Kukla değişkenler

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kukla değişkeni, temel grubu, kukla değişken tuzağını, etkileşim terimini, doğrusal olasılık modelini ve sabit etkileri tanımlar.
• Anlama — Kategorik bilgilerin regresyona nasıl girdiğini, katsayıların neden her zaman bir temel gruba göre okunduğunu ve etkileşim terimlerinin grupların farklı eğimlere sahip olmasına nasıl izin verdiğini açıklar.
• Uygulama — Kukla değişken katsayılarını grup farklarına ve logaritmik modellerde yüzde farklara çevirir, bir etkileşim modelinde her grubun eğimini hesaplar.
• Değerlendirme — Saha deneylerinde kukla değişkenlerle ölçülen farkların neyi gösterip neyi göstermediğini ve ortalama bir farkın gruplar arasında ne ölçüde değiştiğini tartar.

Sezgi

Açılış

Bir regresyona girmek isteyen her bilgi bir sayı değildir. Bir hanenin hangi ilde yaşadığı, bir şirketin hangi sektörde faaliyet gösterdiği, bir gözlemin hangi mevsime ait olduğu veya bir desteğin verilip verilmediği, sayılarla değil kategorilerle ifade edilir. Bu bilgileri modele katmanın yolu, onları basit bir kodlamayla sayılara çevirmektir: bir koşul geçerliyse 1, değilse 0.

Önceki derste katsayıları yorumlarken birimin önemini gördük ve etkileşim terimlerine kısaca değindik. Bu derste doğal bir birimi olmayan değişkenlerin regresyona nasıl girdiğini, katsayılarının neyi karşılaştırdığını ve bir grubun farklı olmasının, öbür değişkenlerin etkisini nasıl değiştirebileceğini inceleyeceğiz.

Hikâye — Aynı mesaj, farklı isim

2015'te Harvard'dan Benjamin Edelman, Michael Luca ve Dan Svirsky, konaklama platformu Airbnb'de basit bir deney yaptı. ABD'nin beş şehrinde yaklaşık 6.400 ev sahibine, konaklama talebinde bulunan sahte misafir hesaplarından mesajlar gönderdiler. Mesajların içeriği aynıydı; tek fark, misafirin adıydı. Hesapların yarısında ABD'de çoğunlukla beyazlarla ilişkilendirilen isimler, öbür yarısında çoğunlukla siyahi Amerikalılarla ilişkilendirilen isimler kullanıldı. Hangi ev sahibinin hangi ismi alacağı rastgele belirlendi.

Sonuç çarpıcıydı. Beyazlarla ilişkilendirilen isimlerle yapılan başvuruların yaklaşık yüzde 50'si olumlu yanıt alırken, siyahi Amerikalılarla ilişkilendirilen isimlerle yapılanların yaklaşık yüzde 42'si olumlu yanıt aldı. Aradaki 8 puanlık fark, olumlu yanıt alma olasılığında yaklaşık yüzde 16'lık bir düşüş anlamına geliyordu. Fark, ev sahibinin cinsiyetinden, evin fiyatından ya da ev sahibinin kendi evini mi paylaştığından bağımsız olarak görülüyordu; özellikle daha önce hiç siyahi Amerikalı misafir ağırlamamış ev sahiplerinde belirgindi.

Araştırmacıların analizinin merkezinde tek bir değişken vardı: bir mesajın siyahi Amerikalılarla ilişkilendirilen bir isimle gönderilip gönderilmediğini gösteren, yalnızca 0 ya da 1 değerini alan bir sayı. Bu değişkenin regresyondaki katsayısı, iki grup arasındaki farkı doğrudan ölçüyordu. Ev sahiplerinin geçmişine göre farkın değişip değişmediğini görmek için de bu değişkeni başka bir değişkenle çarpmak yeterliydi. Çalışma geniş yankı uyandırdı; platform 2016'da ayrımcılığa karşı yeni kurallar açıkladı.

