Katsayıların yorumlanması

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Yarı esnekliği, marjinal etkiyi, dönüm noktasını, ekonomik anlamlılığı, standartlaştırılmış katsayıyı ve veri dışına çıkarımı tanımlar.
• Anlama — Değişkenlerin düzey ya da logaritma biçiminde girmesinin katsayının anlamını nasıl değiştirdiğini ve istatistiksel anlamlılığın neden ekonomik önemle özdeş olmadığını açıklar.
• Uygulama — Logaritmik modellerde katsayıları yüzde değişime çevirir, kare terimli bir modelde marjinal etkiyi ve dönüm noktasını hesaplar, bir katsayının güven aralığından ekonomik önemini değerlendirir.
• Değerlendirme — Bir regresyon sonucunun raporlanma biçimini, istatistiksel anlamlılığa aşırı yaslanma eleştirisini ve bu eleştiriye verilen cevapları tartar.

Sezgi

Açılış

«Katsayı 0,08 ve istatistiksel olarak anlamlı» cümlesi, bir regresyon sonucunun en sık ve en eksik özetidir. Bu cümle, sekizin neyin sekizi olduğunu, bunun büyük mü küçük mü sayılması gerektiğini, hangi koşullarda geçerli olduğunu ve ne kadar kesin bilindiğini söylemez. Bir katsayıyı yorumlamak, bir sayıyı bir cümleye dönüştürmektir; o cümlenin doğru kurulması, sayının kendisi kadar önemlidir.

Çoklu regresyon dersi, katsayıları neyin sabit tutulduğuna bağlı kısmi etkiler olarak okumayı öğretti. Bu derste o kısmi etkiyi doğru okumanın kurallarına geçiyoruz. Değişkenlerin logaritmasının alınması ya da karesinin modele girmesi katsayının anlamını nasıl değiştirir, bir katsayı ne zaman ekonomik olarak önemlidir ve regresyon sonuçları hangi yaygın hatalarla yanlış okunur?

Hikâye — Anlamlı ama önemli mi?

1996'da iktisatçılar Deirdre McCloskey ve Stephen Ziliak, meslektaşlarının pek hoşuna gitmeyecek bir soru sordular: iktisatçılar, bir sonucun istatistiksel olarak anlamlı olmasıyla ekonomik olarak önemli olmasını birbirinden ayırıyor muydu? Soruyu yanıtlamak için American Economic Review dergisinde 1980'lerde yayımlanmış ve istatistiksel test kullanan makaleleri bir soru listesiyle tek tek incelediler: yazarlar katsayıların büyüklüğünü tartışıyor muydu, yoksa yalnızca yıldız işaretlerine mi bakıyordu?

Sonuç çarpıcıydı. İncelenen makalelerin yaklaşık yüzde 70'i, istatistiksel anlamlılık ile ekonomik önemi açıkça birbirinden ayırmıyordu. Pek çok makalede bir katsayının anlamlı çıkması, onun büyük ve politika açısından önemli olduğunun kanıtı gibi sunuluyor; anlamsız çıkan bir katsayı da etkinin olmadığının kanıtı gibi okunuyordu. İki yazar 2004'te aynı yöntemi 1990'ların makalelerine uyguladı ve oranın yaklaşık yüzde 80'e yükseldiğini buldu.

Eleştiri tartışmasız kabul görmedi. Bazı iktisatçılar, McCloskey ve Ziliak'ın soru listesinin katı olduğunu, pek çok yazarın katsayıların büyüklüğünü açıkça yazmasa da dolaylı olarak dikkate aldığını savundu. Ama tartışma, iktisatçıların sonuçlarını raporlama biçimini değiştirdi. Bugün pek çok dergi, katsayıların yalnızca yıldız işaretleriyle değil, güven aralıkları ve ekonomik yorumlarıyla birlikte sunulmasını bekliyor.

