Tekrarlanan oyunlar ve işbirliği

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Tetik stratejisini, kısasa kısası, devam olasılığını, minmaks getiriyi, halk teoremini ve kusurlu gözlemi tanımlar.
• Uygulama — Bir mahkûmlar ikileminin sonsuz tekrarında işbirliğinin sürdürülebilmesi için gereken devam olasılığını hesaplar ve işbirliğinin riskten baskın olup olmadığını belirler.
• Analiz — Kusurlu gözlem altında gözlenen fiyat savaşlarının neden işbirliğinin çöküşü değil, onun bir parçası olabileceğini çözümler.
• Değerlendirme — Laboratuvar ve kartel kanıtlarına dayanarak, alt oyun yetkin denge koşulunun işbirliğinin gerçekleşmesi için yeterli olup olmadığını değerlendirir.

Sezgi

Açılış

1930'ların başında Amerika Birleşik Devletleri'nin şeker rafinerileri, her hafta bir toplantı masasının etrafında bir araya geliyordu. Fiyatları doğrudan belirlemiyorlardı; bunun yerine satış koşullarını, indirim kurallarını ve taşıma ücretlerini standart hâle getiriyorlardı. Amaç basitti: bir rafineri gizlice fiyat kırarsa, öbürlerinin bunu fark edebilmesini sağlamak.

Bir kartel neden bu kadar uğraşır? Çünkü bir kez oynanan bir mahkûmlar ikileminde işbirliği ayakta kalamaz; ama aynı oyun her hafta oynandığında, bugünkü aldatmanın bedeli yarın ödenebilir. Oyun teorisine giriş dersinde, tekrarlanan bir ikilemde sabırlı oyuncuların işbirliğini sürdürebildiğini basit bir hesapla gördük. Bu ders o hesabı genişletiyor ve şu soruyu soruyor: işbirliğinin mümkün olması, gerçekleşeceği anlamına gelir mi ve gözlem kusurlu olduğunda ne olur?

Hikâye — şeker rafinerilerinin toplantı notları

David Genesove ve Wallace Mullin, Şeker Enstitüsü adıyla bilinen bu kartelin haftalık toplantılarının ayrıntılı notlarını inceledi. Notlar, bir kartelin içeriden nasıl işlediğine dair nadir bir pencere açıyordu.

Notlardaki en ilginç ayrıntı, kartelin aldatmayı tespit etmek için harcadığı çabaydı. Bir rafineri fiyat indirdiğinde, bunun bir aldatma mı yoksa yerel bir talep düşüşüne verilen masum bir tepki mi olduğunu ayırmak kolay değildi. Kuramın basit modellerinde aldatma anında görülür ve sert bir cezayla karşılanır. Gerçek kartelde ise aldatma belirsizdi ve misilleme ölçülüydü.

Kavram — yarının gölgesi

Sonsuz tekrarlanan bir oyunda işbirliğini sürdürmenin en basit yolu, sert bir cezadır.

Daha yumuşak bir seçenek de vardır.

Gerçek ilişkiler sonsuza dek sürmez, ama ne zaman biteceği de çoğu zaman bilinmez. Oyun teorisi bu belirsizliği bir olasılıkla temsil eder.

Veri ve kanıt — mümkün olan her zaman olmaz

Kuram, devam olasılığı yeterince yüksekse işbirliğinin bir alt oyun yetkin denge olarak sürdürülebileceğini söyler. Ama tekrarlanan oyunların sonsuz sayıda dengesi vardır; her zaman aldatmak da bir dengedir. İşbirliği mümkün olduğunda insanlar gerçekten işbirliği yapar mı?

Pedro Dal Bó ve Guillaume Fréchette bu soruyu laboratuvarda sordu. Katılımcılar, her turdan sonra oyunun bir bilgisayar çekilişiyle devam edip etmeyeceğinin belirlendiği bir mahkûmlar ikilemini, onlarca kez farklı eşlerle oynadılar.

Bu bulgu, kuramın neden «işbirliği mümkündür» demekle «işbirliği gerçekleşir» demek arasında dikkatli olması gerektiğini gösteriyor. Katılımcılar, işbirliğinin hem denge hem de riskten baskın olduğu, üstelik devam olasılığının ve işbirliği getirisinin yüksek olduğu koşullarda gerçekten işbirliği yapmayı öğrendi.

Kartellerin tarihi de benzer bir ders verir. Robert Porter, 19. yüzyılın sonunda Chicago'dan doğu kıyısına tahıl taşıyan demiryolu şirketlerinin oluşturduğu bir karteli inceledi.