Kavram

Edelman ve arkadaşlarının kullandığı 0-1 değişkeni, kategorik bilgiyi regresyona taşımanın en temel aracıdır. Bu değişkenin katsayısı, iki grubun ortalamaları arasındaki farktır.

Kukla değişkenin katsayısı her zaman bir karşılaştırmadır. Karşılaştırmanın öbür ucunda, kuklanın sıfır olduğu gözlemler durur.

Temel grup için de bir kukla eklemek cazip görünebilir. Ama bu, modelin tahmin edilmesini imkânsız kılar.

Bir grubun farkı yalnızca düzeyde değil, bir değişkenin etkisinde de ortaya çıkabilir. Bunu yakalamak için kukla değişken başka bir değişkenle çarpılır.

Açıklanan değişken de bir kukla olabilir: bir başvurunun kabul edilip edilmediği, bir kişinin çalışıp çalışmadığı gibi. Bu durumda en küçük kareler bir olasılığı modeller.

Çok sayıda kategori olduğunda, her biri için bir kukla eklemek, birimler arasındaki bütün kalıcı farklılıkları kontrol etmenin bir yolu hâline gelir. Bu yaklaşımın ayrı bir adı vardır.

Veri ve kanıt

Bu tür deneylerde isimler rastgele atandığı için, kukla değişkenin katsayısına nedensel bir anlam yüklemek mümkündür: aynı ev sahibine aynı mesaj gönderildiğinde, yalnızca ismin değişmesi kabul olasılığını değiştiriyordu. Ama katsayının neyi ölçtüğü dikkatle belirtilmelidir. Deney, isimlerin ev sahiplerinin kararlarını nasıl etkilediğini ölçer; ev sahiplerinin bu kararları hangi nedenlerle verdiğini, örneğin önyargıyla mı yoksa isimden başka özellikler çıkarsayarak mı davrandıklarını ayırt etmek için ek tasarımlar gerekir.

Bu çalışma, kukla değişkenlerin iki ayrı kullanımını birleştirir. İsim kuklası ortalama farkı ölçer; bu kuklanın şirket kuklalarıyla etkileşimi ise farkın şirketler arasında nasıl değiştiğini gösterir. Tek bir ortalama katsayı, ayrımcılığın bütün işverenlere hafifçe yayıldığı izlenimini verebilirdi; etkileşimler ise sorunun belirli şirketlerde yoğunlaştığını ortaya çıkardı. Bu ayrım, politika açısından da önemlidir: denetimlerin nereye yönlendirileceği sorusuna cevap verir.

Neden önemli?

Kamuoyunun en çok merak ettiği soruların önemli bir kısmı, birden çok grubu yan yana koyar: kadınlar ile erkekler, kentler ile kırsal bölgeler, bir politikadan yararlananlar ile yararlanmayanlar, bir krizden önceki ve sonraki dönemler. Kukla değişkenler, bu karşılaştırmaları öbür etkenleri hesaba katarak yapmanın temel aracıdır. Mevsimsel dalgalanmaları arındırmak, bölgesel farklılıkları ölçmek ve bir politikanın etkisini değerlendirmek, bu aracın gündelik kullanımlarıdır.

Kukla değişkenlerin doğru yorumu, bu karşılaştırmaların ne anlama geldiğini belirler. Bir katsayının hangi temel gruba göre okunduğu, logaritmik bir modelde yüzde farka nasıl çevrildiği ve ortalama bir farkın alt gruplarda değişip değişmediği, bir bulgunun kamuoyuna nasıl aktarılacağını etkiler. Türkiye'de bölgesel gelişmişlik farkları, mevsimlik tarım işçiliği ya da farklı sektörlerdeki ücret farkları gibi konuların analizinde de kukla değişkenler vazgeçilmezdir.