Kavram

McCloskey ve Ziliak'ın eleştirisi, bir katsayının büyüklüğünü doğru okumanın önemini vurgular. Bu okuma, değişkenlerin modele hangi biçimde girdiğine bağlıdır.

Katsayı her zaman sabit bir etki göstermez. Değişkenin karesi modele girdiğinde, etkinin büyüklüğü o değişkenin hangi düzeyde olduğuna göre değişmeye başlar.

Kare terimli modellerde etki bir noktada yön değiştirebilir. Bu nokta, ilişkinin biçimini anlamak için önemlidir.

Bir katsayının istatistiksel olarak sıfırdan farklı olması, onun önemli olduğu anlamına gelmez. Büyüklüğün kendisi ayrı bir değerlendirme gerektirir.

Farklı birimlerle ölçülen değişkenlerin katsayılarını karşılaştırmak zordur. Bunun için katsayılar ortak bir ölçeğe çevrilebilir.

Bir katsayı, verilerin gözlendiği aralık için bir ilişkiyi özetler. Bu aralığın dışına taşındığında, tahminin dayanağı zayıflar.

Veri ve kanıt

Bu bulgu, yazarların daha sonra genişlettikleri bir eleştirinin temelini oluşturdu. Onlara göre istatistiksel anlamlılık, bir etkinin sıfırdan farklı olup olmadığı sorusuna cevap verir; oysa politika için önemli olan, etkinin boyutu ile o boyutun ne ölçüde kesin bilindiğidir. Anlamlılık testi, bu iki sorudan yalnızca ikincisinin bir kısmına cevap verir.

İki taraf arasındaki tartışma, bir noktada birleşir: katsayının büyüklüğü ile kesinliği ayrı ayrı raporlanmalı ve yorumlanmalıdır. Anlaşmazlık, iktisatçıların bunu ne ölçüde yaptığı ve anlamlılık testinin ne kadar zarar verdiği üzerinedir. Hipotez testi dersinde andığımız istatistikçilerin uyarıları, iktisatta bu tartışmayla yankı buldu.

Neden önemli?

Bir regresyonun kamuoyuna ulaşan izi, genellikle tek bir manşettir: «Araştırmaya göre X, Y'yi yüzde Z artırıyor.» Bu cümlenin arkasında bir katsayı, bir birim, bir model biçimi ve bir güven aralığı vardır. Katsayının logaritmik bir modelden mi geldiği, etkinin hangi düzeyde ölçüldüğü ve tahminin ne kadar kesin olduğu, cümlenin doğruluğunu belirler.

Politika kararları da bu yorumlara dayanır. Bir asgari ücret artışının istihdama etkisinin istatistiksel olarak anlamsız çıkması, etkinin sıfır olduğu anlamına gelmeyebilir; bir eğitim programının anlamlı etkisi de maliyetini karşılamayacak kadar küçük olabilir. Katsayıları doğru okumak, bir sonucun ne dediğini ve ne demediğini ayırt etmeyi sağlar.

Model

Bir katsayıyı cümleye çevirmek

Bir katsayıyı yorumlamak için beş bilgiye ihtiyaç vardır. Birincisi birimdir: açıklayıcı değişkendeki bir birimlik artış neyi ifade eder, açıklanan değişkendeki değişim hangi birimle ölçülür? İkincisi yön, üçüncüsü büyüklüktür. Dördüncüsü koşuldur: hangi değişkenler sabit tutulmuştur? Beşincisi belirsizliktir: tahmin ne kadar kesindir?

İyi bir yorum cümlesi bu beş bilgiyi birlikte taşır. «Hane büyüklüğü ve bölge sabitken, hane gelirindeki yüzde 10'luk bir artış gıda harcamasında ortalamada yaklaşık yüzde 4'lük bir artışla ilişkilidir; yüzde 95 güven aralığı yüzde 3 ile yüzde 5 arasındadır.» Bu cümle, «gelirin katsayısı 0,4 ve anlamlı» cümlesinin söylediği her şeyi ve fazlasını söyler.

