Fonksiyonel form

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Fonksiyonel form yanlış belirlemesini, kalıntı grafiğini, RESET testini, Box-Cox dönüşümünü, log benzeri dönüşümü ve kırılma noktalı regresyonu tanımlar.
• Anlama — Hatalı bir biçim tercihinin katsayıları neden saptırdığını ve kuramın, verinin ve araştırma sorusunun biçim seçimine nasıl yön verdiğini açıklar.
• Uygulama — Eğrisel bir ilişkiye doğrusal model uydurulduğunda marjinal etkilerin nasıl yanlış çıktığını, bir üretim fonksiyonunda log-log biçimin katsayılarını ve sıfır içeren verilerde log benzeri dönüşümlerin birimlere duyarlılığını hesaplar.
• Değerlendirme — Bir ilişkinin biçimine dair iddiaların, örneğin gelir ile kirlilik arasındaki ters U biçimli eğrinin, model seçimine ne kadar dayandığını tartar.

Sezgi

Açılış

Bir regresyon modeli kurmak, verilerin arkasındaki ilişkinin biçimi hakkında bir tahminde bulunmaktır. Düz bir doğru, ilişkinin her noktada aynı eğime sahip olduğunu varsayar. Logaritmik bir model, etkilerin oransal olduğunu; kare terimli bir model, ilişkinin bir noktada yön değiştirebileceğini varsayar. Bu varsayımlar çoğu zaman açıkça söylenmez, ama sonuçları belirler: yanlış bir biçim seçildiğinde, en kesin tahmin bile yanlış bir soruya cevap verir.

Önceki iki derste logaritma, kare terim ve kukla değişkenlerle kurulan modellerin nasıl yorumlanacağını gördük. Bu derste daha önce gelen bir soruya dönüyoruz: bu biçimlerden hangisinin seçileceğine nasıl karar verilir? Kuramın, verinin ve araştırma sorusunun bu seçimdeki rolünü, yanlış seçimin bedelini ve bir modelin biçiminin uygun olup olmadığını sınamanın yollarını inceleyeceğiz.

Hikâye — Kirlilik ne zaman düşmeye başlar?

1991'de Princeton Üniversitesi'nden Gene Grossman ve Alan Krueger, Kuzey Amerika Serbest Ticaret Anlaşması tartışmalarının ortasında bir soruya yöneldi: Meksika'nın ticaretle zenginleşmesi, çevresini kirletecek miydi? Soruyu yanıtlamak için dünyanın farklı ülkelerindeki kentlerde ölçülen hava kirliliği verilerini kişi başına gelirle karşılaştırdılar. 1995'te genişletilmiş biçimini yayımladıkları çalışmada, pek çok kirletici için ilginç bir örüntü buldular.

Kirlilik, gelir artarken önce yükseliyor, bir gelir eşiği aşıldıktan sonra ise düşmeye başlıyordu. Kirleticilerin çoğu için bu dönüm noktası, kişi başına gelirin 8 bin doları aşmasından önce geliyordu. İlişki, Simon Kuznets'in gelir eşitsizliği için önerdiği ters U biçimini andırdığından, «çevresel Kuznets eğrisi» adını aldı. Bulgu hızla yayıldı: büyüme çevre sorunlarının hem nedeni hem de çözümü gibi görünüyordu.

Sonraki yıllarda eğri birçok çalışmada yeniden tahmin edildi ve sonuçlar tutarsızlaştı. Farklı kirleticiler, farklı ülke grupları ya da farklı model biçimleri kullanıldığında dönüm noktaları çok farklı yerlere kayıyor, bazen tamamen kayboluyordu. Karbondioksit emisyonları gibi bazı göstergeler ise gelirle birlikte düzenli olarak artmaya devam ediyordu. Tartışma, bir ilişkinin biçimine dair güçlü bir iddianın, o biçimi varsayan bir modelden ne ölçüde çıkarılabileceği sorusunu gündeme getirdi.

