Kısıtlı optimizasyon ve Lagrange

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Amaç fonksiyonunu, kısıtı, Lagrange fonksiyonunu, Lagrange çarpanını, gölge fiyatı ve teğetlik koşulunu tanımlar.
• Anlama — Bir kısıt altında en iyi noktanın neden amaç fonksiyonunun eş düzey eğrisinin kısıta teğet olduğu yerde bulunduğunu ve Lagrange çarpanının neden kısıtın değerini ölçtüğünü açıklar.
• Uygulama — Bir tüketicinin bütçe kısıtı altında faydasını en yüksek yapan tüketim bileşimini ve bir firmanın belirli bir üretimi en düşük maliyetle yapacak girdi bileşimini Lagrange yöntemiyle bulur.
• Değerlendirme — Kısıtlı optimizasyon modellerinin sonuçlarını, kısıtların ve amaç fonksiyonunun doğru tanımlanıp tanımlanmadığı açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir öğrencinin ayda 3.000 lira harçlığı var. Bu parayı yemek, kitap, ulaşım ve eğlence arasında bölüştürmesi gerekiyor. Her birinden biraz daha fazlası daha iyi olurdu, ama hepsinden sınırsız almak mümkün değil. Bir önceki derste zirve arayışında hiçbir sınır yoktu; her değişken istenen değeri alabiliyordu. Oysa iktisadın temel sorusu tam olarak bu serbestliğin olmamasıdır: kaynaklar kıttır.

Kısıt, optimizasyonun mantığını değiştirir. Serbest bir problemde en iyi nokta, eğimin sıfır olduğu yerdir. Kısıtlı bir problemde ise en iyi noktada amaç fonksiyonunun eğimi sıfır olmak zorunda değildir: öğrencinin faydası, daha fazla harcayabilseydi artmaya devam ederdi. En iyi nokta, bütçenin tamamen kullanıldığı ve bir harcama kaleminden öbürüne kaydırılan son liranın faydayı artırmadığı yerdir.

Bu durumla daha önce eşit marjinal ilke adıyla, sezgi düzeyinde karşılaştık: her kalemde harcanan son liranın getirisi eşit olmalıdır. Bu ders, bu ilkeyi Lagrange yöntemiyle biçimsel hâle getiriyor ve iktisadın en güçlü kavramlarından birini tanıtıyor: bir kısıtı bir birim gevşetmenin değeri, yani gölge fiyat.

Hikâye — En ucuz sofra

1940'ların başında ABD'li iktisatçı George Stigler, basit görünen bir soruya takıldı: bir yetişkin erkeğin temel besin ihtiyaçlarını karşılamanın en ucuz yolu neydi? Soru, İkinci Dünya Savaşı yıllarında beslenme ve kıtlık üzerine tartışmaların gündemde olduğu bir dönemde soruldu.

Stigler, ABD Ulusal Araştırma Konseyi'nin 1943'te yayımladığı bir raporda belirlenen dokuz temel besin öğesini aldı: kalori, protein, kalsiyum, demir ve beş vitamin. ABD'nin resmî fiyat istatistiklerinden de 1939 yılına ait 77 yiyeceğin fiyatlarını topladı. Sorusu şuydu: bu 77 yiyecekten hangi miktarlarda alınırsa, dokuz besin öğesinin her biri için gereken en az miktar karşılanır ve toplam maliyet en düşük olur?

Problemi çözmek için bir bilgisayarı, hatta sistematik bir yöntemi yoktu. Stigler, deneme yanılma ve akıllıca tahminlerle bir çözüme ulaştı: yalnızca beş yiyecekten oluşan bir diyet. Buğday unu, kondense süt, lahana, ıspanak ve kuru fasulye. Bu diyetin 1939 fiyatlarıyla yıllık maliyeti 39,93 dolardı. Stigler sonucu 1945'te Journal of Farm Economics dergisinde yayımladı ve bulduğu diyetin ne kadar tatsız olduğunun farkındaydı: bu diyetleri kimseye, hele herkese önermediğini açıkça yazdı.

