Çoklu regresyon

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Çoklu regresyonu, kısmi etkiyi, kontrol değişkenini, çıkarılan değişken yanlılığını, düzeltilmiş belirlilik katsayısını ve kötü kontrolü tanımlar.
• Anlama — Bir değişkeni modele eklemenin öbür katsayıları neden değiştirdiğini, bir katsayının «diğer değişkenler sabitken» yorumunun nereden geldiğini ve hangi değişkenlerin kontrol olarak kullanılmaması gerektiğini açıklar.
• Uygulama — İki açıklayıcı değişkenli bir modelde katsayıları yorumlar, çıkarılan değişken yanlılığının büyüklüğünü ve yönünü hesaplar ve düzeltilmiş belirlilik katsayısıyla iki modeli karşılaştırır.
• Değerlendirme — Kontrol değişkenleri eklendikçe katsayıların değişmesinin neyi gösterdiğini ve «ayarlanmış» bir sonucun hangi soruya cevap verdiğini tartar.

Sezgi

Açılış

Bir karşılaştırma, neyi sabit tuttuğunuza göre değişir. İki şehrin konut fiyatlarını karşılaştırırken evlerin büyüklüğünü hesaba katmazsanız, geniş evlerin çok olduğu şehir pahalı görünür. İki okulun başarısını karşılaştırırken öğrencilerin aile koşullarını dikkate almazsanız, varlıklı mahalledeki okul daha iyi görünür. Gerçek hayatta bir değişkeni sabit tutarak deney yapmak çoğu zaman mümkün değildir; ama veriler bize bunu istatistiksel olarak yapma imkânı verir.

Varsayımları incelediğimiz derste, tahmini en sık bozan şeyin modelin dışında kalan ve ilgilendiğimiz değişkenle birlikte hareket eden etkenler olduğunu gördük. Bu dersin sorusu, o etkenleri modele dahil etmenin nasıl işlediğidir. Birden çok açıklayıcı değişkenle tahminin mantığını, katsayıların yeni anlamını, kontrol eklemenin sonuçları nasıl değiştirdiğini ve hangi değişkenlerin kontrol olarak hiç eklenmemesi gerektiğini inceleyeceğiz.

Hikâye — Hangi fark?

ABD'de tam zamanlı çalışan kadınların saat başı ücreti, 1980'de erkeklerinkinin ortalama yüzde 62,1'i kadardı. 2010'a gelindiğinde bu oran yüzde 79,3'e yükselmişti. Francine Blau ve Lawrence Kahn, Gelir Dinamikleri Panel Araştırması'nın verileriyle bu farkı ayrıntılı biçimde inceledi ve aynı fark için birden fazla sayı raporladı.

Yalnızca eğitim, iş deneyimi, bölge ve ırk gibi insan sermayesi ve demografik özellikler hesaba katıldığında, 2010'da benzer özelliklere sahip kadınların ücreti erkeklerinkinin yaklaşık yüzde 82,1'iydi. Bu özelliklere çalışılan sektör, meslek ve sendika üyeliği de eklendiğinde oran yüzde 91,6'ya çıkıyordu. Bu tam modelde farkın yaklaşık yüzde 33'ü mesleklerdeki, yaklaşık yüzde 18'i sektörlerdeki farklılıklarla ilişkilendiriliyor; yüzde 38'i ise ölçülen hiçbir özellikle açıklanamıyordu.

Hangi sayı «gerçek» farktır? Yazarlar tek bir sayıyı öne çıkarmadı. Açıklanamayan kısmın ayrımcılığı gösterebileceğini, ama ölçülemeyen verimlilik farklarını da içerebileceğini vurguladılar. Daha önemlisi, meslek ve sektör seçimlerinin de kısmen ayrımcılıktan ve toplumsal rollerden etkilenebileceğini hatırlattılar: bu durumda mesleği «sabit tutmak», farkın bir kısmını açıklamak yerine gizleyebilirdi. Her sayı, farklı bir soruya verilmiş doğru bir cevaptı.

