Belirsizlik altında seçim

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Piyangoyu, beklenen fayda kuramını, bağımsızlık aksiyomunu, kesinlik eşdeğerini, riskten kaçınmayı ve Arrow–Pratt katsayısını tanımlar.
• Anlama — Fayda fonksiyonunun içbükeyliğinin neden riskten kaçınma anlamına geldiğini ve insanların neden sigorta satın aldığını açıklar.
• Uygulama — Beklenen faydayı, kesinlik eşdeğerini ve bir sigorta için ödenmeye razı olunan en yüksek primi hesaplar.
• Değerlendirme — Allais paradoksu ve laboratuvar deneylerinden gelen kanıtlarla beklenen fayda kuramının güçlü ve zayıf yanlarını tartar.

Sezgi

Açılış

Size iki seçenek sunulsun. Birincisinde kesin olarak 1.000 lira alırsınız. İkincisinde yazı tura atılır: yazı gelirse 2.200 lira, tura gelirse hiçbir şey. İkinci seçeneğin beklenen değeri 1.100 liradır, yani birincisinden fazladır. Yine de pek çok insan kesin 1.000 lirayı seçer. Aynı insanlar evlerini sigortalatır, bir kısmı da her hafta piyango bileti alır.

Buraya kadarki modellerde her seçimin neye yol açacağı baştan belliydi. Gerçek hayatta ise sigorta, meslek seçimi, bir ev almak ya da bir işe girmek gibi en önemli kararlar belirsizlik altında verilir. Bu derste belirsiz sonuçları olan seçeneklerin nasıl karşılaştırılacağını, iktisadın bu soruya verdiği standart cevabı ve bu cevabın deneylerde nasıl sınandığını ele alacağız.

Hikâye — Paris'te bir sohbet

1952 baharında Paris'te, Fransız bilim kurumu CNRS'nin düzenlediği bir kolokyum, belirsizlik altında karar almanın temellerini tartışmak için dünyanın önde gelen iktisatçılarını ve istatistikçilerini bir araya getirdi. Toplantıda iki okul karşı karşıyaydı. Bir yanda Paul Samuelson ve Leonard Savage gibi Amerikalılar, insanların rasyonel olduklarında beklenen faydayı en yükseğe çıkardığını savunuyordu. Öbür yanda Maurice Allais'nin önderliğindeki Fransızlar, bu kuramın gerçek insanların davranışını yansıtmadığını düşünüyordu.

Allais kolokyumda soyut ve matematiksel bir dille konuştu, ama karşı tarafı ikna edemedi. Savage ve Samuelson görüşlerinden vazgeçmedi. Bunun üzerine Allais, karar kuramcıları arasında ünlü olan bir sohbette, toplantının kenarında, Savage'a birkaç seçim sorusu sordu. Sorulardan biri şöyleydi: kesin olarak 100 milyon frank mı almak istersiniz, yoksa yüzde 10 olasılıkla 500 milyon, yüzde 89 olasılıkla 100 milyon ve yüzde 1 olasılıkla hiçbir şey veren bir piyangoyu mu? İkinci soru ise iki riskli seçenek arasındaydı.

Savage, çoğu insanın yaptığı gibi, birinci soruda kesin parayı, ikinci soruda daha büyük ödüllü piyangoyu seçti. Allais ona bu iki seçimin birlikte, Savage'ın kendisinin savunduğu kuramla çeliştiğini gösterdi. Beklenen fayda kuramına bağlı hiçbir fayda fonksiyonu bu iki seçimi aynı anda açıklayamazdı.

Allais bu örneği 1953'te Econometrica'da yayımladı ve örnek, «Allais paradoksu» adıyla tanındı. Savage ise iki yıl sonra yayımlanan The Foundations of Statistics kitabında olayı kendisi anlattı ve üzerinde düşündükten sonra ilk seçiminin bir hata olduğuna karar verdiğini yazdı. Ona göre beklenen fayda kuramı, insanların nasıl davrandığını değil, nasıl davranmaları gerektiğini anlatıyordu; bir çelişki fark edildiğinde, kuram değil seçim düzeltilmeliydi.

