Karma stratejiler

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kayıtsızlık ilkesini, karma stratejinin desteğini, sıfır toplamlı oyunu, minimaks teoremini, denetim oyununu ve seri bağımsızlığı tanımlar.
• Uygulama — İki oyunculu oyunlarda kayıtsızlık ilkesiyle karma strateji dengesini hesaplar ve dengenin desteği dışındaki stratejilerin neden kullanılmadığını doğrular.
• Analiz — Denetim oyununda cezanın artırılmasının kaçırma olasılığını değil denetim olasılığını değiştirmesinin nedenini çözümler.
• Değerlendirme — Profesyonel tenis verilerini kullanarak karma strateji dengesinin sahada ne ölçüde geçerli olduğunu, laboratuvar bulgularıyla karşılaştırarak değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir tenis maçında servis atan oyuncu, topu rakibin forehand'ine ya da backhand'ine gönderebilir. Hep aynı tarafa atarsa rakip hazırlanır. Belirli bir sırayla değiştirirse, örneğin bir sağa bir sola, rakip bu sırayı öğrenir. Kazanmak için öngörülemez olmak gerekir. Ama ne kadar sağa, ne kadar sola?

Oyun teorisi bu soruya şaşırtıcı bir cevap verir: doğru oran, servisçinin kendi kazanma olasılıklarına değil, rakibinin kayıtsız kalmasına göre belirlenir. Servisçi, rakibin forehand'e mi backhand'e mi hazırlanacağı fark etmeyecek biçimde karışım yapmalıdır. Bu dersin sorusu şu: rastgele davranmak ne zaman akıllıcadır, doğru rastgelelik nasıl hesaplanır ve en iyi oyuncular sahada gerçekten böyle mi oynar?

Oyun teorisine giriş dersinde karma strateji kavramını penaltılarla tanıdık. Bu ders aynı kavramı daha derinlemesine ele alıyor: hesabın genel yöntemini, sıfır toplamlı oyunların özel yapısını ve teorinin en zorlu sınavlarından birini.

Hikâye — Wimbledon'da bir test

Laboratuvar deneyleri karma strateji teorisine uzun süre pek iyi davranmadı. Öğrencilere yazı tura benzeri oyunlar oynatıldığında, seçimleri dengedeki oranlardan sapıyor ve ardışık seçimler birbirine bağımlı çıkıyordu. Belki de teori yanlıştı; ya da belki laboratuvardaki öğrenciler, teorinin varsaydığı kadar deneyimli ve motive değildi.

Mark Walker ve John Wooders, teoriyi en motive ve en deneyimli oyuncularda sınamaya karar verdi: Grand Slam turnuvalarında ve yıl sonu şampiyonasında oynayan profesyonel tenisçiler. Maçların videolarını izleyip her servisin yönünü ve puanı kimin kazandığını kaydettiler.

On maçlık bir örneklem sınırlıydı. Yıllar sonra John Wooders, Romain Gauriot ve Lionel Page ile birlikte aynı soruyu çok daha büyük bir veriyle yeniden sordu.

Kavram — rakibi kayıtsız bırakmak

Karma strateji dengesinin mantığı, bir ilk bakışta tersine görünen ilkeye dayanır.

Bir oyuncu iki stratejisinden birinin daha yüksek getiri sağladığını görseydi, öbürünü hiç kullanmazdı. Bir stratejiyi pozitif olasılıkla kullanıyorsa, o stratejinin getirisi en az öbürleri kadar yüksek olmalıdır. Kullanılan bütün stratejiler aynı getiriyi vermelidir.

Tenis gibi bir oyunda bir oyuncunun kazancı, öbürünün kaybıdır. Bu tür oyunların özel bir yapısı vardır.

John von Neumann, 1928'de yayımlanan bir makalesinde, iki kişilik sıfır toplamlı oyunların bir değeri olduğunu gösterdi.

Veri ve kanıt — sahada teori, laboratuvarda sapma

Walker ve Wooders'ın bulgusu iki parçalıydı. Birinci parça teoriyi destekliyordu: profesyoneller, servis yönlerini kazanma olasılıklarını eşitleyecek biçimde karıştırıyordu. İkinci parça ise teoriden bir sapmaydı: oyuncular yön değiştirmeyi gereğinden sık yapıyordu.

İnsanların rastgele davranmaya çalışırken çok sık değişiklik yapması, psikolojide de bilinen bir eğilimdir. Bir yazı tura dizisi yazmaları istendiğinde insanlar, gerçek rastgele dizilerde sık görülen uzun aynı sonuç serilerinden kaçınır. Tenisçiler de aynı tuzağa, ama laboratuvardaki öğrencilerden çok daha az düştü.

