Stratejik düşünce

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Stratejik biçimli oyunu, kesin baskın olunan stratejiyi, rasyonelliğin ortak bilgisini, rasyonelleştirilebilir stratejiyi, düşünme düzeyi modelini ve bilişsel hiyerarşi modelini tanımlar.
• Uygulama — Bir getiri tablosunda kesin baskın olunan stratejileri yinelemeli olarak eler ve bir sayı tahmin oyununda farklı düşünme düzeylerinin seçimlerini hesaplar.
• Analiz — Gazete ve laboratuvar deneylerindeki seçim dağılımlarını, rasyonelliğin ortak bilgisi varsayımı ile sınırlı düşünme derinliği modellerinin öngörüleriyle karşılaştırır.
• Değerlendirme — Bir stratejik durumda denge kavramına mı, yoksa karşı tarafın düşünme derinliğine dair bir tahmine mi dayanılması gerektiğini, oyunun ve oyuncuların özelliklerine göre gerekçelendirir.

Sezgi

Açılış

1997 baharında İngiltere'de bir ekonomi gazetesi okurlarına bir bilmece sordu. Herkes 0 ile 100 arasında bir tam sayı yazıp gönderecekti. Kazanan, bütün okurların yazdığı sayıların ortalamasının üçte ikisine en yakın sayıyı yazan olacaktı. Ödül, Londra'dan New York'a ya da Chicago'ya iki uçak bileti.

Bu bilmecenin doğru bir cevabı var mı? Bir anlamda var: herkes kusursuz akıl yürütürse ve herkes herkesin kusursuz akıl yürüttüğünü bilirse, tek tutarlı cevap sıfırdır. Ama sıfır yazan okur kazanamadı. Kazanmak için doğru akıl yürütmeyi değil, öbür okurların ne kadar derin akıl yürüteceğini tahmin etmek gerekiyordu. Stratejik düşünce tam olarak budur: sonucunuzun başkalarının seçimine, onların seçiminin de sizin seçiminize dair tahminlerine bağlı olduğu durumlarda karar vermek.

Oyun teorisine giriş dersinde oyunların temel araçlarını tanıdık: getiri tablolarını, karma stratejileri, sıralı oyunları. Bu kurs aynı araçları daha sıkı bir dille yeniden kuruyor. İlk soru, her şeyin temelinde yatan sorudur: bir oyuncu, öbür oyuncuların ne yapacağına dair hangi varsayımla düşünmeli?

Hikâye — üç yayın, yaklaşık sekiz bin okur

Gazete bilmecesi tek değildi. Aynı yıl İspanya'da bir iş gazetesi, birkaç ay sonra da Almanya'da bir bilim dergisi okurlarına aynı oyunu sordu. Rosemarie Nagel, Antoni Bosch-Domènech, Albert Satorra ve José García-Montalvo, üç yayından gelen yaklaşık sekiz bin cevabı laboratuvar deneyleriyle, ekonomi öğrencileriyle ve oyun teorisi uzmanlarıyla yapılan oyunlarla birlikte inceledi.

Üç ülkenin okurları birbirini tanımıyordu, farklı dillerde, farklı ödüller için yazıyordu. Ama sonuçları şaşırtıcı biçimde benzerdi: ortalamalar 19 ile 26 arasında kaldı, hiçbiri sıfıra yaklaşmadı. Uzmanların yarıdan fazlası sıfıra yakın sayılar yazarken, sıradan katılımcıların çoğu iki ya da üç adım düşünüp duruyordu.

Kavram — başkasının aklını okumak

Bir oyunu incelemek için önce onu tarif etmek gerekir: kimler oynuyor, her biri neyi seçebilir ve her seçim birleşiminden kim ne kazanır?

Bazı stratejiler, rakip ne yaparsa yapsın kötüdür. Rasyonel bir oyuncu bunları asla seçmez.

Güzellik yarışmasında 67'den büyük bir sayı yazmak buna çok yakın bir durumdur: ortalama en fazla 100 olabileceği için hedef en fazla 66,67'dir ve 66,67 yazmak, daha büyük bir sayı yazmaktan hiçbir durumda daha kötü değildir, çoğu durumda daha iyidir. Ama bundan sonrası bir varsayıma bağlıdır. 67'nin üstünü kimsenin yazmayacağını bilen biri, hedefin en fazla 44,4 olacağını görür. Bu adım, yalnızca kendi rasyonelliğimize değil, başkalarının rasyonelliğine de güvenmemizi gerektirir.

Bu varsayım altında bir oyuncunun seçebileceği stratejiler, karşı tarafın da rasyonel olduğu bir dünyada savunulabilecek stratejilerdir.

Ama gazete deneyleri, insanların bu zinciri sonuna kadar izlemediğini gösteriyor. İktisatçılar bu yüzden akıl yürütmeyi basamaklara ayıran modeller geliştirdi.

Veri ve kanıt — kaç adım düşünüyoruz?

Colin Camerer, Teck-Hua Ho ve Juin-Kuan Chong, düşünme düzeyi fikrini genişletti. Onların modelinde her oyuncu kendini en derin düşünen sanır, ama başkalarının kendisinden daha sığ düzeylere dağıldığını kabul eder.