Bu iki tepki, bugün de süren bir tartışmanın iki kutbudur. Allais'ye göre kesinliği tercih eden insanlar yanılmıyordu; kuram, onların bu tercihini yakalayamıyordu. Savage'a göre ise kuram, tutarlı karar vermenin bir ölçütüydü ve insanlar bu ölçütten saptığında düzeltilmesi gereken davranıştı. Allais'nin çalışmaları 1988'de Nobel ile ödüllendirildi; paradoksu ise onlarca yıl sonra davranışsal iktisadın sık başvurduğu bir örneğe dönüştü.

Kavram

Veri ve kanıt

Kanıtlar iki yönde okunabilir. Beklenen fayda kuramının savunucuları, Holt ve Laury'nin bulgusunun kuramın merkezî öngörüsünü, yani insanların büyük çoğunluğunun riskten kaçındığını ve bunun içbükey bir fayda fonksiyonuyla temsil edilebileceğini desteklediğini vurgular. Allais tipi ihlaller de katılımcıların çoğunluğunda değil, genellikle üçte biri civarında görülür. Bu bakışa göre kuram, basitliği ve öngörü gücüyle hâlâ iyi bir başlangıç noktasıdır.

Eleştirmenler ise ihlallerin rastlantısal olmadığını, belirli durumlarda, özellikle kesinliğin söz konusu olduğu seçimlerde sistematik biçimde ortaya çıktığını vurgular. Holt ve Laury'nin bulgusunda da riskten kaçınmanın ödüllerle birlikte artması, uygulamada sık kullanılan sabit göreli riskten kaçınma varsayımıyla uyuşmaz. Kahneman ve Tversky'nin beklenti kuramı gibi alternatifler bu örüntüleri açıklamak için geliştirildi. Tartışma, beklenen fayda kuramının bir betimleme mi, yoksa bir rasyonellik ölçütü mü olduğu sorusuna bağlıdır; Allais ile Savage'ın 1952'deki anlaşmazlığı da buydu.

Neden önemli?

Belirsizlik altında seçim modeli, sigorta piyasalarının varlığını, portföy çeşitlendirmesini, ücret sözleşmelerinin yapısını ve pek çok kamu politikasını açıklar. Deprem sigortası, işsizlik sigortası, emeklilik sistemleri ve tarımsal destek programları, insanların riskten kaçınmasına dayanan kurumlardır. Bir politikanın refah etkisini ölçmek için, yalnızca ortalama sonuçlarına değil, riski nasıl dağıttığına da bakmak gerekir.

Türkiye gibi enflasyonun ve kurun oynak olduğu bir ekonomide, hanelerin ve şirketlerin kararları belirsizliğin gölgesinde verilir. Bu derste kurulan araçlar, bu kararların mantığını ve belirsizliğin kendisinin neden bir maliyet olduğunu anlamaya yardım eder.

Model

Piyangolar ve olasılıklar

Belirsiz bir seçeneği modellemenin ilk adımı, onu bir piyango olarak yazmaktır: olası sonuçlar x₁, x₂, …, xₙ ve bu sonuçların olasılıkları p₁, p₂, …, pₙ. Olasılıklar negatif değildir ve toplamları 1'dir. Açılıştaki yazı tura oyunu, 2.200 lira ve 0 lira sonuçlarının her birine 0,5 olasılık veren bir piyangodur; kesin 1.000 lira ise tek sonucu 1 olasılıkla gerçekleşen, dejenere bir piyangodur. Tüketicinin tercih ilişkisi artık mal demetleri üzerinde değil, piyangolar üzerinde tanımlıdır.

St. Petersburg sorusu

Belirsizlik altında seçimin modern kuramı, 18. yüzyılda sorulan bir bilmeceyle başladı. Bir para, ilk kez tura gelene kadar atılır. Tura ilk atışta gelirse 2 lira, ikinci atışta gelirse 4 lira, üçüncüde gelirse 8 lira kazanırsınız; ödül her seferinde iki katına çıkar. Bu oyuna girmek için en fazla ne ödersiniz? Oyunun beklenen değeri (1/2) × 2 + (1/4) × 4 + (1/8) × 8 + … = 1 + 1 + 1 + … biçiminde sonsuza gider. Ama pek az insan bu oyuna birkaç liradan fazlasını vermeye razı olur. Beklenen değer, insanların riskli seçimlerini açıklamaya yetmiyordu.