Model

İki grup, bir kukla

En basit durumda, açıklanan değişkeni yalnızca bir kukla değişkenle ilişkilendiren bir regresyon düşünelim. Sabit terim, kuklanın sıfır olduğu grubun ortalamasına; kukla katsayısı ise iki grubun ortalamaları arasındaki farka eşittir. Bu en yalın durumda regresyon, iki grubun örneklem ortalamalarını hesaplamaktan öte bir iş yapmaz.

Model başka değişkenler de içerdiğinde, kukla katsayısı bu değişkenler sabitken iki grup arasındaki ortalama farkı gösterir. Grafik üzerinde düşünürsek, iki grup için paralel iki doğru tahmin edilir: eğimler aynıdır, ama kuklanın bir olduğu grubun doğrusu, kukla katsayısı kadar yukarıda ya da aşağıdadır.

Çözümlü örnek — Grup farkı olarak katsayı

Bir saha deneyinde 200 başvuru gönderilmiş olsun: 100'ü bir gruba ait isimlerle, 100'ü öbür gruba ait isimlerle. Birinci grupta 50, ikinci grupta 42 başvuru olumlu yanıt almış. Açıklanan değişken olumlu yanıt alındıysa 1, alınmadıysa 0; açıklayıcı değişken ise başvuru ikinci gruba ait isimle yapıldıysa 1 olsun.

Doğrusal olasılık modelinin sabit terimi, birinci grubun olumlu yanıt oranı olan 0,50'dir. Kukla katsayısı, 0,42 ile 0,50 arasındaki fark olan eksi 0,08'dir: ikinci gruba ait bir isim, olumlu yanıt olasılığını 8 yüzde puan düşürür. Bu farkın birinci grubun oranına göre büyüklüğü, 0,08'in 0,50'ye bölümü olan yüzde 16'dır. İki sayı da doğrudur, ama farklı şeyler söyler: biri yüzde puan cinsinden mutlak farkı, öbürü göreli farkı gösterir.

Birden çok kategori

Bir kategorik değişkenin ikiden fazla kategorisi olduğunda, kategori sayısının bir eksiği kadar kukla değişken tanımlanır. Türkiye'de konut kiralarını inceleyen bir çalışmada İstanbul, Ankara, İzmir ve diğer iller için dört kategori varsa, üç kukla yeterlidir; dışarıda bırakılan kategori temel grup olur. Her kukla katsayısı, o ilin temel gruba göre farkıdır.

Temel grubun seçimi yorumu değiştirir, ama sonuçları değiştirmez. Temel grup diğer iller olduğunda İstanbul katsayısı İstanbul ile diğer iller arasındaki farkı, temel grup Ankara olduğunda ise İstanbul ile Ankara arasındaki farkı gösterir. Herhangi iki grup arasındaki fark, katsayılarının farkıyla bulunur. Uygulamada temel grup olarak genellikle en kalabalık ya da en doğal karşılaştırma noktası olan kategori seçilir.

Çözümlü örnek — Logaritmik modelde il farkları

Aylık kiranın logaritmasını daire büyüklüğü, bina yaşı ve il kuklalarıyla ilişkilendiren bir modelde, temel grup diğer iller olsun. İstanbul kuklasının katsayısı 0,45, İzmir'inki 0,20, Ankara'nınki 0,15 çıksın. Önceki derste gördüğümüz tam yüzde formülüyle, İstanbul'daki bir dairenin kirası, aynı büyüklük ve yaştaki bir dairenin diğer illerdeki kirasından 0,45'in üstel değerinden bir çıkarılarak bulunan yaklaşık yüzde 57 daha yüksektir.

İzmir için fark yaklaşık yüzde 22, Ankara için yaklaşık yüzde 16'dır. İstanbul ile Ankara arasındaki fark ise katsayıların farkı olan 0,30'dan hesaplanır ve yaklaşık yüzde 35'tir. Halvorsen ve Palmquist'in 1980'de hatırlattığı gibi, logaritmik bir modelde kukla katsayısını doğrudan yüz ile çarparak yorumlamak, özellikle büyük katsayılarda farkı olduğundan küçük gösterir: 0,45'lik katsayı yüzde 45 değil, yüzde 57'dir.

