Doğrusal denklem sistemleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Katsayılar matrisini, yok etme yöntemini, determinantı, ters matrisi, tekil matrisi ve Cramer kuralını tanımlar.
• Anlama — Bir doğrusal denklem sisteminin neden tek bir çözümü, sonsuz çözümü ya da hiç çözümü olmayabileceğini ve determinantın bu durumları nasıl ayırt ettiğini açıklar.
• Uygulama — Birbirine bağlı iki piyasanın denge fiyatlarını yok etme yöntemi, ters matris ve Cramer kuralıyla bulur; bir talep değişikliğinin iki piyasaya nasıl yayıldığını ters matrisle hesaplar.
• Değerlendirme — Denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olmasının bir ekonomik modelin anlamlı bir çözümü olduğunu neden güvenceye almadığını değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir kasabada çay ve kahve satılıyor. Çayın fiyatı yükselirse bazı müşteriler kahveye geçer; kahvenin fiyatı yükselirse bazıları çaya döner. İki piyasa birbirine bağlıdır: çay piyasasının dengesi kahvenin fiyatına, kahve piyasasının dengesi çayın fiyatına bağlıdır. İki fiyatı ayrı ayrı bulmak mümkün değildir; ikisi birlikte belirlenir.

Bu tür sorular daha önce yerine koyma yoluyla çözülmüştü: iki bilinmeyen için iki denklem yazılır ve bir denklemden bir bilinmeyen çekilip öbürüne konur. İki bilinmeyenle bu yöntem iyi çalışır. Ama bir ekonomide yüzlerce piyasa, bir girdi-çıktı tablosunda onlarca sektör vardır. Bilinmeyen sayısı arttıkça, tek tek yerine koyma yöntemi içinden çıkılmaz hâle gelir.

Bu ders, doğrusal denklem sistemlerini bir önceki derste tanıdığımız matris diliyle yazmayı ve çözmeyi ele alıyor. Aynı zamanda eski bir soruyu da soruyor: bir sistemin çözümü ne zaman vardır, ne zaman tektir ve bu çözüm ekonomik olarak anlamlı mıdır?

Hikâye — Sayma çubukları ve üç tahıl

Çin'in klasik matematik kitaplarından biri, Jiuzhang suanshu, yani Dokuz Bölümde Matematik Sanatı, yaklaşık iki bin yıl önce derlenmiş bir problem ve yöntem koleksiyonudur. Kitap, yüzlerce pratik problemi içerir: arazi ölçümü, vergi paylaştırması, tahıl takası, inşaat hesapları. Sekizinci bölümü, adını hesap tahtası üzerine dikdörtgen biçiminde dizilen sayılardan alan fangcheng yöntemine ayrılmıştır.

Bölümün ilk problemi bir tarlanın verimiyle ilgilidir. Üç demet birinci sınıf, iki demet orta sınıf ve bir demet düşük sınıf pirinç sapından 39 ölçek tahıl elde ediliyordu. İki demet birinci, üç demet orta ve bir demet düşük sınıf saptan 34 ölçek, bir demet birinci, iki demet orta ve üç demet düşük sınıf saptan 26 ölçek. Soru, her sınıftan bir demetin kaç ölçek tahıl verdiğiydi.

Bugün bu problemi üç bilinmeyenli üç denklem olarak yazarız. Çinli hesapçılar ise sayıları, sayma çubuklarıyla bir tahta üzerinde, her sütunu bir denkleme karşılık gelecek biçimde dikdörtgen bir tablo hâlinde dizdi. Sonra sütunları birbirinin katlarıyla çarpıp çıkararak, tablodaki sayıları adım adım sıfırladılar ve bilinmeyenleri tek tek buldular. Cevap, birinci sınıf bir demet için 9 ¼, orta sınıf için 4 ¼, düşük sınıf için 2 ¾ ölçekti.