Bernoulli'nin cevabı

Daniel Bernoulli 1738'de bir çözüm önerdi: insanlar paranın kendisini değil, paradan elde ettikleri faydayı değerlendirir ve her ek liranın faydası bir öncekinden azdır. Fayda fonksiyonu olarak u(x) = ln x alınırsa, St. Petersburg oyununun beklenen faydası sonlu olur.

Çözümlü örnek — Oyunun değeri

Beklenen fayda: Σ (1/2)ᵏ × ln(2ᵏ) = ln 2 × Σ k / 2ᵏ. Sonsuz toplam Σ k / 2ᵏ = 1/2 + 2/4 + 3/8 + … tam olarak 2'ye eşittir. Dolayısıyla beklenen fayda 2 ln 2 = ln 4'tür. Kesinlik eşdeğeri, faydası buna eşit olan kesin tutardır: ln x = ln 4, yani x = 4 lira. Beklenen değeri sonsuz olan oyun, logaritmik faydaya sahip bir kişi için yalnızca 4 lira eder. Hesap, oyuncunun başka serveti olmadığını varsayar; serveti yüksek biri için oyunun değeri biraz daha yüksek çıkar, ama yine de sonludur.

Beklenen fayda kuramının aksiyomları

John von Neumann ve Oskar Morgenstern 1944'te, piyangolar üzerindeki tercihler dört koşulu sağlarsa, bu tercihlerin bir beklenen fayda fonksiyonuyla temsil edilebileceğini gösterdi. İlk ikisi, tercihler dersinde gördüğümüz tamlık ve geçişkenliktir. Üçüncüsü süreklilik koşuludur: bir piyango iki piyangonun arasında sıralanıyorsa, o iki piyangonun uygun bir karışımına kayıtsız kalınabilir. Dördüncüsü bağımsızlık aksiyomudur: L piyangosu M'ye tercih ediliyorsa, her iki piyango aynı olasılıkla aynı N piyangosuyla karıştırıldığında da tercih yönü değişmemelidir.

Beklenen fayda sıralıdır ama kardinal biçimlidir

Tercihler dersinde, sıralı faydanın herhangi bir artan dönüşüme karşı dayanıklı olduğunu gördük. Beklenen fayda fonksiyonu bu açıdan daha kısıtlıdır: yalnızca pozitif doğrusal dönüşümler, yani v = a + b × u ve b > 0 biçimindeki dönüşümler aynı tercihleri temsil eder. √x yerine x alınırsa piyangoların sıralaması değişebilir. Bu yüzden beklenen fayda fonksiyonunun eğriliği bir anlam taşır: eğrilik, kişinin riske karşı tutumunu kodlar.

İçbükeylik ve riskten kaçınma

Fayda fonksiyonu içbükeyse, bir piyangonun beklenen faydası, beklenen değerinin faydasından küçüktür: E[u(x)] < u(E[x]). Bu, Jensen eşitsizliği olarak bilinen matematiksel bir sonuçtur. Anlamı şudur: içbükey faydaya sahip bir kişi, piyangonun beklenen değerini kesin olarak almayı piyangonun kendisine tercih eder; yani riskten kaçınır. Doğrusal faydaya sahip bir kişi riske kayıtsızdır, dışbükey faydaya sahip bir kişi ise risk sever.

Çözümlü örnek — Kesinlik eşdeğeri

Fayda fonksiyonu u(x) = √x olan bir kişi, yarı yarıya olasılıkla 0 ya da 100 lira veren bir piyangoyla karşılaşsın. Beklenen değer 50 liradır. Beklenen fayda 0,5 × √0 + 0,5 × √100 = 5'tir. Kesinlik eşdeğeri, √CE = 5 eşitliğinden CE = 25 liradır. Bu kişi, piyango yerine kesin 25 lirayı kabul eder; beklenen değer ile kesinlik eşdeğeri arasındaki 25 liralık fark, onun riski taşımamak için vazgeçtiği tutardır. Temel finans kursunda getiri farkı olarak gördüğümüz risk primi, beklenen fayda kuramında tam olarak bu farka karşılık gelir.

