Solow büyüme modeli

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kişi başına üretim fonksiyonunu, başa baş yatırımı, kararlı durumu, altın kuralı, emeği artıran teknolojik ilerlemeyi ve dinamik etkinsizliği tanımlar.
• Anlama — Tasarruf oranındaki bir artışın kişi başına geliri neden kalıcı olarak yükselttiğini ama büyüme hızını neden yalnızca geçici olarak artırdığını açıklar.
• Uygulama — Bir Solow ekonomisinin kararlı durum sermayesini, üretimini ve tüketimini, altın kural tasarruf oranını ve kararlı duruma yakınsama hızını hesaplar.
• Değerlendirme — Ülkeler arası gelir farklarını sermaye birikimiyle mi yoksa verimlilikle mi açıklamanın daha isabetli olduğuna ilişkin kanıtları değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir ülke, gelirinin yüzde 20'si yerine yüzde 30'unu yatırıma ayırmaya karar verse ne olur? İlk bakışta cevap açık görünür: daha çok fabrika, daha çok makine, daha hızlı büyüme. Ama bu büyüme sonsuza dek sürer mi? Makineler çoğaldıkça her yeni makinenin katkısı azalıyorsa, bir noktada ek yatırım yalnızca eskiyen makineleri yenilemeye yetmez mi?

Temel iktisat kursunda uzun dönemli büyümenin kaynaklarını, sermayenin azalan getirisini ve yakınsama fikrini gördük; büyüme muhasebesiyle büyümeyi parçalarına ayırdık. Bu derste bu fikirleri tek bir modelde birleştireceğiz: iktisadın en çok kullanılan büyüme modeli olan Solow modelinde. Model, tasarrufun, nüfus artışının ve teknolojinin bir ekonominin uzun dönemli seyrini nasıl belirlediğini sade bir matematikle gösterir.

Hikâye — Bıçak sırtından inmek

1950'lerin başında büyüme kuramı, İngiliz iktisatçı Roy Harrod'un ve ABD'li iktisatçı Evsey Domar'ın birbirinden bağımsız olarak geliştirdiği bir modele dayanıyordu. Bu modelde üretim ile sermaye arasında sabit bir oran vardı. Sonuç rahatsız ediciydi: bir ekonominin istikrarlı büyümesi, tasarruf oranının, sermaye-hasıla oranının ve nüfus artışının tesadüfen tam olarak birbirine uymasını gerektiriyordu. Bu uyum biraz bozulduğunda ekonomi ya sürekli işsizliğe ya da sürekli işgücü kıtlığına kayıyordu. İstikrarlı büyüme, bir bıçak sırtında yürümek gibiydi.

MIT'de genç bir iktisatçı olan Robert Solow, bu sonucun modelin kısıtlayıcı bir varsayımından kaynaklandığını düşündü: sermaye ile emeğin sabit oranlarda kullanıldığı varsayımından. 1956'da Quarterly Journal of Economics'te yayımladığı makalesinde, sermaye ile emeğin birbirinin yerine geçebildiği bir üretim fonksiyonu kullandı. Bu küçük değişiklik, bıçak sırtını ortadan kaldırdı. Sermaye emeğe göre fazlalaştığında sermayenin getirisi düşüyor, ekonomi kendiliğinden istikrarlı bir büyüme yoluna dönüyordu.

Ama modelin ikinci ve belki daha çarpıcı bir sonucu vardı. Sermaye birikimi, azalan getiri nedeniyle, kişi başına gelirin sürekli büyümesini tek başına sağlayamazdı. Bir ekonomi daha çok tasarruf ederek daha zengin bir düzeye çıkabilir, ama o düzeyde büyüme durur. Kişi başına gelirin sürekli büyümesi için başka bir şey gerekiyordu: teknolojik ilerleme.