Bu bulgu, iktisatçıların dengeye bakışını değiştirmedi ama zenginleştirdi. Denge, oyuncular deneyim kazandıkça, oyun tekrarlandıkça ya da yanlış tahminin bedeli yükseldikçe iyi bir öngörüdür. Bir kez oynanan, yeni ve karmaşık oyunlarda ise insanların birkaç adım düşünüp durduğunu hesaba katmak gerekir.

Neden önemli? — piyasa bir düşünce zinciridir

Stratejik düşünce yalnızca bilmecelerde karşımıza çıkmaz. Bir firma fiyatını belirlerken rakiplerinin nasıl tepki vereceğini, bir merkez bankası faiz kararını açıklarken piyasaların bu kararı nasıl yorumlayacağını, bir ihaleye teklif veren şirket öbür teklifçilerin ne kadar yazacağını hesaba katmak zorundadır. Her birinde karar verenin karşısında, kendisi hakkında tahmin yürüten başka karar vericiler vardır.

Bu dersin kanıtları iki şey söylüyor. Birincisi, karşı tarafın rasyonel olduğunu varsaymak güçlü bir başlangıç noktasıdır; ama bu varsayımın ne kadar ileri götürüleceği, oyunun ve oyuncuların özelliklerine bağlıdır. İkincisi, en iyi strateji çoğu zaman «en zeki» strateji değil, karşı tarafın gerçekte nasıl düşündüğüne en iyi uyan stratejidir. Kursun geri kalanı, bu iki fikri sırasıyla Nash dengesi, karma stratejiler ve sıralı oyunlar üzerinden derinleştiriyor.

Model

Bu bölümde stratejik biçimli oyunları getiri tablolarıyla kuruyor, baskın stratejileri yinelemeli olarak eliyor ve düşünme düzeyi modellerini sayılarla çalıştırıyoruz. Bütün sayılar açıklama amaçlı örneklerdir; deney sonuçları yalnızca kaynak kutularında ve açıkça belirtildiği yerlerde kullanılır.

Getiri tablosunu okumak

İki oyunculu bir oyunda satırlar birinci oyuncunun, sütunlar ikinci oyuncunun stratejileridir. Her hücrede iki sayı vardır: önce satır oyuncusunun, sonra sütun oyuncusunun getirisi. Bir oyuncunun bir stratejisinin baskın olup olmadığını anlamak için, karşı tarafın her stratejisi için o oyuncunun kendi getirilerini karşılaştırırız; karşı tarafın getirileri bu karşılaştırmaya girmez.

Çözümlü örnek — Fiyat tablosu

Bir ilçede iki fırın ekmek fiyatı belirliyor. Her biri düşük, orta ya da yüksek fiyat seçebilir. Günlük kârlar, bin lira cinsinden, aşağıdaki gibidir; her hücrede önce A fırınının, sonra B fırınının kârı yazılıdır.

A fırınının seçeneklerini karşılaştıralım. B düşük fiyat koyarsa, A'nın kârları düşükte 4, ortada 3, yüksekte 2'dir. B orta fiyat koyarsa 6, 5, 4; B yüksek fiyat koyarsa 7, 8, 6'dır. A için yüksek fiyat, düşük fiyata göre her durumda daha kötüdür: 2 < 4, 4 < 6, 6 < 7. Yüksek fiyat, A için kesin baskın olunan bir stratejidir. Oyun simetrik olduğu için aynı akıl yürütme B için de geçerlidir.

Çözümlü örnek — Yinelemeli eleme

Her iki fırın da yüksek fiyatı elerse oyun 2 × 2'lik bir tabloya iner: A ve B için düşük ve orta. Kalan tabloda A'nın getirileri, B düşükken düşükte 4, ortada 3; B ortadayken düşükte 6, ortada 5'tir. Düşük fiyat artık orta fiyata göre her durumda daha iyidir; orta fiyat kesin baskın olunan bir strateji hâline gelmiştir.

Bu ikinci adımın, ilk adımdan farklı bir varsayıma dayandığına dikkat edin. İlk adımda A yalnızca kendi rasyonelliğine güvendi. İkinci adımda A, B'nin de rasyonel olduğunu ve yüksek fiyatı seçmeyeceğini varsaydı: B yüksek fiyat koysaydı, A için orta fiyat 8 ile düşük fiyattan, yani 7'den daha iyi olurdu. Her eleme adımı, rasyonellik bilgisinin bir katman daha derine gitmesini gerektirir.

Elemeden sonra geriye tek bir hücre kalır: iki fırın da düşük fiyat koyar ve 4 bin lira kazanır. Oysa ikisi de orta fiyat koysaydı 5 bin lira kazanacaklardı. Bu, oyun teorisine giriş dersinde tanıdığımız ikilemin bir başka biçimidir; ama buraya bir dengeyi aramadan, yalnızca elemeyle ulaştık.

Çözümlü örnek — Zayıf baskınlığın tuzağı

Kesin baskınlık yerine zayıf baskınlık kullanılırsa sonuçlar değişebilir. Bir strateji, öbür stratejiler karşısında hiçbir zaman daha iyi değilse ve en az birinde kesin olarak daha kötüyse, zayıf baskın olunan stratejidir. Aşağıdaki oyunu ele alalım; satırlar A'nın, sütunlar B'nin stratejileridir.