Logaritma ve yüzde değişim

Ekonomik değişkenlerin çoğu, örneğin kazanç, fiyat ve gelir, sağa çarpık dağılır ve yüzde değişimlerle düşünülür. Bu yüzden regresyonlarda sık sık logaritmaları kullanılır. Açıklanan değişkenin logaritması alındığında, açıklayıcı değişkendeki bir birimlik değişim, açıklanan değişkende yaklaşık olarak katsayının 100 katı kadar bir yüzde değişimle ilişkilidir; bu, yarı esnekliktir.

Yaklaşım küçük katsayılar için iyidir, ama büyük katsayılarda yanıltıcı olabilir. Tam yüzde değişim, katsayının üstel değerinden bir çıkarılarak bulunur. Katsayı 0,08 ise yaklaşık değişim yüzde 8, tam değişim yaklaşık yüzde 8,3'tür; fark önemsizdir. Katsayı 0,30 ise yaklaşık değişim yüzde 30, tam değişim ise yaklaşık yüzde 35'tir; fark artık önemlidir.

Dört model biçimi

Açıklanan ve açıklayıcı değişkenlerin her biri düzey ya da logaritma olarak girebilir; bu dört farklı yorum doğurur. Düzey-düzey modelde katsayı, açıklayıcı değişkendeki bir birimlik artışın açıklanan değişkende yol açtığı birim cinsinden değişimdir. Log-düzey modelde katsayı yarı esnekliktir: bir birimlik artışa karşılık gelen yüzde değişim.

Düzey-log modelde, açıklayıcı değişkendeki yüzde birlik bir artış, açıklanan değişkende katsayının yüzde biri kadar birim değişime karşılık gelir. Log-log modelde ise katsayı bir esnekliktir: açıklayıcı değişkendeki yüzde birlik artışın açıklanan değişkende yol açtığı yüzde değişim. Talep esnekliğini giriş derslerinde görmüştük; log-log regresyon, bu esnekliği doğrudan tahmin etmenin yoludur.

Çözümlü örnek — Aynı katsayı, dört anlam

Bir çalışmada katsayı 0,5 olarak bulunmuş olsun. Gelirin bin lira, okulda geçen sürenin de yıl cinsinden girdiği düzey-düzey bir modelde bu sayı, okulda geçen her fazladan yılın gelire ortalamada 500 lira eklendiği biçiminde okunur. Birimleri değiştirmeden aynı sayıyı başka bir model biçiminde okumak ise bambaşka bir sonuç verir. Açıklanan değişkenin logaritması alınmışsa, aynı 0,5 okulda geçen fazladan bir yılın gelire yaklaşık yüzde 50, üstel formülle hesaplandığında ise yaklaşık yüzde 65 fark kattığı anlamına gelir.

Düzey-log bir modelde, örneğin tüketim bin lira, gelir logaritma olarak girmişse, gelirdeki yüzde birlik artış tüketimde 0,005 bin, yani 5 liralık bir artışla ilişkilidir. Log-log bir modelde ise katsayı bir esnekliktir: gelirdeki yüzde birlik artış tüketimde yüzde 0,5'lik bir artışla ilişkilidir. Aynı sayı, dört farklı dünyada dört farklı şey söyler; hangi dünyada olduğumuzu bilmeden katsayıyı okumak mümkün değildir.

Kare terimler ve değişen etki

Bazı ilişkiler doğrusal değildir. Kazanç, iş deneyimiyle önce hızla, sonra yavaşlayarak artar ve bir noktadan sonra düşmeye başlayabilir. Bu tür bir ilişkiyi yakalamak için deneyimin karesi de modele eklenir. Böyle bir modelde deneyimin marjinal etkisi sabit değildir: doğrusal terimin katsayısına, kare terimin katsayısı ile deneyimin iki katının çarpımı eklenerek bulunur.