Kavram

Çevresel Kuznets eğrisi tartışması, bir modelin varsaydığı biçimin sonuçları nasıl belirleyebileceğini gösterir. Biçim yanlış seçildiğinde, tahminler sistematik olarak saparlar.

Biçimin uygun olup olmadığını görmenin en basit yolu, modelin açıklayamadığı kısma bakmaktır. Kalıntılar, gözden kaçan örüntüleri ortaya çıkarır.

Grafikler sezgi verir, ama biçimi resmî olarak sınamak için bir test de gerekir. Bu amaçla en çok kullanılan testlerden biri, modelin kendi tahminlerini kullanır.

Logaritma ile düzey arasında bir seçim yapmak yerine, veriye en uygun dönüşümü aramak da mümkündür. Bu yaklaşım, iki uç durumu tek bir ailenin üyeleri olarak görür.

Logaritma, sıfır ve negatif değerler için tanımlı değildir. Uygulamada bu sorunu aşmak için başvurulan yollar, kendi sorunlarını taşır.

Bazı ilişkiler, belirli bir eşikte eğim değiştirir. Bu durumda tek bir eğri yerine, birbirine bağlanan doğru parçaları kullanılabilir.

Veri ve kanıt

Stern'in eleştirisi, fonksiyonel biçimin sonuçları nasıl belirleyebileceğini gösterir. Gelir ile kirlilik arasındaki ilişkiyi ikinci dereceden bir modelle tahmin etmek, verilerde ters U biçimi olmasa bile bir dönüm noktası hesaplamaya izin verir; model, varsaydığı biçimi verilere yükler. Dönüm noktası veri aralığının dışına düştüğünde, önceki derste gördüğümüz veri dışına çıkarım sorunu ortaya çıkar. Ayrıca yoğunluk ve toplam emisyon gibi farklı ölçüler, farklı biçimler gösterebilir; hangisinin kullanıldığı, sonucun anlamını değiştirir.

Bu çalışma, yaygın bir uygulamanın beklenmedik bir kusurunu ortaya çıkardı. Pek çok araştırmacı, sıfırlı verilerde logaritmaya en yakın seçenek olduğunu düşünerek bu dönüşümleri kullanıyor ve sonuçları yüzde etkiler olarak yorumluyordu. Chen ve Roth'un sonucu, fonksiyonel biçim seçiminin yalnızca bir teknik tercih olmadığını, hangi soruya cevap verildiğini belirleyen bir karar olduğunu hatırlatır.

Neden önemli?

Fonksiyonel biçim seçimi, politika tartışmalarında sık sık gözden kaçan ama sonuçları belirleyen bir karardır. Bir çevre politikasının gerekip gerekmediği, kirliliğin gelirle birlikte kendiliğinden azalıp azalmadığına bağlıdır; bu soru ise büyük ölçüde hangi biçimin tahmin edildiğine bağlıdır. Bir sosyal yardımın gelir üzerindeki etkisi, sıfır gelirli hanelerin nasıl ele alındığına göre çok farklı raporlanabilir.

Türkiye'de de benzer sorular önemlidir. Enerji tüketiminin gelirle ilişkisi, tarımsal verimin gübre ve sulamayla ilişkisi ya da hane harcamalarının gelirle ilişkisi, çoğu zaman doğrusal değildir. Bu ilişkileri yanlış bir biçimle modellemek, örneğin sulamanın verime etkisini her düzeyde aynı saymak, kaynakların yanlış yerlere yönlendirilmesine yol açabilir. Doğru biçimi aramak, bir ilişkinin nerede güçlü, nerede zayıf olduğunu anlamanın yoludur.

Model

Biçim bir varsayımdır

Her regresyon modeli, ilişkinin biçimine dair bir varsayım içerir. Doğrusal model, açıklayıcı değişkendeki her birimlik artışın açıklanan değişkende aynı değişime yol açtığını varsayar. Logaritmik modeller, etkilerin mutlak değil oransal olduğunu; kare terimli modeller, etkinin düzeye göre değiştiğini varsayar. Bu varsayımlar, önceki derslerde gördüğümüz klasik varsayımların ilkiyle, yani modelin parametrelerde doğru belirlenmiş olmasıyla ilgilidir.