Kavram

Blau ve Kahn'ın yaptığı, aynı açıklanan değişkeni birden çok açıklayıcı değişkenle aynı anda ilişkilendirmekti. Bu, en küçük kareler yönteminin doğal bir genişlemesidir.

Çoklu regresyonda her katsayının anlamı değişir. Artık bir değişkenin tek başına ilişkisini değil, öbürleri hesaba katıldıktan sonraki ilişkisini gösterir.

Modele bir değişken eklemenin amacı çoğu zaman o değişkenin kendisini incelemek değil, başka bir değişkenin katsayısını daha güvenilir kılmaktır. Bu tür değişkenlere ayrı bir ad verilir.

Önemli bir kontrol değişkeni modelden çıkarıldığında, ilgilenilen katsayı sistematik biçimde sapar. Önceki derste bu sapmanın bir örneğini hesaplamıştık; burada genel adını veriyoruz.

Modele değişken ekledikçe belirlilik katsayısı hiç düşmez. Bu, modelleri karşılaştırırken yanıltıcı olabilir.

Her değişken iyi bir kontrol değildir. Bazı değişkenleri modele eklemek, sorunu çözmek yerine yeni bir sorun yaratır.

Veri ve kanıt

Bu çalışma, çoklu regresyonun güçlü bir yanını ve bir tuzağını birlikte gösterir. Güçlü yanı, bir farkı katmanlara ayırarak hangi etkenlerin ne kadar rol oynadığını görünür kılmasıdır. Tuzağı ise kontrol değişkenlerinin seçiminin sonucu belirlemesidir. Meslek, çalışanın ücretinin yanında cinsiyetinden de etkileniyor olabilir; bu durumda onu kontrol etmek, bu dersin sonunda tanımladığımız kötü kontrol sorununa yol açar. Blau ve Kahn'ın birden fazla sayı raporlaması, bu belirsizliği gizlemek yerine okuyucuya açıkça göstermenin bir yoluydu.

Oster'in yöntemi, Joseph Altonji, Todd Elder ve Christopher Taber'in 2005'te geliştirdiği bir fikre dayanır: gözlenen değişkenlere göre seçilim, gözlenemeyenlere göre seçilim hakkında bir ipucu verebilir. Bu yaklaşım, koşullu sıfır ortalama varsayımını doğrudan sınayamasak da, onun ne kadar güçlü bir biçimde bozulması gerektiğini, yani sonucun ne kadar kırılgan olduğunu değerlendirmeye yardım eder. Bugün pek çok uygulamalı çalışma, bu tür bir duyarlılık analizini raporlamaktadır.

Neden önemli?

Toplumsal ve ekonomik tartışmaların çoğu, «ayarlanmış» karşılaştırmalara dayanır. Kadın-erkek ücret farkı, bölgeler arası gelir farkı, özel ve devlet okulları arasındaki başarı farkı veya bir sağlık hizmetinin sonuçları, hep belirli değişkenler sabit tutularak hesaplanır. Hangi değişkenlerin sabit tutulduğu, sonucun hangi soruya cevap verdiğini belirler.

Bu yüzden bir ayarlanmış karşılaştırmayı okurken sorulacak ilk soru, «neye göre ayarlandı?» olmalıdır. Ayar, önemli bir karıştırıcıyı dışarıda bırakıyorsa sonuç abartılı olabilir; ilgilenilen etkinin kendisinin bir sonucunu kapsıyorsa, sonuç etkiyi olduğundan küçük gösterebilir. Çoklu regresyonu anlamak, bu iki tuzağı ayırt etmenin ön koşuludur.

Model

Neden birden çok değişken?

Basit regresyon, tek bir açıklayıcı değişkenin açıklanan değişkenle ilişkisini ölçer. Ama ekonomik değişkenler çoğu zaman birbirine bağlıdır: eğitim düzeyi yetenekle, aile geliriyle ve yaşanılan bölgeyle ilişkilidir. Basit regresyon, eğitimin katsayısında bu değişkenlerin etkilerini de toplar. Önceki derste gördüğümüz çıkarılan değişken sorunu tam olarak budur.