Bu yöntem, bugün Avrupa'da on dokuzuncu yüzyılın matematikçisi Carl Friedrich Gauss'un adıyla anılan yok etme yönteminin özünü taşıyordu. Kitabın üçüncü yüzyılda yaşamış yorumcusu Liu Hui, yöntemi ayrıntılı biçimde açıkladı ve genelleştirdi. Sekizinci bölüm, yok etme sırasında ortaya çıkan eksi değerler için pozitif ve negatif sayılarla işlem kurallarını da verir.

Hikâye, iki şeyi gösterir. Doğrusal denklem sistemleri, yalnızca modern iktisadın değil, tarım, vergi ve ticaretin en eski hesap problemlerinin de merkezindedir. Ve sistemin sayıları bir tablo olarak dizmek, yani matris dilini kullanmak, çözümü sistematik hâle getirmenin anahtarıdır. İki bin yıl önceki hesap tahtası, bugünkü bilgisayar programlarının yaptığı işin ilk biçimiydi.

Kavram

Her doğrusal denklem sistemi üç parçaya ayrılır: katsayılar, bilinmeyenler ve sağ taraftaki sabitler.

Sistemleri çözmenin en genel yolu, bilinmeyenleri adım adım ortadan kaldırmaktır.

Çözümün tekliği, katsayılar matrisinden hesaplanan tek bir sayıyla anlaşılır.

Veri ve kanıt

Çin'in klasik kitabı, doğrusal sistemlerin sistematik çözümünün bilinen en eski kaynaklarından biridir.

İktisatta doğrusal sistemlerin en büyük uygulaması, bütün piyasaların aynı anda dengeye geldiği bir ekonomiyi düşünmek oldu. Bu düşünce, denklemleri saymanın yetip yetmediği sorusuyla başladı.

Bu iki kaynak arasında iki bin yıl vardır, ama ortak bir ders taşırlar. Bir sistemi doğru yazmak ve düzenli bir yöntemle çözmek, cevabı bulmanın anahtarıdır. Ama bir cevabın var olduğunu, tek olduğunu ve anlamlı olduğunu göstermek, ayrı bir iştir. Walras'ın denklem sayması sezgisel olarak makuldü; kanıt, yarım yüzyılı aşkın bir süre sonra geldi.

Neden önemli?

İktisadi modellerin çoğu, birden çok bilinmeyenin aynı anda belirlendiği sistemlerdir. Birbirine bağlı piyasaların fiyatları, sektörler arası alışverişin belirlediği üretim düzeyleri, bir makroekonomik modelde gelir ve faiz oranı birlikte çözülür. Bu sistemleri matris diliyle yazmak ve çözmek, iktisatçının temel becerilerinden biridir.

Ters matris, yalnızca bir çözüm aracı değil, bir yayılma haritasıdır. Bir piyasada ya da sektörde meydana gelen bir değişikliğin, öbür bütün piyasalara ve sektörlere nasıl yayılacağını gösterir. Girdi-çıktı analizinde, nihai talepteki bir kıpırdanmanın her sektörün çıktısına dokunan etkisi, tam olarak bir ters matrisle hesaplanır. Bir vergi değişikliğinin ya da bir dış şokun etkisini tahmin eden modeller de aynı mantıkla çalışır.

Determinant ve tekillik kavramları, bir modelin iyi tanımlanıp tanımlanmadığını söyler. İstatistikte, bir regresyondaki açıklayıcı değişkenler birbirinin tam birleşimiyse, katsayılar tahmin edilemez; bu, veri matrisinin tekil olmasının bir sonucudur. Tekilliği fark etmek, bir modelin neden sonuç vermediğini anlamanın ilk adımıdır.

Model

Sistemi matrisle yazmak

İki bilinmeyenli bir sistem düşünelim: 5P₁ − P₂ = 120 ve −P₁ + 5P₂ = 90. Katsayılar matrisi A, birinci satır (5, −1), ikinci satır (−1, 5) olan 2 × 2 matristir. Bilinmeyenler vektörü x = (P₁, P₂), sabitler vektörü b = (120, 90)'dır. Sistem, A × x = b biçiminde tek bir satırla yazılır. Bu yazım, bilinmeyen sayısı iki de olsa iki yüz de olsa aynıdır. Matris biçimi, sistemin yapısını, yani hangi bilinmeyenin hangi denklemde ne ağırlıkla yer aldığını, bir bakışta gösterir ve çözüm yöntemlerini genelleştirmeyi sağlar.

