Nash dengesi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — En iyi tepkiyi, en iyi tepki eşlemesini, kesin Nash dengesini, getiriden ve riskten baskın dengeyi ve sabit noktayı tanımlar.
• Uygulama — Bir getiri tablosunda ve sürekli stratejili bir oyunda en iyi tepkileri bularak bütün saf strateji Nash dengelerini hesaplar.
• Analiz — Birden çok dengenin bulunduğu oyunlarda getiriden baskınlık ile riskten baskınlığın neden farklı dengeleri işaret edebildiğini ve deneylerde hangisinin gözlendiğini çözümler.
• Değerlendirme — Nash dengesinin bir öngörü aracı olarak ne zaman güvenilir, ne zaman yanıltıcı olduğunu laboratuvar bulgularına dayanarak değerlendirir.

Sezgi

Açılış

1950 Ocak'ında bir Amerikan bilim dergisinde iki sayfalık bir makale yayımlandı. Yazarı yirmi bir yaşında bir doktora öğrencisiydi. Makale, sayısı ne olursa olsun oyuncuların bulunduğu ve her birinin sonlu sayıda seçeneği olan her oyunda, kimsenin tek başına seçimini değiştirmek istemeyeceği en az bir durumun bulunduğunu kanıtlıyordu. Kırk dört yıl sonra bu çalışma, yazarına iktisat alanında Nobel ödülünü getirdi.

Stratejik düşünce dersinde, oyuncuların birbirinin aklını okumaya çalışırken kaç adım ilerlediğini gördük. Yinelemeli eleme bazı oyunlarda tek bir sonuca ulaşıyordu; ama çoğu oyunda birçok strateji elenmeden kalıyor. Bu dersin sorusu şu: eleme yetmediğinde, oyunun nerede duracağını nasıl öngörürüz ve bu öngörü gerçek insanların davranışına ne kadar uyar?

Hikâye — kayıp bavullar

İki yolcu tatil dönüşü havaalanında bavullarının kaybolduğunu öğreniyor. Bavullarda aynı yerden aldıkları birer antika var. Havayolu yetkilisi bir kural koyuyor: ikisi de birbirinden habersiz bir tazminat talebi yazacak; talepler belirli bir alt ve üst sınır arasında olmalı. Her ikisine de iki talepten düşük olanı kadar ödeme yapılacak. Talepler farklıysa, düşük talepte bulunan bir ödül alacak, yüksek talepte bulunandan aynı miktar ceza olarak kesilecek.

Bu oyunun tek bir Nash dengesi vardır: ikisi de olabilecek en düşük talebi yazar. Nedeni şudur: karşı taraf herhangi bir talepte bulunursa, ondan biraz daha az yazıp ödülü almak her zaman daha iyidir. Bu mantık talepleri adım adım aşağı çeker ve alt sınırda durdurur. Ödülün büyüklüğü bu sonucu değiştirmez.

Jacob Goeree ve Charles Holt, bu oyunu Virginia Üniversitesi'nde öğrencilere oynattı.

Kavram — kimsenin pişman olmadığı nokta

Nash dengesinin temel fikri, bir önceki derste tanıdığımız en iyi tepki kavramına dayanır.

Nash dengesinde her oyuncu öbürlerine en iyi tepkiyi verir. Kimse, öbürlerinin seçimleri sabitken kendi seçimini değiştirerek daha iyi duruma geçemez. Bu tanım, oyuncuların birbirini doğru tahmin ettiği, beklentilerin kendi kendini doğruladığı bir durumu anlatır.

Bazı dengeler kırılgandır: bir oyuncu, dengeden ayrılıp başka bir stratejiye geçtiğinde kaybetmez, yalnızca aynı getiride kalır. Bazıları ise sağlamdır.

Birçok oyunda birden fazla Nash dengesi vardır. Oyun teorisine giriş dersinde koordinasyon oyunlarını ve odak noktalarını tanımıştık. Peki dengeler arasında bir seçim yapmak gerektiğinde, oyuncular hangisine yönelir?

Veri ve kanıt — güven pahalıya geldiğinde

Goeree ve Holt'un deneylerinden biri, birden çok dengenin bulunduğu bir koordinasyon oyunuydu. İki oyuncu aynı anda bir çaba düzeyi seçiyordu; ortak ürün iki çabanın küçük olanıydı ve her oyuncu kendi çabası için bir maliyet ödüyordu.