Çoklu regresyon, bu değişkenleri modele ekleyerek her birinin katsayısını ayrı ayrı tahmin eder. Eğitimin katsayısı artık, yetenek ve öbür değişkenler aynı düzeyde tutulduğunda eğitimdeki bir yıllık farkın kazançla ilişkisini gösterir. Bu, gerçek bir deneyde yeteneği sabit tutarak eğitimi değiştirmenin istatistiksel bir karşılığıdır; ama yalnızca modele alınan değişkenler için geçerlidir.

Tahminin mantığı

Çoklu regresyonda da en küçük kareler yöntemi aynı ilkeyle çalışır: gözlenen değerlerin modelin tahminlerinden sapmalarının kareleri toplanır ve bu toplam en aza indirilir. Fark, artık bir doğru yerine, iki açıklayıcı değişken varsa bir düzlem, daha fazlası varsa daha yüksek boyutlu bir yüzey uydurulmasıdır.

Tahmin edilecek katsayı sayısı kadar normal denklem kurulur. Bu denklemlerin söylediği şey değişmez: kalıntılar toplamda sıfırlanır ve modeldeki açıklayıcı değişkenlerin hiçbiriyle birlikte hareket etmez. İki değişkenden fazlası olduğunda katsayıları elle hesaplamak zahmetlidir; matematik derslerinde gördüğümüz matris cebiri ve bilgisayar yazılımları bu işi üstlenir. Ama mantık, basit regresyondakiyle aynıdır.

Kısmi etki ve «diğer değişkenler sabitken»

Çoklu regresyonda her katsayı bir kısmi etkidir. Eğitimin katsayısı, yeteneği aynı düzeyde tutup eğitimi bir yıl artırdığımızda kazancın ortalamada ne kadar değiştiğini söyler. Bu yorum, matematik derslerinde gördüğümüz kısmi türevle aynı mantığa dayanır: bir değişkeni oynatırken öbürlerini yerinde tutmak.

Bu yorumun bir sınırı vardır. Bazı değişkenleri gerçekte birbirinden bağımsız olarak değiştirmek mümkün değildir. Örneğin bir kişinin yaşını sabit tutup iş deneyimini artırmak, ancak eğitim süresini kısaltarak mümkündür. Bu yüzden kısmi etkiyi yorumlarken, «diğer değişkenler sabitken» durumunun gerçekte anlamlı bir karşılaştırma olup olmadığını düşünmek gerekir. Katsayıların yorumunu sıradaki derste ayrıntılı olarak ele alacağız.

Arındırma: katsayı nereden gelir?

Ekonometrinin önemli sonuçlarından biri, çoklu regresyondaki bir katsayının iki adımda da elde edilebileceğini gösterir. Önce ilgilenilen değişken, örneğin eğitim, öbür açıklayıcı değişkenlerle regresyona sokulur ve kalıntıları alınır; bu kalıntılar eğitimin, öbür değişkenlerle açıklanamayan kısmıdır. Sonra açıklanan değişken bu kalıntılarla regresyona sokulur. Bulunan eğim, çoklu regresyondaki eğitim katsayısıyla tam olarak aynıdır.

Bu sonuç, 204.02'de andığımız Frisch ve Waugh'un 1933 tarihli çalışmasından gelir. Çoklu regresyonun bir katsayıyı nasıl «arındırdığını» somut biçimde gösterir: katsayı, yalnızca ilgilenilen değişkenin öbür değişkenlerle örtüşmeyen kısmındaki değişimden öğrenir. Eğitim ile yetenek çok güçlü biçimde ilişkiliyse, eğitimin yetenekten bağımsız kısmı küçüktür ve katsayı az bilgiyle, yani düşük kesinlikle tahmin edilir.

Çözümlü örnek — Kontrol eklemenin etkisi

Beş çalışanın eğitim yılları 9, 11, 13, 15 ve 17; bir yetenek testinden aldıkları puanlar 1, 3, 2, 3 ve 6; aylık gelirleri, bin lira cinsinden, 15,5; 22,5; 24; 27,5 ve 33 olsun. Yalnızca eğitimle kurulan basit regresyonun eğimi 2,0'dır: eğitim yılı bir arttıkça kazanç ortalamada 2.000 lira yükseliyor gibi görünür.