Bu yüzden kare terimli bir modelde «deneyimin katsayısı» tek başına yorumlanamaz. Etki, belirli bir deneyim düzeyinde hesaplanmalıdır; genellikle örneklem ortalamasında ya da politika açısından ilgi çekici birkaç düzeyde raporlanır. Kare terimin katsayısı negatifse, etki deneyim arttıkça azalır ve dönüm noktasından sonra negatif olur.

Çözümlü örnek — Deneyim profili

Kazancın logaritmasının deneyime bağlı olduğu bir modelde, deneyimin katsayısı 0,05, deneyimin karesinin katsayısı eksi 0,001 olsun. Marjinal etki, 0,05 artı iki çarpı eksi 0,001 çarpı deneyimdir. On yıllık deneyimde bu, 0,05 eksi 0,02, yani 0,03'tür: deneyim bir yıl arttığında kazanç kabaca yüzde 3 yükselir. Otuz yıllık deneyimde ise 0,05 eksi 0,06, yani eksi 0,01'dir: ek bir yıl kazançta yaklaşık yüzde 1'lik bir düşüşle ilişkilidir.

Dönüm noktası, 0,05'in iki çarpı 0,001'e bölümü olan 25 yıldır. Örneklemdeki çalışanların deneyimi sıfır ile kırk yıl arasındaysa, dönüm noktası verilerin içindedir ve anlamlı bir yorumu vardır. Ama örneklemdeki en deneyimli çalışan yirmi yıllık deneyime sahipse, 25 yıllık dönüm noktası veri dışına çıkarımdır; kazancın gerçekten o noktada düşmeye başlayıp başlamadığını veriler söyleyemez.

Etkileşim terimleri

Bir değişkenin etkisi, başka bir değişkenin düzeyine de bağlı olabilir. Eğitimin kazanca etkisi kadınlar ve erkekler için ya da büyük ve küçük şehirler için farklı olabilir. Bu tür farklılıkları yakalamak için iki değişkenin çarpımı modele eklenir; bu çarpım, etkileşim terimidir.

Etkileşim terimi içeren bir modelde de bir değişkenin marjinal etkisi, öbür değişkenin düzeyine göre değişir. Kategorik değişkenlerle etkileşimleri, sıradaki derste kukla değişkenleri ele alırken ayrıntılı olarak göreceğiz. Burada önemli olan nokta, etkileşimli bir modelde ana terimlerin katsayılarının tek başına yorumlanamayacağıdır: her biri, öbür değişkenin sıfır olduğu durumdaki etkiyi gösterir ve bu durum anlamlı olmayabilir.

İstatistiksel ve ekonomik anlamlılık

İstatistiksel anlamlılık, tahmin edilen bir katsayının, gerçek etkinin sıfır olduğu varsayımıyla bağdaşmayacak kadar sıfırdan uzak olup olmadığını sorar. Cevap, katsayının büyüklüğüne ve standart hatasına birlikte bağlıdır. Standart hata, gözlem sayısı arttıkça küçüldüğü için, çok büyük örneklemlerde çok küçük katsayılar da anlamlı çıkar.

Ekonomik anlamlılık ise katsayının büyüklüğünün konunun bağlamında önemli olup olmadığını sorar. Bir eğitim programının kazancı yüzde 0,1 artırması, milyonlarca gözlemle kesin olarak tahmin edilse bile, programın maliyetini karşılamayabilir. Bir ilacın ölüm oranını yüzde 20 azaltması ise, küçük bir örneklemde anlamlı çıkmasa bile, daha fazla araştırmayı hak eden önemli bir bulgu olabilir.