Bu bulgu, Nash dengesinin hangi dengenin seçileceğini söylemediğini açıkça gösteriyor. İki koşulda da 170 dengesi herkes için en iyisiydi. Ama maliyet yükselince, yüksek çaba göstermek ve karşı tarafın düşük çaba göstermesi riski daha pahalı hâle geldi; oyuncular güvenli olan düşük dengeye kaydı.

Neden önemli? — beklentilerin buluştuğu yer

Nash dengesi, iktisatta en çok kullanılan kavramlardan biridir. Firmaların fiyat rekabeti, merkez bankası ile piyasaların etkileşimi, ülkeler arası ticaret müzakereleri ve ihaleler, büyük ölçüde Nash dengesi aracılığıyla incelenir. Kavramın gücü, beklentilerin tutarlı olduğu, kimsenin pişman olmadığı bir durumu tanımlamasıdır.

Gezgin ikilemi ve çaba oyunu ise kavramın iki sınırını hatırlatıyor. Birincisi, birden çok denge varsa hangisinin gerçekleşeceğini güven, risk ve maliyet belirler; bir toplumda düşük güven dengesinde kalmak, herkesin daha iyi olabileceği yüksek güven dengesine geçişi zorlaştırabilir. İkincisi, tek bir denge olduğunda bile, dengeden sapmanın bedeli küçükse insanlar dengeden uzaklaşabilir. İyi bir analiz, dengeyi hesaplamakla yetinmez; dengenin ne kadar sağlam olduğunu da sorar.

Model

Bu bölümde Nash dengelerini getiri tablolarında ve sürekli stratejili oyunlarda adım adım buluyoruz. Sayılar açıklama amaçlı örneklerdir.

Dengeyi bulmanın yöntemi

İki oyunculu bir getiri tablosunda dengeyi bulmanın basit bir yolu vardır. Önce sütun oyuncusunun seçebileceği sütunları tek tek ele alır ve her sütunda satır oyuncusunun en yüksek getirisinin altını çizeriz. Sonra satırları tek tek ele alır ve her satırda sütun oyuncusunun en yüksek getirisinin altını çizeriz. Bir sütunda ya da satırda birden fazla en yüksek değer varsa, hepsinin altı çizilir. İki oyuncunun da işaretli olduğu hücreler, saf strateji Nash dengeleridir. Bu yöntem, dengenin tanımını doğrudan uygular: işaretli bir hücrede iki oyuncu da öbürüne en iyi tepkiyi vermektedir.

Çözümlü örnek — İşaretleme yöntemi

İki şirket bir pazara hangi ürünle gireceğine karar veriyor: ucuz, orta ya da lüks. Kârlar milyon lira cinsinden, önce A'nın, sonra B'nin kârı olarak verilmiştir.

A için en iyi tepkiler: B ucuz seçerse A'nın kârları 2, 4, 6'dır; en iyisi lüks. B orta seçerse 5, 1, 7; en iyisi lüks. B lüks seçerse 6, 3, 0; en iyisi ucuz. B için en iyi tepkiler: A ucuz seçerse B'nin kârları 2, 4, 6; en iyisi lüks. A orta seçerse 5, 1, 7; en iyisi lüks. A lüks seçerse 6, 3, 0; en iyisi ucuz.

İki oyuncunun da işaretli olduğu hücreler (Ucuz, Lüks) ve (Lüks, Ucuz)'dur. Oyunun iki saf strateji Nash dengesi vardır: biri ucuz, öbürü lüks ürünle girer. Her iki dengede de iki şirket 6 milyon kazanır. Hangisinin gerçekleşeceği, oyunun dışındaki etkenlere, örneğin hangi şirketin önce duyuru yaptığına ya da hangisinin lüks pazarda tanındığına bağlıdır.

Çözümlü örnek — Gezgin ikileminin dengesi

Gezgin ikilemini sadeleştirelim: talepler 180 ile 300 arasında tam sayılardır ve ödül ve ceza R'dir. Karşı tarafın talebi x ise ve x'ten büyük bir sayı yazarsam, x − R alırım; x yazarsam x alırım; x'ten küçük bir y yazarsam y + R alırım. y = x − 1 seçersem x − 1 + R alırım. R 1'den büyükse bu, x'ten büyüktür. Demek ki karşı taraf x yazarken en iyi tepkim x − 1'dir; x = 180 olduğunda daha aşağı inemem ve 180 en iyi tepkidir.