Birkaç yıl sonra matematikçi George Dantzig, bu tür problemleri sistematik olarak çözen simpleks yöntemini geliştirdi. Stigler'in problemi, yöntemin ilk büyük sınamalarından biri oldu. Kesin çözüm 39,69 dolar çıktı: Stigler'in tahmini, en iyi çözüme yalnızca 24 sent uzaktı.

Stigler'in diyeti, kısıtlı optimizasyonun hem gücünü hem sınırını gösterdi. Matematik, verilen kısıtlar altında en ucuz sofrayı kusursuz biçimde buldu. Ama kısıtlar yalnızca besin öğelerini içeriyordu; lezzet, çeşitlilik ve kültürel alışkanlıklar modelde yoktu. Sonuç, modelin sorduğu soruya doğru, insanların sormak isteyeceği soruya ise yetersiz bir cevaptı.

Kavram

Kısıtlı bir optimizasyon problemi iki parçadan oluşur: iyileştirilmek istenen bir ölçüt ve uyulması gereken koşullar.

Lagrange yöntemi, kısıtlı bir problemi serbest bir probleme dönüştürür.

Bu değer, iktisatta özel bir ad taşır.

Veri ve kanıt

Stigler'in makalesi, kısıtlı optimizasyonun iktisattaki en bilinen uygulamalarından biridir.

Kısıtlı optimizasyonun kaynakların dağıtımına uygulanması, yirminci yüzyılın ortasında iktisatta ayrı bir araştırma alanı hâline geldi ve en yüksek bilimsel ödülle tanındı.

İki kaynak birlikte, kısıtlı optimizasyonun farklı ekonomik düzenlerde aynı soruya cevap verdiğini gösterir. Stigler'in sorusu bir hanenin bütçesiyle ilgiliydi; Kantorovich'inki planlı bir ekonominin fabrikalarıyla. İkisinde de matematik aynıydı: kıt kaynakları, bir amacı en iyi karşılayacak biçimde dağıtmak.

Neden önemli?

İktisadın neredeyse bütün temel modelleri kısıtlı optimizasyon problemleridir. Tüketici, bütçesi altında faydasını en yüksek yapar. Firma, bir üretim hedefine en düşük maliyetle ulaşır ya da teknolojisinin sınırları içinde kârını en yüksek yapar. Hükümet, bütçe kısıtı altında toplumsal refahı gözetir. Lagrange yöntemi, bu problemlerin hepsini aynı araçla çözmeyi sağlar.

Gölge fiyat kavramı, piyasası olmayan kaynakların değerini ölçmek için vazgeçilmezdir. Bir hastanenin yoğun bakım yatak sayısı, bir üniversitenin sınıf kapasitesi, bir şirketin mühendis saatleri: bunların çoğunun piyasada gözlenen bir fiyatı yoktur. Ama bir birim daha kapasitenin ne kadar değer yaratacağını bilmek, yatırım kararları için kritiktir. Lagrange çarpanı, bu değeri hesaplamanın yoludur.

Kısıtlı optimizasyon aynı zamanda politika tasarımının dilidir. Bir kamu kurumu, sınırlı bir bütçeyle en çok kişiye ulaşacak programı seçmek zorundadır. Bir çevre politikası, belirli bir emisyon hedefine en düşük maliyetle ulaşmayı amaçlar. Bu problemlerde amaç fonksiyonunun ve kısıtların nasıl tanımlandığı, çözümün kendisi kadar önemlidir.

Model

Kısıtlı problemi yazmak

Kısıtlı bir optimizasyon problemi, seçim değişkenlerini, amaç fonksiyonunu ve kısıtları açıkça yazmakla başlar. Bir tüketici için seçim değişkenleri iki malın miktarları x ve y, amaç fonksiyonu fayda U(x, y), kısıt ise bütçedir: p_x × x + p_y × y = M. Problem, bu kısıtı sağlayan bütün bileşimler arasından faydayı en yüksek yapanı bulmaktır. Kısıtı problemin içine yerleştirmenin iki yolu vardır: kısıttan bir değişkeni çekip amaç fonksiyonunda yerine koymak ya da Lagrange yöntemini kullanmak. İlk yol basit problemlerde işe yarar; ikincisi daha geneldir ve kısıtın değerini de verir.