Varsayım yanlışsa, sonuç çıkarılan değişken yanlılığına benzer bir sapmadır. Gerçek ilişkide bir kare terim varsa ve model bu terimi içermiyorsa, kare terim hata terimine karışır. Açıklayıcı değişken ile karesi birbiriyle ilişkili olduğundan, bu durum koşullu sıfır ortalama varsayımını bozar ve katsayı sapar.

Çözümlü örnek — Eğriye doğru uydurmak

Bir tarım bölgesinde dekar başına sulama suyu miktarı ile verim arasındaki gerçek ilişkinin, verim eşittir 10 artı 4 çarpı sulama eksi 0,2 çarpı sulamanın karesi biçiminde olduğunu varsayalım; sulama 0 ile 15 birim arasında gözlensin. Sulamanın marjinal etkisi, 4 eksi 0,4 çarpı sulamadır: az sulanan tarlalarda büyük, çok sulanan tarlalarda küçüktür ve 10 birimin üzerinde negatife döner.

Bu verilere düz bir doğru uydurulduğunda, eğim 1,0 çıkar: model, her ek birim sulamanın verimi 1 birim artırdığını söyler. Oysa gerçek marjinal etki, 2 birim sulanan bir tarlada 3,2, 8 birimde 0,8, 14 birimde ise eksi 1,6'dır. Doğrusal model, az sulanan tarlalarda sulamanın faydasını büyük ölçüde küçük gösterirken, aşırı sulanan tarlalarda zarar veren bir uygulamayı faydalı gösterir. Ortalama eğim tek başına doğru olabilir, ama hiçbir tarla için doğru değildir.

Kalıntılar ne söyler?

Önceki örnekte doğrusal modelin kalıntıları çizildiğinde, açık bir örüntü görülür: sulamanın düşük ve yüksek değerlerinde kalıntılar negatif, orta değerlerinde pozitiftir. Kalıntılar bir kubbe biçimi çizer. Bu örüntü, modelin eğrisel bir ilişkiyi yakalayamadığının işaretidir.

Kalıntı grafiği, her regresyonun ardından çizilmesi gereken bir tanı aracıdır. Kalıntılar uydurulmuş değerlere göre rastgele dağılıyorsa, model büyük bir biçim sorunu taşımıyor olabilir. Eğri, huni ya da dalga gibi örüntüler ise sırasıyla eksik bir doğrusal olmayan terimi, sonraki derste ele alacağımız değişen varyansı ya da zaman serilerinde kalıntıların birbirine bağlılığını gösterebilir.

Log mu, düzey mi?

Logaritma ile düzey arasındaki seçim, üç soruya bağlıdır. Birincisi kuramdır: ekonomik kuram etkilerin oransal olduğunu söylüyorsa, örneğin bir üretim fonksiyonunda, logaritmik biçim doğaldır. İkincisi verinin dağılımıdır: gelir ve fiyat gibi sağa çarpık değişkenlerin logaritması daha simetrik bir dağılım verir ve uç değerlerin etkisini azaltır. Üçüncüsü araştırma sorusudur: politika yapıcı mutlak değişimle mi yoksa yüzde değişimle mi ilgileniyor?

Logaritma almanın bir yan yararı da vardır. Hata teriminin yayılımı düzey olarak açıklanan değişkenle birlikte büyüyorsa, logaritma bu yayılımı dengeleyebilir. Ama logaritmik bir modelin tahminlerini yeniden düzeye çevirmek dikkat ister: logaritmaların ortalamasının üstel değeri, düzeylerin ortalamasına eşit değildir. Logaritmik bir modelden elde edilen tahminleri doğrudan üstel fonksiyonla düzeye çevirmek, ortalama değeri sistematik olarak olduğundan küçük gösterir. Naihua Duan 1983'te, kalıntıların üstel değerlerinin ortalamasıyla yapılan bir düzeltmeyi önerdi; bu düzeltme, logaritmik bir modelden lira ya da ton gibi birimlerde tahmin üretmek gerektiğinde bugün de yaygın olarak kullanılır.