Yetenek puanı da modele eklendiğinde, çoklu regresyon kazancı 2 artı 1,5 çarpı eğitim artı 1,0 çarpı yetenek puanı olarak tahmin eder. Eğitimin katsayısı 2,0'dan 1,5'e düşmüştür: yetenek puanı aynıyken eğitimdeki bir yıllık fark, kazançta ortalama 1.500 liralık bir farka karşılık gelir. Aradaki 500 lira, basit regresyonda eğitime yüklenen ama aslında yetenekle ilişkili olan kısımdır. Belirlilik katsayısı da yaklaşık 0,961'den 0,985'e yükselir.

Çıkarılan değişken yanlılığının genel biçimi

Önceki örnekteki 0,5'lik fark tesadüf değildir. Yetenek puanını eğitime göre regresyona soktuğumuzda, eğim 0,5 çıkar: eğitimdeki bir yıllık fark, yetenek puanında ortalamada 0,5 puanlık bir farkla ilişkilidir. Basit regresyondaki eğim, çoklu regresyondaki eğitim katsayısı olan 1,5'e, yeteneğin katsayısı olan 1,0 ile bu 0,5'in çarpımının eklenmesiyle bulunur: 1,5 artı 0,5, yani 2,0.

Bu, çıkarılan değişken yanlılığının genel formülüdür: sapma, çıkarılan değişkenin açıklanan değişkene etkisi ile ilgilenilen değişkenle ilişkisinin çarpımıdır. Formül, sapmanın yönünü tahmin etmeyi sağlar. Çıkarılan değişkenin etkisi ve ilgilenilen değişkenle ilişkisi aynı işaretliyse, katsayı yukarı doğru; farklı işaretliyse aşağı doğru sapar. İkisinden biri sıfırsa sapma yoktur.

Çözümlü örnek — Sapmanın yönünü tahmin etmek

Bir araştırmacı, bir ilçedeki tarım işletmelerinde gübre kullanımının verime etkisini tahmin etmek istiyor, ama toprak kalitesini ölçemiyor. Toprak kalitesi verimi artırır; bu etki pozitiftir. Çiftçilerin kaliteli topraklara daha az gübre kullandığını varsayalım; toprak kalitesi ile gübre kullanımı arasındaki ilişki negatiftir. Sapma, pozitif bir etki ile negatif bir ilişkinin çarpımıdır ve negatiftir.

Basit regresyon, gübrenin verime etkisini olduğundan küçük gösterir. Toprak kalitesinin verime etkisi dekar başına 40 kilogram, toprak kalitesi ile gübre arasındaki ilişkinin eğimi eksi 0,25 ise, sapma 40 çarpı eksi 0,25, yani eksi 10 kilogramdır. Gübrenin gerçek kısmi etkisi dekar başına 30 kilogramsa, basit regresyon ortalamada 20 kilogram bulur. Araştırmacı toprak kalitesini ölçemese bile, bu akıl yürütmeyle bulduğu sonucun muhtemelen bir alt sınır olduğunu söyleyebilir.

Belirlilik katsayısı ve düzeltilmiş biçimi

Çoklu regresyonda belirlilik katsayısı, açıklanan değişkendeki yayılımın modeldeki bütün açıklayıcı değişkenlerle birlikte açıklanan kısmıdır. Modele yeni bir değişken eklendiğinde bu katsayı ya aynı kalır ya da artar; en küçük kareler, yeni değişkeni kullanarak kalıntı karelerinin toplamını her zaman en az aynı düzeyde tutabilir.

Düzeltilmiş belirlilik katsayısı, bu artışı değişken sayısına göre cezalandırır. Hesabı şöyledir: 1'den belirlilik katsayısı çıkarılır, sonuç gözlem sayısının bir eksiğiyle çarpılır ve gözlem sayısından değişken sayısı ile bir çıkarılarak bulunan sayıya bölünür; son olarak bu değer 1'den çıkarılır. Yeni bir değişken açıklama gücünü, kaybettirdiği serbestlik derecesini telafi edecek kadar artırmıyorsa, düzeltilmiş katsayı düşer.