Solow ertesi yıl, 1957'de, bu fikri verilerle sınadı. ABD'nin 1909–1949 dönemine ait verilerini kullanarak, çalışılan saat başına üretimin artışını sermaye birikimine ve geri kalan kısma ayırdı. Sonuç şaşırtıcıydı: çalışılan saat başına brüt üretim bu dönemde yaklaşık iki katına çıkmıştı ve bu artışın yaklaşık sekizde yedisi, yani yüzde 87,5'i, sermaye birikimiyle açıklanamıyordu. Solow bu açıklanamayan kısmı teknik değişime bağladı. Kısa sürede «Solow artığı» adını alan bu kalıntı, iktisatçılara göre bir zafer değil bir itiraftı: büyümenin en büyük kısmı, modelin açıklamadığı bir kaynaktan geliyordu.

Solow, büyüme kuramına katkıları için 1987'de Nobel iktisat ödülünü aldı. Modeli ise altmış yılı aşkın süredir iktisat öğrencilerinin öğrendiği ilk büyüme modeli olarak kaldı. Solow'un açıklayamadığını dürüstçe kabul ettiği o artık, sonraki büyüme kuramlarının en önemli sorusu hâline geldi: teknoloji nereden gelir?

Kavram

Veri ve kanıt

İki çalışma, ülkeler arasındaki gelir farklarının kaynağı hakkında farklı vurgular yapar. Mankiw, Romer ve Weil'e göre, beşerî sermayeyi de içeren bir Solow modeli, farklı yatırım ve nüfus artışı oranlarının farklı kararlı durumlara yol açtığını göstererek farkların büyük kısmını açıklar. Bu görüşe göre ülkeler, benzer teknolojilere erişebilir; onları ayıran, ne kadar biriktirdikleridir.

Hall ve Jones ise aynı soruya farklı bir cevap verir: sermaye ve eğitimdeki farklar açıklamanın yalnızca küçük bir kısmını oluşturur, asıl fark verimliliktedir. Verimliliği belirleyen de, yatırımı teşvik eden ya da engelleyen kurumlar ve politikalardır. İki çalışmanın farklı sonuçlarının bir nedeni yöntemdir: Mankiw ve arkadaşları, verimliliğin ülkeler arasında yatırım oranlarından bağımsız olduğunu varsayarak regresyon tahmin ettiler; Hall ve Jones ise verimliliği doğrudan bir kalıntı olarak hesapladı. Tartışma, bugün de büyüme iktisadının merkezindedir: yoksul ülkeler daha çok mu biriktirmeli, yoksa önce kurumlarını mı değiştirmeli?

Neden önemli?

Solow modeli, büyüme politikaları tartışmalarının ortak dilidir. Yatırımı teşvik eden vergi politikalarının, nüfus politikalarının, eğitim harcamalarının ve Ar-Ge desteklerinin uzun dönemli etkileri bu modelin mantığıyla değerlendirilir. Model, hangi politikaların gelir düzeyini, hangilerinin büyüme hızını etkileyeceği arasında keskin bir ayrım yapar.

Türkiye için bu ayrım özellikle önemlidir. Temel kursta ve iktisat tarihi kursunun son dersinde, Türkiye'nin yurt içi tasarruf oranının düşük olduğunu ve verimlilik artışının yavaş seyrettiğini gördük. Solow modeli, düşük tasarrufun gelir düzeyini sınırladığını, ama uzun dönemli büyümenin asıl kaynağının verimlilik olduğunu hatırlatır. Birikime mi verimliliğe mi öncelik verileceği, bir büyüme stratejisinin belirlemesi gereken ilk tercihtir.

Model

Varsayımlar

Ekonomide tek bir mal üretilir; bu mal tüketilebilir ya da yatırıma, yani yeni sermayeye dönüştürülebilir. Üretim fonksiyonu Y = F(K, L), ölçeğe göre sabit getirilidir ve her girdide azalan marjinal getiri taşır. Nüfus ve işgücü her yıl n oranında büyür. Sermaye her yıl δ oranında yıpranır. Haneler gelirlerinin sabit bir s oranını tasarruf eder ve kapalı bir ekonomide tasarruf yatırıma eşittir. Şimdilik teknolojinin değişmediğini varsayalım.