Sigorta talebi

Riskten kaçınma, sigortanın neden var olduğunu açıklar. Serveti W olan bir kişi p olasılıkla L tutarında bir kayıpla karşılaşsın. Tam sigorta, prim π karşılığında kaybı tamamen karşılar ve kişiyi kesin olarak W − π servetle bırakır. Kişinin ödemeye razı olduğu en yüksek prim, sigortasız durumun beklenen faydasını sigortalı durumun faydasına eşitleyen primdir: u(W − π) = (1 − p) × u(W) + p × u(W − L).

Çözümlü örnek — Konut sigortası

Bir hanenin serveti 250.000 lira olsun ve yüzde 10 olasılıkla 150.000 liralık bir hasarla karşılaşsın. Fayda fonksiyonu u(x) = ln x olsun. Beklenen kayıp 0,1 × 150.000 = 15.000 liradır; bu, sigortacının zarar etmeden isteyebileceği en düşük, yani adil primdir.

Sigortasız beklenen fayda: 0,9 × ln 250.000 + 0,1 × ln 100.000 ≈ 0,9 × 12,429 + 0,1 × 11,513 ≈ 12,338. Kesinlik eşdeğeri e^12,338 ≈ 228.111 liradır. Hane, sigortasız belirsizlik yerine kesin 228.111 lirayı kabul eder; dolayısıyla ödemeye razı olduğu en yüksek prim 250.000 − 228.111 ≈ 21.889 liradır. Adil prim ile bu tutar arasındaki yaklaşık 6.900 liralık aralık, sigortacının giderlerini karşılayıp kâr ederken hanenin de kazançlı çıkabileceği alandır. Sigorta, her iki taraf için de yararlı bir değiş tokuştur.

Arrow–Pratt katsayıları

İki kişiden hangisinin daha çok riskten kaçındığını karşılaştırmak için fayda fonksiyonunun eğriliğini ölçmek gerekir. Yalnızca ikinci türev yeterli değildir, çünkü fayda fonksiyonu pozitif bir sayıyla çarpıldığında ikinci türev de değişir. Arrow ve Pratt, ikinci türevi birinci türeve bölerek bu sorunu çözdü: A(x) = −u″(x) / u′(x). Logaritmik faydada u′ = 1/x ve u″ = −1/x², dolayısıyla A = 1/x ve R = x × A = 1'dir. Karekök faydada A = 1/(2x) ve R = 1/2'dir. Her iki fonksiyonda mutlak riskten kaçınma servet arttıkça azalır: zengin bir kişi, aynı liralık bir kumarı daha az dert eder.

Çözümlü örnek — Küçük riskler için yaklaşım

Pratt, küçük riskler için risk priminin yaklaşık olarak ½ × A(x) × σ² olduğunu gösterdi; burada σ², piyangonun varyansıdır. Serveti 10.000 lira olan logaritmik faydalı bir kişinin, yarı yarıya olasılıkla 1.000 lira kazanma ya da kaybetme riskiyle karşılaştığını düşünelim. Varyans 1.000² = 1.000.000'dur ve A = 1 / 10.000'dir. Yaklaşık prim ½ × 0,0001 × 1.000.000 = 50 liradır. Tam hesap: kesinlik eşdeğeri √(9.000 × 11.000) ≈ 9.949,87 ve prim ≈ 50,13 lira. Yaklaşım neredeyse kusursuzdur. Önceki örnekteki gibi büyük risklerde ise yaklaşım hatalı sonuç verir.

Göreli riskten kaçınma ve deneyler

Göreli katsayı R, riskin servetin bir oranı olarak ifade edildiği durumlarda kullanılır. Uygulamada sık kullanılan u(x) = x^(1−r) / (1 − r) fonksiyonunun göreli katsayısı her servette r'ye eşittir. Holt ve Laury, deneylerindeki seçimlerin büyük kısmının r'nin 0,3 ile 0,5 arasında olduğu bir riskten kaçınma düzeyine karşılık geldiğini buldu. Ama ödüller büyüdükçe katılımcıların riskten kaçınması arttı; bu, r'nin sabit olmadığını, ödüllerle yükseldiğini gösterir.