Bu akıl yürütme, her talebin bir altına inmenin cazip olduğunu ve tek dengenin (180, 180) olduğunu gösterir. Ama dengeden sapmanın bedelini hesaplayalım. Karşı taraf 300 yazarken ben 180 yazarsam, R = 5 için 185 alırım; 299 yazarsam 304 alırım. Karşı tarafın yüksek yazma olasılığı varsa, düşük talep pahalı bir sigortaya dönüşür. R = 180 olduğunda ise yüksek talebin cezası büyüktür ve düşük talep güvenli hâle gelir. Goeree ve Holt'un bulgusu bu hesabın sezgisel karşılığıdır.

Çözümlü örnek — Geyik avı ve iki denge

İki avcı ya birlikte geyik avlar ya da tek başına tavşan yakalar. Geyik avı ancak ikisi birlikte katılırsa başarılı olur. Getiriler şöyledir: ikisi de geyik avlarsa 4 ve 4; biri geyik, öbürü tavşan seçerse geyik seçen 0, tavşan seçen 3 alır; ikisi de tavşan seçerse 3 ve 3 alırlar.

İki saf strateji dengesi vardır: (Geyik, Geyik) ve (Tavşan, Tavşan). Geyik dengesi getiriden baskındır, çünkü iki oyuncuya da 4 verir. Riskten baskınlığı bulmak için sapma bedellerini karşılaştırırız. (Geyik, Geyik) dengesinden tek başına tavşana sapan oyuncu 4'ten 3'e iner; bedel 1'dir. İki oyuncu için çarpım 1 × 1 = 1'dir. (Tavşan, Tavşan) dengesinden tek başına geyiğe sapan oyuncu 3'ten 0'a iner; bedel 3'tür. Çarpım 3 × 3 = 9'dur. Tavşan dengesi riskten baskındır.

Aynı sonuca inançlarla da ulaşabiliriz. Karşı tarafın geyik seçme olasılığı q ise, geyik seçmenin beklenen getirisi 4q, tavşan seçmenin getirisi her zaman 3'tür. Geyik ancak q ≥ 0,75 olduğunda daha iyidir. Karşı tarafın geyik seçeceğinden yüzde 75'ten az eminsem, tavşan seçmem daha akıllıcadır.

Çözümlü örnek — Maliyet ve koordinasyon

Goeree ve Holt'un çaba oyununu sadeleştirelim: çabalar yalnızca 110 ya da 170 olabilir ve maliyet katsayısı c'dir. İki oyuncu da 170 seçerse her biri 170 − 170c, ikisi de 110 seçerse her biri 110 − 110c alır. Biri 170, öbürü 110 seçerse küçük çaba 110'dur; 170 seçen 110 − 170c, 110 seçen 110 − 110c alır.

c = 0,1 için yüksek denge 153, düşük denge 99 verir. Yüksek dengeden sapmanın bedeli 153 − 99 = 54, düşük dengeden sapmanın bedeli 99 − 93 = 6'dır. Çarpımlar 54 × 54 = 2.916 ve 6 × 6 = 36'dır; yüksek denge hem getiriden hem riskten baskındır. c = 0,9 için yüksek denge 17, düşük denge 11 verir. Yüksek dengeden sapmanın bedeli 17 − 11 = 6, düşük dengeden sapmanın bedeli 11 − (110 − 153) = 11 + 43 = 54'tür. Bu kez düşük denge riskten baskındır. Deneyde gözlenen kayma, bu hesapla uyumludur.

Çözümlü örnek — Sürekli stratejilerle denge

İki komşu çiftçinin ortak bir sulama kanalına emek verdiğini düşünelim. Her biri 0 ile 10 saat arasında çalışabilir. Kanalın faydası, iki çiftçinin toplam saatine bağlıdır ve her çiftçiye 10 × (x + y) − (x + y)² ÷ 2 kadar fayda sağlar; her saat çalışmanın kişisel maliyeti 4'tür. A çiftçisinin net getirisi 10 × (x + y) − (x + y)² ÷ 2 − 4x'tir.

A'nın en iyi tepkisini bulmak için getiriyi x'e göre en yükseğe çıkarırız: türev 10 − (x + y) − 4 = 0, yani x = 6 − y'dir. Simetrik olarak B'nin en iyi tepkisi y = 6 − x'tir. Bu iki doğru üst üste çakışır: x + y = 6 olan her bölüşüm bir Nash dengesidir. Örneğin (3, 3), (6, 0) ve (0, 6) dengedir. Toplam çaba belirlenmiştir, ama kimin ne kadar çalışacağı belirsizdir. Bu, bir kamu malına katkı oyununda birden çok dengenin nasıl ortaya çıktığını gösterir.