Neden önemli? — işbirliğinin altyapısı

Tekrarlanan oyunlar, iktisattaki birçok işbirliği biçiminin mantığını açıklar: kartellerin ve onlarla mücadele eden rekabet otoritelerinin, uluslararası ticaret ve iklim anlaşmalarının, tedarikçiler ile alıcılar arasındaki uzun süreli ilişkilerin, hatta bir mahalledeki esnafın birbirine duyduğu güvenin. Her birinde bugünkü bir aldatmanın kazancı, yarının işbirliğini kaybetme bedeliyle tartılır.

Bu dersin kanıtları, işbirliğinin kendiliğinden ortaya çıkmadığını, belirli bir altyapıya ihtiyaç duyduğunu gösteriyor. İlişkinin sürme olasılığının yüksek olması, işbirliğinin yeterince kârlı olması ve aldatmanın görülebilmesi gerekir. Rekabet hukuku açısından bu, kartelleri yalnızca açık anlaşmalarla değil, fiyatları şeffaflaştıran ve aldatmayı görünür kılan uygulamalarla da izlemek gerektiği anlamına gelir. Şeker Enstitüsü'nün yaptığı tam olarak buydu.

Model

Bu bölümde sonsuz tekrarlanan mahkûmlar ikilemini Dal Bó ve Fréchette'nin getiri tablosuyla çözüyor, sonlu tekrarın neden farklı sonuçlandığını gösteriyor ve kusurlu gözlem altında fiyat savaşlarının mantığını kuruyoruz.

Çözümlü örnek — Dal Bó ve Fréchette'nin eşiği

Her turda oynanan ikilemde karşılıklı işbirliği her oyuncuya R kazandırır; biri işbirliği yapıp öbürü aldatırsa işbirliği yapan 12, aldatan 50; ikisi de aldatırsa her biri 25 sent. Devam olasılığı δ olsun ve iki oyuncu da tetik stratejisini izlesin.

İşbirliğini sürdürmenin beklenen toplam getirisi R + δR + δ²R + … = R ÷ (1 − δ)'dır. Bu turda aldatan oyuncu bugün 50 alır, sonraki her turda ikisi de aldattığı için 25 alır: 50 + δ × 25 ÷ (1 − δ). İşbirliğinin sürmesi için R ÷ (1 − δ) ≥ 50 + 25δ ÷ (1 − δ) olmalıdır. İki tarafı (1 − δ) ile çarparsak R ≥ 50(1 − δ) + 25δ, yani δ ≥ (50 − R) ÷ 25 bulunur.

R = 32 için eşik 0,72'dir: δ = 1/2 yetersiz, δ = 3/4 yeterlidir. R = 40 için eşik 0,4, R = 48 için 0,08'dir; iki devam olasılığı da yeterlidir. Bu, deneyde işbirliğinin yalnızca δ = 1/2 ve R = 32 koşulunda denge olmamasının nedenidir.

Çözümlü örnek — İşbirliği güvenli mi?

İşbirliğinin denge olması, onun güvenli olduğu anlamına gelmez. Oyuncuların yalnızca iki strateji arasında seçim yaptığını varsayalım: tetik stratejisi (T) ya da her zaman aldatmak (A). δ = 3/4 ve R = 32 için iki stratejinin birbirine karşı beklenen toplam getirileri şöyledir. İkisi de T oynarsa her biri 32 ÷ 0,25 = 128 alır. T oynayan A'ya karşı ilk turda 12, sonra her turda 25 alır: 12 + 0,75 × 25 ÷ 0,25 = 87. A oynayan T'ye karşı ilk turda 50, sonra 25 alır: 50 + 75 = 125. İkisi de A oynarsa her biri 25 ÷ 0,25 = 100 alır.

Bu küçük oyunun iki dengesi vardır: (T, T) ve (A, A). Bir önceki derslerde gördüğümüz sapma bedelleri çarpımını hesaplayalım. (T, T) dengesinden A'ya sapmanın bedeli 128 − 125 = 3'tür; çarpım 9'dur. (A, A) dengesinden T'ye sapmanın bedeli 100 − 87 = 13'tür; çarpım 169'dur. Her zaman aldatmak riskten baskındır. İşbirliği mümkündür ama risklidir; karşı tarafın işbirliği yapacağından çok emin olmak gerekir.

Aynı hesap δ = 3/4 ve R = 48 için yapıldığında, (T, T) her birine 192 verir; sapma bedeli 192 − 125 = 67'dir ve çarpım 4.489'dur. Bu kez tetik stratejisi riskten baskındır. Dal Bó ve Fréchette'nin deneyinde işbirliğinin yaygınlaştığı koşul tam olarak buydu.

Çözümlü örnek — Kısasa kısas yeterli mi?