Allais paradoksunu cebirle görmek

Allais'nin iki sorusunu yazalım. Birinci soruda seçenekler, kesin 100 milyon (A) ile yüzde 10 olasılıkla 500 milyon, yüzde 89 olasılıkla 100 milyon ve yüzde 1 olasılıkla hiçbir şey (B) arasındadır. İkinci soruda seçenekler, yüzde 11 olasılıkla 100 milyon (C) ile yüzde 10 olasılıkla 500 milyon (D) arasındadır; kalan olasılıklarda hiçbir şey kazanılmaz.

A'nın B'ye tercihi, 0,11 × u(100) > 0,10 × u(500) + 0,01 × u(0) eşitsizliğini gerektirir. D'nin C'ye tercihi ise 0,10 × u(500) + 0,01 × u(0) > 0,11 × u(100) eşitsizliğini gerektirir. İki eşitsizlik birbirinin tam tersidir; hiçbir u fonksiyonu ikisini aynı anda sağlayamaz. İki soru arasındaki tek fark, her iki seçenekte de yüzde 89'luk ortak bir sonucun 100 milyondan 0'a çevrilmesidir. Bağımsızlık aksiyomu, bu ortak değişikliğin tercihi etkilememesini ister; insanların çoğu ise kesinlik ortadan kalkınca davranışını değiştirir.

Riski paylaşmak

Pratt yaklaşımı, riski paylaşmanın neden değerli olduğunu da gösterir. Önceki örnekteki 10.000 lira servetli kişiyi düşünelim: yarı yarıya 1.000 lira kazanma ya da kaybetme riskini tek başına taşıdığında risk primi yaklaşık 50 liradır. Şimdi aynı durumda, birbirinden bağımsız bir riske sahip bir arkadaşıyla iki riski eşit paylaştığını varsayalım: her biri kendi riskinin yarısını ve arkadaşının riskinin yarısını taşır. Her yarının varyansı 500² = 250.000'dir ve iki bağımsız yarının toplam varyansı 500.000 olur. Yaklaşık prim ½ × 0,0001 × 500.000 = 25 liraya iner. Beklenen servet değişmediği hâlde, paylaşım her iki kişinin risk maliyetini yarıya indirmiştir. Temel finans kursunda gördüğümüz risk havuzunun mantığı budur: çok sayıda bağımsız risk bir araya geldikçe kişi başına düşen varyans küçülür ve bir sigortacı binlerce poliçenin toplam hasarını, tek bir poliçenin hasarından çok daha isabetli tahmin edebilir. Havuz büyüdükçe bu tahmin daha da güvenilir hâle gelir.

Olasılıklar bilinmediğinde

Şimdiye kadar olasılıkların nesnel ve bilinen sayılar olduğunu varsaydık: bir paranın yazı gelme olasılığı gibi. Oysa pek çok kararda olasılıklar kimse tarafından bilinmez: yeni bir ürünün tutma olasılığı ya da gelecek yıl bir kuraklık yaşanma olasılığı gibi. Savage 1954'teki kitabında, tercihler belirli aksiyomları sağlarsa, kişinin kendi öznel olasılıklarıyla hesaplanmış bir beklenen faydayı en yükseğe çıkarıyormuş gibi davrandığını gösterdi. Bu, öznel beklenen fayda kuramıdır. Ama olasılıkların bilinmediği durumlarda insanların, olasılığı bilinen riskleri bilinmeyenlere tercih ettiğine dair kanıtlar da vardır; bu eğilim, kuramın başka bir tartışmalı noktasıdır.

Sigorta ve piyango bilmecesi

Aynı insanların hem sigorta hem piyango bileti alması, basit içbükey fayda fonksiyonuyla açıklanamaz: sigorta riskten kaçınmayı, piyango ise risk sevmeyi gösterir. Milton Friedman ve Leonard Savage 1948'de, fayda fonksiyonunun bazı servet aralıklarında içbükey, bazılarında dışbükey olabileceğini önerdi. Sonraki açıklamalar ise küçük olasılıkların abartılmasına, oyunun eğlence değerine ya da sonuçların bir referans noktasına göre değerlendirilmesine odaklandı.