Yerine koyma yöntemi

Bütçe kısıtından y çekilirse y = (M − p_x × x) ÷ p_y bulunur. Bu ifade fayda fonksiyonunda yerine konunca problem, tek değişkenli bir serbest optimizasyona dönüşür ve bir önceki dersteki araçlarla çözülür. Yöntem sezgiseldir: kısıt, bir değişkeni öbürüne bağlar ve seçim tek bir boyuta iner. Ama çok değişken ve çok kısıt olduğunda, değişkenleri tek tek çekmek karmaşıklaşır. Ayrıca yerine koyma yöntemi, kısıtın ne kadar değerli olduğunu doğrudan söylemez. Lagrange yöntemi, bu iki sorunu birden çözer.

Lagrange yöntemi

Lagrange yöntemi, İtalyan kökenli Fransız matematikçi Joseph-Louis Lagrange'ın 1788'de yayımlanan analitik mekanik eserinde sistematik biçimde kullandığı bir tekniktir. Yöntemin fikri, kısıtı yeni bir değişkenle, λ ile çarparak amaç fonksiyonuna eklemektir. Lagrange fonksiyonu ℒ = U(x, y) + λ × (M − p_x × x − p_y × y) biçiminde kurulur. Sonra bu fonksiyonun x'e, y'ye ve λ'ya göre kısmi türevleri sıfıra eşitlenir. λ'ya göre türev, kısıtın kendisini verir; x'e ve y'ye göre türevler ise optimumun koşullarını. Böylece kısıtlı bir problem, üç bilinmeyenli bir denklem sistemine dönüşür.

Birinci sıra koşullarının anlamı

Tüketici probleminde x'e göre türev ∂U/∂x − λ × p_x = 0, y'ye göre türev ∂U/∂y − λ × p_y = 0 verir. İki koşul birleştirildiğinde (∂U/∂x) ÷ p_x = (∂U/∂y) ÷ p_y = λ bulunur. Bu, temel matematik kursundaki eşit marjinal ilkenin biçimsel hâlidir: her malda harcanan son liranın getirdiği marjinal fayda eşit olmalıdır. Eşitlik bozulursa, marjinal faydası fiyatına göre daha yüksek olan maldan daha fazla almak faydayı artırır. Aynı koşullar düzenlendiğinde (∂U/∂x) ÷ (∂U/∂y) = p_x ÷ p_y olur: tüketicinin iki mal arasındaki takas oranı, piyasanın takas oranıyla çakışır.

Teğetliğin geometrisi

Teğetlik koşulunun geometrik anlamı açıktır. Bir farksızlık eğrisi, aynı faydayı veren bileşimleri birleştirir; bütçe doğrusu ise satın alınabilir bileşimlerin sınırıdır. Tüketici, bütçe doğrusuna dokunan en yüksek farksızlık eğrisine ulaşmak ister. Bu eğri bütçe doğrusunu keserse, kesişme noktalarının arasında daha yüksek bir eğriye ulaşılabilir. Bu yüzden en iyi noktada farksızlık eğrisi bütçe doğrusuna yalnızca dokunur, yani teğet olur. Teğet noktasında iki eğrinin eğimleri eşittir. Farksızlık eğrisinin eğimi marjinal ikame oranı, bütçe doğrusunun eğimi fiyat oranı olduğu için, teğetlik koşulu birinci sıra koşuluyla aynı şeyi söyler.

Lagrange çarpanı gölge fiyattır

Lagrange yönteminin en değerli ürünü, çarpanın kendisidir. Optimumda λ, kısıtın sağ tarafı bir birim artırıldığında amaç fonksiyonunun en yüksek değerinin ne kadar artacağını gösterir. Bu sonuca zarf teoremi denir. Tüketici probleminde λ, gelirin bir lira artmasının faydayı ne kadar artıracağını, yani gelirin marjinal faydasını verir. Maliyet en küçükleme probleminde λ, üretim hedefinin bir birim artmasının maliyeti ne kadar artıracağını, yani marjinal maliyeti verir. Bir fabrikanın makine saati kısıtında λ, bir saat ek makine zamanının kâra katkısıdır: firma bir saat ek kapasite için en fazla bu kadar ödemeye razı olmalıdır.