Yok etme yöntemi

Yok etme yöntemi, denklemleri birbirinin katlarıyla toplayarak bilinmeyenleri sırayla ortadan kaldırır. Örnekte ikinci denklem 5 ile çarpılıp birinciye eklenirse, P₁ ortadan kalkar: 24P₂ = 570, yani P₂ = 23,75. Bu değer birinci denkleme konunca 5P₁ = 143,75 ve P₁ = 28,75 bulunur. Üç ve daha fazla bilinmeyenli sistemlerde de aynı işlem uygulanır: birinci bilinmeyen ikinci ve sonraki denklemlerden, ikinci bilinmeyen üçüncü ve sonraki denklemlerden çıkarılır ve sistem basamaklı bir biçime gelir. Bilgisayarlar büyük sistemleri bu yöntemin geliştirilmiş biçimleriyle çözer.

Determinant

2 × 2 bir matrisin determinantı, a × d − b × c'dir. Örnekteki katsayılar matrisinin determinantı 5 × 5 − (−1) × (−1) = 25 − 1 = 24'tür. Determinant sıfırdan farklı olduğu için sistemin tek bir çözümü vardır. Geometrik olarak, iki bilinmeyenli bir sistemin her denklemi bir doğrudur ve çözüm, iki doğrunun kesiştiği noktadır. Determinant sıfırsa iki doğru paraleldir: ya hiç kesişmezler ve çözüm yoktur ya da üst üste çakışırlar ve sonsuz çözüm vardır. 3 × 3 ve daha büyük matrislerin determinantları da hesaplanabilir; yöntem daha uzundur ama anlamı aynıdır.

Tekil sistemler

Bir katsayılar matrisinin determinantı sıfırsa, denklemlerden biri öbürlerinin bir birleşimidir ve yeni bir bilgi taşımaz. Örneğin P₁ + 2P₂ = 10 ve 2P₁ + 4P₂ = 20 denklemleri aslında aynı denklemdir; ikincisi birincinin iki katıdır. Katsayılar matrisinin determinantı 1 × 4 − 2 × 2 = 0'dır. Sağ taraf 20 yerine 25 olsaydı, iki denklem birbiriyle çelişirdi ve hiç çözüm olmazdı. İktisadi modellerde tekillik çoğu zaman bir modelleme hatasının işaretidir: aynı ilişki iki kez yazılmış ya da bir değişkeni belirleyecek bir denklem unutulmuştur.

Ters matris

Ters matris, sayılardaki bölmenin matrislerdeki karşılığıdır. A × A⁻¹ = birim matris koşulunu sağlayan A⁻¹ matrisi varsa, A × x = b sisteminin çözümü x = A⁻¹ × b'dir. 2 × 2 bir matrisin tersi, köşegen elemanlarının yer değiştirmesi, köşegen dışı elemanlarının işaret değiştirmesi ve sonucun determinanta bölünmesiyle bulunur. Örnekte A⁻¹, birinci satır (5, 1), ikinci satır (1, 5) olan matrisin 24'e bölünmesidir. A⁻¹ × b = (5 × 120 + 1 × 90, 1 × 120 + 5 × 90) ÷ 24 = (690, 570) ÷ 24 = (28,75; 23,75). Determinant sıfırsa bölme yapılamaz; tekil bir matrisin tersi bu yüzden yoktur.