Kısasa kısas, tetik stratejisinden yumuşaktır: aldatmayı yalnızca bir tur cezalandırır. Bir oyuncunun karşı taraf kısasa kısas oynarken bir kez aldatıp sonra işbirliğine döndüğünü varsayalım. Aldatma turunda 50 alır. Bir sonraki turda karşı taraf aldatır, oyuncu işbirliğine döndüğü için 12 alır. Sonra karşı taraf da işbirliğine döner ve oyun R'den sürer.

Bu sapmanın kazancını işbirliğinin ilk iki turuyla karşılaştıralım: işbirliği R + δR, sapma 50 + 12δ verir. Sapmanın kârlı olmaması için R + δR ≥ 50 + 12δ, yani δ ≥ (50 − R) ÷ (R − 12) olmalıdır. R = 40 için eşik 10 ÷ 28 ≈ 0,36'dır; tetik stratejisinin 0,4 eşiğinden biraz daha düşüktür. Ama kısasa kısas başka sapmalara karşı daha kırılgandır: bir oyuncunun her turda aldatıp işbirliği arasında gidip gelmesi gibi. Tek sapma ilkesiyle bütün sapmaları sınamak gerekir.

Çözümlü örnek — Sonlu tekrarın çözülmesi

Aynı oyunun tam olarak on kez oynanacağı ve bunun bilindiği bir durumu düşünelim. Onuncu turda gelecek yoktur; bu tur bir kez oynanan bir ikilemdir ve iki oyuncu da aldatır. Dokuzuncu turda oyuncular, onuncu turda ne olursa olsun aldatılacağını bilir; dokuzuncu turdaki işbirliği gelecekte ödüllendirilemez ve dokuzuncu turda da aldatırlar. Zincir ilk tura kadar iner ve sonlu tekrarın yetkin tek sonucu, on turun hepsinde karşılıklı aldatmadır.

Sonsuz tekrardaki işbirliği, gelecekteki ödül ve cezaya dayanıyordu. Bilinen bir son tur, bu ödül ve cezayı sondan başlayarak ortadan kaldırır. Sonsuz tekrarlanan oyun, «sonsuza dek süren» bir oyun değil, her turda bir sonraki turun gelme olasılığının bulunduğu bir oyundur. Dal Bó ve Fréchette'nin rastgele devam kuralı bu yüzden sonsuz tekrarın laboratuvardaki karşılığıdır.

Çözümlü örnek — Gecikmeli tespit

Şeker Enstitüsü'nün aldatmayı görünür kılmak için neden bu kadar uğraştığını sayılarla görelim. Aldatmanın ancak k tur sonra fark edildiğini varsayalım. Aldatan oyuncu k tur boyunca 50 alır, ardından cezayla 25'e düşer. R = 40 için tetik stratejisinin işbirliğini sürdürmesi için gereken devam olasılığı, aldatma anında görülürse 0,4'tür.

Aldatma bir tur gecikmeyle görülürse, aldatan oyuncu iki tur 50 alır. İşbirliği koşulu 40 + 40δ + 40δ² ÷ (1 − δ) ≥ 50 + 50δ + 25δ² ÷ (1 − δ) olur. Sadeleştirildiğinde δ² × 15 ÷ (1 − δ) ≥ 10 + 10δ, yani 15δ² ≥ 10(1 − δ²) ve δ² ≥ 0,4; δ ≥ yaklaşık 0,632 bulunur. Bir turluk gecikme, gereken sabır düzeyini 0,4'ten 0,63'e çıkarır. Fiyatları şeffaflaştıran her uygulama, kartelin ayakta kalmasını kolaylaştırır.

Çözümlü örnek — Masum fiyat düşüşleri

Bir kartelde firmalar birbirlerinin fiyatlarını göremez, yalnızca piyasa fiyatını görür. Piyasa fiyatı, firmaların üretimine ve rastgele talep şoklarına bağlıdır. Talep düşük olduğunda, kimse aldatmasa bile fiyat düşebilir. Kartel şöyle bir kural koyar: fiyat belirli bir eşiğin altına düşerse, iki dönem boyunca rekabetçi fiyatlamaya geçilir, sonra işbirliğine dönülür.

Talebin her dönem yüzde 10 olasılıkla düşük çıktığını ve düşük talepte fiyatın kimse aldatmasa bile eşiğin altına indiğini varsayalım. Kartel işbirliğini sürdürse bile, ortalama her on dönemden birinde bir fiyat savaşı başlar. Bu savaşlar aldatmanın değil, cezanın inandırıcılığını korumanın bedelidir: kartel, fiyat düşüşlerini cezalandırmazsa üyeler aldatmanın ceza görmeyeceğini bilir. Porter'ın demiryolu kartelinde gözlediği geçişler, bu türden bir mantıkla yorumlanmıştır.