Kukla değişken tuzağı

Dört il kategorisinin dördü için de bir kukla eklendiğinde, her gözlemde bu dört kuklanın toplamı 1 olur. Sabit terim de her gözlemde 1 değerini alan bir değişken gibi düşünülebilir. Bu durumda sabit terim, dört kuklanın toplamına tam olarak eşittir ve model, hangi etkinin sabit terime, hangisinin kuklalara ait olduğunu ayırt edemez.

Önceki derslerde gördüğümüz değişkenlik varsayımı burada bozulur: açıklayıcı değişkenlerden biri öbürlerinin tam bir doğrusal bileşimidir. Yazılımların çoğu bu durumda bir kategoriyi kendiliğinden dışarıda bırakır ya da hata verir. Alternatif bir çözüm, sabit terimi modelden çıkarıp dört kuklayı birlikte kullanmaktır; bu durumda her katsayı doğrudan o grubun ortalamasını gösterir, ama gruplar arası farklar ayrıca hesaplanmalıdır.

Etkileşim: farklı eğimler

Kukla değişken, grupların paralel doğrularla temsil edildiğini varsayar. Ama bir değişkenin etkisi gruptan gruba farklı olabilir: daire büyüklüğünün kiraya etkisi İstanbul'da diğer illerden daha büyük olabilir. Bunu yakalamak için İstanbul kuklası ile daire büyüklüğünün çarpımı da açıklayıcı değişkenler arasına katılır.

Böyle bir modelde daire büyüklüğünün katsayısı, temel gruptaki eğimi gösterir. Etkileşim teriminin katsayısı ise İstanbul'da bu eğimin ne kadar dikleştiğini ya da yatıklaştığını ölçer; İstanbul'daki eğim, ikisinin toplamıdır. İstanbul kuklasının kendi katsayısı artık, daire büyüklüğü sıfırken iki grup arasındaki farktır ve genellikle tek başına anlamlı bir yorumu yoktur.

Çözümlü örnek — İki eğim

Kiranın bin lira, daire büyüklüğünün metrekare olarak ölçüldüğü bir modelde tahmin edilen denklem şöyle olsun: kira eşittir 2 artı 0,08 çarpı metrekare artı 1 çarpı İstanbul kuklası artı 0,05 çarpı İstanbul kuklası ile metrekarenin çarpımı. Diğer illerde metrekare başına kira artışı 0,08 bin, yani 80 liradır. İstanbul'da ise 0,08 artı 0,05, yani 0,13 bin, 130 liradır.

İki il arasındaki kira farkı, daire büyüklüğüne göre değişir. 60 metrekarelik bir dairede fark, 1 artı 0,05 çarpı 60, yani 4 bin liradır. 120 metrekarelik bir dairede ise 1 artı 0,05 çarpı 120, yani 7 bin liradır. Tek bir «İstanbul farkı» yoktur; fark, hangi büyüklükteki daireye baktığımıza bağlıdır. Etkileşimli modellerde grup farklarını birkaç anlamlı noktada hesaplayıp raporlamak bu yüzden önemlidir.

İki kuklanın etkileşimi ve farkların farkı

İki kukla değişkenin çarpımı da bir etkileşim terimidir. Bir politikanın uygulandığı bölgeyi gösteren bir kukla ile politikanın başladığı dönemden sonrasını gösteren bir kukla çarpıldığında, etkileşimin katsayısı, politika bölgesinde yaşanan değişimden öbür bölgelerdeki değişim çıkarıldığında kalan kısmı verir. Bu yöntem, farkların farkı olarak bilinir.