Neden önemli? — öngörülemezliğin değeri

Karma stratejiler yalnızca sporda değil, denetimin ve kaçırmanın, saldırının ve savunmanın olduğu her yerde ortaya çıkar. Vergi idaresi hangi beyannameleri inceleyeceğine, trafik polisi hangi yolda radar kuracağına, bir şirket rakibine karşı ne zaman kampanya yapacağına karar verirken, öngörülebilir olmak bir zayıflıktır.

Bu dersin bulguları iki önemli ders içeriyor. Birincisi, doğru rastgelelik, sezgiye ters bir mantıkla hesaplanır: oranlar rakibin getirilerine göre belirlenir. Bu yüzden cezaları artırmak, kaçırmayı değil denetimi azaltabilir. İkincisi, teori, yüksek ödüllü ve deneyimli oyuncuların davranışını laboratuvardaki öğrencilerden daha iyi açıklıyor; ama en iyi oyuncular bile tam rastgeleliği tutturmakta zorlanıyor ve bu küçük sapma, dikkatli bir rakibin sömürebileceği bir açıktır.

Model

Bu bölümde karma strateji dengelerini sayısal örneklerle hesaplıyoruz. Bütün getiriler açıklama amaçlıdır; tenis örneğindeki olasılıklar Walker ve Wooders'ın verileri değil, yöntemi göstermek için seçilmiş sayılardır.

Çözümlü örnek — Servisin dengesi

Servisçi topu sola (S) ya da sağa (Ğ) atıyor; karşılayan oyuncu sola ya da sağa hazırlanıyor. Servisçinin puanı kazanma olasılıkları aşağıdaki gibidir; karşılayanın olasılığı bunun bir eksiğidir.

Saf strateji dengesi yoktur: karşılayan sola hazırsa servisçi sağa atar; servisçi sağa atıyorsa karşılayan sağa hazırlanır; karşılayan sağa hazırsa servisçi sola atar; servisçi sola atıyorsa karşılayan sola hazırlanır. Döngü hiç durmaz.

Servisçinin sola atma olasılığına p diyelim. Karşılayanın iki hazırlığı arasında kayıtsız kalması için, servisçinin kazanma olasılığı her iki hazırlıkta aynı olmalıdır: 0,58p + 0,73(1 − p) = 0,79p + 0,49(1 − p). Sol taraf 0,73 − 0,15p, sağ taraf 0,49 + 0,30p'dir; buradan 0,24 = 0,45p ve p ≈ 0,533 bulunur. Servisçi yaklaşık yüzde 53 sola, yüzde 47 sağa atmalıdır.

Karşılayanın sola hazırlanma olasılığına q diyelim. Servisçinin kayıtsız kalması için: 0,58q + 0,79(1 − q) = 0,73q + 0,49(1 − q). Sol taraf 0,79 − 0,21q, sağ taraf 0,49 + 0,24q'dir; 0,30 = 0,45q ve q ≈ 0,667'dir. Dengede servisçi puanların yaklaşık yüzde 65'ini kazanır: 0,58 × 0,667 + 0,79 × 0,333 ≈ 0,65.

Dikkat edilirse servisçinin karışımı (p), karşılayanın kayıtsızlık koşulundan; karşılayanın karışımı (q) ise servisçinin kayıtsızlık koşulundan bulundu. Her oyuncu, rakibini kayıtsız bırakacak biçimde karıştırır.

Çözümlü örnek — Desteğin dışında kalan strateji

Servisçinin bir üçüncü seçeneği olsun: topu ortaya atmak. Ortaya atılan servis, karşılayan nereye hazırlanırsa hazırlansın puanı 0,60 olasılıkla kazandırıyor. Bu seçenek dengede kullanılır mı?

Dengede karşılayan yüzde 66,7 sola hazırlanıyor. Bu karışıma karşı sola ve sağa atmak 0,65 kazandırıyor; ortaya atmak ise 0,60 kazandırıyor. Ortaya atmak, dengedeki karışıma karşı daha kötü olduğu için desteğin dışında kalır. Bir karma strateji dengesinin doğrulanması, yalnızca kullanılan stratejilerin eşit getiri sağladığını değil, kullanılmayanların daha fazlasını sağlamadığını da göstermeyi gerektirir. Walker ve Wooders'ın verilerinde de ilk servislerin yalnızca yüzde 6'sı ortaya atılmıştı.

Çözümlü örnek — Garanti edilebilen en iyi sonuç

Servisçi, karşılayanın ne yapacağını bilmediğini ve en kötüsüne hazırlanmak istediğini varsaysın. Saf stratejilerle en kötü durum, sola attığında 0,58, sağa attığında 0,49'dur; en iyi saf garanti 0,58'dir. Ama yüzde 53,3 sola atan karışımla servisçi, karşılayan ne yaparsa yapsın 0,65 garanti eder. Karışım, saf stratejilerin en iyisinden daha yüksek bir garanti sağlar.