Cramer kuralı

Cramer kuralı, küçük sistemleri çözmenin ve bir bilinmeyenin sistemin parametrelerine nasıl bağlı olduğunu görmenin şık bir yoludur. P₁'i bulmak için, katsayılar matrisinin birinci sütunu b vektörüyle değiştirilir: birinci satır (120, −1), ikinci satır (90, 5). Bu matrisin determinantı 120 × 5 − (−1) × 90 = 600 + 90 = 690'dır. P₁ = 690 ÷ 24 = 28,75. P₂ için ikinci sütun değiştirilir: determinant 5 × 90 − 120 × (−1) = 450 + 120 = 570, P₂ = 570 ÷ 24 = 23,75. Büyük sistemlerde Cramer kuralı yok etme yönteminden çok daha fazla hesap gerektirir; ama bir parametrenin çözümü nasıl etkilediğini formül olarak görmek için değerlidir.

Çözümlü örnek — Çay ve kahve

Bir kasabada çay ve kahve talebi ve arzı şöyle olsun; P₁ çayın, P₂ kahvenin fiyatı.

Çay piyasası. Talep 100 − 2P₁ + P₂, arz −20 + 3P₁. Kahve pahalandıkça çaya yönelen müşteri çoğalır; ikame ilişkisi budur.

Kahve piyasası. Talep 80 + P₁ − 3P₂, arz −10 + 2P₂.

Denge denklemleri. Talep arza eşitlenir. Çay: 100 − 2P₁ + P₂ = −20 + 3P₁, yani 5P₁ − P₂ = 120. Kahve: 80 + P₁ − 3P₂ = −10 + 2P₂, yani −P₁ + 5P₂ = 90.

Çözüm. Determinant 24; ters matrisle ya da Cramer kuralıyla P₁ = 28,75 ve P₂ = 23,75 bulunur.

Miktarlar. Çay: −20 + 3 × 28,75 = 66,25; kahve: −10 + 2 × 23,75 = 37,5 birim.

Bir talep şoku. Çaya olan talep her fiyatta 24 birim artsın. Sağ taraf vektörü (144, 90) olur. Yeni fiyatlar A⁻¹ × (144, 90) = (5 × 144 + 90, 144 + 5 × 90) ÷ 24 = (33,75; 24,75). Çayın fiyatı 5 lira, kahvenin fiyatı 1 lira artar.

Yayılmanın okunması. Ters matrisin birinci sütunu (5 ÷ 24, 1 ÷ 24), çay piyasasındaki bir birimlik talep artışının çayın fiyatını 5 ÷ 24, kahvenin fiyatını 1 ÷ 24 lira artırdığını gösterir. 24 birimlik şok bu yüzden 5 ve 1 liralık artışlara yol açar.

Üç bilinmeyenli bir sistem: pirinç sapı problemi

Hikâyedeki problemi bugünkü yazımla çözelim. x birinci, y orta, z düşük sınıf bir demetin verdiği tahıl olsun: 3x + 2y + z = 39, 2x + 3y + z = 34 ve x + 2y + 3z = 26. Birinci denklemden z = 39 − 3x − 2y çekilir. Bu ifade ikinci denkleme konunca −x + y = −5, yani y = x − 5 bulunur. Aynı ifade üçüncü denkleme konunca 8x + 4y = 91 kalır. Buraya y = x − 5 yazılırsa 12x = 111 ve x = 9,25 olur. Geriye doğru gidilince y = 4,25 ve z = 39 − 27,75 − 8,5 = 2,75 çıkar. Katsayılar matrisinin determinantı 12'dir; sıfırdan farklı olduğu için bu çözüm tektir. Çinli hesapçıların tahtada sütunları birbirinden çıkarması, burada bir bilinmeyeni öbür denklemlerden temizlemekle aynı işi görür. Paydaki 12, kesirli cevapların nereden geldiğini de açıklar: Cramer kuralında her bilinmeyen, bir determinantın 12'ye bölünmesiyle elde edilir.

