Otokorelasyon

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Otokorelasyonu, birinci dereceden otoregresif süreci, Durbin–Watson istatistiğini, Breusch–Godfrey testini, Newey–West standart hatasını ve kümelenmiş standart hatayı tanımlar.
• Anlama — Hata terimleri zaman içinde ya da gruplar içinde birbirine bağlı olduğunda klasik standart hataların neden çoğunlukla gerçek belirsizliği küçük gösterdiğini ve gecikmeli bağımlı değişkenli modellerde sorunun neden katsayılara da sıçradığını açıklar.
• Uygulama — Durbin–Watson istatistiğinden kalıntıların ardışık korelasyonunu yaklaşık olarak çıkarır, bir Breusch–Godfrey istatistiğini hesaplar ve kümelenmiş verilerde standart hataların ne ölçüde büyüdüğünü tahmin eder.
• Değerlendirme — Newey–West ve kümelenmiş standart hataların sınırlarını, otoregresif dönüşümlerin varsayımlarını ve farkların farkı çalışmalarında ardışık bağımlılığın yarattığı riskleri tartar.

Sezgi

Açılış

Bir şehrin günlük elektrik tüketimini sıcaklıkla ilişkilendiren bir model düşünelim. Model bir gün tüketimi tahmin edilenden fazla bulursa, ertesi gün de büyük olasılıkla fazla bulacaktır. Beklenmedik bir soğuk hava dalgası birkaç gün sürer, fabrikaların vardiya düzeni haftalarca değişmez, hanelerin alışkanlıkları yavaş dönüşür. Modelin bugünkü hatası, yarının hatası hakkında bilgi taşır.

Önceki derste hataların farklı büyüklüklerde dağılmasını inceledik; White'ın formülü bu farka izin veriyordu ama her gözlemi öbürlerinden bağımsız sayıyordu. Bu derste o bağımsızlık varsayımının çöktüğü durumlara bakıyoruz. Hataların zaman içinde ya da aynı gruptaki gözlemler arasında birlikte hareket etmesinin neden tehlikeli olduğunu, nasıl fark edildiğini ve nasıl düzeltildiğini inceleyeceğiz.

Hikâye — Hiçbir şey yapmayan yasalar

2000'lerin başında üç iktisatçı, Marianne Bertrand, Esther Duflo ve Sendhil Mullainathan, yaygın bir yöntemin ne kadar güvenilir olduğunu sınamak istedi. Farkların farkı yöntemi, bir yasanın ya da politikanın etkisini, onu uygulayan ve uygulamayan yerlerin önceki ve sonraki farklarını karşılaştırarak ölçüyordu. Yöntem çok popülerdi ve genellikle birçok yıla yayılan verilerle kullanılıyordu.

Araştırmacılar zekice bir deney tasarladı. ABD'deki kadınların ücretlerine ait eyalet düzeyindeki verileri aldılar ve rastgele seçilmiş yarım eyalete, rastgele seçilmiş bir yılda yürürlüğe giren hayalî yasalar atadılar. Bu yasalar gerçekte hiçbir şey yapmıyordu; kâğıt üzerinde bile yoktu. Bu nedenle standart yöntemlerle kurulan testlerin, yüzde 5 düzeyinde bu yasaların yalnızca yüzde 5'inde anlamlı bir etki bulması gerekiyordu.

Sonuç çarpıcıydı. Yaklaşık yirmi yıllık verilerle, farkların farkı tahminleri hayalî yasaların yüzde 45'e varan bir kısmında yüzde 5 düzeyinde anlamlı bir «etki» buluyordu. Sorunun kaynağı, ücretlerin yıldan yıla güçlü biçimde birbirine bağlı olmasıydı: bir eyaletin ücretleri bir yıl ortalamanın üzerindeyse, ertesi yıl da büyük olasılıkla üzerindeydi. Yasayı gösteren değişken de bir kez bir olduktan sonra hep bir kalıyordu. Klasik standart hatalar bu ardışık bağımlılığı görmüyor ve etkilerin kesinliğini abartıyordu.

Kavram

Bertrand, Duflo ve Mullainathan'ın ortaya koyduğu sorun, hata terimlerinin birbirinden bağımsız olmamasıydı. Bu durumun zaman serilerindeki adı otokorelasyondur.

Otokorelasyonun en basit ve en sık kullanılan modeli, bugünkü hatanın dünkü hatanın bir kısmını taşıdığını varsayar. Bu yapı, otokorelasyonun hem sınanmasında hem de düzeltilmesinde temel alınır.