Karşılayan da benzer biçimde düşünür: saf stratejilerle servisçiye izin vermek zorunda kaldığı en yüksek olasılık, sola hazırlandığında 0,73, sağa hazırlandığında 0,79'dur; en iyi saf garanti 0,73'tür. Yüzde 66,7 sola hazırlanan karışımla bu değeri 0,65'e indirir. Servisçinin garanti edebildiği en yüksek değer ile karşılayanın izin vermek zorunda kaldığı en düşük değer, ikisi de 0,65'tir. Minimaks teoreminin söylediği tam olarak budur.

Çözümlü örnek — Denetim oyunu

Bir mükellef vergisini ödeyebilir ya da kaçırabilir; vergi idaresi beyannameyi inceleyebilir ya da incelemeyebilir. Kaçırılan vergi 100 birimdir. Mükellef kaçırır ve incelenmezse 100 kazanır; kaçırır ve incelenirse F birim ceza öder; öderse 0 alır. İdare her incelemede 30 birim maliyete katlanır; kaçırma yakalanmazsa 100 birim kaybeder.

İdarenin inceleme olasılığına r diyelim. Mükellefin kayıtsız kalması için kaçırmanın beklenen getirisi sıfır olmalıdır: r × (−F) + (1 − r) × 100 = 0, yani r = 100 ÷ (100 + F). F = 200 ise r = 1/3, F = 400 ise r = 0,2'dir.

Mükellefin kaçırma olasılığına e diyelim. İdarenin kayıtsız kalması için inceleme ve incelememe aynı beklenen getiriyi vermelidir: incelemenin getirisi her durumda −30, incelememenin getirisi −100e'dir. Buradan e = 0,3 bulunur.

Sonuç şaşırtıcıdır: ceza 200'den 400'e çıktığında kaçırma olasılığı değişmez, yüzde 30'da kalır. Değişen, idarenin inceleme olasılığıdır; yüzde 33'ten yüzde 20'ye iner. Mükellefin karışımı idarenin maliyetlerine, idarenin karışımı ise mükellefin getirilerine göre belirlenir. Cezayı artırmak, idareye aynı caydırıcılığı daha az incelemeyle sağlama imkânı verir. Kaçırmayı azaltmak isteyen bir politika ise idarenin inceleme maliyetini düşürmeli ya da kaçırmanın idareye verdiği zararı artırmalıdır.

Çözümlü örnek — Fazla düzenli olmanın bedeli

Servisçinin denge oranlarını korurken seçimlerini bir düzene bağladığını varsayalım: her sağa atışın ardından sola, her sola atışın ardından sağa atıyor. Uzun dönemde oranlar yarı yarıyadır, ama karşılayan bu düzeni fark ederse, her servisin yönünü önceden bilir.

Karşılayan doğru tarafa hazırlandığında servisçi sola atışlarda 0,58, sağa atışlarda 0,49 olasılıkla kazanır. Yarı yarıya atışlarla kazanma oranı 0,535'e iner; denge değeri olan 0,65'ten yaklaşık 11,5 puan aşağıdır. Seri bağımsızlıktaki küçük bir sapma bile, dikkatli bir rakibin elinde büyük bir kayba dönüşebilir. Walker ve Wooders'ın tenisçilerinin yön değiştirme eğilimi, bu düzenli dizi kadar uç değildi; ama aynı yönde bir sapmaydı.

Çözümlü örnek — Üç seçenekli bir oyun

Kayıtsızlık ilkesi ikiden fazla stratejide de işler. Taş, kâğıt ve makas oyununun bir türünü ele alalım: kazanan, kaybedenden bir puan alır; ama makasla kazanan iki puan alır. Satır oyuncusunun getirileri şöyledir: taş, makasa karşı +1, kâğıda karşı −1; kâğıt, taşa karşı +1, makasa karşı −2; makas, kâğıda karşı +2, taşa karşı −1. Aynı seçimler 0 verir.

Rakibin taş, kâğıt ve makas olasılıklarına t, k ve m diyelim. Satır oyuncusunun üç seçeneğinin beklenen getirileri, taş için −k + m, kâğıt için t − 2m, makas için −t + 2k'dır. Üçünü eşitleyelim. Birinci ve ikinciden t = −k + 3m, birinci ve üçüncüden t = 3k − m bulunur. İkisini eşitlediğimizde 4m = 4k, yani m = k; buradan t = 2k çıkar. Olasılıkların toplamı 1 olduğu için 4k = 1, k = m = 0,25 ve t = 0,5'tir.

Sonuç sezgiye terstir. Makasla kazanmak daha değerli hâle geldi, ama dengede makas daha az oynanıyor; taş ise yarı yarıya seçiliyor. Nedeni kayıtsızlık ilkesidir: makasın ödülü arttıkça rakibin makasa karşı korunma güdüsü artar, bu da makası yenen taşı daha cazip kılar. Oyunun değeri sıfırdır; simetrik bir oyunda hiçbir taraf avantajlı değildir.

