0,4 = 65 verir. Eşik yaklaşık 0,46'da olduğu için birinci durumda aldatma, ikinci durumda işbirliği seçilir.

İki tur yerine on tur oynansaydı, işbirliğinin sürdüğü her ek tur, rasyonel oyuncuya 40 ile 25 arasındaki farkı kazandırırdı; gereken eşik bu yüzden çok daha düşük olurdu. Yüzde 17 düzeyindeki bir inanç iki turlu oyunda işbirliğini başlatmaya yetmez, ama uzun bir oyunda yetebilir. Deneylerde oyun uzunluğunun ve başlangıç inancının işbirliğini birlikte belirlemesinin nedeni budur.

Modelin sınırları

Harsanyi dönüşümü, türlerin olasılık dağılımının herkesçe bilindiğini ve paylaşıldığını varsayar. Gerçekte oyuncular farklı deneyimlerden gelir ve farklı önsellere sahip olabilir; Camerer ve Weigelt'in kendiliğinden önsel bulgusu, deneyi tasarlayanların söylediği olasılığın bile oyuncuların gerçek inancını tam olarak yansıtmadığını gösterir. Ayrıca itibar modelleri, oyuncuların uzun zincirler boyunca Bayes kuralını doğru uyguladığını varsayar; insanlar bu güncellemeyi sistematik hatalarla yapabilir. Model, itibarın mantığını açıklar; ama gerçek inançların nasıl oluştuğunu ve ne kadar hızlı değiştiğini deneyler ve gözlemler belirler.

Teknik

Bayesyen oyunun bileşenleri

Harsanyi'nin çerçevesinde eksik bilgili bir oyun şu bileşenlerden oluşur: oyuncular kümesi I; her j oyuncusu için bir eylem kümesi A_j; her j için bir tür kümesi Θ_j; türlerin ortak olasılık dağılımı φ, yani Θ = Θ_1 × … × Θ_n üzerinde bir olasılık ölçüsü; ve her j için getiri fonksiyonu g_j(a, θ), yani eylem profiline ve tür profiline bağlı getiri.

Oyunun işleyişi şöyledir. Doğa, φ dağılımına göre bir θ = (θ_1, …, θ_n) tür profili seçer. Her j oyuncusu yalnızca kendi türü θ_j'yi gözlemler. Oyuncular, kendi türlerine bağlı olarak eylemlerini seçer. Bir j oyuncusunun stratejisi, her olası türüne bir eylem atayan bir s_j: Θ_j → A_j fonksiyonudur. Bu tanım önemlidir: bir oyuncunun stratejisi, oyuncunun gerçekte hangi türde olduğundan bağımsız olarak, olabileceği her tür için ne yapacağını belirtmelidir. Rakipler oyuncunun türünü bilmediği için, onun her türünün ne yapacağını hesaba katmak zorundadır.

Bir j oyuncusu kendi türünü θ_j olarak gözlemlediğinde, öbürlerinin türlerine dair inancı φ'den koşullu olasılıkla elde edilir: φ(θ_−j | θ_j). Türler bağımsızsa bu koşullu dağılım yalnızca öbürlerinin tür dağılımıdır; türler ilişkiliyse, örneğin iki firmanın maliyetleri ortak bir girdi fiyatına bağlıysa, oyuncunun kendi türü öbürlerinin türü hakkında da bilgi taşır.

Ortak önsel ve anlaşmazlık

Ortak önsel varsayımı, Harsanyi doktrini olarak da bilinir: rasyonel oyuncular arasındaki inanç farkları yalnızca farklı bilgilerden kaynaklanmalıdır. Robert Aumann'ın 1976'da gösterdiği sonuca göre, iki kişi aynı önseli paylaşıyor ve bir olayın olasılığına dair sonsal inançları ortak bilgiyse, bu sonsal inançlar eşit olmak zorundadır; başka bir deyişle, aynı önselden başlayan rasyonel kişiler «anlaşmamakta anlaşamaz». Paul Milgrom ve Nancy Stokey'nin 1982'de gösterdiği ilgili sonuç, ortak önseli paylaşan rasyonel tüccarların, başlangıçta etkin olan bir dağılımdan sonra yalnızca özel bilgi farklarına dayanarak işlem yapmayacağını söyler. Bu sonuçlar, gerçek piyasalardaki işlem hacmini açıklamak için ya farklı önsellere, ya rasyonel olmayan işlemcilere, ya da riskten korunma gibi bilgi dışı işlem güdülerine ihtiyaç olduğunu gösterir.