Asgari ücret artışının istihdama etkisini inceleyen ve önceki derslerde gördüğümüz doğal deney, tam olarak bu mantığa dayanıyordu. Yöntemin temel varsayımı, politika olmasaydı iki bölgenin aynı eğilimi izleyeceğidir. Bu varsayımı ve yöntemin ayrıntılarını, ekonometrinin ilerleyen kurslarında daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Deneyde ve gözlemsel veride kukla farkı

Airbnb deneyinde isimler rastgele atandığı için, isim kuklasının katsayısı yalnızca ismin kendisinin etkisini ölçüyordu. Gözlemsel verilerde ise bir grup kuklasının katsayısı, o grupla birlikte hareket eden bütün etkenleri de içerir. Kamu sektöründe çalışmayı gösteren bir kuklanın katsayısı, kamu işlerinin daha iyi ödediğini gösterebileceği gibi, kamuda çalışanların deneyim, bölge ya da meslek bakımından farklı olmasını da yansıtabilir.

Bu yüzden gözlemsel verilerde kukla katsayısı, çoklu regresyon dersinde gördüğümüz bütün sorunlarla birlikte gelir. Önemli karıştırıcılar modele eklenmelidir, kötü kontrollerden kaçınılmalıdır ve katsayı nedensel bir dille değil, «öbür etkenler sabitken gözlenen fark» olarak raporlanmalıdır. Aynı 0-1 değişkeni, tasarıma göre bir etkinin ya da yalnızca bir farkın ölçüsü olabilir.

Kategorileri birleştirmek ya da ayırmak

Kategorilerin nasıl tanımlandığı da sonuçları etkiler. Türkiye'nin 81 ilinin her biri için bir kukla eklemek, iller arasındaki bütün farkları yakalar ama 80 katsayı tahmin etmeyi gerektirir; bazı illerde gözlem sayısı azsa bu katsayılar çok belirsiz olur. İlleri bölgelere göre gruplamak, katsayı sayısını azaltır ve kesinliği artırır, ama bölge içindeki farklılıkları görünmez kılar.

Hangi düzeyde gruplama yapılacağı, araştırma sorusuna ve veri miktarına bağlıdır. Grupların içinde ilgilenilen ilişki benzerse birleştirmek makuldür; değilse ayrıntılı kategoriler gerekir. Bu seçim, veriye bakıp en iyi sonucu veren gruplamayı aramak yerine, önceden kuramsal gerekçelerle yapılmalıdır; aksi hâlde araştırmacı, farkında olmadan kendi beklentisini doğrulayan kategorileri seçmiş olabilir. Farklı gruplamaların sonuçları nasıl değiştirdiğini raporlamak, bu kaygıyı gidermenin en şeffaf yoludur.

Doğrusal olasılık modeli

Açıklanan değişken yalnızca 0 ve 1 değerlerini aldığında, regresyon doğrusu bir olasılığın nasıl değiştiğini izler. Bu yaklaşımın en büyük avantajı yorum kolaylığıdır: her katsayı, doğrudan bir yüzde puan değişimi olarak okunur. Rastgele atamaya dayanan deneylerde, doğrusal olasılık modeli grup farklarını ölçmenin en şeffaf yoludur.

Modelin iki sınırı vardır. Birincisi, tahmin edilen olasılıklar 0'ın altına ya da 1'in üstüne çıkabilir; özellikle açıklayıcı değişkenlerin uç değerlerinde bu sorun belirginleşir. İkincisi, açıklanan değişken yalnızca 0 ya da 1 olduğu için hata teriminin varyansı sabit olamaz; bu, standart hataların düzeltilmesini gerektirir. Bu sınırları aşmak için olasılığı 0 ile 1 arasında tutan logit ve probit modelleri geliştirilmiştir; bu modelleri ekonometrinin ilerleyen kurslarında göreceğiz.