İşçi başına yazmak

Ölçeğe göre sabit getiri, üretim fonksiyonunu işçi başına yazmamıza izin verir. Her şeyi L'ye bölersek Y / L = F(K / L, 1) buluruz. İşçi başına üretimi y, işçi başına sermayeyi k ile gösterirsek y = f(k) olur. Örneğin sermaye payı α olan Cobb–Douglas fonksiyonunda işçi başına üretim y = k^α biçimini alır. Bu fonksiyon, k arttıkça artar ama giderek yavaşlayarak; sermayenin azalan getirisinin grafikteki karşılığıdır.

Sermaye birikiminin temel denklemi

İşçi başına sermaye iki güçle değişir. Bir yandan yatırım onu artırır: işçi başına yatırım s × f(k)'dir. Öbür yandan yıpranma ve nüfus artışı onu azaltır: her yıl sermayenin δ kadarı eskir ve yeni katılan n oranındaki işçiye de sermaye sağlamak gerekir. Bu ikisinin toplamı başa baş yatırımdır. Sermaye birikiminin temel denklemi şudur: Δk = s × f(k) − (n + δ) × k. Yatırım başa baş yatırımı aşarsa k artar, gerisinde kalırsa k azalır.

Kararlı durum

Kararlı durumda Δk = 0, yani s × f(k) = (n + δ) × k olur. Grafikte bu, yatırım eğrisi s × f(k) ile başa baş doğrusu (n + δ) × k'nin kesiştiği noktadır. Kesişimin solunda yatırım başa baş düzeyini aşar ve k artar; sağında ise yatırım yetersiz kalır ve k azalır. Ekonomi hangi noktadan başlarsa başlasın, kararlı duruma doğru hareket eder. Kararlı durumda işçi başına üretim ve tüketim sabittir; toplam üretim ise nüfusla aynı hızda, n oranında büyür.

Çözümlü örnek — Bir Solow ekonomisi

Üretim fonksiyonu y = k^0,5, tasarruf oranı s = 0,2, nüfus artışı n = 0,01, yıpranma oranı δ = 0,04 olsun. Kararlı durumda 0,2 × k^0,5 = 0,05 × k olmalıdır. İki tarafı k^0,5'e bölersek 0,2 = 0,05 × k^0,5, yani k^0,5 = 4 ve k = 16 bulunur. İşçi başına üretim y = 4, işçi başına tüketim c* = (1 − 0,2) × 4 = 3,2'dir.

Ekonomi k = 4 ile başlasın. İşçi başına üretim 2, yatırım 0,2 × 2 = 0,4, başa baş yatırım 0,05 × 4 = 0,2'dir. Sermaye bir yılda 0,2 artar ve k = 4,2 olur. Her yıl yatırım ile başa baş yatırım arasındaki fark biraz daha küçülür ve k, 16'ya doğru giderek yavaşlayarak yaklaşır.

Tasarruf oranı artınca

Aynı ekonomide tasarruf oranı 0,2'den 0,3'e çıksın. Yeni kararlı durumda k^0,5 = 0,3 / 0,05 = 6, yani k = 36 ve y = 6'dır. İşçi başına üretim yüzde 50 artmıştır. Ama geçiş tamamlandığında büyüme yeniden durur. Tasarruf artışı, gelir düzeyini kalıcı olarak yükseltir; büyüme hızını yalnızca geçiş süresince artırır. Kısa dönemde ise tüketim düşer: tasarruf artışının ilk yılında üretim hâlâ 4 iken tüketim 3,2'den 2,8'e iner. Tüketimin eski düzeyini aşması için sermayenin birikmesi gerekir.

Nüfus artışının etkisi

Nüfus artışı, başa baş doğrusunu dikleştirir: daha fazla yeni işçiye sermaye sağlamak gerekir. Örneğimizde n 0,01'den 0,03'e çıkarsa n + δ = 0,07 olur; kararlı durum koşulundan işçi başına sermayenin karekökü 0,2'nin 0,07'ye bölümü, yaklaşık 2,86 çıkar, yani k ≈ 8,16 ve y ≈ 2,86 bulunur. Daha hızlı nüfus artışı, kararlı durumda işçi başına sermayeyi ve geliri düşürür. Model, yüksek nüfus artışının kişi başına geliri neden baskılayabileceğini bu mekanizmayla açıklar; ama nüfusun büyüklüğü ile teknolojik ilerleme arasındaki olası ilişkileri dışarıda bırakır.