İtibar modelinin yapısı

Kreps, Milgrom, Roberts ve Wilson'ın modelinde, sonlu tekrarlanan bir mahkûmlar ikileminde oyunculardan birinin küçük bir ε olasılıkla kısasa kısas oynayan bir tür olduğu ortak bilgidir. Rasyonel tür, oyunun başında işbirliği yaparak kısasa kısas türünü taklit eder; bu, rakibin işbirliğini sürdürmesini sağlar. Rasyonel tür, oyunun sonuna yaklaşırken, taklidin gelecekteki getirisi azaldığı için aldatmaya başlar. Modelin temel sonucu, tur sayısı ε'ye bağlı bir eşiği aştığında, ardışık dengede aldatmanın yalnızca son birkaç turda gözlenmesidir; bu son tur sayısı, toplam tur sayısından bağımsızdır.

Bu sonuç, Reinhard Selten'in 1978'de ortaya koyduğu zincir mağaza paradoksunu da çözer. Selten'in örneğinde bir zincir, birçok şehirde sırayla rakiplerle karşılaşır; geriye doğru çözüm, zincirin hiçbir zaman fiyat savaşı açmayacağını öngörür, oysa sezgi, zincirin ilk rakiplere sert davranarak sonrakileri caydıracağını söyler. Kreps ve Wilson ile Milgrom ve Roberts'ın aynı dönemde gösterdiği gibi, zincirin inatçı bir tür olabileceğine dair küçük bir olasılık bu sezgiyi bir dengeye dönüştürür.

Bayes kuralının denge dışında kullanımı

Eksik bilgili dinamik oyunlarda inançlar, gözlenen eylemlerden Bayes kuralıyla güncellenir. Ama Bayes kuralı, gözlenme olasılığı sıfır olan eylemler için bir şey söylemez: dengede hiçbir türün seçmediği bir eylem gözlenirse, koşullu olasılık tanımsızdır. Bu tür denge dışı inançların nasıl belirlendiği, dengelerin sayısını ve niteliğini büyük ölçüde etkiler. Ardışık denge kavramı, her bilgi kümesinde bir inanç belirlemeyi, dengede ulaşılan bilgi kümelerinde bu inançların Bayes kuralıyla tutarlı olmasını ve stratejilerin bu inançlara göre ardışık olarak rasyonel olmasını ister. Bu kavramın ayrıntıları ve denge dışı inançlara getirilen ek kısıtlar, sinyal oyunları dersinde ele alınacak.

Ardışık güncellemenin yazımı

Bir oyuncunun rakibin türüne dair inancını, gözlenen eylem dizisine göre μ_t(θ) ile gösterelim; burada t, kaç tur gözlem yapıldığını belirtir. Başlangıç inancı μ_0(θ), ortak önselden gelir. Her turda rakibin y_t eylemi gözlenir ve rakibin θ türünün o eylemi seçme olasılığı σ(y_t | θ) ile gösterilirse, güncelleme şu biçimi alır: μ_(t+1)(θ) = μ_t(θ) · σ(y_t | θ) ÷ Σ_θ' μ_t(θ') · σ(y_t | θ'). Pay, θ türünün gözlenen eylemi seçme olasılığını önceki inançla çarpar; payda, bütün türler üzerinden eylemin toplam gözlenme olasılığıdır.

Bu yazım iki özelliği açıkça gösterir. Birincisi, bir türün hiç seçmediği bir eylem gözlenirse, o türün sonsal olasılığı sıfıra iner ve bir daha yükselemez; inatçı zincirin hiç kaçmadığı bir oyunda tek bir uzlaşma, zincirin inatçı olmadığını kesin olarak ortaya koyar. İkincisi, bütün türlerin aynı olasılıkla seçtiği bir eylem hiçbir bilgi taşımaz; pay ve paydadaki σ terimleri birbirini götürür ve inanç değişmez. Türlerin farklı davrandığı eylemler bilgi taşır; aynı davrandığı eylemler taşımaz.