Sıralı kategoriler

Bazı kategorik değişkenlerin doğal bir sırası vardır: ilkokul, ortaokul, lise ve üniversite gibi. Böyle bir değişken tek bir sayı olarak, örneğin 1'den 4'e kadar kodlanarak modele girebilir; ama bu, her basamak arasındaki etkinin eşit olduğunu varsayar. Liseden üniversiteye geçişin etkisi, ilkokuldan ortaokula geçişin etkisiyle aynı olmayabilir.

Her kademe için ayrı bir kukla kullanmak bu varsayımı gevşetir ve her geçişin etkisini ayrı ayrı tahmin eder. Bedeli, daha fazla katsayı ve dolayısıyla daha az serbestlik derecesidir. Kuklalarla tahmin edilen etkiler yaklaşık olarak eşit aralıklıysa, tek sayılı kodlamaya geçmek makul olabilir; değilse kuklalar daha doğru bir tablo verir.

Mevsimsel kuklalar

Aylık ya da çeyreklik verilerde, bazı dönemler düzenli olarak diğerlerinden farklıdır: turizm gelirleri yazın, ısınma harcamaları kışın yüksektir. Mevsimlik kuklalar, her dönem için bir kukla ekleyerek bu düzenli dalgalanmaları modele katar; temel dönem dışarıda bırakılır ve her katsayı o dönemin temel döneme göre farkını gösterir.

İstatistik derslerinde gördüğümüz mevsimsellikten arındırma, bu mantığın daha gelişmiş biçimlerini kullanır. Regresyonda mevsimlik kukla kullanmak, ilgilenilen değişkenin katsayısının mevsimsel dalgalanmalardan etkilenmesini önler. Örneğin kredi kartı harcamalarının bir kampanyaya tepkisini ölçerken, bayram ve yılbaşı aylarını gösteren kuklalar, harcamaların bu dönemlerdeki olağan artışını kampanyanın etkisinden ayırır.

Sabit etkiler

Kukla değişkenlerin en güçlü kullanımlarından biri, çok sayıda birim için ayrı kuklalar eklemektir. Aynı şirketlerin birkaç yıl boyunca izlendiği bir panel veride, her şirket için bir kukla eklemek, şirketlerin yönetim kalitesi, kurum kültürü ya da konumu gibi zaman içinde değişmeyen bütün özelliklerini kontrol eder. Bu özellikler gözlenmese bile, kuklalar onların etkisini emer.

Kline ve arkadaşlarının çalışmasında, şirket düzeyindeki kuklalar ve bu kuklaların isim kuklasıyla etkileşimleri, ayrımcılığın şirketler arasında nasıl değiştiğini ortaya çıkarmıştı. Sabit etkilerin bedeli, yalnızca birimlerin kendi içindeki değişimden öğrenilebilmesidir: zaman içinde değişmeyen bir değişkenin, örneğin bir şirketin kuruluş yılının etkisi, şirket sabit etkileri varken tahmin edilemez.

Yapısal kırılma testi

Kuklalar, bir ilişkinin iki dönem ya da iki grup arasında tamamen farklı olup olmadığını sınamak için de kullanılabilir. Bir döneme ait kukla ve bu kuklanın bütün açıklayıcı değişkenlerle etkileşimleri modele eklendiğinde, iki dönem için ayrı sabit terimler ve ayrı eğimler tahmin edilmiş olur. Bu ek terimlerin hepsinin birlikte sıfır olup olmadığını sınamak, ilişkinin bir kırılma yaşayıp yaşamadığını gösterir.