Çözümlü örnek — Üretim fonksiyonu

Bir sektördeki şirketlerin üretiminin, Cobb–Douglas biçiminde sermaye ve emeğe bağlı olduğunu varsayalım: üretim, bir verimlilik katsayısı ile sermayenin 0,3'üncü ve emeğin 0,7'nci kuvvetinin çarpımıdır. Bu ilişki düzeylerde doğrusal değildir, ama iki yanın logaritması alındığında üretimin logaritması, sermayenin ve emeğin logaritmalarının doğrusal bir fonksiyonu olur.

Log-log modelde sermayenin katsayısı 0,3, emeğin katsayısı 0,7 olarak tahmin edilir. Bu katsayılar esnekliklerdir: sermayedeki yüzde 10'luk artış üretimi yaklaşık yüzde 3, emekteki yüzde 10'luk artış yaklaşık yüzde 7 artırır. Katsayıların toplamı 1'dir; bu, ölçeğe göre sabit getiri anlamına gelir. Toplamın 1'den farklı olup olmadığını sınamak, kuramsal bir soruyu doğrudan bir katsayı testine dönüştürür. Kuramın önerdiği biçim, yorumu da kolaylaştırır.

Sıfırlar ve negatif değerler

Pek çok ekonomik değişken sıfır değerini alabilir: işsiz birinin kazancı, ihracat yapmayan bir şirketin ihracatı, yardım almayan bir hanenin aldığı yardım. Logaritma sıfırda tanımlı olmadığı için araştırmacılar sık sık değişkene 1 ekleyip logaritmasını alır ya da ters hiperbolik sinüs dönüşümünü kullanır. Chen ve Roth'un gösterdiği gibi, bu dönüşümler sıfırların çok olduğu verilerde sorunludur.

Sorunun kaynağı basittir. Sıfırdan pozitif bir değere geçiş, logaritmik ölçekte sonsuz büyüklükte bir değişimdir; log benzeri dönüşümler bu sonsuzluğu, değişkenin birimine bağlı sonlu bir sayıya çevirir. Birim değiştiğinde bu sayı da değişir. Çözümler arasında, sıfırdan pozitife geçiş olasılığını ve pozitif değerlerdeki değişimi ayrı ayrı modellemek ya da etkiyi düzey olarak tahmin edip ortalamaya bölerek yüzde bir büyüklüğe çevirmek vardır.

Çözümlü örnek — Birimi değiştirmek

Bir iş eğitimi programı düşünelim. Karşılaştırma grubundaki katılımcıların yarısı hiç kazanç elde etmiyor, öbür yarısı ayda 1.000 lira kazanıyor. Program grubunda ise herkes ayda 1.000 lira kazanıyor. Kazanç lira olarak ölçülüp ters hiperbolik sinüs dönüşümü uygulandığında, 1.000 liranın dönüşümü yaklaşık 7,6'dır; iki grubun ortalama dönüşüm değerleri arasındaki fark yaklaşık 3,8'dir. Bu sayı yüzde etki gibi okunursa, program kazancı yaklaşık yüzde 380 artırmış görünür.

Aynı veri bin lira olarak ölçüldüğünde, 1 bin liranın dönüşümü yaklaşık 0,88'dir ve iki grup arasındaki fark yaklaşık 0,44 olur; program kazancı yaklaşık yüzde 44 artırmış görünür. Verilerde hiçbir şey değişmemiştir, yalnızca birim değişmiştir. Buna karşın düzey olarak etki her iki durumda da aynıdır: program, ortalama kazancı 500 liradan 1.000 liraya, yani ortalamaya göre yüzde 100 artırmıştır.