Modelin sınırları

Matthew Rabin 2000'de, beklenen fayda kuramının küçük kumarlardaki riskten kaçınmayı açıklamakta zorlandığını gösterdi. Yarı yarıya olasılıkla 100 dolar kaybetme ya da 110 dolar kazanma kumarını her servet düzeyinde reddeden bir kişinin, beklenen fayda kuramına göre yarı yarıya olasılıkla 1.000 dolar kaybetme ya da dilediğiniz kadar yüksek bir tutar kazanma kumarını da reddetmesi gerekir; bu, akla yatkın değildir. Rabin'e göre küçük kumarlardaki riskten kaçınma, servetin toplam faydasından değil, kayıpların kazançlardan daha ağır hissedilmesinden kaynaklanır. Beklenen fayda kuramı büyük riskleri modellemek için güçlü bir araç olmaya devam eder, ama gündelik küçük kararları açıklamak için tek başına yeterli değildir.

Uygulama

Özet kartı

1. Belirsiz sonuçlu seçenekler piyangolar olarak modellenir; beklenen değer riskli seçimleri açıklamaya yetmez ve St. Petersburg oyunu, logaritmik faydayla sonsuz yerine 4 liralık bir kesinlik eşdeğeri kazanır.
2. Tamlık, geçişkenlik, süreklilik ve bağımsızlık aksiyomlarını sağlayan tercihler, beklenen fayda fonksiyonuyla temsil edilir; bu fonksiyon yalnızca pozitif doğrusal dönüşümlere karşı dayanıklıdır ve eğriliği risk tutumunu kodlar.
3. İçbükey fayda riskten kaçınma demektir; beklenen değer ile kesinlik eşdeğeri arasındaki fark riski taşımamanın bedelidir ve riskten kaçınan bir hane, adil primden yüksek bir primle bile sigorta yaptırmayı kazançlı bulabilir.
4. Arrow–Pratt katsayıları, A = −u″ / u′ ve R = x × A, riskten kaçınmayı ölçer; küçük risklerde risk primi yaklaşık ½ × A × σ²'dir ve deneylerde göreli katsayı çoğunlukla 0,3–0,5 aralığında ama ödüllerle artan biçimde ölçülür.
5. Allais paradoksu bağımsızlık aksiyomunun sistematik ihlalini gösterir ve deneylerde katılımcıların genellikle üçte biri civarında görülür; kuram büyük riskler için güçlü bir araçtır, ama kesinlik etkisi ve küçük kumarlardaki riskten kaçınma için alternatif açıklamalar gerekir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kesinlik eşdeğeri nedir? Riskten kaçınan, riske kayıtsız ve risk seven bir kişi için kesinlik eşdeğeri ile beklenen değer nasıl sıralanır?
2. (Çıktı 2) Fayda fonksiyonunun içbükey olması neden riskten kaçınma anlamına gelir? Jensen eşitsizliğini kullanarak açıkla.
3. (Çıktı 3) Faydası paranın karekökü olan bir kişi, yüzde 25 olasılıkla 400 lira, yüzde 75 olasılıkla 0 lira veren bir piyangoyla karşılaşıyor. Beklenen değeri, beklenen faydayı ve kesinlik eşdeğerini hesapla.
4. (Çıktı 3) Serveti 100.000 lira olan logaritmik faydalı bir kişi, yüzde 20 olasılıkla 50.000 liralık bir kayıpla karşılaşıyor. Adil primi ve ödemeye razı olduğu en yüksek primi hesapla.
5. (Çıktı 3) u(x) = x^0,5 ve u(x) = ln x fonksiyonları için Arrow–Pratt mutlak ve göreli katsayılarını hesapla. Hangisi daha çok riskten kaçınır?
6. (Çıktı 4) Bir arkadaşın «Allais paradoksu beklenen fayda kuramının yanlış olduğunu kanıtlar, bu kuramı artık kullanmamalıyız» diyor. Bu yorumu dersteki kanıtlar ve Allais ile Savage'ın tutumları üzerinden değerlendir.