Otokorelasyonu sınamak için geliştirilen ilk yaygın araç, ardışık kalıntılar arasındaki farkları kullanır. Neredeyse her regresyon çıktısında hâlâ yer alır.

Durbin–Watson istatistiği yalnızca bir dönemlik bağımlılığı sınar ve bazı modellerde yanıltıcı olur. Daha genel bir test, geçmiş kalıntıları doğrudan bir yardımcı regresyona koyar.

Otokorelasyonun varlığında standart hataları düzeltmenin yolu, önceki derste gördüğümüz dayanıklı standart hata mantığını zaman boyutuna genişletmektir. Bu genişletme, 1987'de yayımlanan kısa bir makaleyle yaygınlaştı.

Bağımlılık yalnızca zamanda değil, gruplar içinde de ortaya çıkabilir. Aynı ildeki hanelerin, aynı okuldaki öğrencilerin ya da aynı eyaletin farklı yıllarının hataları birlikte hareket edebilir.

Veri ve kanıt

Bu bulgunun önemi, yalnızca bir yöntemin kusurunu göstermesinde değil, sorunun ne kadar yaygın olduğunu ölçmesindeydi. Taranan çalışmaların büyük çoğunluğu, sonuçlarını olduğundan daha kesin gösteriyor olabilirdi. Yazarlar birkaç çözüm önerdi: gözlemleri eyalet düzeyinde kümeleyerek standart hataları hesaplamak ya da verileri politika öncesi ve sonrası olmak üzere iki döneme indirmek. Bu öneriler kısa sürede alanın standart pratiğine dönüştü; bugün farkların farkı çalışmalarında politikanın uygulandığı birim düzeyinde kümelenmiş standart hatalar raporlamak neredeyse bir zorunluluktur.

Durbin–Watson testinin kalıcılığı, sadeliğinden gelir; ama tasarımı dar bir duruma göre yapılmıştı. Test yalnızca bir dönemlik bağımlılığı sınar, modelde sabit terim bulunmasını gerektirir ve açıklayıcı değişkenler arasında bağımlı değişkenin geçmiş değeri varsa istatistik 2'ye doğru çekilerek otokorelasyonu gizler. Karar veremediği bir ara bölgesinin bulunması da uygulamada sık karşılaşılan bir sıkıntıdır. Bu yüzden bugün Durbin–Watson istatistiği çoğunlukla hızlı bir ilk işaret olarak okunur ve karar Breusch–Godfrey gibi daha genel testlere bırakılır.

Neden önemli?

Makroekonomik ve finansal verilerin çoğu zaman içinde gözlemlenir: enflasyon, işsizlik, faizler, döviz kurları, ihracat. Bu serilerde şokların etkisi genellikle birkaç dönem sürer ve modellerin hataları da bu kalıcılığı taşır. Bir para politikası kararının ya da bir vergi değişikliğinin etkisini ölçen çalışmalar, otokorelasyonu hesaba katmadığında, belirsiz sonuçları kesinmiş gibi sunabilir ve politika tartışmalarını yanlış bir güvenle besleyebilir.

Otokorelasyon politika değerlendirmesi açısından da kritiktir. Bertrand, Duflo ve Mullainathan'ın gösterdiği gibi, bir politikanın bölgeler ve yıllar üzerinden değerlendirildiği çalışmalarda, ardışık bağımlılığı görmezden gelmek etkisiz politikaları etkili gibi gösterebilir. Türkiye'de de il düzeyinde yıllar boyunca izlenen verilerle yapılan değerlendirmelerde aynı risk vardır. Bir çalışmanın standart hatalarını hangi düzeyde kümelediğine bakmak, sonuçlarına ne kadar güvenileceğini değerlendirmenin temel adımlarından biridir.

Model

Otokorelasyon nereden gelir?

Zaman serilerinde otokorelasyonun ilk kaynağı eylemsizliktir. Hane tüketimi, şirket yatırımları ve fiyatlar, koşullar değiştiğinde bir anda değil, zamanla uyum sağlar. Modelin yakalayamadığı bir şok, bu uyum süreci boyunca birkaç dönem hissedilir ve ardışık hatalar aynı yönde sapar.