Çözümlü örnek — Anlamlı ama küçük, anlamsız ama büyük

Birinci çalışma, bir milyon hanenin verileriyle, bir vergi indiriminin hane tasarruflarına etkisini katsayı 0,001 ve standart hata 0,0002 olarak tahmin ediyor. Katsayı standart hatasının 5 katıdır ve istatistiksel olarak çok anlamlıdır. Ama katsayı, indirimin her 1.000 lirası için tasarrufun ortalamada 1 lira arttığını söyler; bu, politika açısından önemsiz bir etkidir.

İkinci çalışma, iki yüz öğrencilik bir deneyle, bir ders programının sınav puanına etkisini standart sapma cinsinden 0,15, standart hatasını 0,10 olarak tahmin ediyor. Katsayı standart hatasının yalnızca 1,5 katıdır ve geleneksel ölçütlerle anlamlı değildir. Ama yüzde 95 güven aralığı, 0,15 eksi ve artı 1,96 çarpı 0,10, yani yaklaşık eksi 0,05 ile 0,35 arasındadır. Aralık, eğitim araştırmalarında büyük sayılan etkileri de kapsar. Bu durumda varılacak yer «etki yok» değil, «etkinin boyutunu kestirmek için daha fazla gözleme ihtiyaç var» olur.

Güven aralığıyla düşünmek

İstatistik derslerinde gördüğümüz güven aralığı, katsayıları yorumlamanın en bilgilendirici aracıdır. Aralığın merkezi etkinin büyüklüğünü, genişliği ise o büyüklüğün ne kadar kesin bilindiğini aynı anda gösterir. Aralığın tamamı ekonomik olarak önemsiz değerlerden oluşuyorsa, etki anlamlı olsa bile önemsizdir; aralık hem sıfırı hem de büyük değerleri kapsıyorsa, veriler karar vermek için yetersizdir.

Bu yüzden iyi bir raporlama, katsayıyı ve standart hatasını ya da güven aralığını birlikte verir, sonucu yalnızca yıldız işaretleriyle özetlemez. Okuyucunun sorması gereken soru, «anlamlı mı?» değil, «etki hangi aralıkta ve bu aralık neyi dışarıda bırakıyor?» sorusudur.

Ortalama etkinin sakladıkları

Bir regresyon katsayısı, çoğu zaman bir ortalama etkidir. Bir eğitim programının işe yerleşme olasılığını ortalamada 6 puan artırması, programın herkese aynı ölçüde yaradığı anlamına gelmez; bazı katılımcılar için etki çok büyük, bazıları için sıfır ya da olumsuz olabilir. Ortalama, bu farklılıkları tek bir sayıda toplar.

Politika açısından bu farklılıklar önemli olabilir. Bir program en çok dezavantajlı gruplara yarıyorsa, ortalama etkisi küçük olsa bile değerli olabilir; tersine, ortalama etkisi büyük ama yalnızca zaten iyi durumdakilere yarıyorsa, dağılım üzerindeki etkisi farklı değerlendirilebilir. Etkinin gruplara göre değişip değişmediğini sınamak için etkileşim terimleri ya da ayrı ayrı tahmin edilen modeller kullanılır.

İki katsayıyı karşılaştırmak

Sık görülen bir yorum hatası, iki grup için ayrı ayrı tahmin edilen katsayılardan biri anlamlı, öbürü anlamsız çıktığında, gruplar arasında bir ayrım bulunduğu sonucunu çıkarmaktır. Andrew Gelman ve Hal Stern 2006'da, anlamlı ile anlamsız arasındaki farkın kendisinin istatistiksel olarak anlamlı olmayabileceğini hatırlattı. Kadınlar için katsayı 0,25 ve standart hata 0,10, erkekler için 0,10 ve standart hata 0,10 ise, birincisi anlamlı, ikincisi anlamsızdır; ama aradaki 0,15'lik farkın standart hatası yaklaşık 0,14'tür ve fark anlamlı değildir. İki grubu karşılaştırmak için doğru yol, farkın kendisini ve onun güven aralığını hesaplamaktır.