Çözümlü örnek — İki modeli karşılaştırmak

Elli gözlemlik bir veri setinde, iki açıklayıcı değişkenli bir modelin belirlilik katsayısı 0,40 olsun. Düzeltilmiş belirlilik katsayısı, 1 eksi 0,60 çarpı 49 bölü 47, yani yaklaşık 0,374'tür. Araştırmacı üç değişken daha ekliyor ve belirlilik katsayısı 0,41'e çıkıyor.

Beş değişkenli modelin düzeltilmiş belirlilik katsayısı, 1 eksi 0,59 çarpı 49 bölü 44, yani yaklaşık 0,343'tür. Belirlilik katsayısı artmış, ama düzeltilmiş biçimi düşmüştür: eklenen üç değişken, kaybettirdikleri serbestlik derecesini karşılayacak kadar açıklama gücü sağlamamıştır. Yine de bu ölçü tek başına karar vermek için yeterli değildir; asıl soru, değişkenlerin kuramsal olarak modelde yer alması gerekip gerekmediğidir.

Kötü kontroller

Angrist ile Pischke, kötü kontrol kavramını, ilgilenilen değişkenden etkilenen değişkenlerin modele eklenmesinin yarattığı sorunu anlatmak için kullandı. Bir üniversite diplomasının kazanca etkisini tahmin eden bir araştırmacı, meslek değişkenini kontrol olarak eklerse, diplomanın kişinin daha iyi ücretli mesleklere girmesini sağlayan etkisini yok etmiş olur. Karşılaştırma artık, aynı meslekteki diplomalı ve diplomasızlar arasında yapılır; bu iki grup ise gözlemediğimiz özellikler bakımından birbirinden ayrışıyor olabilir.

Blau ve Kahn'ın ücret farkı çalışmasındaki meslek değişkeni de benzer bir sorun taşır. Kadınların meslek dağılımı kısmen tercihlerini, kısmen de iş yaşamındaki engelleri ve toplumsal rolleri yansıtıyorsa, mesleği sabit tutmak farkın bir kısmını görünmez kılabilir. Bu nedenle bir değişkeni kontrol etmeden önce sorulacak soru şudur: bu değişken, ilgilendiğim etkinin öncesinde mi belirleniyor, yoksa onun bir sonucu mu?

Karıştırıcı, aracı ve ortak sonuç

Bir değişkenin kontrol olarak eklenip eklenmeyeceğine karar vermek için, onun ilgilenilen değişkenle ve açıklanan değişkenle ilişkisinin yönünü düşünmek gerekir. Karıştırıcı bir değişken, ikisini birden etkiler: anne-babanın eğitimi hem çocuğun eğitimini hem de kazancını etkiler. Karıştırıcıları kontrol etmek sapmayı azaltır.

Aracı bir değişken ise ilgilenilen değişkenden etkilenir ve açıklanan değişkeni etkiler: eğitim mesleği, meslek de kazancı etkiler. Aracıyı kontrol etmek, toplam etkinin bir kısmını yok eder; kötü kontrolün en yaygın biçimi budur. Üçüncü tür, ortak sonuç değişkenidir: hem ilgilenilen değişkenden hem de açıklanan değişkenden etkilenir. Örneğin bir üniversiteye kabul, hem lise notlarından hem de sınav puanından etkileniyorsa, yalnızca kabul edilenler incelendiğinde notlar ile sınav puanı arasında gerçekte olmayan bir ilişki ortaya çıkabilir. Ortak sonucu kontrol etmek ya da örneklemi ona göre seçmek, var olmayan bir ilişki yaratır.

Kontrol eklemek ne zaman katsayıyı değiştirmez?