Çözümlü örnek — Denetimi ucuzlatmak

Denetim oyununa geri dönelim ve bu kez idarenin inceleme maliyetini 30'dan 15'e düşürelim. Mükellefin kaçırma olasılığı idarenin kayıtsızlık koşulundan bulunur: incelemenin getirisi −15, incelememenin getirisi −100e'dir; e = 0,15'tir. Kaçırma olasılığı yüzde 30'dan yüzde 15'e iner.

İdarenin inceleme olasılığı ise mükellefin kayıtsızlık koşulundan bulunur ve maliyetten etkilenmez: F = 200 için yine r = 1/3'tür. Bu örnek, önceki örneğin aynası gibidir. Ceza, mükellefin getirisini değiştirir ve idarenin karışımını etkiler; inceleme maliyeti, idarenin getirisini değiştirir ve mükellefin karışımını etkiler. Kaçırmayı azaltmak isteyen bir idare için daha etkili kaldıraç, incelemenin kendisini ucuzlatmaktır; örneğin veri analiziyle riskli beyannameleri daha düşük maliyetle seçmek.

Çözümlü örnek — Kazanma oranlarını veriyle sınamak

Walker ve Wooders'ın testinin mantığını basit bir örnekle görelim. Bir servisçi bir maçta 100 kez sola, 100 kez sağa servis atmış olsun; sola atışların 60'ını, sağa atışların 64'ünü kazanmış olsun. Teori, iki yönün kazanma olasılığının eşit olduğunu söylüyor. Gözlenen fark 0,64 − 0,60 = 0,04'tür.

Bu fark tesadüf olabilir mi? Ortak kazanma oranı 124 ÷ 200 = 0,62'dir. İki oranın farkının standart hatası, karekök [0,62 × 0,38 × (1/100 + 1/100)] ≈ 0,069'dur. Gözlenen fark standart hatanın yaklaşık 0,58 katıdır. Yüzde 5 düzeyindeki eşik 1,96 olduğu için eşitlik hipotezi reddedilmez. Walker ve Wooders, 40 puan oyununun her biri için buna benzer bir test yaptı ve yalnızca birinde eşitliği yüzde 5 düzeyinde reddetti. Rastlantıyla bile 40 testin yaklaşık ikisinde ret beklenirdi.

Çözümlü örnek — Çok sık değişmeyi saptamak

Seri bağımsızlığı sınamanın bir yolu, koşuları saymaktır. Koşu, aynı seçimin art arda gelen bir dizisidir: SSĞS dizisinde üç koşu vardır. Bir oyuncu 50 kez sola, 50 kez sağa atmış olsun. Seçimler bağımsızsa, beklenen koşu sayısı 1 + 2 × 50 × 50 ÷ 100 = 51'dir. Koşu sayısının standart sapması, karekök [2 × 50 × 50 × (2 × 50 × 50 − 100) ÷ (100² × 99)] ≈ 4,97'dir.

Oyuncunun dizisinde 62 koşu sayılırsa, gözlenen değer beklenenin (62 − 51) ÷ 4,97 ≈ 2,2 standart sapma üstündedir. Bu, yüzde 5 düzeyinde anlamlı bir sapmadır: oyuncu yön değiştirmeyi bağımsız bir rastgele sürece göre fazla sık yapıyordur. Walker ve Wooders'ın tenisçilerde bulduğu sapma bu yöndeydi.

Çözümlü örnek — Sıfır toplamlı olan ve olmayan

Servis oyunu ile denetim oyunu arasındaki fark, kayıtsızlık ilkesinin sonuçlarını değiştirir. Servis oyununda servisçinin kazancı karşılayanın kaybıdır; servisçinin bir hücredeki kazanma olasılığı arttığında, karşılayanın aynı hücredeki getirisi de aynı miktarda azalır. Bu yüzden bir hücredeki değişiklik iki oyuncunun da karışımını değiştirir. Örneğin servisçinin sola atıp karşılayanın sola hazırlandığı hücredeki kazanma olasılığı 0,58'den 0,64'e çıkarsa, servisçinin sola atma olasılığı yaklaşık 0,615'e, karşılayanın sola hazırlanma olasılığı yaklaşık 0,769'a yükselir.

Denetim oyununda ise mükellefin cezası yalnızca mükellefin getirisini değiştirir; idarenin getirisi aynı kalır. Bu yüzden ceza değişikliği yalnızca idarenin karışımını etkiler. Kayıtsızlık ilkesinin şaşırtıcı sonuçları en açık biçimde, getirilerin oyuncular arasında ayrı ayrı değiştiği sıfır toplamlı olmayan oyunlarda görülür.