Kanalın iki çiftçiye toplam faydasını en yükseğe çıkaran toplam saat ise 2 × (10 − T) − 4 = 0'dan T = 8'dir. Dengede toplam 6 saat çalışılırken, ortak çıkar 8 saati gerektirir. Her çiftçi kendi emeğinin öbürüne sağladığı faydayı hesaba katmadığı için denge, toplumsal en iyiden azdır.

Çözümlü örnek — Dengenin Pareto etkinliği

Ürün seçimi örneğine dönelim. İki dengede de şirketler 6 milyon kazanıyor. Ama (Lüks, Orta) sonucu A'ya 7, B'ye 3 verir; toplam 10, dengelerdeki 12'den küçüktür. (Orta, Lüks) ise A'ya 3, B'ye 7 verir. Bu oyunda dengeler toplam kârı en yükseğe çıkaran sonuçlardır; ama bu genel bir kural değildir. Kanal örneğinde ve geyik avında olduğu gibi, Nash dengesi Pareto etkin olmayabilir: herkesin daha iyi olabileceği bir sonuç varken, oyuncular tek başına sapmaya isteksiz olduğu için daha kötü bir sonuçta kalabilir.

Çözümlü örnek — Kesin olmayan bir denge

Her denge aynı ölçüde sağlam değildir. Bir oyunda A'nın stratejileri Yukarı ve Aşağı, B'nin stratejileri Sol ve Sağ olsun. Getiriler, önce A sonra B için, (Yukarı, Sol) = 2, 2; (Yukarı, Sağ) = 2, 1; (Aşağı, Sol) = 1, 1; (Aşağı, Sağ) = 0, 0'dır.

B Sol seçerken A için Yukarı 2, Aşağı 1 verir; Yukarı tek en iyi tepkidir. A Yukarı seçerken B için Sol 2, Sağ 1 verir; Sol tek en iyi tepkidir. (Yukarı, Sol) kesin bir dengedir. Şimdi B'nin getirisini biraz değiştirelim: (Yukarı, Sağ) hücresinde B 1 yerine 2 alsın. Bu kez A Yukarı seçerken B için Sol ve Sağ aynı getiriyi verir; (Yukarı, Sol) hâlâ bir dengedir, ama kesin değildir. B'nin Sağ'a kayması ona hiçbir şey kaybettirmez. Böyle bir dengede küçük bir dikkatsizlik ya da karşı tarafa dair küçük bir şüphe, oyuncuyu dengeden uzaklaştırabilir. Kesin dengeler ise bu tür sarsıntılara karşı dayanıklıdır.

Çözümlü örnek — Belirsizlik altında gezgin

Gezgin ikilemine bir olasılık ekleyelim. Ödül ve ceza 5 olsun ve bir yolcu, karşı tarafın yüzde 50 olasılıkla 300, yüzde 50 olasılıkla 180 yazacağını düşünsün. 180 yazarsa, karşı taraf 300 yazdığında 185, 180 yazdığında 180 alır; beklenen getirisi 182,5'tir. 299 yazarsa, karşı taraf 300 yazdığında 304, 180 yazdığında 180 − 5 = 175 alır; beklenen getirisi 239,5'tir.

Ödül ve ceza 180 olduğunda aynı hesap çok farklı çıkar. 180 yazmak, karşı taraf 300 yazdığında 360, 180 yazdığında 180 verir; beklenen getiri 270'tir. 299 yazmak, karşı taraf 300 yazdığında 479, 180 yazdığında 0 verir; beklenen getiri 239,5'tir. Bu kez düşük talep daha iyidir.

Örnek, Goeree ve Holt'un bulgusunun mantığını açıkça gösteriyor. Nash dengesi, karşı tarafın da dengeyi oynadığını varsayar. Karşı tarafın dengeden sapma olasılığı varsa, en iyi seçim sapmanın bedeline göre değişir. Küçük bir ödül, yüksek talebin riskini ucuzlatır.

Çözümlü örnek — En iyi tepkilerle dengeye yürümek

Oyuncuların dengeyi nasıl bulabileceğini görmek için, sırayla en iyi tepki verdiklerini varsayalım. Ürün seçimi oyununda A ve B'nin ilk seçimleri orta ürün olsun. A, B'nin orta seçimine en iyi tepki olarak lükse geçer. B, A'nın lüks seçimine en iyi tepki olarak ucuza geçer. A, B'nin ucuz seçimine en iyi tepki olarak lükste kalır. Süreç (Lüks, Ucuz) dengesinde durur.