RESET testi

RESET testi, fonksiyonel biçimi sınamak için sistematik bir yol sunar. Önce model tahmin edilir ve uydurulmuş değerler hesaplanır. Sonra bu uydurulmuş değerlerin karesi ve küpü modele eklenir ve bu yeni terimlerin katsayılarının birlikte sıfır olup olmadığı sınanır. Uydurulmuş değerler açıklayıcı değişkenlerin doğrusal bir bileşimi olduğu için, kareleri ve küpleri bu değişkenlerin doğrusal olmayan bileşimlerini içerir.

Yeni terimler anlamlı çıkarsa, model bazı doğrusal olmayan ilişkileri gözden kaçırıyor olabilir. Ama test, eksik olanın ne olduğunu söylemez: bir kare terim mi, bir etkileşim mi, yoksa bir logaritma mı? Ayrıca test, biçim sorunu ile çıkarılan değişken sorununu her zaman ayırt edemez. Bu yüzden RESET testi, kalıntı grafikleri ve kuramsal düşünceyle birlikte kullanılmalıdır.

Box-Cox ve dönüşüm ailesi

Box-Cox dönüşümü, düzey ile logaritma arasında sürekli bir yelpaze sunar. Dönüşümün parametresi 1 olduğunda değişken neredeyse değişmeden kalır, 0'a yaklaştığında logaritmaya yaklaşır, 0,5 olduğunda karekök benzeri bir dönüşüm elde edilir. Parametre veriden tahmin edilebilir ve tahmin edilen değer, hangi biçimin verilere daha uygun olduğuna dair bir işaret verir.

Uygulamada Box-Cox dönüşümü, çoğu zaman son modelin kendisi olarak değil, bir tanı aracı olarak kullanılır. Tahmin edilen parametre sıfıra yakınsa logaritmik model, bire yakınsa düzey modeli tercih edilir; çünkü ara değerlerdeki dönüşümlerin katsayılarını yorumlamak zordur. Dönüşüm yalnızca pozitif değişkenlere uygulanabilir.

Esneklik ve aşırı uyum

Doğrusal olmayan ilişkileri yakalamanın bir yolu, açıklayıcı değişkenin karesini, küpünü ve daha yüksek kuvvetlerini modele eklemektir. Ama polinomun derecesi arttıkça model, verilerdeki rastgele dalgalanmaları da izlemeye başlar. Veri setinin uçlarında yüksek dereceli polinomlar özellikle kararsızdır ve aşırı salınımlar gösterebilir.

Andrew Gelman ve Guido Imbens 2019'da, bir eşiğin iki yanındaki gözlemleri karşılaştıran çalışmalarda yüksek dereceli polinomların kullanılmasının, tahminleri yanıltıcı biçimde uç gözlemlere duyarlı kıldığını gösterdi. Kırılma noktalı regresyonlar ve verinin yerel yapısını izleyen parametrik olmayan yöntemler, esnekliği bu kararsızlık olmadan sağlamanın yollarıdır.

Kırılma noktalı regresyon

Bazı ilişkiler belirli bir eşikte eğim değiştirir. Örneğin bir sosyal yardımın hane harcamalarına etkisi, yoksulluk sınırının altındaki ve üstündeki haneler için farklı olabilir. Kırılma noktalı regresyonda, eşiğin altı ve üstü için ayrı eğimler tahmin edilir ve iki doğru eşikte birbirine bağlanır.

Bu yaklaşım, önceki derste gördüğümüz kukla ve etkileşim terimleriyle kurulur: eşiğin üstünü gösteren bir kukla ile açıklayıcı değişkenin eşikten uzaklığının çarpımı modele eklenir. Kırılma noktaları kuramsal ya da kurumsal bilgiye göre, örneğin bir vergi diliminin sınırı ya da bir yardımın hak kazanma eşiği olarak belirlenmelidir. Kırılma noktasını veriye bakarak aramak, analitik esneklik sorununu yeniden gündeme getirir. Türkiye'deki gelir vergisi tarifesi buna iyi bir örnektir: dilim sınırları yasayla belirlendiği için, vergi yükünün gelire göre eğiminin bu sınırlarda değiştiğini önceden bilir ve kırılma noktalarını veriye bakmadan yerleştirebiliriz.