Çıkarılan değişken yanlılığı formülü, bir kontrolü eklemenin ilgilenilen katsayıyı ne zaman değiştirmeyeceğini de söyler. Eklenen değişken açıklanan değişkeni etkilemiyorsa, ya da ilgilenilen değişkenle ilişkisizse, sapma sıfırdır ve katsayı yerinde kalır. Rastgele bir deneyde müdahale kura ile belirlendiği için öbür özelliklerle ilişkisizdir; bu yüzden kontrol eklemek katsayıyı ortalamada değiştirmez, yalnızca kalıntıları küçülterek kesinliği artırabilir.

Gözlemsel verilerde ise durum farklıdır. Önemli bir karıştırıcı eklendiğinde katsayının büyük ölçüde değişmesi, çıkarılan değişken sorununun gerçek olduğunu gösterir. Değişmemesi ise ancak eklenen kontrol açıklama gücünü belirgin biçimde artırıyorsa güven verir; Oster'in vurguladığı nokta budur.

Kesinlik ve serbestlik derecesi

Çoklu regresyonda bir katsayının standart hatası, üç etkene bağlıdır: hata teriminin varyansı, gözlem sayısı ve ilgilenilen değişkenin öbür açıklayıcı değişkenlerle açıklanamayan değişkenliği. Son etken, arındırma sonucundan doğrudan çıkar. Eğitim ile yetenek birbirine çok yakınsa, eğitimin yetenekten bağımsız değişkenliği azdır ve eğitim katsayısının standart hatası büyür.

Bu yüzden kontrol eklemenin bir bedeli vardır. Karıştırıcı bir değişkeni eklemek sapmayı azaltır, ama ilgilenilen değişkenle çok ilişkiliyse kesinliği düşürür. Bu ödünleşimi, çoklu doğrusal bağlantıyı ele alacağımız derste ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Ayrıca her yeni katsayı bir serbestlik derecesi harcar; gözlem sayısı küçükse bu kayıp önemli hâle gelir.

Kontrolleri önceden belirlemek

Kontrol değişkenlerinin seçimi sonucu bu kadar etkilediğinde, araştırmacı farkında olmadan beklediği sonucu veren bileşimi seçebilir. Veri analizini ele alan derslerde gördüğümüz analitik esneklik sorunu, çoklu regresyonda özellikle büyüktür: on aday kontrol değişkeni, binden fazla farklı model demektir. Bu yüzden iyi bir çalışma, kontrol değişkenlerini veriye bakmadan önce kuramsal gerekçelerle belirler, bunu bir analiz planında yazar ve sonucun farklı kontrol bileşimlerine ne kadar duyarlı olduğunu açıkça raporlar. Okuyucu için de ölçüt basittir: sonuç yalnızca tek bir özel bileşimde mi ortaya çıkıyor, yoksa makul bileşimlerin çoğunda mı?

Farkı katmanlara ayırmak

Blau ve Kahn'ın kullandığı yöntem, 1973'te birbirinden bağımsız olarak Ronald Oaxaca ve Alan Blinder tarafından geliştirilen bir ayrıştırmadır. Yöntem, iki grup arasındaki ortalama ücret farkını, grupların özelliklerindeki farklılıklardan kaynaklanan açıklanan kısım ile bu özelliklerin getirisindeki farklılıklardan kaynaklanan açıklanamayan kısım olarak ikiye ayırır. Her kısım, ayrı ayrı tahmin edilen çoklu regresyonların katsayılarından hesaplanır.

Bu ayrıştırma, bugün ücret farkları, bölgesel eşitsizlikler ve sağlık hizmetlerine erişim gibi pek çok alanda kullanılır. Ama açıklanamayan kısmın yorumu dikkat ister. O kısım ayrımcılığı içerebileceği gibi, ölçülemeyen özellikleri de içerebilir; açıklanan kısım ise kötü kontroller nedeniyle ayrımcılığın bir kısmını gizleyebilir. Ayrıştırma, bir soruyu yanıtlamaktan çok, hangi soruların sorulması gerektiğini netleştirir.