Altın kural

Hangi tasarruf oranı en iyisidir? Kararlı durumdaki işçi başına tüketim c = f(k) − (n + δ) × k'dır. Bu tüketim, sermayenin marjinal ürünü f'(k) başa baş oranına, n + δ'ya eşit olduğunda en yüksektir. Sermaye bu düzeyin altındaysa, daha çok sermaye tüketimi artırır; üstündeyse, ek sermayenin getirisi onu korumanın maliyetini karşılamaz.

Çözümlü örnek — Altın kural tasarruf oranı

Cobb–Douglas fonksiyonu y = k^α için altın kural tasarruf oranı tam olarak α'ya eşittir. Örneğimizde α = 0,5 olduğu için altın kural tasarruf oranı 0,5'tir. Bu oranda k^0,5 = 0,5 / 0,05 = 10, yani k = 100, y = 10 ve c = 5'tir. Tasarruf oranı 0,2 iken tüketim 3,2, 0,3 iken 0,7 × 6 = 4,2'ydi. Tasarruf oranı 0,6'ya çıksaydı, k^0,5 = 12 ve y = 12 olur, tüketim ise üretimin yüzde 40'ına, 4,8'e inerdi; bu, altın kuraldakinden düşüktür. Böyle bir ekonomi dinamik olarak etkinsiz olurdu. Gerçekte sermayenin gelir payı yaklaşık üçte bir olduğu için, altın kural tasarruf oranı da yaklaşık üçte bir civarındadır.

Teknolojik ilerleme

Şimdi emeğin etkinliğinin her yıl g oranında arttığını varsayalım: Y = F(K, A × L). Değişkenleri etkin işçi başına, yani A × L'ye bölerek yazarsak, modelin bütün mantığı aynı kalır; yalnızca başa baş yatırım (n + g + δ) × k olur. Kararlı durumda etkin işçi başına sermaye ve üretim sabittir. Ama etkin işçi başına üretim sabitse, gerçek işçi başına üretim A ile birlikte, yani g oranında büyür. Solow modelinde kişi başına gelirin sürekli büyümesinin tek kaynağı teknolojik ilerlemedir.

Kararlı duruma yakınsama hızı

Ekonomi kararlı duruma ne kadar hızlı yaklaşır? Cobb–Douglas fonksiyonu için, kararlı durumdan uzaklığın her yıl kapanan oranı yaklaşık (1 − α) × (n + g + δ)'dır. α = 0,5 ve n + δ = 0,05 olan örneğimizde bu oran yıllık yüzde 2,5'tir; aradaki farkın yarısının kapanması yaklaşık ln 2 / 0,025 ≈ 28 yıl sürer. Model, yakınsamanın hızlı değil, onlarca yıla yayılan bir süreç olduğunu öngörür. Gerçekçi değerlerle, örneğin α = 1/3 ve n + g + δ = 0,06 ile, yıllık kapanma oranı yaklaşık yüzde 4, yarı ömür ise yaklaşık 17 yıldır. Ülkeler arası verilerde ölçülen yakınsama hızları ise genellikle bundan da düşüktür; bu fark, beşerî sermayenin de birikmesi gereken genişletilmiş modelle daha iyi açıklanır.

Koşullu yakınsama

Temel kursta yakınsama kavramını tanıdık. Solow modeli, yakınsamanın koşullu olduğunu söyler: her ülke kendi kararlı durumuna yakınsar ve kararlı durum tasarruf oranına, nüfus artışına ve teknolojiye bağlıdır. Bu yüzden yoksul bir ülke, ancak zengin ülkelerle benzer bir kararlı duruma sahipse onlardan daha hızlı büyür. Tasarruf oranları ve kurumlar farklıysa, yoksul ülkenin kararlı durumu da daha düşük olur ve fark kapanmayabilir.

Çözümlü örnek — Sermaye farkı ne kadar açıklar?