Cevaplar

1. Kesinlik eşdeğeri, kişinin bir piyangoyla kayıtsız kaldığı kesin para tutarıdır. Riskten kaçınan bir kişi için kesinlik eşdeğeri beklenen değerden küçük, riske kayıtsız bir kişi için ona eşit, risk seven bir kişi için ondan büyüktür.
2. İçbükey bir fonksiyonda, iki noktanın ortalamasının fonksiyon değeri, fonksiyon değerlerinin ortalamasından büyüktür: u(E[x]) > E[u(x)]. Bu, beklenen değerin kesin olarak alınmasının, piyangonun kendisinden daha yüksek fayda sağladığı anlamına gelir. Kişi riski taşımak yerine ortalamayı kesin almayı tercih eder, yani riskten kaçınır.
3. Beklenen değer 0,25 × 400 = 100 liradır. Beklenen fayda 0,25 × √400 + 0,75 × 0 = 0,25 × 20 = 5'tir. Kesinlik eşdeğeri √CE = 5 eşitliğinden 25 liradır; kişi riski taşımamak için 75 liradan vazgeçmeye razıdır.
4. Adil prim beklenen kayıptır: 0,2 × 50.000 = 10.000 lira. Sigortasız beklenen fayda 0,8 × ln 100.000 + 0,2 × ln 50.000 ≈ 0,8 × 11,513 + 0,2 × 10,820 ≈ 11,374. Kesinlik eşdeğeri e^11,374 ≈ 87.055 lira, dolayısıyla en yüksek prim yaklaşık 100.000 − 87.055 ≈ 12.945 liradır.
5. √x için u′ = 1 / (2√x) ve u″ = −1 / (4x^1,5); A = 1 / (2x), R = 1/2. ln x için A = 1 / x, R = 1. Her servet düzeyinde logaritmik fonksiyonun katsayıları iki kat büyüktür; logaritmik faydalı kişi daha çok riskten kaçınır.
6. Yorum aşırıdır. Allais paradoksu bağımsızlık aksiyomunun sistematik bir ihlalini gösterir ve deneylerde sağlam biçimde tekrarlanmıştır; ama ihlaller genellikle katılımcıların üçte biri civarında görülür ve kuramın temel öngörüsü olan riskten kaçınma, Holt ve Laury gibi deneylerde güçlü biçimde desteklenir. Savage'a göre kuram tutarlı kararın bir ölçütüdür ve ihlaller düzeltilmesi gereken hatalardır; Allais'ye göre ise kuram gerçek insanların kesinliğe verdiği değeri yakalayamaz. Makul bir değerlendirme, kuramı büyük riskler ve normatif analiz için kullanmayı sürdürüp kesinlik etkisi ve küçük kumarlar gibi durumlarda alternatif modellerle tamamlamaktır.

İleri okuma

• Philippe Mongin (2019). «The Allais Paradox: What It Became, What It Really Was, What It Now Suggests to Us». Economics and Philosophy 35(3). Paradoksun 1952 Paris kolokyumundaki doğuşu ve sonraki yorumları.
• Charles A. Holt ve Susan K. Laury (2002). «Risk Aversion and Incentive Effects». American Economic Review 92(5). Riskten kaçınmayı ölçmek için yaygın kullanılan on seçimlik deney tasarımı.
• Matthew Rabin (2000). «Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem». Econometrica 68(5). Beklenen fayda kuramının küçük kumarlardaki sınırını gösteren kısa ve etkili makale.
• Milton Friedman ve L. J. Savage (1948). «The Utility Analysis of Choices Involving Risk». Journal of Political Economy 56(4). Sigorta ve piyango bilmecesine getirilen klasik açıklama.

Sonraki derse köprü

Bu derste belirsizliği, bir sonucun olasılıkla gerçekleşmesi olarak ele aldık. Ama pek çok kararın başka bir boyutu daha vardır: zaman. Sigorta primi bugün ödenir, tazminat yıllar sonra gelir; bir eğitim bugün maliyet yaratır, getirisi yıllarca sürer. Sıradaki ders, zamanlararası seçimi ele alıyor. Bugünkü tüketim ile yarınki tüketim nasıl karşılaştırılır, faiz oranı bu karşılaştırmada nasıl bir fiyat rolü oynar ve bir kişi gelirinin ne kadarını bugün harcayıp ne kadarını geleceğe bırakır?