Çözümlü örnek — İşbirliğine başlamak için gereken güven

Tetik stratejisi ile her zaman aldatma arasındaki küçük oyuna dönelim ve şu soruyu soralım: bir oyuncu, karşı tarafın tetik stratejisi oynayacağına ne kadar inanmalı ki kendisi de tetik stratejisiyle başlasın? Karşı tarafın tetik stratejisi oynama olasılığına q diyelim.

δ = 3/4 ve R = 32 için tetik stratejisinin beklenen getirisi q × 128 + (1 − q) × 87, her zaman aldatmanınki q × 125 + (1 − q) × 100'dür. Tetik stratejisi, 3q ≥ 13(1 − q), yani q ≥ 13 ÷ 16 ≈ 0,81 olduğunda daha iyidir. Oyuncu, karşı tarafın işbirliği yapacağından yüzde 81'den fazla emin olmalıdır.

R = 48 için tetik stratejisi q × 192 + (1 − q) × 87, her zaman aldatma q × 125 + (1 − q) × 100 verir. Koşul 67q ≥ 13(1 − q), yani q ≥ 13 ÷ 80 ≈ 0,16'dır. Karşı tarafın yalnızca altıda bir olasılıkla işbirliği yapacağına inanmak bile işbirliğiyle başlamayı akıllıca kılar. İki koşulda da işbirliği bir dengedir; ama birinde başlamak için çok güven, öbüründe az güven gerekir. Deneylerde işbirliğinin ikinci koşulda yaygınlaşması bu hesapla uyumludur.

Çözümlü örnek — Kartelde kaç firma?

Bir pazarda n özdeş firma bulunsun ve fiyatla rekabet etsin. Firmalar gizli anlaşma yaparsa toplam kâr π olur ve eşit bölüşülür: her firma π ÷ n kazanır. Bir firma fiyatı biraz kırarsa bütün pazarı alır ve bir tur boyunca neredeyse π kazanır. Sonra öbür firmalar sonsuza dek rekabetçi fiyata döner ve kârlar sıfıra iner.

İşbirliğinin sürmesi için (π ÷ n) ÷ (1 − δ) ≥ π olmalıdır; yani δ ≥ 1 − 1 ÷ n. İki firmalı pazarda eşik 0,5, üç firmalı pazarda yaklaşık 0,67, dört firmalı pazarda 0,75, on firmalı pazarda 0,9'dur. Firma sayısı arttıkça, her firmanın gizli anlaşmadaki payı küçülür, aldatmanın kazancı ise sabit kalır. Kartelleri ayakta tutmak, kalabalık pazarlarda çok daha zordur. Uygulama bölümündeki akaryakıt örneğinde dördüncü bir istasyonun açılması bu yüzden önemlidir.

Çözümlü örnek — Talebin dalgalandığı bir pazar

Kartel üyelerinin karşılaştığı talebin dönemden döneme değiştiğini varsayalım: talep yüksek dönemlerde gizli anlaşmanın toplam kârı 300, düşük dönemlerde 100 olsun ve her dönem iki durum yarı yarıya olasılıkla ortaya çıksın. İki firma kârı eşit bölüşür; aldatan firma o dönemin bütün kârını alır, sonra sonsuza dek kâr sıfıra iner.

Gelecekteki işbirliğinin beklenen değeri, her dönem ortalama 200'ün yarısı, yani 100'dür; bugünkü değeri δ × 100 ÷ (1 − δ)'dır. Talep yüksek bir dönemde aldatmanın bugünkü kazancı 300 − 150 = 150'dir; düşük bir dönemde 100 − 50 = 50'dir. İşbirliğinin yüksek talep döneminde de sürmesi için δ × 100 ÷ (1 − δ) ≥ 150, yani δ ≥ 0,6 olmalıdır. Düşük talep döneminde ise δ ≥ 1/3 yeterlidir.

Talebin geçici olarak yüksek olduğu dönemler, aldatmanın en cazip olduğu dönemlerdir, çünkü bugünkü kazanç büyük, gelecekteki ceza ise ortalama koşullara bağlıdır. Julio Rotemberg ve Garth Saloner'ın öne sürdüğü bu mantığa göre, sabrı orta düzeyde olan karteller canlı dönemlerde fiyatları kısmen düşürmek zorunda kalabilir.

Çözümlü örnek — Halk teoreminin getirileri

Dal Bó ve Fréchette'nin aşama oyununu R = 40 ile ele alalım. Oyuncuların ulaşabileceği getiri çiftleri, (40, 40), (12, 50), (50, 12) ve (25, 25) noktalarının ağırlıklı ortalamalarıdır. Her oyuncunun minmaks getirisi 25'tir: karşı taraf aldattığında, en iyi tepkiyle en fazla 25 alınabilir.