Sermayenin gelir payı α = 1/3 ise, kararlı durumda işçi başına gelir, yatırım oranına α / (1 − α) = 0,5 üssüyle, yani onun kareköküyle bağlıdır. Hall ve Jones'un verisinde en zengin beş ülkenin yatırım oranı en yoksul beşinkinin yaklaşık 2,9 katıydı. Bu fark, işçi başına gelirde yalnızca 2,9^0,5 ≈ 1,7 katlık bir farka yol açar; Hall ve Jones'un sermaye yoğunluğu için bulduğu 1,8'lik katkıya çok yakındır. Oysa gerçek gelir farkı 31,7 kattır. Azalan getiri nedeniyle, makul yatırım oranı farkları, temel Solow modelinde gözlenen gelir farklarının ancak küçük bir kısmını açıklayabilir. Beşerî sermaye ve verimlilik farkları hesaba katılmadıkça açıklama eksik kalır.

Çözümlü örnek — Geçiş yolunda büyüme hızı

Kararlı duruma giden yolda büyüme hızı nasıl değişir? İlk örneğimizde (s = 0,2, n + δ = 0,05) sermayenin büyüme oranı, Δk / k = s × k^(−0,5) − 0,05 biçiminde yazılabilir. k = 4 iken bu oran 0,2 / 2 − 0,05 = yüzde 5'tir. k = 9 iken 0,2 / 3 − 0,05 ≈ yüzde 1,7'ye iner. k = 16'da ise sıfıra ulaşır. Sermaye ne kadar azsa, her ek birimin getirisi o kadar yüksek ve büyüme o kadar hızlıdır. Bu, Solow modelinin yakınsama öngörüsünün kaynağıdır: kararlı durumundan uzakta olan bir ekonomi, ona yakın olandan daha hızlı büyür. İşçi başına üretimin büyüme oranı, Cobb–Douglas'ta sermayenin büyüme oranının α katıdır; k = 4 iken yaklaşık yüzde 2,5'tir.

Genişletilmiş model: beşerî sermaye

Mankiw, Romer ve Weil, modele fiziki sermayenin yanında beşerî sermayeyi, h, de ekledi: y = k^α × h^β. Haneler gelirlerinin s_k kadarını fiziki sermayeye, s_h kadarını eğitime yatırır ve iki sermaye de aynı oranda yıpranır. Kararlı durumda işçi başına gelir, her iki yatırım oranıyla da artar. α ve β'nın her biri üçte bir ise, kararlı durumda işçi başına gelir fiziki yatırım oranıyla doğru orantılı olarak artar: bu oranı iki katına çıkarmak, geliri iki katına çıkarır. Temel modelde aynı artış geliri yalnızca yaklaşık 1,4 katına çıkarıyordu. Beşerî sermayenin eklenmesi, sermayenin toplam payını büyüttüğü için azalan getiriyi yavaşlatır ve yatırım farklarının gelir farkları üzerindeki etkisini büyütür. Bu yüzden genişletilmiş model, ülkeler arası farkların çok daha büyük bir kısmını açıklar.

Altın kurala geçişin bedeli

Altın kuralın altında tasarruf eden bir ekonomi, tasarrufunu artırarak uzun dönemde daha yüksek bir tüketime ulaşabilir. Ama bu geçişin bir bedeli vardır: tasarruf artışının ilk yıllarında tüketim düşer ve ancak sermaye biriktikçe eski düzeyini aşar. Bugünkü kuşaklar fedakârlık eder, gelecek kuşaklar kazanır. Tersine, altın kuralın üzerinde, yani dinamik olarak etkinsiz bir ekonomide tasarrufu azaltmak hemen tüketimi artırır ve geçişin her aşamasında tüketim yüksek kalır; burada kimsenin fedakârlığına gerek yoktur. Bu asimetri, bir ekonominin altın kuralın hangi yanında durduğunu bilmeyi önemli kılar. Andrew Abel, Gregory Mankiw, Lawrence Summers ve Richard Zeckhauser, 1989'da yayımladıkları bir çalışmada bu soruyu ABD ve öbür büyük sanayileşmiş ekonomiler için sınadı. Yöntemleri basitti: sermayenin her yıl ürettiği kâr ve faiz gibi gelirler, aynı yıl yapılan yatırımı sürekli olarak aşıyorsa, ekonomi sermayesinden net bir kaynak çekiyordur ve dinamik olarak etkindir. İncelenen ekonomilerde durum böyleydi; yazarlar bu ekonomilerin dinamik olarak etkin, yani altın kuralın altında olduğu sonucuna vardı.