A için Alt, Üst'ü zayıf olarak baskılar: 6 > 5 ve 4 = 4. Alt, Orta'yı da zayıf olarak baskılar: 6 = 6 ve 4 > 3. Önce Üst'ü elersek, B için kalan satırlarda Sol'un getirileri 0 ve 4, Sağ'ın getirileri 1 ve 4'tür; Sağ, Sol'u zayıf baskılar. Sol'u elersek A için Alt, Orta'dan iyidir ve sonuç (Alt, Sağ) olur. Önce Orta'yı elersek, B için kalan satırlarda Sol 1 ve 4, Sağ 0 ve 4 verir; Sol, Sağ'ı zayıf baskılar ve sonuç (Alt, Sol) olur. Zayıf baskınlıkta eleme sırası sonucu değiştirebilir; kesin baskınlıkta bu olmaz. Teknik bölümde bunun nedenine döneceğiz.

Çözümlü örnek — Yarıyla oynanan tahmin oyunu

Şimdi güzellik yarışmasının bir türünü kuralım: katılımcılar 0 ile 100 arasında bir sayı seçiyor, hedef ortalamanın yarısı. Sıfırıncı düzeydeki oyuncular aralıkta rastgele seçiyor ve ortalamaları 50 oluyor.

Birinci düzeydeki oyuncu, herkesin sıfırıncı düzeyde olduğunu varsayar ve 50'nin yarısı olan 25'i seçer. İkinci düzeydeki oyuncu, herkesin birinci düzeyde olduğunu varsayar ve 25'in yarısı olan 12,5'i seçer. Üçüncü düzeydeki 6,25'i, dördüncü düzeydeki 3,125'i seçer. Hedef oran üçte ikiden yarıya inince her düzey sıfıra çok daha hızlı yaklaşır; k'ıncı düzeyin seçimi 50 × (1/2)^k'dır.

Yinelemeli eleme de aynı yere gider: 50'den büyük sayılar zayıf baskın olunan stratejilerdir, sonra 25'ten büyükler, sonra 12,5'ten büyükler. Her eleme turunda kalan aralığın üst sınırı 100 × (1/2)^k'ya iner ve geriye yalnızca sıfır kalır.

Çözümlü örnek — Bilişsel hiyerarşiyle bir hesap

Bilişsel hiyerarşi modelinde düşünme adımlarının dağılımı, ortalaması τ olan bir Poisson dağılımıyla tanımlanır: k adım düşünenlerin payı e^(−τ) × τ^k ÷ k!'dir. τ = 1,5 için sıfır, bir, iki ve üç adım düşünenlerin payları yaklaşık 0,223; 0,335; 0,251 ve 0,126'dır.

Hedefin ortalamanın üçte ikisi olduğu oyunda, bu dağılımı kullanarak her düzeyin seçimini hesaplayabiliriz. Sıfır adım düşünenlerin ortalaması 50'dir. Bir adım düşünen, herkesi sıfırıncı adımda sanır ve 50'nin üçte ikisi olan 33,33'ü seçer. İki adım düşünen, öbürlerini sıfır ve bir adım arasında 0,223 : 0,335 oranında dağılmış sanar; bu ağırlıklar normalleştirildiğinde 0,4 ve 0,6 olur. Beklediği ortalama 0,4 × 50 + 0,6 × 33,33 = 40, seçtiği sayı 40'ın üçte ikisi olan 26,67'dir. Aynı hesap sürdürüldüğünde üç adım düşünenin seçimi yaklaşık 23,91, dört adım düşünenin seçimi yaklaşık 22,84 çıkar.

Bütün düzeylerin ağırlıklı ortalaması, τ = 1,5 için yaklaşık 33,5'tir. Aynı hesabı τ = 3 için yaptığımızda ortalama yaklaşık 23,8'e iner. Bu sayılar bizim açıklama amaçlı hesabımızdır; ama gazete okurlarının ortalamalarının 19 ile 26 arasında kalması, onların daha derin düşünen bir topluluk gibi davrandığını, laboratuvar öğrencilerinin ise daha sığ düşündüğünü düşündürür.

Çözümlü örnek — En iyi tepki, doğru tahmine bağlıdır

Bir katılımcının, öbür oyuncuların ortalamasının 24 olacağını doğru tahmin ettiğini varsayalım. Hedef 24'ün üçte ikisi, yani 16'dır. Bu katılımcı için 16 yazmak, sıfır yazmaktan çok daha iyidir. Ortalama 18 olacaksa hedef 12, ortalama 30 olacaksa hedef 20 olur.

Buradan çıkan ders şudur: rasyonellik, tek başına bir seçimi belirlemez. Rasyonel bir oyuncu, öbürleri hakkındaki inancına en iyi tepkiyi verir; bu inanç yanlışsa, en kusursuz akıl yürütme bile kaybettirebilir. İngiltere'deki gazetede sıfır yazan okur, hedef 13 civarındayken kaybetti.