Halk teoremine göre, yeterince sabırlı oyuncular arasında her oyuncuya 25'ten fazla veren her uygulanabilir getiri çifti bir dengede elde edilebilir. Örneğin oyuncular dönüşümlü olarak birbirlerini aldatırsa, yani bir tur (50, 12), bir sonraki tur (12, 50) oynanırsa, uzun vadede her biri yaklaşık 31 alır. Bu, 25'ten büyük olduğu için yeterince sabırlı oyuncular arasında sürdürülebilir. Tam işbirliği olan (40, 40) da, sürekli aldatma olan (25, 25) da dengedir. Kuramın gücü ile zayıflığı aynı yerdedir: işbirliğinin mümkün olduğunu gösterir, ama birçok farklı sonucun da mümkün olduğunu kabul eder.

Modelin sınırları

Tekrarlanan oyun modeli, oyuncuların aynı aşama oyununu tekrar tekrar oynadığını, getirilerin değişmediğini ve devam olasılığının bilindiğini varsayar. Gerçek ilişkilerde koşullar değişir, yeni oyuncular girer ve ilişkinin süresi belirsizdir. Ayrıca halk teoremi, çok sayıda dengenin mümkün olduğunu söylediği için, hangi dengenin gerçekleşeceğini tahmin etmekte zayıftır. Dal Bó ve Fréchette'nin bulgusu, denge seçimi sorununu deneysel olarak ele almanın bir yolunu gösteriyor; ama hangi koşullarda hangi işbirliği düzeyinin ortaya çıkacağı, yalnızca kuramla değil, deney ve gözlemle cevaplanabilecek bir soru olarak duruyor.

Teknik

Tekrarlanan oyunun tanımı

Bir G aşama oyunu, sonlu sayıda oyuncunun her birinin sonlu bir eylem kümesinden seçim yaptığı ve getirilerin u_i(a) ile verildiği bir stratejik biçimli oyun olsun. G'nin δ iskontolu sonsuz tekrarında her t turunda G oynanır; oyuncular her turun sonunda bütün eylemleri gözlemler. Bir oyuncunun stratejisi, her geçmişe, yani önceki turlardaki eylem profilleri dizisine, bir eylem atar. Getiri, normalleştirilmiş iskontolu toplamdır: V_i = (1 − δ) × Σ_t δ^t × u_i(a^t). (1 − δ) çarpanı, toplamı aşama oyununun getirileriyle aynı ölçekte tutar.

Devam olasılığı p olan bir oyunda, oyuncular ayrıca zaman tercihi taşımıyorsa, beklenen getiri δ = p ile aynı biçimde yazılır. Bu yüzden iskonto ve devam olasılığı, tekrarlanan oyun kuramında aynı rolü oynar.

Minmaks getiri ve bireysel rasyonellik

Biçimsel olarak i'nin minmaks getirisi v_i = min_(α_−i) max_(a_i) u_i(a_i, α_−i)'dir. Mahkûmlar ikileminde aldatmak her durumda en iyi tepki olduğu için, karşı taraf aldattığında oyuncu en fazla 25 alır; minmaks getiri 25'tir. Bir getiri vektörü, her oyuncu için minmaks getiriden büyükse kesin bireysel rasyoneldir. Bir getiri vektörü, aşama oyununun getiri vektörlerinin dışbükey bileşimi olarak elde edilebiliyorsa uygulanabilirdir.

Halk teoremi

Halk teoreminin iki oyunculu ve basit bir hâli şöyledir. v, aşama oyununun bir Nash dengesinin getirilerinden kesin olarak daha büyük ve uygulanabilir bir getiri vektörü olsun. O zaman, δ yeterince 1'e yakınsa, v'yi üreten eylem profilinin her turda oynandığı ve herhangi bir sapmanın aşama oyunu Nash dengesinin sonsuza dek oynanmasıyla cezalandırıldığı tetik stratejisi profili, her alt oyunda tutarlı bir denge oluşturur. Bu, Model bölümündeki hesabın genellemesidir: sapmanın bir turluk kazancı sınırlıdır, cezanın bedeli ise δ ÷ (1 − δ) ile ölçeklenir ve δ 1'e yaklaşırken sınırsız büyür.

Genel hâlde, cezanın Nash dengesi yerine minmaks getiriye kadar indirilebildiği ve cezalandıranların da cezalandırmaya teşvik edildiği daha karmaşık stratejiler kullanılır. Drew Fudenberg ve Eric Maskin'in 1986'da gösterdiği sonuç, belirli teknik koşullar altında uygulanabilir ve kesin bireysel rasyonel her getirinin yeterince sabırlı oyuncular arasında bir alt oyun yetkin dengede elde edilebileceğini söyler.