İkinci kaynak, modelden dışarıda bırakılan ve kendisi zamanla yavaş değişen bir etkendir. Enerji talebi modeline nüfus eğilimi ya da ev aletlerinin yaygınlaşması eklenmemişse, bu etkenler hata terimine karışır ve hatalara bir eğilim kazandırır. Üçüncü kaynak, verilerin üretilme biçimidir: aylık verilerin çeyreklik ortalamaları, düzleştirilmiş seriler ya da ara değer doldurmayla elde edilen gözlemler, komşu dönemleri yapay olarak birbirine bağlar.

Pozitif ve negatif bağımlılık

İktisadi verilerde en sık görülen biçim pozitif otokorelasyondur: bir dönemin hatası pozitifse, sonrakinin de pozitif olma olasılığı yüksektir. Kalıntılar zaman içinde uzun dalgalar hâlinde sıfırın üstünde ve altında dolaşır. Bu durum, verilerin taşıdığı bağımsız bilgi miktarının gözlem sayısından daha az olduğu anlamına gelir.

Negatif otokorelasyonda ise hatalar dönemden döneme işaret değiştirir. Stok ayarlamaları ya da bir dönemde fazla yapılan ödemenin sonraki dönemde telafi edilmesi bu tür bir örüntü üretebilir. Değişkenlerin farkı alındığında da negatif bağımlılık ortaya çıkabilir. Negatif otokorelasyon klasik standart hataları genellikle olduğundan büyük gösterir, ama iktisatta pozitif biçime göre çok daha nadirdir.

Sonuçlar

Değişen varyansta olduğu gibi, hata terimleri açıklayıcı değişkenlerle ilişkisiz olduğu sürece otokorelasyon katsayıları saptırmaz. Kaybedilen, yine kesinliğin doğru ölçülmesidir. Hem hatalar hem açıklayıcı değişken pozitif otokorelasyonlu olduğunda, klasik formül gerçek belirsizliği küçük gösterir; iki bağımlılık ne kadar güçlüyse, yanılgı o kadar büyük olur.

Gauss–Markov teoreminin güvencesi de ortadan kalkar: hataların yapısını hesaba katan bir tahmin, ağırlıksız regresyondan daha kesin olabilir. Ayrıca belirlilik katsayısı ve F testleri de yanıltıcı hâle gelebilir. Bu sonuçların hepsi, modelin geri kalanının doğru kurulduğu varsayımına dayanır; sonraki bölümlerde bu varsayımın bozulduğu önemli bir durumu da göreceğiz.

Çözümlü örnek — Yüz çeyreklik yanılgı

Yüz çeyreklik bir dönemde bir açıklayıcı değişken ile hata teriminin her ikisinin de birinci dereceden otoregresif süreç izlediğini ve ardışık korelasyonlarının 0,8 olduğunu düşünelim. Gerçek eğim 0,5 olsun. Bu yapıdan 5 bin kez yeni bir seri üretip her birinde eğimi yeniden bulduğumuzda, beş bin eğimin ortalaması yine 0,5 civarına oturur; bağımlılık tahmini bir yöne kaydırmaz.

Ama beş bin eğim, birbirinden ortalama 0,21 kadar uzaklaşırken, klasik formül her seride tipik olarak 0,10 civarında bir belirsizlik bildirir. Eğimin 0,5'e eşit olduğu, yani aslında doğru olan önermeyi yüzde 5 düzeyinde sınadığımızda, klasik formül serilerin kabaca üçte birinde, yaklaşık yüzde 35'inde bu önermeyi yanlışlıkla reddeder. Aynı benzetimi hiç bağımlılık olmadan tekrarladığımızda, klasik standart hata gerçek değere denk düşer ve ret oranı yüzde 5 civarında kalır. Kalıntılardan hesaplanan Durbin–Watson istatistiğinin ortalaması ise bağımlı durumda yaklaşık 0,5, bağımsız durumda yaklaşık 2'dir.

Görsel tanı

Otokorelasyonu fark etmenin ilk yolu, kalıntıları zamana göre çizmektir. Kalıntılar uzun süre sıfırın aynı tarafında kalıyor ve yavaş dalgalar oluşturuyorsa, pozitif bağımlılık vardır. Sık sık işaret değiştiren testere dişi biçiminde bir örüntü ise negatif bağımlılığa işaret eder.