Modelin sınırları

Solow modeli, teknolojik ilerlemeyi modelin dışından verilen bir büyüklük olarak ele alır; teknolojinin nereden geldiğini açıklamaz. Tasarruf oranını da sabit kabul eder; zamanlararası seçim dersinde gördüğümüz tüketim-tasarruf kararını modelin içine almaz. Tek bir malın ve tek bir sermaye türünün bulunduğunu, piyasaların kaynakları tam olarak kullandığını varsayar. Bu sınırlar, sonraki büyüme modellerinin, teknolojiyi araştırma ve fikirlerle açıklayan içsel büyüme kuramlarının ve tasarrufu optimizasyonla belirleyen modellerin çıkış noktası oldu.

Uygulama

Özet kartı

1. Solow modelinde işçi başına sermaye, yatırım s × f(k) başa baş yatırımı (n + δ) × k aştığında artar; ikisi eşitlendiğinde ekonomi kararlı duruma ulaşır ve oraya her başlangıç noktasından yaklaşır.
2. Tasarruf oranındaki artış kararlı durumdaki gelir düzeyini kalıcı olarak yükseltir, ama büyüme hızını yalnızca geçiş süresince artırır; daha hızlı nüfus artışı ise işçi başına geliri düşürür.
3. Altın kural, kararlı durumdaki tüketimi en yüksek yapan sermaye düzeyidir; sermayenin marjinal ürünü n + δ'ya eşitlendiğinde sağlanır ve Cobb–Douglas'ta altın kural tasarruf oranı sermayenin gelir payına eşittir.
4. Kişi başına gelirin sürekli büyümesinin tek kaynağı teknolojik ilerlemedir; yakınsama koşulludur ve yavaştır, örnekte farkın yarısının kapanması yaklaşık 28 yıl sürer.
5. Solow 1957'de ABD'de saat başına üretim artışının yaklaşık sekizde yedisini sermayeyle açıklayamadı; Mankiw, Romer ve Weil beşerî sermayeyle genişletilmiş modelin ülkeler arası farkların yaklaşık yüzde 80'ini açıkladığını, Hall ve Jones ise farkların büyük kısmının verimlilikten kaynaklandığını buldu.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Başa baş yatırım nedir ve neden hem yıpranma oranına hem de nüfus artışına bağlıdır?
2. (Çıktı 2) Tasarruf oranındaki bir artış neden gelir düzeyini kalıcı olarak yükseltir de büyüme hızını kalıcı olarak yükseltmez?
3. (Çıktı 3) y = k^0,5, s = 0,24, n = 0,02, δ = 0,04 olan bir ekonominin kararlı durum sermayesini, üretimini ve tüketimini bul.
4. (Çıktı 3) Aynı ekonominin altın kural tasarruf oranını ve bu oranda kararlı durum tüketimini hesapla. Ekonomi altın kuralın altında mı üstünde mi?
5. (Çıktı 3) α = 0,4 ve n + g + δ = 0,08 olan bir ekonomide kararlı durumdan uzaklığın yıllık kapanma oranını ve farkın yarısının kapanma süresini yaklaşık olarak hesapla.
6. (Çıktı 4) Bir arkadaşın «Yoksul ülkeler zengin ülkeler kadar yatırım yapsa, aradaki gelir farkı kapanır» diyor. Bu yorumu Mankiw, Romer ve Weil ile Hall ve Jones'un bulguları üzerinden değerlendir.