Tek sapma ilkesiyle tetik stratejisini doğrulamak

Tetik stratejisi profilinin alt oyun yetkin olduğunu göstermek için, bir önceki derste gördüğümüz tek sapma ilkesini kullanırız. Profilde iki tür geçmiş vardır: hiç aldatmanın olmadığı «işbirliği» geçmişleri ve en az bir aldatmanın olduğu «ceza» geçmişleri.

İşbirliği geçmişlerinde bir oyuncunun tek sapması, bu turda aldatmak ve sonra profile dönmektir. Sapma, bu turda u_i(D, C) − u_i(C, C) kadar kazandırır, ama sonraki bütün turlarda karşılıklı aldatmaya yol açar ve her turda u_i(C, C) − u_i(D, D) kadar kaybettirir. Sapmanın kârsız olma koşulu (1 − δ) × [u_i(D, C) − u_i(C, C)] ≤ δ × [u_i(C, C) − u_i(D, D)]'dir. Model bölümündeki eşik bu koşuldan çıkar. Ceza geçmişlerinde profil her iki oyuncunun da sonsuza dek aldatmasını ister; bu, aşama oyununun Nash dengesinin tekrarıdır ve hiçbir tek sapma kârlı değildir. İki tür geçmişte de kârlı bir tek sapma yoksa, profil alt oyun yetkindir.

Kısasa kısas aynı sınamayı her zaman geçemez. Bir oyuncu aldattıktan sonra, kısasa kısas karşı tarafın bir tur cezalandırmasını ister; ama cezalandırma, iki oyuncunun da birbirinin önceki hamlesini tekrarladığı bir dizi başlatabilir ve bu dizinin değeri, cezayı hiç uygulamadan işbirliğine dönmenin değerinden düşük olabilir. Bu durumda ceza aşamasında kısasa kısası izlemek bir en iyi tepki değildir. Kısasa kısasın laboratuvardaki ve turnuvalardaki başarısı, alt oyun yetkinlikten değil, basitliğinden, affediciliğinden ve kolay anlaşılmasından gelir.

Sonlu tekrarda işbirliği ne zaman mümkündür?

Model bölümündeki çözülme, aşama oyununun tek bir Nash dengesi olmasına dayanıyordu. Aşama oyununun birden fazla Nash dengesi varsa, sonlu tekrarda bile işbirliği mümkün olabilir. Fikir şudur: son turlarda hangi dengenin oynanacağı, önceki turlardaki davranışa bağlanabilir. Önceki turlarda herkes işbirliği yaptıysa son turda herkes için iyi olan denge, biri aldattıysa kötü olan denge oynanır. Son turdaki bu ödül ve ceza farkı, önceki turlarda işbirliğini sürdürmeye yetecek kadar büyükse, işbirliği son birkaç tur dışında sürdürülebilir. Jean-Pierre Benoît ve Vijay Krishna'nın sonuçları, bu fikrin genel koşullarını ortaya koyar. Mahkûmlar ikileminde aşama oyununun tek bir dengesi olduğu için bu yol kapalıdır; bu yüzden sonlu tekrarlanan ikilemde işbirliği yalnızca oyuncuların rasyonelliğine dair belirsizlikle ya da sınırlı düşünme derinliğiyle açıklanabilir.

Devam olasılığı ile sabrın birleşimi

Gerçek ilişkilerde hem gelecek belirsizdir hem de oyuncular bugünü yarına tercih eder. Bir turdan sonra oyunun devam etme olasılığı p, oyuncuların bir tur sonraki getiriye verdiği ağırlık ise β olsun. Bir oyuncunun bir sonraki turun getirisine bugünden verdiği beklenen ağırlık p × β'dır; iki tur sonrasınınki (p × β)²'dir. Tekrarlanan oyunun bütün sonuçlarında δ, bu çarpımın yerine geçer: δ = p × β.

Bu basit gözlemin önemli bir anlamı vardır. Bir ilişkinin sürme olasılığını düşüren her şey, örneğin bir firmanın yakında piyasadan çekileceği söylentisi ya da bir anlaşmanın kısa süre sonra yeniden müzakere edileceği beklentisi, oyuncuları sanki daha sabırsızmış gibi davranmaya iter. Dal Bó ve Fréchette'nin deneyinde para hemen ödendiği için β yaklaşık 1'dir ve δ fiilen devam olasılığına eşittir. Dışarıdaki ilişkilerde ise iki etken birlikte değerlendirilmelidir: yüksek faiz ortamında sabır, belirsiz bir gelecekte ise ilişkinin sürme olasılığı düşer ve ikisi de işbirliğini zorlaştırır.