Uygulama

Özet kartı

1. Çoklu regresyon, birden çok açıklayıcı değişkenin katsayısını en küçük kareler yöntemiyle aynı anda tahmin eder; her katsayı, modeldeki öbür değişkenler sabit tutulduğunda o değişkenin kısmi etkisini gösterir.
2. Arındırma sonucu, bir katsayının yalnızca ilgilenilen değişkenin öbür değişkenlerle örtüşmeyen kısmından öğrendiğini gösterir; örnekte yetenek kontrol edildiğinde eğitimin katsayısı 2,0'dan 1,5'e düştü.
3. Çıkarılan değişken yanlılığı, çıkarılan değişkenin etkisi ile ilgilenilen değişkenle ilişkisinin çarpımıdır; iki çarpanın işaretlerinden sapmanın yönü tahmin edilebilir.
4. Belirlilik katsayısı değişken eklendikçe hiç düşmez; düzeltilmiş belirlilik katsayısı değişken sayısını cezalandırır; ama model seçiminin asıl ölçütü kuramsal gerekçedir.
5. Blau ve Kahn'ın ücret farkı çalışması, kontrollerin seçiminin sonucu belirlediğini ve ilgilenilen değişkenin sonucu olan değişkenlerin kötü kontrol olabileceğini gösterdi; Oster, katsayı kararlılığının açıklama gücündeki değişimle birlikte okunması gerektiğini vurguladı.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Basit regresyon eğimini çoklu regresyondaki kısmi etkiden ne ayırır? İki katsayı hangi koşulda birbirine eşit olur?
2. (Çıktı 2) İyi bir kontrol değişkeni ile kötü bir kontrol değişkenini ne ayırır? İkisini de birer örnekle somutlaştır.
3. (Çıktı 3) Çoklu regresyonda eğitimin katsayısı 1,2, çıkarılan bir değişken olan aile gelirinin katsayısı 0,8'dir. Aile gelirini eğitime göre regresyona soktuğumuzda eğim 0,5 çıkıyor. Yalnızca eğitimle kurulan regresyonun eğimi ortalamada hangi değeri alır?
4. (Çıktı 3) Bir araştırmacı, sigara içmenin sağlık harcamalarına etkisini tahmin ediyor ama gelir düzeyini ölçemiyor. Gelirin sağlık harcamalarına etkisinin pozitif, gelir ile sigara içme arasındaki ilişkinin negatif olduğunu varsayarak, basit regresyonun sigara katsayısının hangi yönde sapacağını açıkla.
5. (Çıktı 3) Altmış gözlemlik bir veri setinde üç değişkenli bir modelin belirlilik katsayısı 0,50'dir. İki değişken daha eklendiğinde 0,52'ye çıkıyor. İki modelin düzeltilmiş belirlilik katsayılarını hesapla ve karşılaştır.
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «Ücret farkı çalışmasında meslek ve sektör kontrol edildiğinde fark yüzde 9'a iniyor; demek ki gerçek ayrımcılık en fazla yüzde 9'dur» diyor. Kötü kontrol kavramını, açıklanamayan kısmın yorumunu ve farklı sayıların farklı sorulara cevap vermesini kullanarak bu yorumu tart.