Çözümlü örnek — Karışımla baskılanan strateji

Bazı stratejiler hiçbir tek strateji tarafından baskılanmaz, ama iki stratejinin bir karışımı tarafından baskılanır. Bir satıcının üç reklam bütçesi seçeneği olsun: küçük, orta ve büyük. Rakip ya sessiz kalıyor ya da saldırgan bir kampanya başlatıyor. Satıcının kârları, rakip sessizken küçük bütçede 10, orta bütçede 4, büyük bütçede 0; rakip saldırganken küçükte 0, ortada 4, büyükte 10'dur.

Orta bütçe, küçük bütçeden her durumda daha iyi değildir: rakip sessizken 4 < 10. Büyük bütçeden de her durumda daha iyi değildir: rakip saldırganken 4 < 10. Ama satıcı küçük ve büyük bütçe arasında yazı tura atarsa, beklenen kârı rakip sessizken 0,5 × 10 + 0,5 × 0 = 5, rakip saldırganken 0,5 × 0 + 0,5 × 10 = 5 olur. Her iki durumda 5 > 4'tür. Orta bütçe, bu karışım tarafından kesin olarak baskılanır.

Bu örneğin anlamı şudur: orta bütçe, satıcının rakibe dair hiçbir inancı altında en iyi seçim değildir. Rakibin saldırgan olma olasılığına q diyelim. Küçük bütçenin beklenen kârı 10 × (1 − q), büyük bütçenin 10 × q, orta bütçenin ise her zaman 4'tür. q yarıdan küçükse küçük bütçe en az 5 verir, yarıdan büyükse büyük bütçe en az 5 verir; q tam yarıyken ikisi de 5 verir. Hiçbir q için 4, en iyi değer değildir. Teknik bölümde bu bağlantının genel hâlini göreceğiz.

Çözümlü örnek — Ortalamadan düşünme düzeyini okumak

Gazete sonuçlarını kaba bir düşünme düzeyi hesabıyla okuyabiliriz. Hedefin üçte iki olduğu oyunda düzeylerin seçimleri 33,33, 22,22, 14,81 ve 9,88'dir. İngiltere'deki gazetede ortalama 18,91, İspanya'daki gazetede 25,47, Almanya'daki dergide 22,08'di.

Bu ortalamalar, birinci ve üçüncü düzeylerin seçimleri arasında kalıyor. Ama ortalama tek başına dağılımı göstermez: ortalaması 22 olan bir topluluk, herkesin ikinci düzeyde olduğu bir topluluk da olabilir, bir kısmının birinci düzeyde, bir kısmının sıfıra yakın seçtiği bir topluluk da. Nagel ve arkadaşları bu yüzden yalnızca ortalamaya değil, seçimlerin bütün dağılımına bir karışım modeli uydurdu ve her düzeyin payını ayrı ayrı tahmin etti. Ortalamaya bakarak bir topluluğun düşünme derinliğini çıkarmak, bir sınıfın not ortalamasına bakarak öğrencilerin kaçının dersi geçtiğini çıkarmaya benzer; yaklaşık bir fikir verir, ama dağılımı göremez.

Çözümlü örnek — Bir adım fazlası yeter

Yüz kişilik bir grupta herkesin birinci düzeyde olduğunu, yani 33,33 yazdığını varsayalım. Ortalama 33,33, hedef 22,22 olur. Bu grupta kazanmak için sıfır yazmak gerekmez; tek bir adım daha düşünüp 22,22 yazmak yeter. Grubun yarısı birinci düzeyde, yarısı ikinci düzeyde olsaydı, ortalama 0,5 × 33,33 + 0,5 × 22,22 ≈ 27,8, hedef yaklaşık 18,5 olurdu. Bu kez kazanan, ikinci ve üçüncü düzeyin arasında bir sayı yazan olurdu.

Örnek, stratejik düşüncenin göreli doğasını gösteriyor. Kazanan, mutlak olarak en derin düşünen değil, topluluktan bir adım derin düşünendir. Çok derine giden oyuncu, sığ düşünen bir toplulukta kaybeder; çok sığ kalan oyuncu, derin düşünen bir toplulukta kaybeder. İyi bir stratejist, karşısındakilerin düşünme derinliğini doğru tartabilen kişidir.

Çözümlü örnek — Denge ne zaman iyi tahmin eder?

Aynı oyunun tekrar tekrar oynandığını düşünelim. İlk turda ortalama 33 civarındaysa, ikinci turda katılımcılar bu bilgiyi kullanır ve daha düşük sayılar yazar; ortalama 22'ye, sonra 15'e iner. Birkaç tur sonra seçimler sıfıra yaklaşır.

Bu örnek, bilişsel hiyerarşi bulgusunun bir başka yüzünü gösteriyor: insanlar ilk karşılaştıkları oyunda sınırlı düşünür, ama geri bildirim aldıkça öğrenir. Denge, bir kez oynanan yeni oyunlardan çok, tekrarlanan ve iyi bilinen oyunlarda iyi bir öngörüdür.

Modelin sınırları

Bu bölümdeki araçların her biri bir basitleştirmedir. Yinelemeli eleme, çoğu oyunda tek bir sonuca ulaşmaz; birçok strateji elenmeden kalır ve hangisinin seçileceği belirsizdir. Düşünme düzeyi modelleri ise sıfırıncı düzeyin nasıl davrandığına dair bir varsayım gerektirir ve bu varsayım değiştiğinde öngörüler de değişir. Bilişsel hiyerarşi modeli tek bir parametreyle çalışır, ama bu parametrenin değeri topluluktan topluluğa farklıdır. Hiçbir model, bir oyuncunun karşısındakini ne kadar derin düşünen biri olarak göreceğini kendiliğinden söylemez; bunu deney ve gözlem belirler.