Çözümlü örnek — Harçlığın bölüşümü

Bir öğrencinin iki mal arasındaki faydası U = √(x × y) olsun; x kitap, y yemek porsiyonu. Kitabın birim fiyatı 2, yemeğinki 5 lira (ölçeği küçük tutmak için), bütçe 100 liradır.

Lagrange fonksiyonu. ℒ = √(x × y) + λ × (100 − 2x − 5y).

Birinci sıra koşulları. ∂ℒ/∂x = 0,5 × √(y ÷ x) − 2λ = 0; ∂ℒ/∂y = 0,5 × √(x ÷ y) − 5λ = 0; ∂ℒ/∂λ = 100 − 2x − 5y = 0.

Teğetlik. İlk iki koşul birbirine bölününce y ÷ x = 2 ÷ 5, yani 2x = 5y bulunur: iki mala harcanan para eşittir.

Kısıt. 2x + 5y = 100 ve 2x = 5y'den 2x = 50, x = 25; 5y = 50, y = 10.

Fayda. U = √(25 × 10) = √250 ≈ 15,81.

Çarpan. λ = 0,5 × √(10 ÷ 25) ÷ 2 ≈ 0,158.

Gölge fiyatı sınamak. Bütçe 101 liraya çıkarsa en iyi bileşim x = 25,25, y = 10,1 olur ve fayda yaklaşık 15,969'a çıkar. Artış yaklaşık 0,158'dir, tam olarak λ kadar. Çarpan, bir liralık ek harçlığın faydaya katkısını doğru ölçmüştür.

Firmanın maliyet en küçüklemesi

Aynı yöntem firmalara da uygulanır. Bir firmanın üretimi Q = √(L × K) olsun; işçi saati 8 lira, makine saati 2 lira. Firma 20 birim üretmek istiyor ve bunu en ucuza yapmak istiyor. Lagrange fonksiyonu ℒ = 8L + 2K + λ × (20 − √(L × K)) biçiminde kurulur. Birinci sıra koşulları, teknik ikame oranının girdi fiyatlarının oranına eşit olmasını verir: K ÷ L = 8 ÷ 2 = 4. Üretim koşulu √(L × 4L) = 2L = 20'den L = 10, K = 40 bulunur. Toplam maliyet 8 × 10 + 2 × 40 = 160 liradır. Çarpan λ, üretim hedefini bir birim yükseltmenin getireceği ek maliyettir; bu teknolojide maliyet üretimle orantılı olduğu için λ = 160 ÷ 20 = 8 liradır.

Optimumdan talep fonksiyonuna

Lagrange yönteminin bir ürünü de talep fonksiyonlarıdır. Çözümlü örnekte fiyatlar ve bütçe sayı olarak verilmek yerine harf olarak bırakılsaydı, aynı adımlar x = M ÷ (2 × p_x) ve y = M ÷ (2 × p_y) sonucunu verirdi. Bu iki formül, tüketicinin herhangi bir fiyat ve gelir düzeyinde ne kadar alacağını söyleyen talep fonksiyonlarıdır. Kitabın fiyatı iki katına çıkarsa kitap talebi yarıya iner; gelir iki katına çıkarsa iki malın talebi de iki katına çıkar. Böylece bir optimizasyon probleminin çözümü, temel iktisat derslerinde grafik olarak çizilen talep eğrilerinin kaynağı hâline gelir. Bu fayda fonksiyonunda her mala bütçenin sabit bir payı ayrılır; farklı fayda fonksiyonları, farklı talep biçimleri üretir.