Bu yaklaşım, 1960'ta Gregory Chow'un önerdiği teste dayanır ve bir krizin, bir politika değişikliğinin ya da bir teknolojik dönüşümün ekonomik ilişkileri değiştirip değiştirmediğini sınamakta kullanılır. İstatistik derslerinde gördüğümüz yapısal kırılma kavramının regresyondaki karşılığıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Kukla değişkenler kategorik bilgiyi 0 ve 1 değerleriyle regresyona taşır; katsayıları, öbür değişkenler sabitken ilgili grubun temel gruptan ortalama farkıdır ve sabit terim temel grubun düzeyini yansıtır.
2. Kategori sayısının bir eksiği kadar kukla kullanılır; bütün kategoriler için kukla eklemek sabit terimle tam doğrusal bağlantı yaratır ve kukla değişken tuzağına düşürür; temel grubun seçimi yorumu değiştirir, sonuçları değiştirmez.
3. Logaritmik modellerde kukla katsayısı tam yüzde farka üstel formülle çevrilmelidir; örnekte 0,45'lik İstanbul katsayısı yüzde 45 değil, kabaca yüzde 57 oranında bir kira farkına karşılık geldi.
4. Etkileşim terimleri grupların farklı eğimlere sahip olmasına izin verir; iki kuklanın etkileşimi farkların farkını, çok sayıda birim kuklası ise sabit etkileri verir; bu durumlarda tek bir grup farkı yerine farkların nasıl değiştiği raporlanmalıdır.
5. Edelman ve arkadaşları Airbnb'de isim kuklasıyla yaklaşık 8 yüzde puanlık, Kline ve arkadaşları büyük işverenlerde 2,1 yüzde puanlık bir fark ölçtü; etkileşimler, ortalama farkın ev sahiplerinin geçmişine ve şirketlere göre belirgin biçimde değiştiğini gösterdi.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Temel grup nedir? Kukla değişken tuzağı neden ortaya çıkar ve nasıl önlenir?
2. (Çıktı 2) Bir kukla değişken ile sürekli bir değişken arasındaki etkileşim terimi neyi ölçer? Böyle bir modelde kukla değişkenin kendi katsayısı neden tek başına yorumlanmamalıdır?
3. (Çıktı 3) Bir doğrusal olasılık modelinde sabit terim 0,35, bir kukla değişkenin katsayısı 0,07'dir. İki grubun olasılıklarını, yüzde puan farkını ve göreli farkı hesapla.
4. (Çıktı 3) Kiranın logaritmasını açıklayan bir modelde temel grup küçük iller; büyükşehir kuklasının katsayısı 0,30, kıyı ili kuklasının katsayısı 0,12'dir. Her iki grubun temel gruba göre tam yüzde farkını ve büyükşehir ile kıyı ili arasındaki farkı hesapla.
5. (Çıktı 3) Bir modelde kira eşittir 1,5 artı 0,06 çarpı metrekare artı 0,8 çarpı merkez kuklası artı 0,04 çarpı merkez kuklası ile metrekarenin çarpımıdır. İki bölgedeki metrekare başına kira artışını ve 80 metrekarelik bir dairede iki bölge arasındaki farkı hesapla.
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «Büyük işverenlerde ayrımcılığın ortalama etkisi yalnızca 2,1 yüzde puan; bu küçük bir sorun ve bütün şirketlere eşit biçimde yayılmış» diyor. Kline ve arkadaşlarının bulgularını, etkileşim terimlerini ve ortalama etkinin sakladıklarını kullanarak bu değerlendirmeyi sına.