İkinci bir grafik, her kalıntıyı bir önceki dönemin kalıntısına göre çizer. Noktalar sağa yükselen bir çizgi etrafında toplanıyorsa ardışık korelasyon pozitiftir; bu grafikteki eğim, birinci dereceden otoregresif katsayının kaba bir tahminidir. Grafikler hangi gecikmelerin önemli olduğuna ve bağımlılığın mevsimsel olup olmadığına dair de ipucu verir.

Durbin–Watson istatistiğinin okunması

Durbin–Watson istatistiği sıfır ile 4 arasında değer alır. Otokorelasyon yoksa ardışık kalıntılar birbirinden bağımsızdır ve farklarının karesi, tek bir kalıntının karesinin ortalamada iki katıdır; bu yüzden istatistik 2 civarındadır. Pozitif otokorelasyonda ardışık kalıntılar birbirine yakın olduğu için farklar küçülür ve istatistik sıfıra yaklaşır.

Pratik bir kural, istatistiğin yaklaşık olarak iki çarpı bir eksi ardışık kalıntı korelasyonuna eşit olmasıdır. Bu ilişki, istatistiği okurken ardışık korelasyonun büyüklüğü hakkında hızlı bir fikir verir. Karar için Durbin ve Watson'ın alt ve üst sınır tabloları kullanılır; bu tablolar gözlem sayısına ve açıklayıcı değişken sayısına göre değişir.

Çözümlü örnek — İstatistikten korelasyona

Kırk yıllık verilerle tahmin edilen bir ihracat modelinin Durbin–Watson istatistiği 0,8 çıkmış olsun. Pratik kurala göre, iki çarpı bir eksi ardışık korelasyon 0,8'e eşitse, bir eksi korelasyon 0,4, korelasyon ise yaklaşık 0,6'dır. Bu, bir yılın model hatasının ertesi yıla güçlü biçimde taşındığı anlamına gelir.

Aynı model başka bir dönemde 1,9'luk bir istatistik verseydi, ardışık korelasyon yaklaşık 0,05 olurdu ve bir dönemlik bağımlılık önemsiz sayılabilirdi. İstatistiğin 3,2 çıkması ise korelasyonun yaklaşık eksi 0,6 olduğunu, hataların yıldan yıla işaret değiştirdiğini gösterirdi. Her iki durumda da karar, sınır tablolarına ve modelin gecikmeli bağımlı değişken içerip içermediğine göre verilmelidir.

Breusch–Godfrey testinin adımları

Trevor Breusch ve Leslie Godfrey'in 1978'de birbirinden bağımsız olarak önerdiği test, üç adımda uygulanır. Önce asıl model tahmin edilir ve kalıntılar kaydedilir. Sonra bu kalıntılar, modelin bütün açıklayıcı değişkenleri ve kalıntıların belirli sayıda gecikmeli değeriyle yardımcı bir regresyona sokulur.

Son adımda, yardımcı regresyondan elde edilen belirlilik katsayısı, kullanılan gözlem sayısıyla çarpılır. Ardışık bağımlılık yoksa bu çarpım, gecikme sayısı kadar serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımıyla karşılaştırılır. Örneğin 96 gözlemli bir yardımcı regresyonda dört gecikme kullanılmış ve belirlilik katsayısı 0,15 bulunmuşsa, istatistik 14,4'tür; dört serbestlik derecesinde yüzde 5 eşiği yaklaşık 9,49 olduğundan bağımsızlık reddedilir.

Görünüşte otokorelasyon

Kalıntılardaki ardışık bağımlılık her zaman hataların gerçek yapısından kaynaklanmaz. Önceki derslerde gördüğümüz fonksiyonel biçim hatası, zamana göre sıralanmış verilerde otokorelasyon gibi görünebilir: eğrisel bir ilişkiye doğru uydurulduğunda, kalıntılar önce bir tarafta, sonra öbür tarafta kümelenir. Modelden dışarıda bırakılan bir eğilim ya da mevsimsellik de aynı izi bırakır.

Bu yüzden otokorelasyon işareti görüldüğünde ilk soru, standart hataların nasıl düzeltileceği değil, modelin bir şeyi eksik bırakıp bırakmadığıdır. Eğilim terimi, mevsim kuklaları ya da doğru fonksiyonel biçim eklendiğinde bağımlılık kayboluyorsa, sorun hatalarda değil modeldeydi. Bu durumda yalnızca standart hataları düzeltmek, katsayılardaki olası sapmayı gidermez.