Birden çok kısıt

Gerçek problemlerde çoğu zaman tek bir kısıt yoktur. Bir firma hem bütçe hem makine kapasitesi hem de işçi sayısı sınırlarıyla karşılaşabilir; Stigler'in diyetinde, her biri ayrı bir alt sınır koyan dokuz besin kısıtı vardı. Lagrange yöntemi bu durumda da çalışır: her kısıt için ayrı bir çarpan eklenir ve her çarpan, kendi kısıtının gölge fiyatını verir. Böylece karar verici, hangi kaynağın en değerli olduğunu doğrudan görebilir. Diyet probleminde bazı besin kısıtlarının gölge fiyatı sıfır çıkar: seçilen yiyecekler o besini zaten gereğinden fazla sağlar. Bağlayıcı olan kısıtlar ise diyetin maliyetini belirleyenlerdir. Bir besinin gereksinimi biraz düşürülse, maliyetin ne kadar azalacağını tam olarak o besinin gölge fiyatı söyler.

Eşitsizlik kısıtları

Pek çok gerçek kısıt eşitlik değil, eşitsizliktir: harcama bütçeyi aşamaz ama altında kalabilir; üretim sıfırdan az olamaz; bir kaynak tamamen kullanılmak zorunda değildir. Bu durumda iki olasılık vardır. Kısıt bağlayıcıysa, yani optimumda tam olarak sağlanıyorsa, problem eşitlik kısıtlı gibi çözülür ve çarpan pozitiftir. Kısıt bağlayıcı değilse, yani kaynak artıyorsa, bir birim daha kaynağın değeri sıfırdır ve çarpan sıfırdır. Bu ilke tamamlayıcı gevşeklik olarak bilinir: bir kaynak ya tamamen kullanılır ya da gölge fiyatı sıfırdır. Temel matematik kursunda tanıdığımız köşe çözümleri, bu tür kısıtların sonucudur.

Doğrusal programlama

Stigler'in diyet problemi, özel bir kısıtlı optimizasyon türüdür: amaç fonksiyonu ve kısıtların hepsi doğrusaldır. Bu tür problemlere doğrusal programlama denir. Doğrusal problemlerde en iyi çözüm her zaman kısıtların oluşturduğu bölgenin bir köşesindedir; Stigler'in 77 yiyecekten yalnızca beşini seçmesinin nedeni budur. Dantzig'in simpleks yöntemi, bu köşeler arasında sistematik olarak dolaşarak en iyisini bulur. Doğrusal programlama bugün taşımacılıktan üretim planlamasına, havayolu ekip çizelgelerinden elektrik üretimine kadar pek çok alanda kullanılır ve her kısıt için bir gölge fiyat verir.

İkinci sıra koşulları

Serbest optimizasyonda olduğu gibi, kısıtlı bir problemde de birinci sıra koşullarını sağlayan nokta her zaman en iyi nokta değildir. Bunu anlamak için, kısıt boyunca hareket edildiğinde amaç fonksiyonunun nasıl davrandığına bakmak gerekir. Tüketici probleminde farksızlık eğrileri orijine göre dışbükeyse, yani marjinal ikame oranı azalıyorsa, teğet noktası gerçekten en yüksek faydayı verir. Farksızlık eğrileri ters yönde bükülüyorsa, teğet noktası bir en düşük nokta olabilir ve en iyi seçim bir köşe çözümü olur. Azalan marjinal ikame oranı varsayımı, teğet noktasının gerçekten zirve olmasını garanti etsin diye yapılır.

Kısıtların ve amacın seçimi

Stigler'in diyeti, kısıtlı optimizasyonun en önemli dersini verir: çözüm, problemin nasıl kurulduğundan daha iyi olamaz. Diyet, besin öğesi kısıtlarını en düşük maliyetle karşılıyordu, ama lezzet, çeşitlilik ve kültürel kabul kısıt olarak yazılmamıştı. Sonuç teknik olarak doğru, pratik olarak kullanışsızdı. Sonraki araştırmacılar, diyet problemine alışkanlıkları ve çeşitliliği yansıtan ek kısıtlar ekledi; maliyet yükseldi ama diyet yenilebilir hâle geldi. Her kısıtlı optimizasyonda, eksik tanımlanmış bir amaç ya da unutulmuş bir kısıt, en iyi görünen çözümü anlamsız kılabilir.