Cevaplar

1. Temel grup, bir kategorik değişken kuklalarla modele katıldığında kendisi için kukla tanımlanmayan ve öbür bütün grupların karşılaştırıldığı kategoridir; sabit terim onun düzeyini yansıtır. Bütün kategoriler için kukla eklendiğinde, kuklaların toplamı her gözlemde sabit terime eşit olur ve tam doğrusal bağlantı ortaya çıkar; katsayılar tahmin edilemez. Bir kategoriyi temel grup olarak dışarıda bırakmak ya da sabit terimi modelden çıkarmak bu sorunu önler.
2. Etkileşim terimi, sürekli değişkenin etkisinin, yani eğimin, kuklanın bir olduğu grupta temel gruba göre ne kadar farklı olduğunu ölçer. Böyle bir modelde kuklanın kendi katsayısı, sürekli değişken sıfırken iki grup arasındaki farkı gösterir; sürekli değişkenin sıfır olması çoğu zaman anlamlı bir durum olmadığı için, bu katsayı tek başına yorumlanmamalı, grup farkı sürekli değişkenin anlamlı değerlerinde hesaplanmalıdır.
3. Temel grubun olasılığı sabit terim olan 0,35'tir; kuklanın bir olduğu grubun olasılığı 0,35 artı 0,07, yani 0,42'dir. Yüzde puan farkı 7'dir. Göreli fark, 0,07'nin 0,35'e bölümü olan yüzde 20'dir.
4. e üzeri 0,30 yaklaşık 1,350 olduğundan büyükşehir farkı yüzde 35'tir. e üzeri 0,12 yaklaşık 1,127 olduğundan kıyı ili farkı yüzde 12,7'dir. Büyükşehir ile kıyı ili arasındaki fark, katsayıların farkı olan 0,18'den hesaplanır: yaklaşık yüzde 19,7.
5. Temel bölgede metrekare başına kira artışı 0,06 bin, yani 60 liradır. Merkezde ise 0,06 artı 0,04, yani 0,10 bin, 100 liradır. 80 metrekarelik bir dairede iki bölge arasındaki fark 0,8 artı 0,04 çarpı 80, yani 4 bin liradır.
6. Yorum iki noktada yanıltıcıdır. Birincisi, 2,1 yüzde puanlık fark, işverenlerle iletişim oranlarının düzeyi düşük olduğunda göreli olarak küçük sayılmayabilir; mutlak ve göreli fark birlikte değerlendirilmelidir. İkincisi ve daha önemlisi, Kline ve arkadaşları şirket kuklalarıyla etkileşimler kullanarak farkın şirketler arasında belirgin biçimde değiştiğini, standart sapmasının 1,9 yüzde puan olduğunu ve ayrımcılığın görece az sayıda şirkette yoğunlaştığını gösterdi. Ortalama etki, sorunun bütün şirketlere eşit yayıldığı izlenimini verse de, etkileşimler bazı şirketlerde farkın çok daha büyük, bazılarında ise çok küçük olduğunu ortaya çıkardı. Bu, denetim ve politika tasarımı için ortalama etkiden çok daha bilgilendiricidir.

İleri okuma

• Benjamin Edelman, Michael Luca ve Dan Svirsky (2017). «Racial Discrimination in the Sharing Economy: Evidence from a Field Experiment». American Economic Journal: Applied Economics 9(2). Saha deneyinde kukla değişkenle ölçülen fark.
• Patrick Kline, Evan K. Rose ve Christopher R. Walters (2022). «Systemic Discrimination Among Large U.S. Employers». Quarterly Journal of Economics 137(4). Ortalama farkın şirketlere göre ayrıştırılması.
• Robert Halvorsen ve Raymond Palmquist (1980). «The Interpretation of Dummy Variables in Semilogarithmic Equations». American Economic Review 70(3). Logaritmik modellerde kukla katsayılarının yorumu.
• Gregory C. Chow (1960). «Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions». Econometrica 28(3). Yapısal kırılma testinin ilk biçimi.

Sonraki derse köprü

Bu derste kategorik bilgileri kukla değişkenlerle modele katmayı ve etkileşim terimleriyle grupların farklı eğimlere sahip olmasına izin vermeyi gördük. Ama sürekli değişkenler arasındaki ilişki de her zaman düz bir doğru değildir. Bir ilişkinin logaritma, kare terim ya da başka bir dönüşümle mi daha iyi yakalanacağına nasıl karar verilir, yanlış bir fonksiyonel biçim seçmenin bedeli nedir ve bir modelin biçiminin doğru olup olmadığı nasıl sınanır? Sıradaki ders fonksiyonel formu ele alıyor: farklı model biçimlerinin ne zaman uygun olduğunu, yanlış biçim seçiminin sonuçlarını ve biçimi sınamanın yollarını inceleyeceğiz.