Newey–West standart hatalarının mantığı

Whitney Newey ve Kenneth West'in 1987'de Econometrica'da yayımladığı altı sayfalık makale, dayanıklı standart hata fikrini zaman boyutuna taşıdı. White'ın formülü her dönemi yalnızca kendi kalıntısıyla temsil ederken, Newey–West formülü yakın dönemlerin kalıntı çarpımlarını da hesaba katar. Böylece bir çeyrekte başlayıp sonraki çeyreklere sızan sarsıntılar da hesaba girer.

Formülün kritik bir özelliği, uzak dönemlere giderek azalan ağırlıklar vermesidir. Bu ağırlıklandırma, tahmin edilen varyansın her zaman pozitif çıkmasını güvence altına alır. Araştırmacının seçmesi gereken tek şey, hesaba katılacak en uzun gecikmedir.

Gecikme uzunluğunun seçimi

Gecikme uzunluğu, bir dengeyi yansıtır. Çok kısa bir gecikme, uzun süren bağımlılığı kaçırır ve standart hataları yine küçük gösterir. Çok uzun bir gecikme ise çok sayıda kalıntı çarpımını tahmin etmeyi gerektirir ve standart hataları gürültülü hâle getirir.

Yazılımların çoğu, gözlem sayısıyla yavaşça artan bir pratik kural kullanır; yüz gözlem için bu kural genellikle dört ya da beş dönemlik bir gecikme önerir. Veri aylıksa ve mevsimsel bağımlılık bekleniyorsa, gecikmenin en az on iki ay olması düşünülmelidir. Seçimin sonuçları ne kadar değiştirdiğini göstermek için farklı gecikmelerle hesaplanan standart hataların birlikte raporlanması iyi bir pratiktir.

Çözümlü örnek — Düzeltmenin sınırı

Yüz çeyreklik benzetime geri dönelim. Dört dönemlik gecikmeyle hesaplanan Newey–West standart hatalarının ortalaması yaklaşık 0,145'tir; klasik formülün 0,10'undan büyük, ama gerçek değer olan 0,21'den hâlâ küçük. Doğru hipotezin reddedilme oranı yüzde 35'ten yaklaşık yüzde 19'a iner, ama yüzde 5'e ulaşmaz. On iki dönemlik gecikme, ret oranını ancak yüzde 18 civarına indirir.

Bağımlılık bu kadar güçlü ve seri bu kadar kısa olduğunda, Newey–West düzeltmesi doğru yönde ilerler ama sorunu tam çözmez. Tersine, hiç bağımlılık yokken aynı düzeltme küçük bir bedel getirir: ret oranı yüzde 5 yerine yaklaşık yüzde 7 olur. Bu bulgular, büyük örneklem güvencelerinin kısa ve kalıcı serilerde zayıfladığını hatırlatır.

Otoregresif dönüşüm

Hataların birinci dereceden otoregresif süreç izlediği biliniyorsa, yalnızca belirsizliği doğru raporlamakla yetinmeyip daha kesin bir tahmin de hedeflenebilir. Donald Cochrane ve Guy Orcutt'un 1949'da önerdiği yöntemde, önce ardışık korelasyon kalıntılardan tahmin edilir. Sonra her değişkenden, bir önceki dönemdeki değerinin bu korelasyonla çarpımı çıkarılır ve model dönüştürülmüş verilerle yeniden tahmin edilir.

Bu, önceki derste gördüğümüz uygulanabilir genelleştirilmiş en küçük karelerin zaman serisi biçimidir. Prais ve Winsten'in önerdiği bir değişiklik, ilk gözlemi atmadan dönüştürerek küçük örneklemlerde bilgi kaybını azaltır. Yöntemin güçlü bir varsayımı vardır: açıklayıcı değişkenlerin geçmiş ve gelecek hatalarla ilişkisiz olması gerekir. Bu varsayım bozulursa, dönüştürülmüş tahmin sapmalı olabilir; bu yüzden uygulamada ağırlıksız regresyon ve Newey–West standart hataları daha sık tercih edilir.

Gecikmeli bağımlı değişken tuzağı

Otokorelasyonun katsayıları saptırmadığı kuralının önemli bir istisnası vardır. Modelde bağımlı değişkenin geçmiş değeri açıklayıcı olarak yer alıyorsa, örneğin bu yılın tüketimi geçen yılın tüketimiyle açıklanıyorsa, ardışık bağımlı hatalar bu açıklayıcıyla ilişkili hâle gelir. Geçen yılın hatası hem geçen yılın tüketimini hem de bu yılın hatasını etkiler.