Bir başka sınır da getirilerin kendisiyle ilgilidir. Bu bölümdeki tablolarda her oyuncunun yalnızca kendi kârını önemsediği varsayıldı. Oysa gerçek oyuncular rakiplerinin kazancını da umursayabilir, adalet kaygısı taşıyabilir ya da bir kuralı çiğnemekten çekinebilir. Getiriler bu tür kaygıları içermiyorsa, baskınlık hesabı yanlış sonuca götürebilir. Bu yüzden bir oyunu çözmeden önce, getiri tablosunun oyuncuların gerçekten neyi önemsediğini yansıtıp yansıtmadığını sormak gerekir; çözümün kalitesi, tablonun kalitesinden daha iyi olamaz.

Teknik

Stratejik biçimli oyunun tanımı

Sonlu bir stratejik biçimli oyun, G = (N, (S_i), (u_i)) üçlüsüyle tanımlanır. N = {1, …, n} oyuncular kümesidir. Her i oyuncusu için S_i, i'nin saf stratejiler kümesidir. S = S_1 × … × S_n strateji profilleri kümesidir ve u_i : S → ℝ, i'nin getiri fonksiyonudur. Bir s ∈ S profilinde i dışındaki oyuncuların stratejilerini s_−i ile gösteririz; s = (s_i, s_−i).

Karma strateji, σ_i ∈ Δ(S_i), yani S_i üzerindeki bir olasılık dağılımıdır. Getiriler beklenen değer olarak genişletilir: u_i(σ_i, s_−i) = Σ σ_i(s_i) × u_i(s_i, s_−i).

Kesin baskınlık ve yinelemeli eleme

Bir s_i ∈ S_i stratejisi, her s_−i ∈ S_−i için u_i(σ_i, s_−i) > u_i(s_i, s_−i) koşulunu sağlayan bir σ_i ∈ Δ(S_i) varsa kesin baskın olunan stratejidir. Tanımın karma stratejilere izin verdiğine dikkat edin: bir saf strateji, hiçbir saf strateji tarafından baskılanmadığı hâlde iki başka saf stratejinin bir karışımı tarafından baskılanabilir.

Yinelemeli eleme şöyle tanımlanır. S_i^0 = S_i olsun. Her k ≥ 1 için S_i^k, S_i^(k−1) içinden, öbür oyuncuların S_−i^(k−1) kümesindeki stratejilerine karşı kesin baskın olunmayan stratejilerden oluşur. Sonlu bir oyunda bu süreç sonlu adımda durur; kalan S_i^∞ kümesine, yinelemeli kesin baskınlıkla elenmeyen stratejiler denir.

Kesin baskınlıkta eleme sırasının sonucu değiştirmemesinin nedeni şudur: bir strateji belirli bir karşı strateji kümesine göre kesin baskın olunuyorsa, o kümenin her alt kümesine göre de kesin baskın olunur. Başka stratejilerin elenmesi, baskın olunan bir stratejiyi kurtaramaz; yalnızca yeni baskınlık ilişkileri ortaya çıkarabilir. Bu yüzden her sırada aynı S^∞ kümesine ulaşılır. Zayıf baskınlıkta ise bu özellik yoktur: Model bölümündeki örnekte görüldüğü gibi, bir stratejinin elenmesi, başka bir stratejiyi zayıf baskın olmaktan çıkarabilir.

Rasyonelleştirilebilirlik

Rasyonelleştirilebilirlik kavramı 1984'te B. Douglas Bernheim ve David Pearce tarafından birbirinden bağımsız olarak, aynı dergi sayısında tanımlandı. Fikir şudur: rasyonel bir oyuncu, öbürlerinin seçimine dair bir inanca en iyi tepkiyi verir; rasyonelliğin ortak bilgisi altında bu inanç da, öbürlerinin aynı biçimde gerekçelendirilebilen seçimlerine dayanmalıdır.

Biçimsel olarak R_i^0 = S_i ile başlanır. Her k ≥ 1 için R_i^k, R_−i^(k−1) üzerinde desteklenen bir μ_i inancına göre en iyi tepki olan R_i^(k−1) stratejilerinden oluşur. R_i^∞ kümesi, i'nin rasyonelleştirilebilir stratejileridir. İki oyunculu oyunlarda, bir strateji ancak ve ancak karma stratejilerle kesin baskın olunmuyorsa bir inanca karşı en iyi tepki olabilir. Bu denkliğin ispatı ayırma teoremine dayanır: bir strateji hiçbir inanca karşı en iyi tepki değilse, getiri vektörleri uzayında onu baskılayan bir karışım bulunabilir. Bu yüzden iki oyunculu oyunlarda rasyonelleştirilebilir stratejiler, yinelemeli kesin baskınlıkla elenmeyen stratejilerle çakışır. Üç ya da daha çok oyunculu oyunlarda, öbür oyuncuların seçimleri arasında ilişki olup olamayacağına dair varsayıma göre iki kavram ayrışabilir.