Cevaplar

1. Başa baş yatırım, işçi başına sermayeyi sabit tutmak için gereken yatırımdır. Her yıl sermayenin bir kısmı eskir ve yenilenmelidir; bu, yıpranma oranına bağlıdır. Ayrıca her yıl yeni işçiler çalışma hayatına katılır ve onlara da mevcut işçilerle aynı miktarda sermaye sağlamak gerekir; bu, nüfus artışına bağlıdır. Başa baş yatırım bu yüzden (n + δ) × k'dir.
2. Tasarruf artışı yatırımı artırır ve işçi başına sermaye, yatırım başa baş yatırıma yeniden eşitlenene kadar birikir. Ama sermaye arttıkça azalan getiri nedeniyle her ek sermayenin üretime katkısı küçülür; bir noktada ek yatırım yalnızca başa baş yatırımı karşılamaya yeter. Ekonomi daha yüksek bir kararlı duruma ulaşır ve orada işçi başına büyüme durur. Gelir düzeyi kalıcı olarak yükselmiştir, büyüme hızı ise yalnızca geçiş süresince artmıştır.
3. Kararlı durumda 0,24 × k^0,5 = 0,06 × k, yani k^0,5 = 4 ve k = 16. Üretim y = 4, tüketim c* = 0,76 × 4 = 3,04.
4. Cobb–Douglas'ta altın kural tasarruf oranı α = 0,5'tir. Bu oranda k^0,5 = 0,5 / 0,06 ≈ 8,33, k ≈ 69,4, y ≈ 8,33 ve c ≈ 0,5 × 8,33 ≈ 4,17. Ekonominin tasarruf oranı 0,24 olduğu için altın kuralın altındadır; tasarrufu artırmak, uzun dönemde kararlı durum tüketimini yükseltir, ama geçiş sırasında tüketim düşer.
5. Yıllık kapanma oranı yaklaşık (1 − 0,4) × 0,08 = 0,048, yani yüzde 4,8'dir. Farkın yarısının kapanması yaklaşık ln 2 / 0,048 ≈ 0,693 / 0,048 ≈ 14,4 yıl sürer.
6. Yorum aşırıdır. Mankiw, Romer ve Weil'in bulgusu, fiziki ve beşerî sermayeye yapılan yatırımın gelir farklarının önemli bir kısmını açıkladığını gösterir; bu, yatırımın önemli olduğunu destekler. Ama Hall ve Jones'un hesabına göre en zengin ve en yoksul ülkeler arasındaki 31,7 katlık farkın yalnızca 1,8 katı sermaye yoğunluğundan, 2,2 katı beşerî sermayeden, 8,3 katı ise verimlilikten gelir. Yoksul ülkeler zengin ülkeler kadar yatırım yapsa bile, verimliliği belirleyen kurumlar ve politikalar değişmedikçe farkın büyük kısmı kapanmaz. Yatırım gereklidir; yeterli olup olmadığı ise kurumlara bağlıdır.

İleri okuma

• Robert M. Solow (1956). «A Contribution to the Theory of Economic Growth». Quarterly Journal of Economics 70(1). Modelin ortaya konduğu makale.
• Robert M. Solow, 1957 tarihli «Technical Change and the Aggregate Production Function» makalesi; ABD'nin iktisat ve istatistik dergisi REStat'ın 39. cildinde. Solow artığının ilk hesaplanışı.
• N. Gregory Mankiw, David Romer ve David N. Weil (1992). «A Contribution to the Empirics of Economic Growth». Quarterly Journal of Economics 107(2). Genişletilmiş Solow modelinin ülkeler arası sınanması.
• Robert E. Hall ve Charles I. Jones (1999). «Why Do Some Countries Produce So Much More Output per Worker than Others?». Quarterly Journal of Economics 114(1). Gelir farklarında verimliliğin ve kurumların rolü.

Sonraki derse köprü

Solow modeli, kişi başına gelirin sürekli büyümesini teknolojik ilerlemeye bağladı, ama teknolojinin nereden geldiğini açıklamadı; onu modelin dışından verilen bir büyüklük olarak kabul etti. Sıradaki ders, içsel büyüme modellerini ele alıyor: fikirler, araştırma ve beşerî sermaye büyümeyi modelin içinden nasıl açıklar, fikirlerin öbür mallardan farkı nedir ve politikalar uzun dönemli büyüme hızını kalıcı olarak değiştirebilir mi?