Gözlemler türden türe bağımsızsa, birçok turdan sonra inanç, önsel inanç ile türlerin gözlem dizisini üretme olasılıklarının oranıyla belirlenir. İki tür arasındaki olasılık oranı, her gözlemle o gözlemin iki türdeki olasılık oranıyla çarpılır. Bu oran logaritmik ölçekte toplamsal olduğu için, uzun gözlem dizilerinde gerçek tür genellikle ortaya çıkar; ama rakip, türünü gizlemek için diğer türün davrandığı gibi davranırsa, gözlemler bilgi taşımaz ve inanç önselde kalabilir. İtibar oyunlarının özü buradadır: zayıf tür, güçlü türün davranışını taklit ettiği sürece gözlemler türleri ayırt edemez.

Türlerin bağımsızlığı ve ilişkili türler

Tür profilinin dağılımı φ, bağımsız bileşenlere ayrılabiliyorsa, yani φ(θ) = φ_1(θ_1) · … · φ_n(θ_n) ise, her oyuncunun öbürlerinin türlerine dair inancı kendi türünden etkilenmez. Bu durumda bütün türleri aynı inançla karar verir ve analiz basitleşir. İlişkili türlerde ise, örneğin iki firmanın maliyetleri ortak bir girdi fiyatından etkilendiğinde, düşük maliyetli bir firma rakibinin de düşük maliyetli olma olasılığını daha yüksek görür. Bu, oyuncunun kendi türünün yalnızca getirisini değil, inancını da belirlediği anlamına gelir. İlişkili türler, açık artırmalarda ortak değer ve kazananın laneti gibi olguların temelindedir; bu konular ilerideki derslerde ele alınacak.

Tutarsız önseller ve öznel inançlar

Harsanyi'nin kendisi de kuramını önsellerin tutarlı olmadığı durumlara genişletmiştir. Tutarsız önsellerde her oyuncunun türleri üzerinde kendi öznel dağılımı vardır ve bu dağılımlar tek bir ortak dağılımdan koşullu olasılıkla türetilemez. Bu durumda oyun, doğanın tek bir çekilişiyle temsil edilemez; her oyuncunun kendi inançları ayrı ayrı belirtilmelidir. Tutarsız önseller, bahis ve spekülatif işlem gibi durumları açıklamak için kullanılır; ama bir bedeli vardır: oyuncuların inançları serbestçe seçilebildiği için model neredeyse her davranışı açıklayabilir ve öngörü gücünü yitirebilir. Uygulamalı çalışmaların çoğu, bu yüzden ortak önsel varsayımını korur ve inanç farklarını bilgi farklarına bağlar.

Tür uzayının seçimi

Bir modelde hangi türlerin yer alacağı, sonuçları belirleyen bir modelleme kararıdır. İtibar modellerinde «inatçı» ya da «kısasa kısas» türleri, rasyonel oyuncunun taklit edebileceği davranışları temsil eder. Kreps ve arkadaşlarının modelinde sonuçlar, hangi türün küçük bir olasılıkla var olduğuna bağlıdır; farklı «çılgın» türler eklendiğinde dengedeki davranış da değişebilir. Bu, itibar modellerinin hem gücü hem zayıflığıdır: küçük bir belirsizliğin büyük sonuçlar doğurabildiğini gösterirler, ama hangi belirsizliğin varsayılacağına dair seçim modelciye kalır. Camerer ile Weigelt'in ve Andreoni ile Miller'ın deneyleri, bu seçimin laboratuvarda sınanmasına yönelik girişimlerdir: kendiliğinden önsel ve kendiliğinden diğerkâmlık bulguları, insanların deneye kendi tür varsayımlarını getirdiğini gösterir.