Her Nash dengesindeki stratejiler rasyonelleştirilebilirdir: dengede her oyuncu, öbürlerinin denge stratejilerine en iyi tepkiyi verir ve bu inanç zinciri kendi kendini doğrular. Ama tersi doğru değildir; rasyonelleştirilebilirlik, inançların doğru olmasını gerektirmez, yalnızca tutarlı olmasını gerektirir. Bu yüzden çoğu oyunda rasyonelleştirilebilir stratejiler kümesi, Nash dengesi stratejilerinden geniştir.

Nash dengesi ve yinelemeli eleme

Bir Nash dengesinde oynanan hiçbir strateji, yinelemeli kesin baskınlıkla elenmez. Bunun kısa bir ispat taslağı şöyledir. s bir Nash dengesi olsun ve s_i'nin bir turda elendiğini varsayalım; bu turdan önce hiçbir denge stratejisinin elenmediğini kabul edelim. O turda s_i, s_−i dahil olmak üzere hâlâ kalan bütün karşı stratejilere göre bir σ_i tarafından kesin olarak baskılanıyor demektir; özellikle u_i(σ_i, s_−i) > u_i(s_i, s_−i). Ama bu durumda σ_i'nin desteğindeki saf stratejilerden en az biri, s_−i'ye karşı s_i'den kesin olarak daha yüksek getiri verir. Bu, s_i'nin s*_−i'ye en iyi tepki olmasıyla çelişir. Demek ki ilk elenen denge stratejisi olamaz ve hiçbir denge stratejisi elenmez.

Bu sonucun pratik bir anlamı vardır: yinelemeli eleme tek bir strateji profili bırakıyorsa, o profil oyunun tek Nash dengesidir. Fırın örneğinde ve güzellik yarışmasında olan budur. Eleme birden fazla profil bırakıyorsa, dengeyi bulmak için ek bir adım gerekir; sıradaki dersin konusu bu adımdır.

Ortak bilgi ile karşılıklı bilgi arasındaki fark

Bir olgunun herkes tarafından bilinmesi, ortak bilgi olması için yeterli değildir. Karşılıklı bilgide herkes olguyu bilir; birinci derece ortak bilgide herkes, herkesin bildiğini de bilir; ortak bilgi ise bu zincirin her derecede sürmesini ister. Güzellik yarışmasında k'ıncı eleme turu, rasyonelliğin k'ıncı dereceden karşılıklı bilgisini gerektirir; sıfıra ulaşmak için zincirin sonsuz olması gerekir. Gazete deneyleri, katılımcıların çoğunun bu zinciri ikinci ya da üçüncü halkadan ötesine taşımadığını, yani rasyonelliğin sonlu derecede karşılıklı bilgisiyle hareket ettiğini düşündürür. Bu ayrım, oyun teorisinin bir kavramının deneysel olarak nasıl sınanabileceğini de gösterir: k adım düşünen bir oyuncunun seçimi, onun inanç zincirinin uzunluğu hakkında bilgi verir.

Güzellik yarışmasının çözümü

Oyunun n oyunculu, p ∈ (0, 1) oranlı, [0, 100] aralığında sürekli seçimli biçimini ele alalım. Oyuncu i'nin hedefi, ortalamanın p katına, yani p × x̄'ye en yakın olmaktır.

Her oyuncunun seçimi en fazla 100 olduğu için ortalama en fazla 100, hedef en fazla 100p'dir. 100p'den büyük her sayı, 100p'yi seçmeye göre zayıf baskın olunur. Bu sayılar elendikten sonra ortalama en fazla 100p, hedef en fazla 100p² olur. k'ıncı turdan sonra kalan aralık [0, 100p^k]'dır ve p < 1 olduğu için bu üst sınır sıfıra yakınsar. Tek dayanıklı sonuç, herkesin sıfırı seçtiği profildir. Bu profil aynı zamanda oyunun tek Nash dengesidir: herkes sıfır seçerken hedef de sıfırdır ve tek başına sapan bir oyuncu hedeften uzaklaşır.

Bu türetme, oyunun dengesini belirlemek için rasyonelliğin ortak bilgisinin kaç katmana ihtiyaç duyduğunu gösterir: k'ıncı eleme turu, k katmanlı bir bilme zinciri gerektirir. Gazete deneylerinde gözlenen ortalamalar, katılımcıların çoğunun bu zincirin ikinci ya da üçüncü halkasında durduğunu düşündürür.

Düşünme düzeyi ve bilişsel hiyerarşi modellerinin biçimi

Düşünme düzeyi modelinde L0 oyuncusunun stratejisi dışsal bir dağılım olarak verilir; güzellik yarışmasında genellikle aralıkta düzgün dağılım alınır ve ortalaması 50'dir. Lk oyuncusu, herkesin L(k−1) olduğunu varsayarak en iyi tepkiyi verir: x_k = p × x_(k−1), dolayısıyla x_k = 50 × p^k. Düşünme düzeyi modelinin öngörüleri, sıfırıncı düzeye dair varsayıma doğrudan bağlıdır. Sıfırıncı düzeyin ortalaması m ise, k'ıncı düzeyin seçimi x_k = m × p^k olur. m = 50 yerine m = 40 alınırsa, bütün düzeylerin seçimleri yüzde 20 aşağı kayar; düzeylerin göreli sırası değişmez, ama her düzeyin hangi sayıyı seçeceğine dair öngörü değişir. Bu yüzden düşünme düzeyi modelleri veriye uydurulurken sıfırıncı düzeyin davranışı ayrıca tahmin edilir ya da oyunun yapısından türetilir.