Kusurlu gözlem

Kamuya açık bir sinyalle kusurlu gözlem altında, Edward Green ve Robert Porter'ın 1984'te önerdiği model, kartelin işleyişini şöyle açıklar. Firmalar piyasa fiyatını gözlemler. Fiyat bir tetik eşiğinin altına düşerse, belirli bir süre boyunca Cournot üretimine geçilir, sonra işbirliğine dönülür. Dengede kimse aldatmaz, ama talep şokları zaman zaman fiyatı eşiğin altına iter ve fiyat savaşları dönem dönem yaşanır. Bu savaşlar, cezanın inandırıcılığını korumak için gereklidir. Ceza süresi ve tetik eşiği, aldatmanın getirisi ile masum fiyat düşüşlerinde katlanılan kayıplar arasında bir denge kurarak seçilir.

Bu modelde işbirliğinin değeri, gözlemin kalitesine bağlıdır. Sinyal ne kadar gürültülüyse, aynı caydırıcılığı sağlamak için o kadar sık ya da uzun ceza dönemleri gerekir ve işbirliğinden elde edilen ortalama kazanç düşer. Şeker Enstitüsü'nün iş uygulamalarını standartlaştırması, sinyalin kalitesini artırmanın bir yoluydu.

Uygulama

Özet kartı

1. Sonsuz tekrarlanan bir mahkûmlar ikileminde işbirliği, devam olasılığı yeterince yüksekse tetik stratejileriyle bir alt oyun yetkin denge olarak sürdürülebilir; Dal Bó ve Fréchette'nin getirileriyle eşik (50 − R) ÷ 25'tir.
2. İşbirliğinin denge olması onun riskten baskın olduğu anlamına gelmez; devam olasılığı 3/4 ve işbirliği getirisi 32 iken her zaman aldatmak riskten baskındır.
3. Dal Bó ve Fréchette'ye göre işbirliği, alt oyun yetkinlik ve hatta riskten baskınlık koşullarından daha katı koşullar altında yaygınlaştı; devam olasılığı 3/4 ve getiri 48 iken davranışın yüzde 74,51'i tetik stratejisiyle tutarlıydı.
4. Genesove ve Mullin'e göre Şeker Enstitüsü fiyatları değil iş uygulamalarını standartlaştırarak fiyat kırmayı görünür kıldı; aldatma yaşandı ama yalnızca sınırlı misillemeye yol açtı.
5. Porter, 1880–1886 demiryolu kartelinde fiyatların gizli anlaşma ile rekabet arasında geçiş yaptığını gösterdi; kusurlu gözlem altında fiyat savaşları işbirliğinin bir parçası olabilir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Tetik stratejisi ile kısasa kısas arasındaki fark nedir? Hangisi aldatmayı daha sert cezalandırır?
2. (Çıktı 2) Dal Bó ve Fréchette'nin aşama oyununda işbirliği getirisi R = 36 olsaydı, tetik stratejisiyle işbirliğinin sürdürülebilmesi için en düşük devam olasılığı ne olurdu?
3. (Çıktı 2) δ = 1/2 ve R = 48 için tetik stratejisi ile her zaman aldatma arasındaki oyunun getirilerini hesaplayın. Tetik stratejisi riskten baskın mıdır?
4. (Çıktı 3) Bir kartelde aldatma iki tur gecikmeyle fark ediliyorsa, R = 40 için tetik stratejisiyle işbirliğinin sürmesi için gereken devam olasılığı anında tespite göre nasıl değişir? Hesaplamadan nitel olarak açıklayın ve bu sonucun rekabet politikası için anlamını tartışın.
5. (Çıktı 3) Kusurlu gözlem altında bir kartelin, hiçbir üye aldatmasa bile neden dönem dönem fiyat savaşı yaşadığını açıklayın.
6. (Çıktı 4) Bir rekabet uzmanı, «Bir pazarda işbirliği alt oyun yetkin denge olarak sürdürülebiliyorsa, firmaların açık bir anlaşma yapmadan da işbirliği yapacağını varsaymalıyız» diyor. Bu görüşü Dal Bó ve Fréchette'nin bulgusu ve Genesove ile Mullin'in Şeker Enstitüsü notlarıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Tetik stratejisinde oyuncu, karşı taraf bir kez bile aldattığında sonsuza dek işbirliğini bırakır; aldatmanın bedeli bütün gelecek işbirliğinin kaybıdır. Kısasa kısasta oyuncu, karşı tarafın bir önceki hamlesini tekrarlar; aldatma bir tur cezalandırılır ve karşı taraf işbirliğine dönerse oyuncu da döner. Tetik stratejisi aldatmayı çok daha sert cezalandırır; kısasa kısas ise affedicidir ve hatalardan sonra işbirliğinin yeniden kurulmasına izin verir.
2. Eşik δ ≥ (50 − R) ÷ 25'tir. R = 36 için δ ≥ 14 ÷ 25 = 0,56 bulunur. Devam olasılığı 0,56'nın üzerindeyse işbirliği tetik stratejisiyle sürdürülebilir.
3. δ = 1/2 için ikisi de tetik stratejisi oynarsa her biri 48 ÷ 0,5 = 96 alır. Tetik stratejisi her zaman aldatmaya karşı 12 + 0,5 × 25 ÷ 0,5 = 37 alır. Her zaman aldatma tetik stratejisine karşı 50 + 25 = 75 alır. İkisi de aldatırsa her biri 25 ÷ 0,5 = 50 alır. (T, T) dengesinden sapmanın bedeli 96 − 75 = 21, çarpımı 441'dir; (A, A) dengesinden sapmanın bedeli 50 − 37 = 13, çarpımı 169'dur. Tetik stratejisi riskten baskındır.
4. Aldatma iki tur gecikmeyle fark edilirse aldatan oyuncu üç tur boyunca aldatmanın yüksek getirisini alır; aldatmanın kazancı büyür, cezanın bugünkü değeri ise ileriye kayarak küçülür. Bu yüzden işbirliğini sürdürmek için gereken devam olasılığı, anında tespitteki 0,4'ten ve bir tur gecikmedeki yaklaşık 0,63'ten daha da yükselir. Rekabet politikası açısından bu, fiyatların ve iş koşullarının şeffaflaşmasının kartellerin aldatmayı tespit etmesini kolaylaştırarak gizli anlaşmayı destekleyebileceği anlamına gelir; otoriteler, rakipler arasında fiyat bilgisi paylaşımını ve iş uygulamalarının standartlaştırılmasını dikkatle izlemelidir.
5. Kusurlu gözlem altında firmalar birbirlerinin eylemlerini göremez, yalnızca piyasa fiyatını görür. Fiyat hem firmaların üretimine hem de rastgele talep şoklarına bağlıdır; talep düşük olduğunda kimse aldatmasa bile fiyat düşebilir. Kartel, fiyat belirli bir eşiğin altına düştüğünde cezalandırma dönemine geçmezse, üyeler aldatmanın cezasız kalacağını bilir ve aldatır. Bu yüzden kartel, düşük fiyatları gerçekten cezalandırmak zorundadır; masum talep düşüşleri de cezayı tetikler ve zaman zaman fiyat savaşları yaşanır. Bu savaşlar, cezanın inandırıcılığını korumanın bedelidir.
6. Uzmanın dayandığı nokta kuramsal olarak doğrudur: işbirliği bir alt oyun yetkin denge olarak sürdürülebiliyorsa, açık bir anlaşma olmadan da mümkündür. Ama Dal Bó ve Fréchette'nin bulgusu, işbirliğinin denge olduğu bazı koşullarda bile katılımcıların çoğunlukla aldattığını, işbirliğinin ancak hem devam olasılığı hem işbirliği getirisi yüksek olduğunda yaygınlaştığını gösteriyor. Genesove ve Mullin'in Şeker Enstitüsü notları ise gerçek bir kartelin işbirliğini sürdürmek için düzenli iletişime, kurallara ve aldatmayı görünür kılan uygulamalara ihtiyaç duyduğunu gösteriyor. Kanıtlarla daha uyumlu bir varsayım, işbirliğinin mümkün olmasının yeterli olmadığı, iletişim, şeffaflık ve yüksek kazanç gibi koşullar birlikte sağlandığında gerçekleştiğidir; rekabet otoriteleri de bu koşulları yaratan uygulamalara odaklanmalıdır.