Bu durumda açıklayıcılardan biri hatayla birlikte hareket ettiği için, en küçük kareler tahmini büyük örneklemlerde bile sapmalı kalır. Standart hataları düzeltmek bu sapmayı gidermez. Bu yüzden gecikmeli bağımlı değişken içeren modellerde otokorelasyonu sınamak özellikle önemlidir; Breusch–Godfrey testi burada geçerliliğini korurken Durbin–Watson testi yanıltıcıdır.

Gruplar içinde bağımlılık

Brent Moulton 1990'da, bireysel verilerin grup düzeyindeki değişkenlerle ilişkilendirildiği çalışmalarda benzer bir sorunun ortaya çıktığını gösterdi. Aynı gruptaki bireylerin hataları ortak etkenler yüzünden ilişkiliyse ve açıklayıcı değişken yalnızca grup düzeyinde değişiyorsa, klasik standart hatalar gerçek belirsizliği büyük ölçüde küçük gösterir.

Standart hataların ne kadar büyümesi gerektiği, grup büyüklüğüne ve grup içi korelasyona bağlıdır. Açıklayıcı değişken grup içinde sabitse, varyansın büyüme katsayısı yaklaşık olarak bir artı, grup büyüklüğünün bir eksiği ile grup içi hata korelasyonunun çarpımıdır. Standart hatalar ise bu katsayının karekökü oranında büyür.

Çözümlü örnek — İl politikası ve hane verisi

Bir araştırmacı, 50 ildeki bir il politikasının hane tasarrufuna etkisini, her ilden 200 hanelik bir örneklemle ölçüyor. Politika değişkeni il içinde sabittir ve aynı ildeki hanelerin hataları arasındaki korelasyon 0,05 gibi küçük bir değerdedir. Büyüme katsayısı, bir artı 199 çarpı 0,05, yani yaklaşık 10,95'tir.

Bu, varyansın yaklaşık 11 kat, standart hatanın ise yaklaşık 3,3 kat büyük olması gerektiği anlamına gelir. Klasik formülle 3,5 çıkan bir t istatistiği, düzeltildiğinde yaklaşık 1,06'ya düşer ve anlamlılık ortadan kalkar. Grup içi korelasyonun görünüşteki küçüklüğü yanıltıcıdır: 10 bin gözlem, politika açısından aslında yalnızca 50 bağımsız bilgi birimidir.

Kümelenmiş standart hataların sınırları

Kümelenmiş standart hatalar, küme içindeki bağımlılığın biçimini bilmeyi gerektirmez; ama kümelerin birbirinden bağımsız olduğunu ve küme sayısının yeterince büyük olduğunu varsayar. Küme sayısı azsa, örneğin yalnızca birkaç bölge ya da on civarında il varsa, formül standart hataları yine küçük gösterebilir.

Bu durumlarda uygulamada küçük örneklem düzeltmeleri, t dağılımına dayalı kritik değerler ya da kümeler düzeyinde yeniden örnekleme yöntemleri kullanılır. Hangi düzeyde kümeleneceği de bir karardır: genel kural, politikanın ya da açıklayıcı değişkenin değiştiği düzeyde, yani ilde uygulanan bir politika için il düzeyinde kümelemektir.

Hangi yol?

Zaman serisi çalışmalarında sık görülen tercih, eğimleri dönüştürmeden hesaplayıp yanlarına Newey–West standart hatalarını koymak ve Breusch–Godfrey testiyle bağımlılığın derecesine bakmaktır. Güçlü bir bağımlılık görüldüğünde, modelin eksik bir eğilimi, mevsimselliği ya da dinamiği yakalayıp yakalamadığı sorgulanmalıdır. Panel ve grup verilerinde ise standart hatalar, açıklayıcı değişkenin değiştiği düzeyde kümelenir.

Farkların farkı çalışmalarında Bertrand, Duflo ve Mullainathan'ın uyarısı geçerlidir: çok sayıda dönem kullanıldığında standart hatalar politikanın uygulandığı birim düzeyinde kümelenmelidir. Bu düzeltmeler katsayıların yorumunu değiştirmez; yalnızca eldeki gözlemlerin kaç bağımsız bilgi birimine denk geldiğini dürüstçe hesaba katar.