Aynı süreç kanal örneğinde de işler. A sıfır saatten başlarsa, B'nin en iyi tepkisi 6 − 0 = 6 saattir; A'nın buna en iyi tepkisi 6 − 6 = 0'dır ve süreç (0, 6) dengesinde durur. Ama iki oyuncu aynı anda güncelleme yaparsa sonuç farklıdır: ikisi de 0'dan başlarsa ikisi de 6'ya geçer, sonra ikisi de 0'a döner ve süreç bu iki nokta arasında gidip gelir. En iyi tepki süreçleri her zaman dengeye ulaşmaz; ulaşıp ulaşmadıkları, güncellemenin nasıl yapıldığına bağlıdır.

Modelin sınırları

Nash dengesi, oyuncuların birbirlerinin stratejilerini doğru tahmin ettiğini varsayar. Bu varsayım, oyun tekrar tekrar oynandığında ya da açık bir odak noktası olduğunda makuldür; ama ilk kez oynanan bir oyunda, birden çok denge varsa, oyuncuların aynı dengeyi beklemesi için bir neden yoktur. Ayrıca denge kavramı, sapmanın küçük ya da büyük bedeli arasında ayrım yapmaz; gezgin ikileminde olduğu gibi, bedeli küçük sapmalar davranışı dengeden uzaklaştırabilir. Bu yüzden Nash dengesini hesaplamak, analizin sonu değil başlangıcıdır.

Teknik

Tanım

Oyunu Γ = ⟨I, (A_j), (π_j)⟩ ile gösterelim: I oyuncular kümesi, A_j j oyuncusunun eylem kümesi, π_j de j'nin getiri fonksiyonudur. Bir eylem profilini a = (a_j, a_−j) biçiminde yazarız. j'nin en iyi tepki eşlemesi B_j(a_−j), a_−j sabitken π_j(·, a_−j) fonksiyonunu en yükseğe çıkaran eylemlerin kümesidir. a profili, bütün j'ler için a_j ∈ B_j(a_−j) koşulunu sağlıyorsa bir Nash dengesidir. Eşdeğer bir ifadeyle, hiçbir j ve hiçbir alternatif eylem b_j için π_j(b_j, a_−j) değeri π_j(a) değerini aşamaz. Bu karşılaştırmada a_j dışındaki her b_j kesin olarak daha düşük getiri veriyorsa, a* kesin Nash dengesidir.

Bütün oyuncuların eşlemelerini bir araya getiren B(a) = B_1(a_−1) × … × B_n(a_−n) eşlemesi, her eylem profiline bir profiller kümesi atar. a'ın bir Nash dengesi olması, a'ın B(a*) kümesine ait olmasıyla aynı şeydir. Başka bir deyişle Nash dengeleri, B eşlemesinin sabit noktalarıdır.

Varlık teoremi

Saf stratejilerde Nash dengesi her zaman yoktur; yazı tura gibi oyunlarda hiçbir hücre iki oyuncu için de en iyi tepki değildir. Nash'in 1950'deki katkısı, karma stratejilere izin verildiğinde her sonlu oyunda bir denge bulunduğunu göstermekti.

İspatın taslağı şöyledir. Her oyuncunun karma stratejiler kümesi Δ(S_i), sonlu boyutlu bir uzayda boş olmayan, kapalı, sınırlı ve dışbükey bir kümedir; bu kümelerin çarpımı Σ da aynı özellikleri taşır. Beklenen getiri, her oyuncunun kendi karma stratejisinde doğrusaldır ve bütün stratejilerde süreklidir. Bu özellikler üç sonuç verir. Birincisi, en iyi tepki kümesi boş değildir, çünkü sürekli bir fonksiyon kapalı ve sınırlı bir kümede en büyük değerine ulaşır. İkincisi, en iyi tepki kümesi dışbükeydir, çünkü getiri kendi stratejide doğrusal olduğu için iki en iyi tepkinin her karışımı da en iyi tepkidir. Üçüncüsü, en iyi tepki eşlemesinin grafiği kapalıdır: öbürlerinin stratejileri bir diziyle yakınsarken en iyi tepkiler de yakınsıyorsa, limit strateji limit profile en iyi tepkidir. Kakutani teoremine göre, boş olmayan, kapalı, sınırlı ve dışbükey bir kümeden kendisine giden, boş olmayan dışbükey değerli ve kapalı grafikli her eşlemenin bir sabit noktası vardır. BR eşlemesinin sabit noktası, bir Nash dengesidir.