İleri okuma

• Pedro Dal Bó, Guillaume R. Fréchette (2011). «The Evolution of Cooperation in Infinitely Repeated Games: Experimental Evidence». American Economic Review 101(1). Laboratuvarda sonsuz tekrarlanan ikilemlerde işbirliği.
• David Genesove, Wallace P. Mullin (2001). «Rules, Communication, and Collusion: Narrative Evidence from the Sugar Institute Case». American Economic Review 91(3). Bir kartelin iç işleyişine dair belgeler.
• Robert H. Porter (1983). «A Study of Cartel Stability: The Joint Executive Committee, 1880–1886». Bell Journal of Economics 14(2). Bir demiryolu kartelinde gizli anlaşma ile rekabet arasındaki geçişler.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki oyunlarda her oyuncu, karşı tarafın getirilerini biliyordu; bilinmeyen yalnızca karşı tarafın bugün ne yapacağıydı. Ama birçok stratejik durumda oyuncular birbirleri hakkında temel bilgilerden yoksundur: bir ihaleye katılan firma rakibinin maliyetini, bir sigorta şirketi müşterisinin riskini bilmez. Oyuncuların birbirlerinin özelliklerini bilmediği oyunları nasıl modelleriz? Sıradaki ders eksik bilgili oyunları ele alıyor.