Modelin sınırları

Karma strateji dengesi, oyuncuların getiri tablosunu bildiğini, rakibin karışımına karşı tam kayıtsız kalmayı hesaplayabildiğini ve her seçimi bağımsız bir rastgele çekilişle yapabildiğini varsayar. Gerçek oyuncular getirileri tahmin etmek zorundadır, kayıtsızlık noktasını kesin olarak bilemez ve insan beyni rastgele dizi üretmekte zorlanır. Ayrıca tablo, rakibin yeteneğine, yorgunluğa ve maçın skoruna göre değişebilir. Bu yüzden dengedeki oranlar, gerçek davranış için bir başlangıç noktası, bir hedef ya da bir karşılaştırma ölçütüdür; her puanda tam olarak uygulanan bir reçete değildir.

Bir başka sınır, oyunun tek seferlik değil, bir maç boyunca tekrar tekrar oynanmasıdır. Bir oyuncu rakibinin ilk setteki eğilimlerini gözlemleyip sonraki setlerde bunlara göre hazırlanabilir; rakip de bu gözlemi öngörüp oranlarını değiştirebilir. Tek seferlik denge hesabı bu öğrenme ve aldatma katmanlarını içermez. Ayrıca puanların değeri eşit değildir: maç sayısı ya da kırılma puanı, sıradan bir puandan daha önemlidir ve oyuncular kritik anlarda farklı risk alabilir. Walker ve Wooders bu yüzden puanları, servisin hangi kortta atıldığına ve hangi oyuncunun servis attığına göre ayrılmış puan oyunlarına bölerek incelemişti; her puan oyununun kendi denge oranları vardır.

Teknik

Karma genişleme ve kayıtsızlık

İki oyunculu sonlu bir oyunda birinci oyuncunun saf eylemleri x ∈ X, ikinci oyuncunun saf eylemleri y ∈ Y olsun; getiriler v_1(x, y) ve v_2(x, y)'dir. Birinci oyuncunun karması p, X üzerinde bir olasılık vektörü; ikincisinin karması q, Y üzerinde bir olasılık vektörüdür. Beklenen getiriler V_1(p, q) = Σ_x Σ_y p(x) q(y) v_1(x, y) ve V_2(p, q) benzer biçimde tanımlanır.

(p, q) bir Nash dengesiyse, birinci oyuncunun desteğindeki her x için V_1(x, q) = V_1(p, q), desteğin dışındaki her x için V_1(x, q) ≤ V_1(p, q) olur. Bunun kanıtı kısadır: V_1(p, q), desteğin içindeki V_1(x, q) değerlerinin p ağırlıklı ortalamasıdır. Bu değerlerden biri ortalamanın altında olsaydı, bir başkası ortalamanın üstünde olurdu; birinci oyuncu, olasılığı düşük getirili eylemden yüksek getirili eyleme kaydırarak kazancını artırabilirdi. Bu, p'ın q'a karşı optimal olduğu varsayımına aykırıdır. Demek ki desteğin içindeki bütün eylemler aynı getiriyi verir.

Bu özellik, dengeyi hesaplamanın genel yöntemini verir: destekleri tahmin et, her oyuncunun desteğindeki eylemleri rakibine karşı eşit getirili yapan rakip karışımını çöz, sonra desteğin dışındaki eylemlerin daha fazlasını sağlamadığını doğrula. 2 × 2 oyunlarda tek bir doğrusal denklem yeterlidir; daha büyük oyunlarda doğrusal denklem sistemleri ve olası destek birleşimlerinin taranması gerekir.

Sıfır toplamlı oyunlar ve minimaks teoremi

Sıfır toplamlı bir oyunda v_2 = −v_1'dir; oyunu birinci oyuncunun getirilerinden oluşan bir M matrisiyle temsil ederiz. Birinci oyuncunun karması p bir satır vektörü, ikincinin karması q bir sütun vektörü olsun; beklenen getiri pMq'dur.

Birinci oyuncunun garanti edebileceği en yüksek değer, alt değer olarak tanımlanır: V̲ = max_p min_q pMq. İkinci oyuncunun birinciye izin vermek zorunda kaldığı en düşük değer üst değerdir: V̄ = min_q max_p pMq. Her oyunda V̲ ≤ V̄'dir, çünkü birinci oyuncunun garanti ettiği değer, ikincinin izin verdiği en düşük değeri aşamaz.

John von Neumann'ın 1928'de kanıtladığı minimaks teoremine göre karma stratejilerle V̲ = V̄'dir. Bu ortak değer oyunun değeridir ve maksimin ile minimaks stratejileri birlikte bir Nash dengesi oluşturur. Teoremin modern ispatlarından biri doğrusal programlamanın dualite teoremine dayanır: birinci oyuncunun garanti problemini bir doğrusal program olarak yazdığımızda, bu programın duali ikinci oyuncunun problemidir ve dualite teoremi iki programın en iyi değerlerinin eşit olduğunu söyler. Nash'in varlık teoremi, sıfır toplamlı olmayan oyunlara bu sonucun bir genellemesi olarak görülebilir; ama genel oyunlarda dengedeki getiriler artık oyuncuların garanti edebildiği değerlere eşit olmak zorunda değildir.