Etkileşimi atlamak da bir biçim hatasıdır

Fonksiyonel biçim yalnızca tek bir değişkenin eğriselliğiyle ilgili değildir. Gübrenin getirisi yağışa, bir ilacın etkisi hastanın yaşına bağlıysa ve model bu etkileşimi içermiyorsa, bu da bir biçim hatasıdır. Gübrenin verime etkisi, yağış miktarına göre değişebilir: kurak yıllarda gübrenin katkısı sınırlı, bol yağışlı yıllarda büyük olabilir. Etkileşim terimi olmadan tahmin edilen gübre katsayısı, bu iki durumun bir ortalamasını verir ve hiçbir yıl için doğru değildir.

Kukla değişkenler dersinde gördüğümüz etkileşim terimleri, bu tür biçim hatalarını gidermenin yoludur. Kalıntıları bir başka değişkenin farklı düzeylerine göre ayrı ayrı çizmek, gözden kaçan etkileşimleri ortaya çıkarabilir. RESET testi de, uydurulmuş değerlerin kuvvetleri değişkenlerin çarpımlarını içerdiği için, eksik etkileşimlere karşı duyarlıdır.

Esnek yöntemlere kısa bir bakış

Bazı durumlarda araştırmacı, ilişkinin biçimi hakkında hiçbir varsayımda bulunmak istemez. Parametrik olmayan yöntemler, her noktada yalnızca o noktaya yakın gözlemleri kullanarak yerel bir ortalama ya da yerel bir doğru hesaplar. William Cleveland'ın 1979'da önerdiği yerel ağırlıklı regresyon, bu yaklaşımın bugün de sık kullanılan bir örneğidir ve veri bulutunun içinden geçen yumuşak bir eğri çizer.

Bu yöntemler biçimi veriden öğrenir, ama iki bedeli vardır. Birincisi, çok sayıda gözlem gerektirirler; az veriyle çizilen esnek eğriler rastgele dalgalanmaları izleyebilir. İkincisi, sonuç tek bir katsayıyla özetlenemez, bu yüzden yorumlamak ve raporlamak daha zordur. Uygulamada bu yöntemler çoğu zaman bir tanı aracı olarak kullanılır: esnek eğri ile parametrik modelin uyumu karşılaştırılır ve parametrik biçim buna göre seçilir.

Kuram ve veri

Fonksiyonel biçim seçimi, kuram ile veri arasında bir dengedir. Kuram güçlü bir biçim öneriyorsa, örneğin Cobb–Douglas üretim fonksiyonunda olduğu gibi, bu biçimi kullanmak hem yorumu kolaylaştırır hem de kuramın kendisini sınamaya imkân verir. Kuramın sessiz kaldığı durumlarda ise veri, kalıntı grafikleri, testler ve esnek yöntemler aracılığıyla biçim hakkında bilgi verir.

Çevresel Kuznets eğrisi tartışması, bu dengenin bozulduğu bir durumu gösterir. Ters U biçimi, verilerin kendisinden çok, ikinci dereceden bir modelin varsayımından doğmuş olabilir. İyi bir uygulama, farklı biçimleri denemeyi, sonuçların bu biçimlere ne kadar duyarlı olduğunu raporlamayı ve güçlü iddiaları yalnızca birçok biçimde tutarlı çıkan sonuçlara dayandırmayı gerektirir.