Standartlaştırılmış katsayılar

Farklı birimlerle ölçülen değişkenlerin katsayılarını karşılaştırmak, hangisinin «daha önemli» olduğu konusunda yanıltıcı olabilir. Eğitimin yıl, gelirin lira cinsinden ölçüldüğü bir modelde, gelirin katsayısı sayısal olarak çok küçük görünür, ama bu yalnızca birimlerin farklılığını yansıtır. Standartlaştırılmış katsayılar, her değişkeni kendi standart sapmasıyla ölçerek bu sorunu azaltır.

Ama standartlaştırmanın da sınırları vardır. Bir standart sapmalık değişim, bazı değişkenler için gerçekçi, bazıları için gerçekdışı olabilir; bir politikanın bir değişkeni değiştirme kapasitesi, onun standart sapmasıyla ilgili değildir. Ayrıca standart sapmalar örnekleme bağlı olduğu için, farklı çalışmaların standartlaştırılmış katsayıları kolayca karşılaştırılamaz. Bu yüzden standartlaştırılmış katsayılar ham katsayıların yerine değil, yanında raporlanmalıdır.

Sabit terim ve veri dışına çıkarım

Sabit terim, bütün açıklayıcı değişkenlerin sıfır olduğu durumdaki tahmin edilen değerdir. Bu durum çoğu zaman anlamlı değildir: sıfır yıllık eğitimi ve sıfır yaşı olan bir çalışan yoktur. Bu yüzden sabit terim genellikle yorumlanmaz; yalnızca doğrunun yüksekliğini belirleyen teknik bir parametre olarak görülür. Sabit terimi anlamlı kılmanın bir yolu, açıklayıcı değişkenleri ortalamalarından farkları olarak yeniden tanımlamaktır; bu durumda sabit terim, bütün değişkenlerin ortalama değerlerde olduğu tipik bir gözlemin tahmin edilen değerini verir ve eğimler değişmez.

Aynı mantık, veri dışına çıkarım için de geçerlidir. Bir model, verilerin gözlendiği aralıkta ilişkiyi özetler. Asgari ücretin küçük artışlarının istihdama etkisini ölçen bir model, asgari ücretin iki katına çıkarılmasının etkisini güvenilir biçimde tahmin edemeyebilir; ilişki bu aralıkta doğrusal olmayabilir ya da tamamen farklı mekanizmalar devreye girebilir.

İlişki mi, etki mi?

Katsayıyı yorumlarken seçilen dil de önemlidir. Koşullu sıfır ortalama varsayımının inandırıcı olduğu bir tasarımda, katsayı nedensel bir etki olarak okunabilir: «programa katılmak işe yerleşme olasılığını 6 puan artırır». Varsayımın şüpheli olduğu durumlarda ise daha temkinli bir dil gerekir: «programa katılanların işe yerleşme oranı katılmayanlardan 6 puan yüksektir».

Bu fark yalnızca üslup meselesi değildir. «Artırır» dili bir politika önerisini ima eder; «ilişkilidir» dili ise yalnızca bir örüntüyü betimler. Bir sonucun hangi dille raporlandığı, onun hangi varsayımlara dayandığını da ele verir. İyi bir yazar, kullandığı dilin tasarımının gücüyle uyumlu olmasına özen gösterir.