Uygulama

Özet kartı

1. Harsanyi dönüşümü, eksik bilgili bir oyunu, doğanın oyuncuların türlerini ortak bir önsel dağılıma göre seçtiği ve her oyuncunun yalnızca kendi türünü gözlemlediği bir oyuna çevirir.
2. Bir oyuncunun stratejisi, olabileceği her tür için bir eylem belirtir; rakipler onun her türünün ne yapacağını hesaba katmak zorundadır.
3. Gözlemler sonsal inançları Bayes kuralıyla günceller; bir türü belirli bir sıklıkla taklit etmek, karşı tarafın inancını ölçülü biçimde değiştirerek itibar inşa eder.
4. Camerer ve Weigelt'in deneyinde davranış kabaca ardışık dengeye uydu; sapmalar yaklaşık yüzde 17'lik bir kendiliğinden önselle açıklanabiliyordu.
5. Andreoni ve Miller'ın sonlu tekrarlanan ikilem deneyleri, itibar hipotezini güçlü biçimde destekledi ve kendiliğinden diğerkâmlığın önemli bir rolü olduğunu düşündürdü.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Eksik bilgili bir oyun ile eksik gözlemli bir oyun arasındaki fark nedir? Harsanyi dönüşümü bu iki kavramı nasıl ilişkilendirir?
2. (Çıktı 2) Bir zincirin inatçı olma önsel olasılığı 0,2'dir. Uzlaşmacı tür 0,5 olasılıkla savaşıyorsa, bir savaş gözlendikten sonra zincirin inatçı olma sonsal olasılığı nedir? Savaş gözlenmezse ne olur?
3. (Çıktı 2) Bu dersteki iki turlu ikilemde rakibin kısasa kısas oynama olasılığı p = 0,3 olsaydı, rasyonel oyuncu birinci turda işbirliği yapar mıydı? İşbirliği için gereken en düşük p değerini hatırlayın ve karşılaştırın.
4. (Çıktı 3) Önsel olasılık 0,2 ve ikinci mahalledeki rakip, inatçılık olasılığı en az 0,5 ise girmiyorsa, uzlaşmacı türün sonsal inancı tam 0,5'e çıkarmak için birinci mahallede hangi olasılıkla savaşması gerekir? Bu sonucu önsel olasılık 0,3 iken bulunan değerle karşılaştırın.
5. (Çıktı 3) Kreps ve arkadaşlarının modelinde rakibin işbirlikçi bir tür olma olasılığı çok küçük olsa bile, uzun bir sonlu tekrarlanan ikilemde rasyonel oyuncular neden oyunun başında işbirliği yapar?
6. (Çıktı 4) Bir iktisatçı, «Laboratuvardaki işbirliği, insanların oyun teorisinin varsaydığı kadar rasyonel olmadığını kanıtlar» diyor. Bu görüşü Camerer ile Weigelt'in ve Andreoni ile Miller'ın bulgularıyla tartışın.