Uygulama

Özet kartı

1. Her regresyon modeli ilişkinin biçimine dair bir varsayım içerir; yanlış biçimde eksik kalan terim hata terimine karışır ve açıklayıcı değişkenle ilişkili olduğu için çıkarılan değişken yanlılığına benzer bir sapma yaratır.
2. Eğrisel bir sulama-verim ilişkisine doğru uydurulduğunda eğim 1,0 çıktı; oysa gerçek marjinal etki az sulanan tarlada 3,2, çok sulanan tarlada eksi 1,6'ydı; kalıntı grafiği bu tür biçim sorunlarını kubbe ya da eğri örüntüleriyle ortaya çıkarır.
3. Log ile düzey arasındaki seçim kurama, verinin dağılımına ve araştırma sorusuna bağlıdır; Cobb–Douglas gibi kuramsal biçimler log-log modelde esneklikleri doğrudan verir; RESET testi ve Box-Cox dönüşümü biçim seçimi için tanı araçlarıdır.
4. Sıfırlı verilerde log benzeri dönüşümler sonuçları birimlere bağımlı kılar; örnekte aynı veri liradan bin liraya geçildiğinde yaklaşık yüzde 380'den yüzde 44'e düşen bir etki verdi; Chen ve Roth sıfırdaki ve pozitif değerlerdeki etkilerin ayrı raporlanmasını önerdi.
5. Grossman ve Krueger'in çevresel Kuznets eğrisi, Stern'in eleştirisiyle, bir biçime dair güçlü iddianın o biçimi varsayan modelden ne ölçüde çıkarılabileceğini sorgulattı; yüksek dereceli polinomlar yerine kırılma noktalı ve esnek yöntemler, sonuçların farklı biçimlere duyarlılığıyla birlikte raporlanmalıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Fonksiyonel form yanlış belirlemesi nedir ve neden çıkarılan değişken yanlılığına benzer bir sapma yaratır?
2. (Çıktı 2) Log ile düzey arasında seçim yaparken hangi üç soru sorulmalıdır? Her soruyu birer örnekle somutlaştır.
3. (Çıktı 3) Gerçek ilişki y eşittir 5 artı 6x eksi 0,3x kare biçimindedir. x eşittir 2, 10 ve 15 değerlerinde marjinal etkiyi bul, ardından eğrinin tepe yaptığı değeri hesapla. Bu ilişkiye doğrusal bir model uydurulursa hangi sorun ortaya çıkar?
4. (Çıktı 3) Bir Cobb–Douglas üretim fonksiyonunun log-log tahmininde sermayenin katsayısı 0,4, emeğin katsayısı 0,5'tir. Sermayedeki yüzde 20'lik bir artışın üretime etkisini hesapla ve ölçeğe göre getiriyi yorumla.
5. (Çıktı 3) Bir programın karşılaştırma grubunda katılımcıların yüzde 60'ı sıfır, yüzde 40'ı 2.000 lira kazanıyor; program grubunda herkes 2.000 lira kazanıyor. Düzey olarak etkiyi ve ortalamaya göre yüzde etkiyi hesapla. Bu durumda log benzeri bir dönüşüm neden güvenilmez sonuç verebilir?
6. (Çıktı 4) Bir köşe yazısında şu cümle geçiyor: «Çevresel Kuznets eğrisi, ülkeler zenginleştikçe kirliliğin kendiliğinden azalacağını kanıtlıyor; bu yüzden çevre politikasına gerek yok, büyümeye odaklanmak yeterli» Stern'in eleştirisini, fonksiyonel biçim seçiminin rolünü ve veri dışına çıkarım sorununu kullanarak bu sonucu eleştir.