Sıfır toplamlı oyunlarda dengenin önemli bir özelliği, değiştirilebilirliktir: (p, q) ve (p', q') iki dengeyse, (p, q') ve (p', q) de dengedir ve hepsi aynı değeri verir. Oyuncuların hangi dengeyi oynayacakları konusunda anlaşmaları gerekmez; her biri kendi maksimin stratejisini seçtiğinde bir denge ortaya çıkar. Genel oyunlarda ise bu özellik yoktur; geyik avında olduğu gibi oyuncular farklı dengelere yönelirse sonuç dengede olmayabilir.

İki stratejili sıfır toplamlı oyunların kapalı çözümü

Birinci oyuncunun getiri matrisi M'nin satırları (a, b) ve (c, d) olsun. Matriste bir eyer noktası, yani hem satırının en küçüğü hem sütununun en büyüğü olan bir eleman yoksa, denge karmadır. Kayıtsızlık koşullarını çözmek şu formülleri verir: birinci oyuncunun birinci satırı seçme olasılığı p = (d − c) ÷ (a − b − c + d), ikinci oyuncunun birinci sütunu seçme olasılığı q = (d − b) ÷ (a − b − c + d) ve oyunun değeri (ad − bc) ÷ (a − b − c + d)'dir.

Servis örneğinde a = 0,58, b = 0,79, c = 0,73, d = 0,49'dur. Payda 0,58 − 0,79 − 0,73 + 0,49 = −0,45'tir. p = (0,49 − 0,73) ÷ (−0,45) ≈ 0,533, q = (0,49 − 0,79) ÷ (−0,45) ≈ 0,667 ve değer (0,58 × 0,49 − 0,79 × 0,73) ÷ (−0,45) = (0,2842 − 0,5767) ÷ (−0,45) ≈ 0,65'tir. Model bölümündeki hesap bu formüllerin özel bir uygulamasıdır. Formüller, birinci oyuncunun karışımının ikinci oyuncunun iki sütununu eşit getirili yapması, yani ap + c(1 − p) = bp + d(1 − p) koşulundan ve bunun ikinci oyuncu için karşılığından doğrudan türetilir.

Doğrusal programlama olarak minimaks

Birinci oyuncunun problemi şöyle yazılabilir: v'yi en büyük yap, öyle ki her sütun j için Σ_i p_i M_ij ≥ v, Σ_i p_i = 1 ve her p_i ≥ 0. Bu, karma stratejinin her rakip saf stratejiye karşı en az v garanti etmesini ister. İkinci oyuncunun problemi buna karşılık gelir: w'yi en küçük yap, öyle ki her satır i için Σ_j M_ij q_j ≤ w, Σ_j q_j = 1 ve her q_j ≥ 0.

Bu iki program birbirinin dualidir. Doğrusal programlamanın dualite teoremi, ikisinin de çözümü varsa en iyi değerlerin eşit olduğunu söyler; bu eşitlik minimaks teoreminin kendisidir. Bu biçim aynı zamanda büyük sıfır toplamlı oyunların bilgisayarla çözülmesinin standart yoludur.

Kayıtsızlığa yöneltilen eleştiri

Karma dengenin bir zayıflığı sık sık tartışılır: dengede bir oyuncu, desteğindeki bütün stratejiler arasında kayıtsızdır. Öyleyse neden tam denge oranlarında karıştırsın? Rakip dengede kalırken oyuncu oranlarını değiştirse de kaybetmez. Dengeyi ayakta tutan, oyuncunun kendi çıkarı değil, rakibin kayıtsızlığıdır; bu yüzden karma dengeler kesin değildir ve bir önceki derste gördüğümüz anlamda kırılgandır.

Bu eleştiriye verilen cevaplardan biri, bir önceki bölümdeki arındırma yorumudur: küçük özel getiri farkları, her oyuncuyu saf bir seçime iter ve bu seçimler toplamda denge oranlarını üretir. Bir başka cevap öğrenme kuramlarından gelir: tekrarlanan oyunlarda oyuncular rakibin geçmiş oranlarına en iyi tepki verdiğinde, bazı oyunlarda oranlar zamanla dengeye yaklaşır. Profesyonel tenis verileri, deneyimin ve rekabetin oyuncuları denge oranlarına itebildiğini gösteren bir alan kanıtıdır. Üçüncü bir cevap ise nüfus yorumundan gelir: karışım bir kişinin değil bir topluluğun özelliğiyse, her bireyin saf bir strateji seçmesi ve topluluktaki oranların denge oranlarına oturması yeterlidir; tek tek bireylerin kayıtsızlığı dengeyi sarsmaz.