Nash dengesi ve rasyonelleştirilebilirlik

Bir önceki derste, Nash dengesindeki stratejilerin yinelemeli kesin baskınlıkla elenmediğini gördük. Aynı mantıkla, dengede oynanan her eylem rasyonelleştirilebilir bir eylemdir: a_j, öbürlerinin a_−j oynayacağı beklentisine göre en iyi seçimdir ve bu beklenti, kendileri de rasyonelleştirilebilir olan eylemlere dayanır. Tersi doğru değildir. Rasyonelleştirilebilirlik, oyuncuların inançlarının tutarlı olmasını ister; Nash dengesi ayrıca bu inançların doğru olmasını, yani oyuncuların birbirlerinin gerçek stratejilerini bildiklerini ister. Ürün seçimi örneğinde (Lüks, Lüks) profili rasyonelleştirilebilir stratejilerden oluşur, ama bir denge değildir: A, B'nin ucuz seçeceğine inanarak lüks seçer, B de A'nın ucuz seçeceğine inanarak lüks seçer; iki inanç da yanlıştır.

Sürekli eylemli oyunlarda saf strateji dengesi

Kanal örneğinde olduğu gibi eylemler sürekli olduğunda, karma stratejilere gerek kalmadan saf bir denge bulunabilir. Bunun için yeterli koşullar Nash'in ispatına benzer: her oyuncunun eylem kümesi boş olmayan, kapalı, sınırlı ve dışbükey olmalı; getiri fonksiyonları sürekli olmalı ve her oyuncunun getirisi kendi eyleminde yarı içbükey olmalıdır. Yarı içbükeylik, en iyi tepki kümesinin dışbükey olmasını sağlar; süreklilik grafiğin kapalı olmasını sağlar. Kakutani teoremi yine bir sabit nokta, yani saf bir denge verir. Kanal örneğinde getiri, kendi çalışma saatinde içbükeydir: 10T − T² ÷ 2 − 4x fonksiyonunun x'e göre ikinci türevi −1'dir. Bu yüzden en iyi tepkiler iyi tanımlıdır ve denge vardır.

Kesin dengelerin dayanıklılığı

Kesin bir Nash dengesinde, her oyuncunun denge eylemi öbürlerinin denge eylemlerine karşı diğer bütün eylemlerden pozitif bir farkla daha iyidir. Sonlu bir oyunda bu farkların en küçüğüne δ diyelim. Getiriler δ ÷ 2'den küçük miktarlarda değiştirilirse, hiçbir sapma bu farkı kapatamaz ve aynı profil yine kesin bir denge olarak kalır. Bu, kesin dengelerin getiri tablosundaki küçük ölçüm hatalarına ya da tercihlerdeki küçük değişimlere karşı sağlam olduğunu gösterir. Kesin olmayan dengelerde ise en küçük fark sıfırdır; getirideki küçük bir değişiklik dengeyi ortadan kaldırabilir. Model bölümündeki kesin olmayan denge örneği bunun somut bir hâlidir.

En iyi tepki dinamiği

En iyi tepki dinamiğinde her dönemde bir oyuncu, öbürlerinin son seçimlerine en iyi tepkiyi verir. Bu süreç durursa, durduğu nokta tanım gereği bir Nash dengesidir: hiçbir oyuncu güncelleme yapmak istemiyorsa, herkes öbürlerine en iyi tepki veriyordur. Ama sürecin durması garanti değildir. Eşanlı güncellemede kanal örneğindeki gibi iki nokta arasında salınım oluşabilir; sırayla güncellemede ise doğrusal ve azalan en iyi tepkilere sahip oyunlarda süreç genellikle dengeye ulaşır. Bu ayrım, dengenin yalnızca var olup olmadığını değil, oyuncuların ona nasıl ulaşabileceğini de sorgulamanın önemini gösterir. Oyun teorisinin öğrenme ve evrim kuramları, bu sorunun daha genel biçimlerini inceler.