Uygulama

Özet kartı

1. Otokorelasyon, farklı gözlemlerin hata terimlerinin birbirine bağlı olmasıdır; zaman serilerinde eylemsizlik, dışarıda bırakılan yavaş değişen etkenler ve veri üretim biçimi yüzünden, gruplarda ise ortak etkenler yüzünden ortaya çıkar.
2. Açıklayıcı değişkenler hatalarla ilişkisiz olduğu sürece otokorelasyon katsayıları kaydırmaz ama klasik standart hataları çoğunlukla küçük gösterir; yüz çeyreklik benzetimde klasik formül 0,21'lik gerçek oynaklığı 0,10 olarak bildirdi ve doğru bir önermeyi serilerin yüzde 35'inde reddetti. Gecikmeli bağımlı değişkenli modellerde ise katsayılar da sapmalı olur.
3. Durbin–Watson istatistiği yaklaşık iki çarpı bir eksi ardışık korelasyona eşittir ve 2'ye yakınsa bir dönemlik bağımlılık zayıftır; Breusch–Godfrey testi birden fazla gecikmeyi sınar ve gecikmeli bağımlı değişkenli modellerde de geçerlidir.
4. Newey–West standart hataları zamandaki, kümelenmiş standart hatalar gruplar içindeki bağımlılığı hesaba katar; ilki kısa ve kalıcı serilerde yetersiz kalabilir, ikincisinin güvenilirliği küme sayısına bağlıdır.
5. Bertrand, Duflo ve Mullainathan, 65 çok dönemli farkların farkı çalışmasından yalnızca beşinin ardışık bağımlılığı ele aldığını ve klasik standart hatalarla hayalî yasaların yüzde 45'e varan bir kısmının anlamlı çıktığını gösterdi; çözüm, politikanın uygulandığı birim düzeyinde kümelemektir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Birinci dereceden otoregresif süreçte ardışık korelasyon katsayısı neyi gösterir? Katsayı 0,2 ile 0,9 olduğunda şokların kalıcılığı nasıl farklılaşır?
2. (Çıktı 2) Hem hata terimi hem de açıklayıcı değişken pozitif otokorelasyonlu olduğunda klasik standart hatalar neden gerçek belirsizliği küçük gösterir? Gecikmeli bağımlı değişken içeren bir modelde sorun neden daha ağırdır?
3. (Çıktı 3) Bir modelin Durbin–Watson istatistiği 1,2'dir. Kalıntıların ardışık korelasyonunu yaklaşık olarak hesapla ve yorumla.
4. (Çıktı 3) 120 gözlemli bir yardımcı regresyonda iki gecikmeli kalıntı kullanılmış ve belirlilik katsayısı 0,04 bulunmuştur. Breusch–Godfrey istatistiğini hesapla. İki serbestlik derecesinde yüzde 5 eşiği yaklaşık 5,99 ise sonucu yorumla.
5. (Çıktı 3) Bir çalışmada 30 okulun her birinden 50 öğrenci seçilmiş ve okul düzeyinde uygulanan bir programın etkisi ölçülmüştür. Okul içi hata korelasyonu 0,1 ise, varyansın büyüme katsayısını ve standart hatanın ne kadar büyümesi gerektiğini hesapla.
6. (Çıktı 4) Bir araştırmacı, 30 yıllık il verisiyle yaptığı farkların farkı çalışmasında «Değişen varyansa dayanıklı standart hatalar kullandım, bu yüzden çıkarımım güvenilir» diyor. Bertrand, Duflo ve Mullainathan'ın bulgularını, kümelenmiş standart hataların mantığını ve sınırlarını kullanarak araştırmacının güvenini tart.