Karışımları yorumlamak

Karma dengenin yorumu tartışmalıdır. Birinci yorum, kelimenin tam anlamıyla rastgele seçimdir: oyuncu bir zar atar. İkinci yorum, John Harsanyi'nin önerdiği arındırma yorumudur: her oyuncunun getirisinde, rakibin gözlemleyemediği küçük özel bir bileşen vardır; oyuncu bu bileşene göre saf bir seçim yapar, ama rakibin gözünden bakıldığında seçimi rastgele görünür. Bu yorumda karışım, oyuncunun kafasındaki bir zar değil, rakibin oyuncu hakkındaki belirsizliğidir. Üçüncü yorum, büyük bir nüfusta farklı oyuncuların farklı saf stratejiler seçmesidir; karışım oranları, nüfusun hangi kısmının hangi stratejiyi seçtiğini gösterir.

Walker ve Wooders'ın test ettiği iki öngörü, bu yorumlarla farklı biçimlerde ilişkilidir. Kazanma oranlarının eşitliği, hangi yorum benimsenirse benimsensin dengenin bir sonucudur. Seri bağımsızlık ise birinci yorumda doğrudan bir gerekliliktir; arındırma yorumunda da, özel bileşenler ardışık puanlarda bağımsızsa geçerlidir. Tenisçilerin çok sık yön değiştirmesi, rakiplerin bu düzeni sömürebileceği kadar güçlüyse, denge yorumu için bir sorun oluşturur. Kazanma oranlarındaki uyum ise, rakiplerin bu düzeni en azından büyük ölçüde sömüremediğini düşündürür; iki bulgu birlikte okunduğunda sapma gerçek ama sınırlıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Karma strateji dengesinde her oyuncunun kullandığı saf stratejiler aynı beklenen getiriyi verir; bu yüzden bir oyuncunun karışım oranları rakibini kayıtsız bırakma koşulundan bulunur.
2. Minimaks teoremine göre iki kişilik sonlu sıfır toplamlı oyunlarda, birinci oyuncunun garanti edebildiği değer ile ikincinin izin vermek zorunda kaldığı değer karma stratejilerle eşitlenir.
3. Denetim oyununda cezanın artırılması dengede kaçırma olasılığını değiştirmez, denetim olasılığını düşürür; kaçırmayı denetim maliyetleri belirler.
4. Walker ve Wooders, on profesyonel tenis maçındaki 40 puan oyununun yalnızca birinde kazanma oranlarının eşitliğini reddetti; ama oyuncular yön değiştirmeyi gereğinden sık yaptı.
5. Gauriot, Page ve Wooders'a göre yaklaşık yarım milyon serviste erkeklerin kazanma oranları teoriye dikkat çekici ölçüde yakındı ve daha iyi oyuncular teoriye daha çok uydu.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kayıtsızlık ilkesi nedir? Bir oyuncunun karışım oranlarının neden rakibinin getirilerine göre belirlendiğini açıklayın.
2. (Çıktı 2) Bir penaltı atışında atıcı sola ya da sağa vurabilir, kaleci sola ya da sağa atlayabilir. Atıcının gol olasılıkları: (sol, sol) = 0,60; (sol, sağ) = 0,95; (sağ, sol) = 0,90; (sağ, sağ) = 0,70. Atıcının sola vurma olasılığını ve kalecinin sola atlama olasılığını bulun. Dengede gol olasılığı nedir?
3. (Çıktı 2) Soru 2'deki oyunda atıcının ortaya vurma seçeneği de olsun ve ortaya vuruş, kaleci nereye atlarsa atlasın 0,75 olasılıkla gol olsun. Bu seçenek dengede kullanılır mı? Neden?
4. (Çıktı 3) Bu dersteki denetim oyununda kaçırılan vergi 100'den 200'e çıksın, inceleme maliyeti 30 kalsın. Dengede kaçırma olasılığı nasıl değişir? Ceza F = 200 iken inceleme olasılığı ne olur?
5. (Çıktı 3) Minimaks teoreminin söylediği nedir? Servis örneğinde servisçinin garanti edebildiği değeri ve karşılayanın izin vermek zorunda kaldığı değeri karşılaştırın.
6. (Çıktı 4) Bir spor yorumcusu, «Profesyonel sporcular hesap makinesi değildir; karma strateji teorisi sahada işe yaramaz» diyor. Bu görüşü Walker ve Wooders'ın ve Gauriot, Page ve Wooders'ın bulgularıyla değerlendirin.