Hesap yükü

Yöntemlerin kâğıt üzerindeki şıklığı ile hesap yükü aynı değildir. Yok etme yönteminde gereken işlem sayısı, bilinmeyen sayısının küpüyle orantılı büyür; yüz bilinmeyenli bir sistem bugünkü bir bilgisayar için sıradan bir iştir. Cramer kuralını determinantları tanım yoluyla açarak uygulamak ise bilinmeyen sayısı arttıkça çok daha hızlı büyüyen bir işlem yükü doğurur ve birkaç düzine bilinmeyenden sonra pratik olmaktan çıkar. Ters matrisi açıkça hesaplamak da çoğu zaman gereksizdir: yalnızca x aranıyorsa, sistemi doğrudan yok etme yöntemiyle çözmek hem daha hızlı hem de yuvarlama hatalarına karşı daha sağlamdır. Ters matris, yayılma etkilerinin tamamını bir tablo olarak görmek istendiğinde değerlidir.

Karşılaştırmalı durağanlık ve ters matris

Karşılaştırmalı durağanlık, parametre oynadığında dengenin nereye kaydığını sorar. Doğrusal bir modelde bu sorunun cevabı ters matriste hazır durur. Sağ taraf vektörü, yani talep ve arz fonksiyonlarındaki sabitler değiştiğinde, fiyatlardaki değişim, ters matris ile sağ taraftaki değişimin çarpımıdır. Ters matrisin her elemanı, bir piyasadaki bir birimlik değişimin bir fiyat üzerindeki etkisini gösterir. Köşegen elemanları doğrudan etkileri, köşegen dışı elemanları yayılma etkilerini verir. Bu yüzden ters matris, bir sistemin bütün karşılaştırmalı durağanlık sonuçlarını tek bir tabloda toplar.

Leontief ters matrisi

Girdi-çıktı analizinde bu mantık bütün bir ekonomiye uygulanır. A, bir birimlik üretimin her sektörden çektiği girdi paylarını tutan matris, d nihai talep vektörü ve x toplam üretim vektörü ise, üretimin hem nihai talebi hem de ara girdi ihtiyacını karşılaması gerekir: x = A × x + d. Bu denklem düzenlenince (I − A) × x = d, yani x = (I − A)⁻¹ × d bulunur. (I − A)⁻¹ matrisi, bir sektörün nihai talebindeki bir birimlik artışın bütün sektörlerin üretimini ne kadar artıracağını gösterir. Bu matrisin sütun toplamları, iktisatta çarpan olarak adlandırılan etkilerin kaynağıdır.

Anlamlı çözüm koşulu

Matematik olarak tek bir çözüm bulunması, bu çözümün iktisadi olarak anlamlı olduğu anlamına gelmez. Fiyatlar ve miktarlar negatif olamaz. Doğrusal bir sistem, parametrelerine bağlı olarak negatif fiyatlar ya da miktarlar verebilir. Girdi-çıktı analizinde, bir ekonominin her sektörünün ürettiğinden fazlasını ara girdi olarak kullanmaması gerekir; aksi hâlde (I − A)⁻¹ matrisi negatif elemanlar içerebilir ve model anlamsız sonuçlar üretir. Arrow ile Debreu'nun katkısı, tam da bu tür koşulları, yani bir dengenin hem var olduğunu hem de ekonomik olarak anlamlı olduğunu güvenceye alan koşulları belirlemekti.

Walras'ın sayması ve kanıtın önemi

Walras'ın denklem sayma yöntemi, iktisat tarihinde önemli bir yer tutar. Bir ekonomide n mal varsa, n tane piyasa denge denklemi ve n tane bilinmeyen fiyat vardır; Walras bu eşitliği dengenin varlığının işareti saydı. Ama bu sayım yetersizdir: denklemler doğrusal değilse, tek bir çözüm yerine birçok çözüm ya da hiç çözüm olmayabilir; çözüm varsa bile negatif fiyatlar içerebilir. 1930'larda Abraham Wald gibi matematikçiler bu sorunları incelemeye başladı ve Arrow ile Debreu, 1954'te, sabit nokta teoremleri denen daha güçlü matematiksel araçlarla genel bir varlık kanıtı verdi. Bu kanıt, genel denge teorisinin matematiksel temelini oluşturdu ve her iki yazar da sonradan Nobel ödülü aldı.