Uygulama

Özet kartı

1. Bir katsayıyı yorumlamak için birim, yön, büyüklük, koşul ve belirsizlik birlikte raporlanmalıdır; «katsayı 0,08 ve anlamlı» cümlesi bu bilgilerin çoğunu eksik bırakır.
2. Değişkenlerin düzey ya da logaritma olarak girmesi dört farklı yorum doğurur; log-düzey modelde katsayı yarı esneklik, log-log modelde esnekliktir ve büyük katsayılarda tam yüzde değişim üstel formülle hesaplanmalıdır.
3. Kare ve etkileşim terimleri içeren modellerde marjinal etki değişkenin düzeyine bağlıdır; örnekte deneyimin etkisi on yılda yüzde 3, otuz yılda eksi yüzde 1 ve dönüm noktası 25 yıl bulundu; dönüm noktası veri aralığının dışındaysa veri dışına çıkarımdır.
4. İstatistiksel anlamlılık ekonomik önemle aynı şey değildir; McCloskey ve Ziliak, 1980'lerde yaklaşık yüzde 70, 1990'larda yaklaşık yüzde 80 oranında makalenin bu ikisini ayırmadığını buldu; Hoover ve Siegler bu değerlendirmeyi abartılı buldu.
5. Güven aralığı, etkinin büyüklüğünü ve kesinliğini birlikte gösteren en bilgilendirici araçtır; anlamsız bir sonuç «etki yok» değil, çoğu zaman «etkinin büyüklüğünü bilmiyoruz» demektir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Log-düzey ve log-log modellerde katsayının anlamı nedir? Birer örnekle göster.
2. (Çıktı 2) Çok büyük bir örneklemde istatistiksel olarak anlamlı çıkan bir katsayı neden ekonomik olarak önemsiz olabilir? Küçük bir örneklemde anlamsız çıkan bir katsayı neden önemli olabilir?
3. (Çıktı 3) Log-düzey bir modelde katsayı 0,25'tir. Yaklaşık ve tam yüzde değişimi hesapla. İki değer arasındaki fark neden ortaya çıkar?
4. (Çıktı 3) Bir modelde deneyimin katsayısı 0,06, deneyimin karesinin katsayısı eksi 0,0015'tir. On yıllık ve yirmi beş yıllık deneyimde marjinal etkiyi ve dönüm noktasını hesapla.
5. (Çıktı 3) Bir katsayı 0,20, standart hatası 0,12'dir. Yaklaşık yüzde 95 güven aralığını hesapla ve sonucun «etki yok» diye yorumlanıp yorumlanamayacağını tartış.
6. (Çıktı 4) Bir istatistik öğretmeni, «Artık istatistiksel anlamlılık testlerini tamamen bırakmalıyız; yalnızca katsayıların büyüklüğüne bakalım» diyor. McCloskey–Ziliak ve Hoover–Siegler tartışmasını, güven aralıklarını ve ekonomik anlamlılık kavramını kullanarak bu öneriyi değerlendir.