Cevaplar

1. Kayıtsızlık ilkesine göre karma strateji dengesinde bir oyuncunun pozitif olasılıkla kullandığı bütün saf stratejiler aynı beklenen getiriyi verir. Bir oyuncunun karışımı, kendi stratejilerinin getirisini değil, rakibinin stratejilerinin getirisini belirler. Rakibin karışım yapabilmesi için, onun stratejilerinin eşit getiri vermesi gerekir; bu da ancak oyuncunun karışımı belirli bir oranda olduğunda sağlanır. Bu yüzden her oyuncunun karışım oranları, rakibini kayıtsız bırakma koşulundan, yani rakibin getirilerinden bulunur.
2. Atıcının sola vurma olasılığına p diyelim. Kalecinin kayıtsız kalması için: 0,60p + 0,90(1 − p) = 0,95p + 0,70(1 − p). Sol taraf 0,90 − 0,30p, sağ taraf 0,70 + 0,25p'dir; 0,20 = 0,55p ve p ≈ 0,364. Kalecinin sola atlama olasılığına q diyelim. Atıcının kayıtsız kalması için: 0,60q + 0,95(1 − q) = 0,90q + 0,70(1 − q). Sol taraf 0,95 − 0,35q, sağ taraf 0,70 + 0,20q'dir; 0,25 = 0,55q ve q ≈ 0,455. Gol olasılığı 0,60 × 0,455 + 0,95 × 0,545 ≈ 0,791'dir.
3. Kalecinin dengedeki karışımına karşı sola ve sağa vuruş yaklaşık 0,791 gol olasılığı veriyor. Ortaya vuruş ise 0,75 veriyor. Ortaya vuruş dengedeki karışıma karşı daha kötü olduğu için desteğin dışında kalır ve dengede kullanılmaz. Ortaya vuruşun gol olasılığı 0,791'in üzerinde olsaydı, mevcut karışım artık bir denge olmazdı ve yeni bir denge hesaplanması gerekirdi.
4. Kaçırma olasılığı, idarenin kayıtsızlık koşulundan bulunur: incelemenin getirisi −30, incelememenin getirisi −200e'dir; e = 30 ÷ 200 = 0,15. Kaçırılan vergi büyüdükçe kaçırma olasılığı yüzde 30'dan yüzde 15'e iner, çünkü incelememenin idareye maliyeti artar. İnceleme olasılığı mükellefin kayıtsızlık koşulundan bulunur: r × (−200) + (1 − r) × 200 = 0, yani r = 0,5. Mükellefin kaçırmaktan kazancı arttığı için idare daha sık incelemek zorundadır.
5. Minimaks teoremine göre iki kişilik sonlu sıfır toplamlı oyunlarda, birinci oyuncunun rakibin en iyi tepkisine karşı garanti edebileceği en yüksek değer, ikinci oyuncunun birinciye izin vermek zorunda kaldığı en düşük değere karma stratejilerle eşittir. Servis örneğinde servisçi saf stratejilerle en fazla 0,58 garanti edebilirken, yüzde 53,3 sola atan karışımla 0,65 garanti eder. Karşılayan saf stratejilerle servisçiye en az 0,73 izin vermek zorundayken, yüzde 66,7 sola hazırlanan karışımla bunu 0,65'e indirir. İki değer 0,65'te buluşur.
6. Yorumcunun dayandığı nokta kısmen doğrudur: sporcular denklem çözmez ve laboratuvar deneylerinde insanlar karma denge oranlarından sapıyor. Walker ve Wooders da tenisçilerin yön değiştirmeyi gereğinden sık yaptığını, yani tam rastgeleliği tutturamadığını buldu. Ama aynı çalışmada 40 puan oyununun yalnızca birinde kazanma oranlarının eşitliği reddedildi; Gauriot, Page ve Wooders yaklaşık yarım milyon serviste erkeklerin kazanma oranlarının teoriye dikkat çekici ölçüde yakın olduğunu ve daha iyi oyuncuların teoriye daha çok uyduğunu gösterdi. Sporcular hesap yapmasa da, deneyim ve rekabet onları dengedeki davranışa yaklaştırıyor. Daha doğru bir yargı, teorinin yüksek ödüllü ve deneyimli oyuncularda iyi çalıştığı, ama tam rastgeleliğin insanlar için zor olduğudur.

İleri okuma

• Mark Walker, John Wooders (2001). «Minimax Play at Wimbledon». American Economic Review, cilt 91, sayı 5. Karma strateji dengesinin profesyonel tenis verileriyle sınanması.
• Romain Gauriot, Lionel Page, John Wooders (2018). «Nash at Wimbledon: Evidence from Half a Million Serves». Çalışma metni. Aynı sorunun çok büyük bir veriyle yeniden sınanması.
• John von Neumann (1928). «Zur Theorie der Gesellschaftsspiele». Mathematische Annalen 100. Minimaks teoreminin ilk ispatı.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki oyunlarda oyuncular aynı anda, birbirinin seçimini görmeden karar veriyordu. Ama birçok stratejik durumda bir taraf önce hamle yapar, öbürü onu gördükten sonra karar verir: bir firma piyasaya girer, yerleşik firma fiyat savaşı başlatıp başlatmayacağına karar verir. Böyle oyunları sondan başa doğru nasıl çözeriz ve önce hamle yapmak bir avantaj mıdır, dezavantaj mı? Sıradaki ders dinamik oyunları ve geriye doğru çözümü ele alıyor.