Planlama ile piyasa

Kantorovich ile Koopmans'ın paylaştığı ödül, ilginç bir soruyu gündeme getirir. Kısıtlı optimizasyon, merkezî bir planlamacının kaynakları en iyi biçimde dağıtmasının aracı olarak geliştirildi. Aynı matematik, piyasa ekonomisinde fiyatların nasıl işlediğini de açıklar: rekabetçi piyasa fiyatları, belirli koşullar altında, merkezî bir planlamacının hesaplayacağı gölge fiyatlara eşittir. Bu bağlantı, bir tarafta piyasa fiyatlarının kaynakların kıtlığını doğru yansıttığını savunanlarca, öbür tarafta planlamanın hesaplama sorunlarını çözebileceğini savunanlarca farklı biçimlerde yorumlanmıştır. Tartışma, planlamacının gereken bilgiye sahip olup olamayacağı sorusunda düğümlenir.

Modelin sınırları

Lagrange yöntemi, amaç fonksiyonunun ve kısıtların türevlenebilir olduğunu, karar vericinin bunları bildiğini ve en iyi noktayı seçtiğini varsayar. Gerçek tüketiciler ve firmalar, faydalarını ya da maliyet fonksiyonlarını açıkça bilmeyebilir; bir önceki dersteki tek tip fiyatlama örneği, firmaların hesaplanan optimumdan sapabildiğini göstermişti. Ayrıca model, kısıtların sabit olduğunu varsayar; oysa bütçeler, teknolojiler ve kurallar değişir. Kısıtlı optimizasyon, bu yüzden bir öngörü makinesi değil, bir düşünme disiplinidir: amacı, kısıtları ve bir kısıtı gevşetmenin değerini açıkça yazmayı gerektirir.

Uygulama

Özet kartı

1. Kısıtlı optimizasyon, bir amaç fonksiyonunu kısıtlar altında iyileştirir; iktisadın temel modellerinin çoğu bu yapıdadır.
2. Lagrange yöntemi, kısıtı bir çarpanla amaç fonksiyonuna ekleyerek problemi bir denklem sistemine çevirir; birinci sıra koşulları eşit marjinal ilkeyi ve teğetlik koşulunu verir.
3. Tüketicinin optimumunda öznel takas oranı piyasadaki fiyat oranıyla, firmanın maliyet en küçüklemesinde teknik ikame oranı girdi fiyatları oranına eşittir.
4. Lagrange çarpanı gölge fiyattır: kısıtın bir birim gevşetilmesinin amaç fonksiyonuna katkısını, örneğin gelirin marjinal faydasını ya da marjinal maliyeti ölçer; bağlayıcı olmayan bir kısıtın gölge fiyatı sıfırdır.
5. Stigler'in diyet problemi, çözümün problemin kuruluşundan daha iyi olamayacağını gösterir: eksik bir amaç ya da unutulmuş bir kısıt, teknik olarak doğru ama kullanışsız sonuçlar üretir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Amaç fonksiyonunu, kısıtı ve Lagrange çarpanını bir tüketici problemi örneğiyle tanımla.
2. (Çıktı 2) Kısıtlı bir optimumda amaç fonksiyonunun türevi neden sıfır olmak zorunda değildir? Tüketici optimumunda neden farksızlık eğrisi bütçe doğrusuna teğettir?
3. (Çıktı 3) U = x × y fayda fonksiyonu, p_x = 4, p_y = 2 ve M = 80 için en iyi x ve y'yi Lagrange yöntemiyle bul.
4. (Çıktı 3) Aynı problemde Lagrange çarpanını hesapla ve anlamını açıkla.
5. (Çıktı 3) Bir firmanın üretimi Q = √(L × K), işçi saati 18 lira, makine saati 2 lira. Firma 30 birim üretmek istiyor. En düşük maliyetli L ve K'yi ve toplam maliyeti bul.
6. (Çıktı 4) Bir belediye, sınırlı bir sosyal yardım bütçesini, yardım alan hane sayısını en yüksek yapacak biçimde dağıtmak için bir optimizasyon modeli kullanıyor. Bu amaç fonksiyonunun ve olası kısıtların sonuçları nasıl etkileyebileceğini değerlendir.