Sayısal çözüm ve koşulluluk

Büyük sistemler bilgisayarla çözülür, ama sayısal çözüm her zaman sorunsuz değildir. Determinantı sıfıra çok yakın olan matrisler, yani neredeyse tekil matrisler, kötü koşullu olarak adlandırılır. Bu tür sistemlerde sağ taraftaki küçük bir değişiklik ya da yuvarlama hatası, çözümde çok büyük değişikliklere yol açar. İktisatta bu durum, iki açıklayıcı değişkenin neredeyse aynı bilgiyi taşıdığı regresyonlarda sık görülür: katsayılar çok oynak ve güvenilmez çıkar. Kötü koşullu bir sistemi fark etmek, sonuçların ne kadar güvenilir olduğunu anlamak için önemlidir.

Modelin sınırları

Doğrusal sistemler, ekonomik ilişkilerin doğrusal olduğunu varsayar. Talep ve arz eğrileri, girdi katsayıları ve davranış tepkileri geniş aralıklarda doğrusal olmayabilir. Doğrusal bir model, dengenin yakınındaki küçük değişiklikler için iyi bir yaklaşıklıktır; büyük şoklarda sonuçları dikkatle yorumlamak gerekir. Ayrıca katsayılar veriden tahmin edilir ve tahmin hataları, özellikle kötü koşullu sistemlerde, çözümü büyük ölçüde değiştirebilir. Sistemin matematiksel çözümü kesindir; ama çözümün ekonomik anlamı, modelin doğrusallığına, katsayıların doğruluğuna ve çözümün anlamlılık koşullarına bağlıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Doğrusal bir denklem sistemi, katsayılar matrisi A, bilinmeyenler vektörü x ve sabitler vektörü b ile A × x = b biçiminde yazılır; bu yazım, bilinmeyen sayısından bağımsızdır.
2. Yok etme yöntemi bilinmeyenleri sırayla ortadan kaldırır; özü iki bin yıl önce Çin'in Dokuz Bölümde Matematik Sanatı'nda hesap tahtası üzerinde uygulanmıştır.
3. Determinant sıfırdan farklıysa sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm x = A⁻¹ × b ile ya da Cramer kuralıyla bulunur; determinant sıfırsa matris tekildir ve sistemin ya hiç ya da sonsuz çözümü vardır.
4. Ters matrisin elemanları, bir piyasadaki ya da sektördeki bir değişikliğin bütün sisteme yayılma etkilerini gösterir; Leontief ters matrisi girdi-çıktı çarpanlarının kaynağıdır.
5. Denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olması anlamlı bir çözümü güvenceye almaz; Arrow ile Debreu, Walras'ın sayımının yetersizliğini aşarak rekabetçi dengenin varlığını kanıtladı.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir doğrusal denklem sistemini A × x = b biçiminde yazmak ne demektir? Determinant sıfır çıkarsa sistemden ne beklenir?
2. (Çıktı 2) Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğu hâlde tek çözümü olmayan bir sistem kur ve nedenini göster.
3. (Çıktı 3) 3P₁ + P₂ = 50 ve P₁ + 2P₂ = 40 sistemini yok etme yöntemiyle çöz.
4. (Çıktı 3) Aynı sistemin katsayılar matrisinin determinantını ve tersini hesapla; çözümü ters matrisle doğrula.
5. (Çıktı 3) Çay ve kahve örneğinde kahve talebi her fiyatta 24 birim artarsa iki fiyat nasıl değişir? Ters matrisi kullan.
6. (Çıktı 4) Bir araştırmacı, on sektörlük bir girdi-çıktı modelinde denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olduğunu göstererek modelin her zaman anlamlı bir çözüm vereceğini savunuyor. Bu iddia nerede eksik kalır?