Bilişsel hiyerarşi modelinde k adım düşünen oyuncuların oranı f(k) = e^(−τ) × τ^k ÷ k! ile verilir. k adım düşünen oyuncu, öbürlerinin h < k adım arasında, g_k(h) = f(h) ÷ Σ_(l<k) f(l) ağırlıklarıyla dağıldığını varsayar. Güzellik yarışmasında bu, x_k = p × Σ_(h<k) g_k(h) × x_h tekrarlama ilişkisini verir. Düşünme düzeyi modelinden farkı, her oyuncunun karşısındakileri tek bir düzeyde değil, kendisinden sığ bütün düzeylere yayılmış görmesidir; bu yüzden yüksek düzeylerin seçimleri sıfıra yakınsamaz, belirli bir değerde durur. Model bölümündeki hesapta τ = 1,5 için seçimler yaklaşık 22,4 civarında duruluyordu.

Bu modellerin önemli bir özelliği, tek bir parametreyle, τ ile, farklı oyunlardaki davranışı açıklamaya çalışmalarıdır. Camerer, Ho ve Chong'un bulgusuna göre birçok oyunda τ'nun 1,5 civarında olması, insanların stratejik düşüncesinin derinliği hakkında dikkat çekici ölçüde tutarlı bir ölçü sunar.

Uygulama

Özet kartı

1. Stratejik biçimli oyun, oyuncuları, strateji kümelerini ve her strateji birleşiminin getirilerini tanımlar; rasyonel bir oyuncu kesin baskın olunan stratejileri seçmez.
2. Yinelemeli eleme, her adımda rasyonellik bilgisinin bir katman daha derine gitmesini gerektirir; kesin baskınlıkta eleme sırası sonucu değiştirmez, zayıf baskınlıkta değiştirebilir.
3. Rasyonelleştirilebilir stratejiler, rasyonelliğin ortak bilgisiyle uyumlu inançlara karşı en iyi tepkilerdir; iki oyunculu oyunlarda yinelemeli kesin baskınlıktan kalan stratejilerle çakışır.
4. Nagel ve arkadaşlarının incelediği gazete deneylerinde ortalamalar 18,91 ile 25,47 arasında kaldı; dengeyi seçenlerin payı laboratuvar öğrencilerinde sıfır, gazete okurlarında yüzde 27,29, oyun teorisi uzmanlarında yüzde 55,09'du.
5. Camerer, Ho ve Chong'un bilişsel hiyerarşi modelinde ortalama 1,5 düşünme adımı birçok oyunun verisine uyuyor; en iyi strateji, öbür oyuncuların gerçek düşünme derinliğine bağlıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kesin baskın olunan strateji ile rasyonelleştirilebilir strateji arasındaki ilişki nedir? Rasyonelliğin ortak bilgisi bu ilişkide nasıl bir rol oynar?
2. (Çıktı 2) Bu dersteki fırın oyununda, A fırınının yüksek fiyatı elemesi için hangi varsayım yeterlidir? Orta fiyatı elemesi için hangi ek varsayıma ihtiyaç vardır?
3. (Çıktı 2) Hedefin ortalamanın beşte dördü olduğu bir güzellik yarışmasında, sıfırıncı düzeydeki oyuncuların ortalaması 50'dir. Birinci, ikinci ve üçüncü düzeydeki oyuncular hangi sayıları seçer? Hedef oranı üçte ikiden beşte dörde çıktığında, düzeylerin sıfıra yaklaşma hızı nasıl değişir?
4. (Çıktı 3) Nagel ve arkadaşlarının bulgularına göre laboratuvar öğrencileri, gazete okurları ve oyun teorisi uzmanları arasında dengeyi seçenlerin payı nasıl farklılaşıyor? Bu farklar düşünme düzeyi modelleriyle nasıl açıklanabilir?
5. (Çıktı 3) Bilişsel hiyerarşi modelinde yüksek düzeydeki oyuncuların seçimleri neden sıfıra yakınsamaz da belirli bir değerde durur? Düşünme düzeyi modelinden farkı nedir?
6. (Çıktı 4) Bir şirket yöneticisi, «Rakiplerimiz rasyonel; o yüzden her zaman oyunun dengesine göre hareket etmeliyiz» diyor. Bu görüşü, bu dersin kanıtları ve kavramları ışığında değerlendirin.