Cevaplar

1. Tüketici probleminde amaç fonksiyonu, iki malın miktarlarına bağlı fayda fonksiyonudur. Kısıt, harcamaların gelire eşit ya da ondan küçük olmasıdır: p_x × x + p_y × y ≤ M. Lagrange çarpanı, gelir bir lira arttığında en yüksek faydanın ne kadar artacağını, yani gelirin marjinal faydasını gösterir.
2. Kısıt bağlayıcıysa, fayda daha fazla harcama yapılabilseydi artmaya devam ederdi; optimumu belirleyen, amaç fonksiyonunun tepesi değil, kısıtın izin verdiği en iyi noktadır. Farksızlık eğrisi bütçe doğrusunu kesseydi, kesişme noktalarının arasında bütçeyi aşmadan daha yüksek bir farksızlık eğrisine ulaşılabilirdi; bu yüzden en iyi noktada eğri bütçe doğrusuna yalnızca dokunur.
3. ℒ = x × y + λ × (80 − 4x − 2y). Koşullar: y − 4λ = 0, x − 2λ = 0, 80 − 4x − 2y = 0. İlk ikisinden y = 2x. Kısıtta 4x + 4x = 80, x = 10, y = 20.
4. İlk koşuldan λ = y ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5. Bütçe bir lira artarsa en yüksek fayda yaklaşık 5 birim artar; bu, gelirin marjinal faydasıdır.
5. Teknik ikame oranı girdi fiyatları oranına eşitlenir: K ÷ L = 18 ÷ 2 = 9, yani K = 9L. Üretim koşulu √(L × 9L) = 3L = 30'dan L = 10, K = 90. Toplam maliyet 18 × 10 + 2 × 90 = 180 + 180 = 360 liradır.
6. Amaç yalnızca hane sayısı olarak tanımlanırsa, model yardımı en çok haneye ulaştırmak için küçük tutarlara bölmeye ya da ihtiyacı daha az olan ve daha ucuza desteklenebilen hanelere yöneltmeye eğilimli olur; en muhtaç haneler görece az yardım alabilir. Kısıtlar da sonucu belirler: hane başına en düşük yardım tutarı, bölgesel dağılım ya da belirli grupların önceliği kısıt olarak yazılmazsa, çözüm bunları gözetmez. Stigler'in diyetindeki gibi, teknik olarak doğru bir çözüm, amacın ve kısıtların eksik tanımlanması yüzünden toplumsal olarak kabul edilemez olabilir; bu yüzden amaç fonksiyonu, ihtiyacın derinliğini de yansıtacak biçimde tanımlanmalıdır.

İleri okuma

• George J. Stigler (1945). «The Cost of Subsistence». Journal of Farm Economics 27(2). Diyet probleminin kurucu makalesi.
• George B. Dantzig (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. Simpleks yönteminin ve doğrusal programlamanın klasik anlatımı.
• Avinash Dixit (1990). Optimization in Economic Theory. 2. baskı, Oxford University Press. Lagrange yönteminin ve gölge fiyatların iktisadi yorumu.
• The Nobel Prize, «The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1975». Kantorovich ve Koopmans'ın katkılarının özeti.

Sonraki derse köprü

Bu derste türevleri kullanarak kısıtlar altında en iyi noktayı bulduk ve marjinal değerlerin kararları nasıl yönlendirdiğini gördük. Ama bazen ters yönde bir soru sorulur: marjinal değerler biliniyorsa, toplam nasıl bulunur? Marjinal maliyetten toplam maliyete, bir talep eğrisinin altında kalan alandan tüketicilerin toplam kazancına, anlık bir büyüme hızından belirli bir süredeki toplam değişime nasıl ulaşılır? Türevin tersine giden bu işlemi, integrali ve alan kavramını sıradaki ders ele alıyor.