Cevaplar

1. A × x = b biçimi, sistemin bilinmeyenlerinin katsayılarını A matrisinde, bilinmeyenleri x vektöründe, sağ taraftaki sabitleri b vektöründe toplar; bütün denklemler tek bir matris denklemiyle ifade edilir. Determinantın sıfır olması, katsayılar matrisinin tekil olduğunu, denklemlerden birinin öbürlerinin birleşimi olduğunu ve sistemin ya hiç çözümünün ya da sonsuz çözümünün bulunduğunu gösterir.
2. P₁ + 2P₂ = 10 ve 2P₁ + 4P₂ = 20 sistemi iki denklem ve iki bilinmeyen içerir, ama ikinci denklem birincinin iki katıdır ve yeni bilgi taşımaz; sonsuz sayıda çözüm vardır. Sağ taraf 25 olsaydı, iki denklem çelişir ve hiç çözüm olmazdı. İki durumda da determinant 1 × 4 − 2 × 2 = 0'dır.
3. Birinci denklemden P₂ = 50 − 3P₁. İkinci denkleme konunca P₁ + 100 − 6P₁ = 40, yani −5P₁ = −60, P₁ = 12. P₂ = 50 − 36 = 14.
4. Determinant 3 × 2 − 1 × 1 = 5'tir. Ters matris, birinci satır (2, −1), ikinci satır (−1, 3) olan matrisin 5'e bölünmesidir. A⁻¹ × (50, 40) = (2 × 50 − 40, −50 + 3 × 40) ÷ 5 = (60, 70) ÷ 5 = (12, 14); yok etme yöntemiyle aynı sonuçtur.
5. Sağ taraftaki değişim (0, 24)'tür. Fiyat değişimleri A⁻¹ × (0, 24) = (1 × 24, 5 × 24) ÷ 24 = (1, 5). Çayın fiyatı 1 lira, kahvenin fiyatı 5 lira artar: yeni fiyatlar 29,75 ve 28,75'tir. Kahve piyasasındaki şok, ikame ilişkisi yoluyla çayın fiyatına da yayılır.
6. Denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olması tek bir çözümü güvenceye almaz; katsayılar matrisi tekilse çözüm ya yoktur ya da sonsuzdur. Tek bir çözüm varsa bile, bu çözüm negatif üretim düzeyleri içerebilir ve ekonomik olarak anlamsız olabilir. Girdi-çıktı modelinde anlamlı bir çözüm için, sektörlerin toplam olarak ürettiklerinden daha azını ara girdi olarak kullanması gibi ek koşullar gerekir. Walras'ın denklem sayması benzer bir yetersizlik taşıyordu; Arrow ile Debreu, anlamlı bir dengenin varlığı için gereken koşulları ayrıca kanıtlamıştır.

İleri okuma

• Kangshen Shen, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. Çin'in klasik matematik kitabının çevirisi ve yorumu.
• Kenneth J. Arrow, Gérard Debreu (1954). «Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy». Econometrica 22(3). Rekabetçi dengenin varlık kanıtı.
• Ronald E. Miller, Peter D. Blair (2009). Input-Output Analysis: Foundations and Extensions. 2. baskı, Cambridge University Press. Leontief ters matrisi ve girdi-çıktı çarpanları.
• Carl D. Meyer (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. Yok etme yöntemi, determinant, ters matris ve koşulluluk.

Sonraki derse köprü

Fonksiyon türlerinden limite, türevden kısmi türeve, serbest ve kısıtlı optimizasyondan integrale, matrislerden doğrusal sistemlere uzanan dokuz derste iktisatçının matematik araç kutusu kuruldu. Her araç kendi dersinde, kendi örnekleriyle çalıştı. Ama gerçek bir iktisadi model bu araçları birlikte kullanır: bir firmanın kararını türevle, bir piyasanın dengesini denklem sistemiyle, bir politika değişikliğinin refah etkisini integralle çözer. Bu araçlar tek bir modelde nasıl bir araya gelir ve bir modelin sonuçları nasıl yorumlanır? Kursun son dersi, matematiği ekonomik modellerde uygulamayı ele alıyor.