Cevaplar

1. Fonksiyonel form yanlış belirlemesi, modelin ilişkinin gerçek biçimini yansıtmamasıdır; örneğin eğrisel bir ilişkiye doğru uydurulması. Modelde eksik kalan terim, örneğin bir kare terim, hata terimine karışır. Bu terim açıklayıcı değişkenle ilişkili olduğundan koşullu sıfır ortalama varsayımı bozulur ve katsayı, çıkarılan bir değişkenin yarattığına benzer bir sapma gösterir.
2. Birincisi kuramdır: kuram oransal etkiler öneriyorsa, örneğin bir üretim fonksiyonunda, logaritma doğaldır. İkincisi verinin dağılımıdır: gelir gibi sağa çarpık bir değişkenin logaritması daha simetrik bir dağılım verir ve uç değerlerin etkisini azaltır. Üçüncüsü araştırma sorusudur: politika yapıcı yüzde değişimle ilgileniyorsa logaritma, mutlak değişimle ilgileniyorsa düzey uygundur; örneğin bir yardımın hane gelirini kaç lira artırdığı sorusu için düzey modeli.
3. Marjinal etki 6 eksi 0,6x'tir. x eşittir 2'de 4,8; 10'da 0; 15'te eksi 3'tür. Dönüm noktası 6'nın 0,6'ya bölümü olan 10'dur. Doğrusal bir model, bu değişen etkiyi tek bir ortalama eğime indirger; düşük değerlerde etkiyi küçük, yüksek değerlerde ise olumsuz bir etkiyi olumlu gösterebilir ve kalıntılar kubbe biçimli bir örüntü sergiler.
4. Sermayenin katsayısı bir esneklik olduğu için, sermayedeki yüzde 20'lik artış üretimi yaklaşık 0,4 çarpı 20, yani yüzde 8 artırır. Katsayıların toplamı 0,9'dur ve 1'den küçüktür; bu, ölçeğe göre azalan getiriye işaret eder: sermaye ve emek birlikte yüzde 10 büyütüldüğünde üretim yüzde 10'dan az büyür.
5. Karşılaştırma grubunun ortalama kazancı 0,4 çarpı 2.000, yani 800 liradır; program grubununki 2.000 liradır. Düzey olarak etki 1.200 liradır; bu, karşılaştırma grubunun ortalamasına göre yüzde 150'lik bir artıştır. Etkinin büyük kısmı insanları sıfırdan pozitif kazanca taşımaktan geldiği için, log benzeri bir dönüşümle tahmin edilen etki, kazancın ölçüldüğü birime göre çok farklı değerler alır ve yüzde etki olarak yorumlanamaz.
6. Yorum, bir modelin varsaydığı biçimi kanıtlanmış bir gerçek gibi okuyor. Stern'in gösterdiği gibi, ters U biçimine dair kanıt sağlam değildir: farklı kirleticiler, ülke grupları ve model biçimleri farklı sonuçlar verir ve toplam emisyonlar gelirle birlikte artma eğilimindedir. İkinci dereceden bir model, verilerde gerçek bir ters U olmasa bile bir dönüm noktası hesaplar; bu dönüm noktası veri aralığının dışında kalıyorsa, veri dışına çıkarım yapılmış olur. Ayrıca bazı kirleticilerin gelirle düşmesi, bu ülkelerde uygulanan çevre politikalarının bir sonucu olabilir; bu durumda politikaya gerek olmadığı sonucu tersine çevrilmiş olur.

İleri okuma

• Gene M. Grossman ve Alan B. Krueger (1995). «Economic Growth and the Environment». Quarterly Journal of Economics 110(2). Çevresel Kuznets eğrisinin klasik çalışması.
• David I. Stern (2004). «The Rise and Fall of the Environmental Kuznets Curve». World Development 32(8). Eğriye dair kanıtların eleştirel değerlendirmesi.
• Jiafeng Chen ve Jonathan Roth (2024). «Logs with Zeros? Some Problems and Solutions». Quarterly Journal of Economics 139(2). Sıfırlı verilerde log benzeri dönüşümlerin sorunları.
• James B. Ramsey (1969). «Tests for Specification Errors in Classical Linear Least-Squares Regression Analysis». Journal of the Royal Statistical Society, Series B 31(2). RESET testinin kaynağı.

Sonraki derse köprü

Bu derste kalıntı grafiklerinin yalnızca biçim sorunlarını değil, başka sorunları da ortaya çıkarabileceğini gördük: kalıntıların yayılımı bir açıklayıcı değişkenin değeriyle birlikte genişliyorsa, bir huni biçimi belirir. Bu durum, klasik varsayımlardan sabit varyans varsayımının bozulduğunu gösterir. Varyansın gözlemden gözleme değişmesi tahminleri nasıl etkiler, standart hatalar neden güvenilmez hâle gelir, bu sorun nasıl sınanır ve düzeltilir? Sıradaki ders değişen varyansı ele alıyor: nedenlerini, sonuçlarını, sınanmasını ve dayanıklı standart hatalar gibi çözümleri inceleyeceğiz.