Cevaplar

1. Katsayı, bir dönemin hatasının ne kadarının bir sonraki döneme taşındığını gösterir ve ardışık hatalar arasındaki korelasyona eşittir. Katsayı 0,2 olduğunda bir şokun etkisi hızla söner: iki dönem sonra yalnızca 0,04'ü kalır. Katsayı 0,9 olduğunda ise şok uzun süre kalıcıdır: iki dönem sonra 0,81'i, on dönem sonra bile yaklaşık 0,35'i kalır.
2. Pozitif otokorelasyonda ardışık gözlemler büyük ölçüde aynı bilgiyi tekrarlar; verilerin taşıdığı bağımsız bilgi gözlem sayısından azdır. Açıklayıcı değişken de kalıcıysa, hataların uzun dalgaları açıklayıcı değişkenin uzun dalgalarıyla birlikte hareket ederek eğim tahminini dönemden döneme daha fazla oynatır; klasik formül gözlemleri bağımsız saydığı için bu oynaklığı görmez. Gecikmeli bağımlı değişkenli modelde ise geçmiş hata hem geçmiş bağımlı değişkeni hem de bugünkü hatayı etkiler; açıklayıcı değişken hatayla ilişkili hâle gelir ve katsayı büyük örneklemlerde bile sapmalı olur. Standart hataları düzeltmek bu sapmayı gidermez.
3. İki çarpı bir eksi korelasyon 1,2'ye eşitse, bir eksi korelasyon 0,6 ve korelasyon yaklaşık 0,4'tür. Bu, orta düzeyde pozitif bir ardışık bağımlılık demektir: bir dönemin hatasının yaklaşık yüzde 40'ı sonraki döneme taşınır. Kesin karar için sınır tablolarına bakılmalı ve Newey–West standart hataları kullanılmalıdır.
4. İstatistik, 120 ile 0,04'ün çarpımı olan 4,8'dir. Bu değer 5,99'luk kritik değerin altındadır; iki gecikmeye kadar ardışık bağımlılık olmadığı hipotezi yüzde 5 düzeyinde reddedilemez. Bu, bağımlılığın kesin olarak bulunmadığı anlamına gelmez; yalnızca verinin onu güçlü biçimde göstermediğini söyler.
5. Büyüme katsayısı, bir artı 49 çarpı 0,1, yani 5,9'dur. Varyans yaklaşık 5,9 kat, standart hata ise bunun karekökü olan yaklaşık 2,4 kat büyümelidir. Klasik formülle bulunan standart hata, gerçek belirsizliğin yarısından azını gösterir.
6. İddia yanıltıcıdır. Değişen varyansa dayanıklı standart hatalar gözlemlerin birbirinden bağımsız olduğunu varsayar; oysa aynı ilin 30 yıllık gözlemleri büyük olasılıkla güçlü biçimde birbirine bağlıdır ve politika değişkeni de il içinde uzun süre sabit kalır. Bertrand, Duflo ve Mullainathan, bu durumda klasik standart hatalarla hayalî yasaların yüzde 45'e varan bir kısmının anlamlı çıktığını gösterdi; yalnızca değişen varyansı düzeltmek bu sorunu çözmez. Doğru yaklaşım, standart hataları il düzeyinde kümelemektir; böylece her ilin bütün yılları tek bir bilgi birimi olarak ele alınır. Kümelenmiş standart hataların sınırları da akılda tutulmalıdır: il sayısı yeterince büyükse güvenilirdirler, ama politika yalnızca birkaç ilde uygulandıysa küçük örneklem düzeltmeleri gerekir.

İleri okuma

• Marianne Bertrand, Esther Duflo ve Sendhil Mullainathan (2004). «How Much Should We Trust Differences-in-Differences Estimates?». Quarterly Journal of Economics 119(1). Hayalî yasa deneyi ve farkların farkı çalışmalarında ardışık bağımlılık.
• J. Durbin ve G. S. Watson (1950). «Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression. I». Biometrika 37(3/4). Durbin–Watson istatistiğinin ilk sunuluşu.
• Whitney K. Newey ve Kenneth D. West (1987). «A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix». Econometrica 55(3). Zamandaki bağımlılığa dayanıklı standart hatalar.
• A. Colin Cameron ve Douglas L. Miller (2015). «A Practitioner's Guide to Cluster-Robust Inference». Journal of Human Resources 50(2). Kümelenmiş standart hataların uygulamalı rehberi.

Sonraki derse köprü

Bu derste hata terimlerinin birbirine bağlı olmasının standart hataları nasıl yanılttığını gördük. Sıradaki sorun hatalarda değil, açıklayıcı değişkenlerin kendisinde. Bir modelde iki açıklayıcı birlikte hareket ediyorsa, örneğin bir hanenin geliri ile serveti ya da bir ilin nüfusu ile işgücü neredeyse aynı örüntüyü izliyorsa, her birinin ayrı etkisi nasıl ölçülebilir? Sıradaki ders çoklu doğrusal bağlantıyı ele alıyor: açıklayıcılar arasındaki güçlü ilişkinin katsayıları nasıl kararsızlaştırdığını, varyans şişirme çarpanıyla nasıl ölçüldüğünü ve ne zaman gerçekten bir sorun olduğunu inceleyeceğiz.