Cevaplar

1. Eksik gözlemli bir oyunda oyuncular birbirlerinin getirilerini bilir, ama bazı eylemleri, örneğin aynı anda seçilenleri, görmeden karar verir. Eksik bilgili bir oyunda ise oyuncular getirileri belirleyen bir özelliği, örneğin rakibin maliyetini, bilmez. Harsanyi dönüşümü, bilinmeyen özelliği doğanın oyunun başında yaptığı bir seçime dönüştürür; oyuncular doğanın seçimini göremediği için düğümleri bilgi kümelerinde birleşir. Böylece eksik bilgi, doğanın hamlesine dair eksik gözleme dönüşür ve eksik gözlemli oyunlar için geliştirilen araçlarla çözülebilir.
2. Savaş gözlenme olasılığı 0,2 × 1 + 0,8 × 0,5 = 0,6'dır. Savaştan sonra inatçı olma olasılığı 0,2 ÷ 0,6 ≈ 0,33'tür. Savaş gözlenmezse, inatçı tür her zaman savaştığı için zincirin kesin olarak uzlaşmacı olduğu anlaşılır; sonsal olasılık 0'dır.
3. İşbirliğinin beklenen getirisi 90 × 0,3 + 37 × 0,7 = 27 + 25,9 = 52,9; aldatmanınki 75 × 0,3 + 50 × 0,7 = 22,5 + 35 = 57,5'tir. Aldatma daha iyidir. İşbirliği için gereken en düşük olasılık yaklaşık 0,46'dır; 0,3 bu eşiğin altında kaldığı için rasyonel oyuncu birinci turda aldatır. İki turlu bir oyunda itibarın değeri, işbirliğini başlatmaya yetecek kadar büyük değildir.
4. Sonsal olasılık 0,2 ÷ (0,2 + 0,8r) olmalıdır ve bunun 0,5'e eşit olması için 0,2 = 0,1 + 0,4r, yani r = 0,25 gerekir. Önsel 0,3 iken r ≈ 0,43 bulunmuştu. Önsel olasılık düştüğünde uzlaşmacı tür daha az sıklıkla savaşmalıdır; aksi hâlde savaş, zincirin inatçı olduğu inancını 0,5'e çıkaracak kadar bilgi taşımaz. Daha düşük bir önselle itibar daha zor inşa edilir.
5. Rakibin işbirlikçi bir tür olma olasılığı küçük olsa da, uzun bir oyunda işbirliğinin sürmesinin getirisi çok büyüktür. Rasyonel oyuncu oyunun başında aldatırsa, rakibi onun işbirlikçi bir tür olmadığını öğrenir ve oyunun geri kalanında işbirliği yapmaz. İşbirliği yaparsa, rakibi onun işbirlikçi olabileceğine inanmaya devam eder ve işbirliği sürer. Oyun uzadıkça işbirliğinin toplam getirisi, küçük bir olasılıkla bile, oyunun başında aldatmanın tek seferlik kazancını aşar. Rasyonel oyuncu, ancak oyunun sonuna yaklaşırken, gelecekteki kazanç azaldığında aldatmaya başlar.
6. İktisatçının dayandığı gözlem doğrudur: insanlar sonlu tekrarlanan ikilemlerde, tam bilgili bir modelin öngördüğünden çok daha fazla işbirliği yapar. Ama bu işbirliği rasyonellikten bir sapma olmak zorunda değildir. Camerer ve Weigelt'in deneyinde davranış kabaca ardışık dengeye uydu ve sapmalar yaklaşık yüzde 17'lik bir kendiliğinden önselle açıklanabildi; Andreoni ve Miller'ın deneyinde katılımcıların tepkileri, rakibin işbirlikçi bir tür olabileceği inancı altında rasyonel işbirliğini öngören itibar hipotezini güçlü biçimde destekledi. Bu bulgular, gözlenen işbirliğinin, rakiplerin bir kısmının gerçekten işbirliğine yatkın olduğu bir dünyada rasyonel bir davranış olarak açıklanabileceğini gösteriyor. Daha doğru bir sonuç, insanların hem bir ölçüde diğerkâm olduğu, hem de bu diğerkâmlığı hesaba katarak rasyonel biçimde davrandığıdır.

İleri okuma

• John C. Harsanyi (1967–1968). «Games with Incomplete Information Played by "Bayesian" Players, I–III». Management Science 14(3, 5, 7). Eksik bilgili oyunların temel çerçevesi.
• Colin Camerer, Keith Weigelt (1988). «Experimental Tests of a Sequential Equilibrium Reputation Model». Econometrica 56(1). İtibar modelinin laboratuvar sınaması.
• James Andreoni, John H. Miller (1993). «Rational Cooperation in the Finitely Repeated Prisoner's Dilemma: Experimental Evidence». The Economic Journal 103(418). Sonlu tekrarlanan ikilemde itibar ve diğerkâmlık.

Sonraki derse köprü

Bu derste eksik bilgili oyunları kurmayı, türleri, doğanın hamlesini ve inançların güncellenmesini öğrendik. Ama oyuncuların her türünün aynı anda en iyi tepkiyi verdiği bir denge kavramını henüz tanımlamadık. Bir firma, rakibinin maliyetini bilmeden fiyatını nasıl seçer, rakip de onun hangi maliyette ne yapacağını nasıl öngörür? Sıradaki ders, eksik bilgili oyunlarda dengenin tanımını, Bayesyen Nash dengesini ele alıyor.