Riskten baskınlığın biçimsel tanımı

İki oyunculu, iki stratejili, iki kesin saf strateji dengesine sahip bir oyunda, (A, A) ve (B, B) dengeleri olsun. u_i(A, A) − u_i(B, A) farkı, i oyuncusunun (A, A) dengesinden tek başına sapmasının bedelidir. John Harsanyi ve Reinhard Selten'in tanımına göre (A, A), [u_1(A, A) − u_1(B, A)] × [u_2(A, A) − u_2(A, B)] çarpımı, (B, B) için tanımlanan karşılık gelen çarpımdan büyükse riskten baskındır. Simetrik oyunlarda bu tanım, her oyuncunun karşı tarafın iki stratejiyi eşit olasılıkla seçtiği inancına göre daha yüksek beklenen getiri veren dengeyi seçmesiyle çakışır. Geyik avında karşı tarafın her stratejiyi yüzde 50 olasılıkla seçtiği varsayılırsa geyiğin beklenen getirisi 2, tavşanın getirisi 3'tür; tavşan dengesi riskten baskındır.

Getiriden baskınlık ile riskten baskınlık çatıştığında hangisinin seçileceği, kuramın tek başına cevaplayamadığı bir sorudur. Harsanyi ve Selten, genel bir denge seçimi kuramı önerdi; deneysel çalışmalar ise seçimin, sapma bedellerine, grup büyüklüğüne ve oyunun geçmişine duyarlı olduğunu gösterir. Goeree ve Holt'un çaba oyunu, maliyet arttıkça davranışın riskten baskın dengeye kaydığını gösteren açık bir örnektir.