Cevaplar

1. Kesin baskın olunan bir strateji, karşı taraf ne yaparsa yapsın başka bir strateji tarafından geride bırakılır; bu yüzden hiçbir inanca karşı en iyi tepki olamaz. Rasyonelleştirilebilir strateji ise rasyonelliğin ortak bilgisiyle uyumlu bir inanca karşı en iyi tepkidir. Rasyonelliğin ortak bilgisi, eleme sürecinin her adımda bir katman daha derine gitmesine izin verir: oyuncular kesin baskın olunan stratejileri eler, herkesin bunu yaptığını bilerek yeniden eler ve süreç sürer. İki oyunculu oyunlarda bu sürecin sonunda kalan stratejiler, rasyonelleştirilebilir stratejilerle çakışır.
2. Yüksek fiyatı elemek için A'nın yalnızca kendisinin rasyonel olması yeterlidir, çünkü yüksek fiyat B ne yaparsa yapsın düşük fiyattan kötüdür. Orta fiyatı elemek için A'nın, B'nin de rasyonel olduğunu ve yüksek fiyatı seçmeyeceğini bilmesi gerekir; B yüksek fiyat koysaydı, A için orta fiyat düşük fiyattan daha iyi olurdu.
3. Birinci düzey 50 × 0,8 = 40'ı, ikinci düzey 40 × 0,8 = 32'yi, üçüncü düzey 32 × 0,8 = 25,6'yı seçer. Hedef oranı üçte ikiden beşte dörde çıktığında her düzeyde seçim daha az küçülür; k'ıncı düzeyin seçimi 50 × 0,8^k olur ve üçte iki durumundaki 50 × (2/3)^k'ya göre sıfıra çok daha yavaş yaklaşır. Rasyonelliğin ortak bilgisi altındaki denge yine sıfırdır, ama sınırlı sayıda adım düşünen oyuncular dengeden daha uzakta kalır.
4. Bonn ve Caltech'teki laboratuvar oturumlarında dengeyi, yani sıfırı seçenlerin tahmini payı sıfırdı; gazete okurlarında yüzde 27,29, oyun teorisi uzmanlarında yüzde 55,09'du. Düşünme düzeyi modellerine göre bu farklar, toplulukların düşünme derinliğinin dağılımındaki farkları yansıtır: uzmanların önemli bir kısmı zinciri sonuna kadar izlerken, öğrencilerin çoğu birinci ya da ikinci adımda durdu. Bilişsel hiyerarşi modelinin diliyle, farklı topluluklar farklı ortalama düşünme adımlarına sahiptir.
5. Bilişsel hiyerarşi modelinde k adım düşünen oyuncu, öbürlerini kendisinden sığ bütün düzeylere yayılmış görür; sıfırıncı ve birinci düzeydeki oyunculara her zaman bir ağırlık verir. Bu oyuncuların seçimleri yüksek olduğu için, beklenen ortalama ve dolayısıyla en iyi tepki belirli bir değerin altına inmez. Düşünme düzeyi modelinde ise k'ıncı düzey herkesi tam olarak k − 1'inci düzeyde sanır ve seçimi 50 × p^k biçiminde sıfıra yakınsar.
6. Yöneticinin dayandığı nokta önemlidir: rakiplerin rasyonel olduğunu varsaymak, karşı tarafın kesin baskın olunan stratejileri seçmeyeceğini ve kendi çıkarını gözeteceğini öngörmek için güçlü bir başlangıçtır. Ama «her zaman dengeye göre hareket etmek», rasyonelliğin ortak bilgisinin sonsuz katman boyunca geçerli olduğunu varsayar. Gazete ve laboratuvar deneyleri, insanların bir kez oynanan yeni oyunlarda çoğu zaman iki ya da üç adım düşünüp durduğunu gösteriyor; Camerer, Ho ve Chong'un bulgusuna göre ortalama düşünme adımı 1,5 civarında. Güzellik yarışmasında dengeyi oynayan kaybetti. Daha dengeli bir yaklaşım, rakiplerin deneyimini, oyunun ne kadar tekrarlandığını ve hataların bedelini dikkate alarak, dengeyi bir referans noktası, rakiplerin gerçek düşünme derinliğine dair tahmini ise karar ölçütü olarak kullanmaktır.

İleri okuma

• Rosemarie Nagel (1995). «Unraveling in Guessing Games: An Experimental Study». American Economic Review 85(5). Güzellik yarışması deneylerinin ve düşünme düzeyleri analizinin öncü çalışması.
• Colin F. Camerer, Teck-Hua Ho, Juin-Kuan Chong (2004). «A Cognitive Hierarchy Model of Games». Quarterly Journal of Economics 119(3). Sınırlı düşünme derinliğini tek parametreyle modelleyen yaklaşım.
• B. Douglas Bernheim (1984). «Rationalizable Strategic Behavior». Econometrica 52(4). Rasyonelleştirilebilirlik kavramının iki kurucu makalesinden biri.
• David G. Pearce (1984). «Rationalizable Strategic Behavior and the Problem of Perfection». Econometrica 52(4). Rasyonelleştirilebilirliğin bağımsız tanımı ve sıralı oyunlara genişletilmesi.

Sonraki derse köprü

Bu derste stratejileri eleyerek ve düşünme düzeylerini sayarak ilerledik. Ama birçok oyunda eleme tek bir sonuca ulaşmaz ve oyuncuların birbirlerinin seçimlerini doğru tahmin ettiği bir durağan nokta aramak gerekir. Her oyuncunun öbürlerinin seçimine en iyi tepkiyi verdiği ve kimsenin tek başına sapmak istemediği bu nokta nasıl bulunur, her oyunda var mıdır ve birden fazla olduğunda ne olur? Sıradaki ders Nash dengesini ele alıyor.