Cevaplar

1. Log-düzey modelde açıklanan değişkenin logaritması alınmış, açıklayıcı değişken düzeydedir; katsayı yarı esnekliktir ve açıklayıcı değişkendeki bir birimlik artışın açıklanan değişkende yaklaşık kaç yüzde değişime yol açtığını gösterir; örneğin kazancın logaritmasının okulda geçirilen yıllara bağlandığı bir model. Log-log modelde iki değişkenin de logaritması alınmıştır; katsayı esnekliktir ve açıklayıcı değişkendeki yüzde birlik artışın açıklanan değişkende yol açtığı yüzde değişimi gösterir; örneğin bir ürünün satış miktarının logaritması ile fiyatının logaritması arasındaki ilişki, talebin fiyat esnekliğini verir.
2. Standart hata gözlem sayısı arttıkça küçüldüğü için, çok büyük örneklemlerde pratikte önemsiz derecede küçük katsayılar bile sıfırdan kesin olarak ayırt edilebilir; anlamlılık, etkinin büyüklüğünü değil, sıfırdan farkına dair kanıtın gücünü gösterir. Küçük örneklemlerde ise standart hata büyüktür; büyük ve önemli bir etki, güven aralığı sıfırı da kapsadığı için anlamsız çıkabilir.
3. Yaklaşık yüzde değişim, katsayının 100 katı olan yüzde 25'tir. 0,25'in üstel değeri yaklaşık 1,284'tür; bir çıkarıldığında tam değişim yüzde 28,4 bulunur. Fark, logaritmik yaklaşımın yalnızca küçük değişimler için doğru olmasından kaynaklanır; katsayı büyüdükçe yaklaşım gerçek yüzde değişimi olduğundan küçük gösterir.
4. Marjinal etki, 0,06 artı iki çarpı eksi 0,0015 çarpı deneyimdir. On yılda 0,06 eksi 0,03, yani 0,03; yirmi beş yılda 0,06 eksi 0,075, yani eksi 0,015'tir. Dönüm noktası 0,06'nın iki çarpı 0,0015'e bölümü olan 20 yıldır. Yirmi beş yıllık deneyimde etki negatiftir; bu yorumun geçerliliği, örneklemde yirmi yılın üzerinde deneyime sahip yeterli sayıda çalışan olmasına bağlıdır.
5. Güven aralığı 0,20 eksi ve artı 1,96 çarpı 0,12, yani yaklaşık eksi 0,035 ile 0,435 arasındadır. Aralık sıfırı kapsadığı için katsayı geleneksel ölçütlerle anlamlı değildir. Ama aralık 0,4'e varan büyük etkileri de kapsar; bu yüzden sonuç «etki yok» diye değil, «veriler etkinin büyüklüğünü kesin olarak belirlemeye yetmiyor» diye yorumlanmalıdır.
6. Öneri, eleştirinin haklı yanını abartıyor. McCloskey ve Ziliak'ın gösterdiği gibi, istatistiksel anlamlılığı ekonomik önemle karıştırmak yaygın ve zararlı bir hatadır; katsayının büyüklüğü mutlaka tartışılmalıdır. Ama Hoover ve Siegler'in vurguladığı gibi, anlamlılık testi ve standart hatalar tahminin kesinliğini değerlendirmenin meşru araçlarıdır; yalnızca büyüklüğe bakmak, gürültülü bir tahmini kesin bir bulgu gibi sunma tehlikesi taşır. En iyi yol, katsayıyı güven aralığıyla birlikte raporlamaktır: aralık hem büyüklüğü hem kesinliği gösterir ve ekonomik anlamlılığın aralığın tamamı üzerinden değerlendirilmesini sağlar.

İleri okuma

• Deirdre N. McCloskey ve Stephen T. Ziliak (1996). «The Standard Error of Regressions». Journal of Economic Literature 34(1). İstatistiksel ve ekonomik anlamlılık ayrımına dair ilk inceleme.
• Stephen T. Ziliak ve Deirdre N. McCloskey (2008). The Cult of Statistical Significance. University of Michigan Press. Eleştirinin kitap uzunluğunda genişletilmiş biçimi.
• Kevin D. Hoover ve Mark V. Siegler (2008). «Sound and Fury: McCloskey and Significance Testing in Economics». Journal of Economic Methodology 15(1). Eleştiriye karşı bir yanıt.
• Jacob Mincer (1974). Schooling, Experience, and Earnings. National Bureau of Economic Research. Kazancın logaritmasını eğitim ve deneyimin karesiyle ilişkilendiren denklemin kaynağı.

Sonraki derse köprü

Bu derste katsayıları yorumlarken birimin, model biçiminin ve kesinliğin önemini gördük. Ama bazı açıklayıcı değişkenlerin doğal bir birimi yoktur: cinsiyet, bölge, sektör, medeni durum ya da bir politikanın uygulanıp uygulanmadığı gibi kategoriler, sayılarla değil gruplarla ifade edilir. Bu tür değişkenler bir regresyona nasıl girer, katsayıları neyi karşılaştırır ve bir grubun etkisinin öbür değişkenlerin etkisini nasıl değiştirdiği nasıl modellenir? Sıradaki ders kukla değişkenleri ele alıyor: kategorik değişkenlerin regresyona katılmasını, katsayıların temel gruba göre yorumunu, kukla değişken tuzağını ve etkileşim terimlerini inceleyeceğiz.