Uygulama

Özet kartı

1. Nash dengesinde hiçbir oyuncu tek başına seçimini değiştirerek kazanamaz; dengeler, en iyi tepki eşlemesinin sabit noktalarıdır.
2. Nash 1950'de, sonlu her oyunda karma stratejilerde en az bir dengenin bulunduğunu Kakutani'nin sabit nokta teoremiyle kanıtladı; 1994 Nobel iktisat ödülü Harsanyi, Nash ve Selten'e ortaklaşa verildi.
3. Birden çok denge olduğunda getiriden baskın denge herkes için en iyisidir, riskten baskın denge ise karşı tarafa dair belirsizlik altında daha güvenlidir; ikisi farklı dengeleri işaret edebilir.
4. Goeree ve Holt'un gezgin ikileminde tek denge 180'di; ödül ve ceza 180 iken katılımcıların yüzde 80'e yakını dengeyi seçti, 5 iken benzer bir oran en yüksek talebi seçti.
5. Çaba koordinasyon oyununda maliyet katsayısı 0,1 iken seçimler en yüksek çabada, 0,9 iken en düşük çabada toplandı; Nash dengesi olası sonuçları daraltır ama hangisinin seçileceğini söylemez.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) En iyi tepki ile Nash dengesi arasındaki ilişki nedir? Bir Nash dengesinin neden en iyi tepki eşlemesinin sabit noktası olduğunu açıklayın.
2. (Çıktı 2) Bir getiri tablosunda A'nın stratejileri Yukarı ve Aşağı, B'nin stratejileri Sol ve Sağ olsun. Getiriler (önce A, sonra B): (Yukarı, Sol) = 3, 2; (Yukarı, Sağ) = 0, 0; (Aşağı, Sol) = 0, 0; (Aşağı, Sağ) = 2, 3. Bütün saf strateji Nash dengelerini bulun. Bu dengelerin kesin olup olmadığını belirtin.
3. (Çıktı 2) Bu dersteki kanal örneğinde çalışma saatinin kişisel maliyeti 4 yerine 2 olsaydı, en iyi tepkiler ve dengedeki toplam saat ne olurdu? Toplumsal en iyi toplam saati de hesaplayın.
4. (Çıktı 3) Geyik avında tavşan seçen oyuncunun getirisi 3 yerine 1 olsaydı, hangi denge riskten baskın olurdu? Karşı tarafın geyik seçme olasılığının hangi eşiğin üstünde olması geyiği daha iyi kılar?
5. (Çıktı 3) Goeree ve Holt'un çaba oyununda maliyet katsayısı 0,1'den 0,9'a çıktığında davranışın düşük çabaya kaymasını getiriden ve riskten baskınlık kavramlarıyla açıklayın.
6. (Çıktı 4) Bir danışman, «Oyunun tek bir Nash dengesi varsa, insanların onu oynayacağından emin olabiliriz» diyor. Bu görüşü gezgin ikilemi bulgusu ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. En iyi tepki, öbür oyuncuların stratejileri veriyken bir oyuncuya en yüksek getiriyi sağlayan stratejidir. Nash dengesinde her oyuncunun stratejisi, öbürlerinin denge stratejilerine karşı bir en iyi tepkidir. Bütün oyuncuların en iyi tepkilerini birleştiren BR eşlemesi, bir strateji profiline bir profiller kümesi atar. Bir s profili, kendi BR(s) kümesinin içindeyse, yani her oyuncunun stratejisi öbürlerine en iyi tepkiyse, eşlemenin sabit noktasıdır; bu tam olarak Nash dengesinin tanımıdır.
2. A için: B Sol seçerse Yukarı (3 > 0), B Sağ seçerse Aşağı (2 > 0) en iyi tepkidir. B için: A Yukarı seçerse Sol (2 > 0), A Aşağı seçerse Sağ (3 > 0) en iyi tepkidir. İki oyuncunun da işaretli olduğu hücreler (Yukarı, Sol) ve (Aşağı, Sağ)'dır. Her iki dengede de tek başına sapan oyuncu kesin olarak kaybeder (3'ten ya da 2'den 0'a iner); bu yüzden ikisi de kesin Nash dengesidir.
3. A'nın getirisinin türevi 10 − (x + y) − 2 = 0'dan en iyi tepki x = 8 − y olur; simetrik olarak y = 8 − x. Dengede x + y = 8 olan her bölüşüm bir dengedir; toplam 8 saattir. Toplumsal en iyi için 2 × (10 − T) − 2 = 0'dan T = 9 bulunur. Maliyet düştüğünde hem dengedeki hem toplumsal en iyideki toplam saat artar, ama denge yine toplumsal en iyinin altında kalır.
4. Yeni getirilerle (Tavşan, Tavşan) her oyuncuya 1 verir. (Geyik, Geyik) dengesinden tavşana sapmanın bedeli 4 − 1 = 3, çarpım 9'dur. (Tavşan, Tavşan) dengesinden geyiğe sapmanın bedeli 1 − 0 = 1, çarpım 1'dir. Bu kez geyik dengesi hem getiriden hem riskten baskındır. Karşı tarafın geyik seçme olasılığı q ise geyiğin beklenen getirisi 4q, tavşanın getirisi 1'dir; geyik, q ≥ 0,25 olduğunda daha iyidir.
5. İki koşulda da en yüksek çaba dengesi bütün oyunculara en yüksek getiriyi sağlıyordu, yani getiriden baskındı. Maliyet katsayısı 0,1 iken yüksek çabadan sapmanın bedeli büyük, düşük çabadan sapmanın bedeli küçüktü; yüksek denge aynı zamanda riskten de baskındı ve oyuncular orada buluştu. Katsayı 0,9'a çıktığında yüksek çaba göstermek, karşı taraf düşük çaba gösterirse çok pahalı hâle geldi; düşük denge riskten baskın oldu ve oyuncular güvenli olan bu dengeye kaydı.
6. Danışmanın görüşü, dengenin tek olmasının davranışı da tek başına belirlediğini varsayıyor. Gezgin ikileminde tek Nash dengesi 180'di ve iki koşulda da değişmedi. Ödül ve ceza 180 iken katılımcıların yüzde 80'e yakını dengeyi seçti; ama 5'e indirildiğinde benzer bir oran en yüksek talebi seçti ve ortalama 280 oldu. Dengeden sapmanın bedeli küçük olduğunda, insanlar karşı tarafın da yüksek talepte bulunabileceğini hesaba kattı. Tek bir denge olması güçlü bir öngörü başlangıcıdır, ama sapmanın bedeli ve karşı tarafa dair belirsizlik hesaba katılmadan bu öngörüden emin olunamaz.

İleri okuma

• John F. Nash (1950). «Equilibrium Points in n-Person Games». Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1). Nash dengesinin tanımı ve varlığının ispatı.
• Jacob K. Goeree, Charles A. Holt (2001). «Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions». American Economic Review 91(5). Nash dengesinin öngörü gücünün sınırlarını gösteren laboratuvar deneyleri.
• John C. Harsanyi, Reinhard Selten (1988). A General Theory of Equilibrium Selection in Games. MIT Press. Birden çok denge arasında seçim ve riskten baskınlık.

Sonraki derse köprü

Bu dersteki dengelerin hepsi saf stratejilerdendi: her oyuncu tek bir seçeneği kesinlikle seçiyordu. Ama bazı oyunlarda böyle bir denge yoktur. Penaltı atan oyuncu ile kaleci, ya da denetim yapan müfettiş ile vergi beyannamesi veren mükellef, karşı taraf seçimlerini önceden bilirse kaybeder. Böyle oyunlarda oyuncular neden rastgele davranmalı ve doğru rastgelelik oranı nasıl bulunur? Sıradaki ders karma stratejileri ele alıyor.