Cevaplar

1. Basit regresyondaki eğim, bir değişkenin açıklanan değişkenle toplam ilişkisini, yani kendisiyle birlikte hareket eden öbür etkenlerin etkisini de içeren ilişkiyi gösterir. Kısmi etki ise modeldeki öbür değişkenler sabit tutulduğunda o değişkenin ilişkisini gösterir. İlgilenilen değişken öbür açıklayıcı değişkenlerle ilişkisizse ya da öbür değişkenlerin açıklanan değişkene etkisi yoksa, iki katsayı aynı çıkar.
2. İyi bir kontrol, hem açıklanan değişkeni hem de ilgilenilen değişkeni etkileyen ama ilgilenilen değişkenden etkilenmeyen bir etkendir; eğitimin kazanca etkisini tahmin ederken anne-babanın eğitimi buna örnektir. Kötü kontrol ise ilgilenilen değişkenin bir sonucudur; eğitimin kazanca etkisini tahmin ederken kişinin mesleğini kontrol etmek, eğitimin daha iyi mesleklere girme yoluyla yarattığı etkiyi yok eder.
3. Basit regresyonun eğimi, çoklu regresyondaki eğitim katsayısına sapmanın eklenmesiyle bulunur. Sapma 0,8 çarpı 0,5, yani 0,4'tür. Basit regresyonun eğimi ortalamada 1,2 artı 0,4, yani 1,6 olur.
4. Sapma, çıkarılan değişkenin etkisi ile ilgilenilen değişkenle ilişkisinin çarpımıdır. Gelirin sağlık harcamalarına etkisi pozitif, gelir ile sigara içme arasındaki ilişki negatiftir; çarpım negatiftir. Basit regresyonun sigara katsayısı aşağı doğru sapar ve sigaranın sağlık harcamalarını artırıcı etkisini olduğundan küçük gösterir.
5. Üç değişkenli modelde düzeltilmiş belirlilik katsayısı, 1 eksi 0,50 çarpı 59 bölü 56, yani yaklaşık 0,473'tür. Beş değişkenli modelde 1 eksi 0,48 çarpı 59 bölü 54, yani yaklaşık 0,476'dır. Düzeltilmiş katsayı çok az artmıştır; eklenen iki değişken serbestlik derecesi kaybını ancak karşılamıştır ve modelin belirgin biçimde iyileştiği söylenemez.
6. Yorum, bir sayıyı başka bir sorunun cevabı gibi okuyor. Meslek ve sektör kısmen ayrımcılıktan ve toplumsal rollerden etkileniyorsa, onları kontrol etmek kötü kontroldür ve farkın bir kısmını açıklanmış gibi göstererek gizler; bu durumda yüzde 9 bir alt sınır olabilir. Öte yandan açıklanamayan kısım ölçülemeyen verimlilik farklarını da içerebilir; bu yönüyle bir üst sınır da değildir. Blau ve Kahn'ın birden fazla sayı raporlaması, her sayının farklı bir soruya cevap verdiğini gösterir: ayarlanmamış oran toplam farkı, insan sermayesine göre ayarlanmış oran aynı niteliklere sahip kişiler arasındaki farkı, tam ayarlanmış oran ise aynı meslek ve sektördeki kişiler arasındaki farkı ölçer.

İleri okuma

• Francine D. Blau ve Lawrence M. Kahn (2017). «The Gender Wage Gap: Extent, Trends, and Explanations». Journal of Economic Literature 55(3). Ücret farkının çoklu regresyon ve ayrıştırmayla incelenmesi.
• Emily Oster (2019). «Unobservable Selection and Coefficient Stability: Theory and Evidence». Journal of Business and Economic Statistics 37(2). Kontrol eklendikçe katsayı değişiminin yorumu.
• Joseph G. Altonji, Todd E. Elder ve Christopher R. Taber (2005). «Selection on Observed and Unobserved Variables: Assessing the Effectiveness of Catholic Schools». Journal of Political Economy 113(1). Gözlenen değişkenlerden gözlenemeyenlere dair çıkarım.
• Ronald Oaxaca (1973). «Male-Female Wage Differentials in Urban Labor Markets». International Economic Review 14(3). Ücret farkı ayrıştırmasının klasik çalışması.

Sonraki derse köprü

Bu derste çoklu regresyonda her katsayının, öbür değişkenler sabitken bir kısmi etki olduğunu ve kontrollerin seçiminin bu etkinin anlamını belirlediğini gördük. Ama bir katsayıyı doğru yorumlamak, yalnızca neyin sabit tutulduğunu bilmekle bitmez. Katsayının birimi nedir, logaritmik bir değişkende katsayı yüzde değişim olarak mı okunur, bir değişkenin karesi modele girdiğinde etki neden değişkenin düzeyine bağlı hâle gelir ve istatistiksel olarak anlamlı bir katsayı ekonomik olarak da önemli midir? Sıradaki ders katsayıların yorumlanmasını ele alıyor: farklı birim ve biçimlerdeki katsayıların anlamını, istatistiksel ve ekonomik anlamlılık arasındaki farkı ve katsayıların yaygın yanlış okunuşlarını inceleyeceğiz.