Serbest optimizasyon

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kritik noktayı, ikinci sıra koşulunu, yerel ve küresel en yüksek noktayı, eyer noktasını ve Hessian matrisini tanımlar.
• Anlama — Türevin sıfır olmasının neden bir en yüksek nokta için yeterli olmadığını ve ikinci türevin bir tepeyi bir çukurdan nasıl ayırdığını açıklar.
• Uygulama — Tek değişkenli bir kâr fonksiyonunun ve iki pazarda fiyat belirleyen bir firmanın kâr fonksiyonunun en yüksek noktasını bulur ve ikinci sıra koşuluyla doğrular.
• Değerlendirme — Gerçek firmaların teorinin öngördüğü optimumdan neden sapabildiğini, ampirik kanıta ve optimizasyon modelinin varsayımlarına dayanarak tartışır.

Sezgi

Açılış

Bir teleferik işletmesinin sahibi, bilet fiyatını belirlemeye çalışıyor. Fiyatı çok düşük tutarsa her koltuk dolar ama gelir az olur. Fiyatı çok yüksek tutarsa bilet başına çok kazanır ama kabinler boş kalır. Arada bir yerde, geliri en yüksek yapan bir fiyat olmalı. Temel matematik kursunda bu tür soruların cevabının, bir tepe noktasında eğimin sıfır olmasında yattığını gördük.

Ama eğimin sıfır olduğu her nokta bir tepe değildir. Bir vadinin dibinde de eğim sıfırdır. Bir dağ geçidinde, bir yönden bakınca tepede, öbür yönden bakınca çukurda durulur ve yine eğim sıfırdır. Bir fonksiyonun birden fazla tepesi olabilir ve en yükseği, en yakınındaki olmayabilir. İşletme sahibi iki bilet türü satıyorsa, örneğin hafta içi ve hafta sonu için ayrı fiyatlar belirliyorsa, soru iki boyuta çıkar.

Bu ders, bir fonksiyonun zirvesini ya da dibini bulmanın biçimsel yollarını kuruyor: eğimin sıfır olduğu noktaları bulmak, bunların tepe mi çukur mu yoksa geçit mi olduğunu ayırmak ve birden çok değişkenle aynı işi yapmak.

Hikâye — Bir maden suyu kaynağı

1838'de Fransız matematikçi ve iktisatçı Antoine Augustin Cournot, Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, yani zenginlik teorisinin matematiksel ilkeleri üzerine araştırmalar başlıklı bir kitap yayımladı. Kitap, iktisadi soruları sistematik biçimde türevle çözen ilk çalışmalardan biriydi.

Kitabın tekel üzerine bölümünde Cournot, bilinçli olarak sade bir örnek seçti: sağlığa iyi geldiğine inanılan özel bir maden suyu kaynağının sahibi. Kaynaktan su çıkarmanın neredeyse hiçbir maliyeti yoktu ve rakip bir kaynak da yoktu. Sahibin tek kararı, suyun fiyatıydı. Talep, fiyatın bir fonksiyonuydu: fiyat yükseldikçe daha az şişe satılıyordu.

Cournot'nun sorusu, sahibin gelirini en yüksek yapacak fiyatın ne olduğuydu. Gelir, fiyat ile satılan miktarın çarpımıydı. Cournot, bu çarpımın türevini sıfıra eşitleyerek bir koşul yazdı: fiyat biraz artırıldığında, bir yanda her şişeden daha fazla kazanılır, öbür yanda daha az şişe satılır; en iyi fiyatta bu iki etki birbirini tam olarak dengeler. Bu koşul, bugün «marjinal gelir eşittir marjinal maliyet» diye öğrettiğimiz kuralın ilk matematiksel biçimiydi. Cournot, maliyetin sıfır olmadığı genel durum için de koşulu yazdı.

Kitap, yayımlandığı dönemde pek az ilgi gördü. Cournot'nun yöntemi, onlarca yıl sonra marjinal devrimin iktisatçıları tarafından yeniden keşfedildiğinde değeri anlaşıldı. Bugün Cournot'nun adı, oligopol modeliyle birlikte anılır; ama tekel bölümündeki maden suyu örneği, iktisatta optimizasyonun doğum yeri sayılabilir.

Cournot'nun modeli, bir firmanın kârını en yüksek yapan fiyatı bildiğini ve o fiyatı uyguladığını varsayar. Bu varsayım, iktisadın en güçlü ve en çok tartışılan varsayımlarından biridir. Gerçek firmalar gerçekten optimum fiyatı mı uygular? Modern veriler, bu soruya şaşırtıcı bir cevap veriyor.

Kavram

Bir fonksiyonun uç noktalarını, yani zirvelerini ve diplerini aramak, türevin sıfır olduğu noktaları bulmakla başlar.

Bir kritik noktanın türünü belirlemek için ikinci türeve bakılır.

Bir tepe, yalnızca çevresine göre en yüksek olabilir.

Çok değişkenli fonksiyonlarda üçüncü bir kritik nokta türü vardır.

Veri ve kanıt

Cournot'nun kitabı, iktisatta türevle optimizasyonun kurucu metinlerinden biridir.

Teori, firmaların kârı en yüksek yapan fiyatı seçtiğini varsayar. Büyük perakende zincirlerinin fiyat verileri, bu varsayımı doğrudan sınamayı mümkün kıldı.

Zincirlerin bu davranışı için iki açıklama öne sürülür. Birincisine göre firmalar teorinin öngördüğü kadar iyi optimize etmez: yönetim maliyetleri, alışkanlıklar ya da karar süreçlerinin karmaşıklığı onları basit kurallara yöneltir. Öbür okumaya göre firmalar, modelin görmediği maliyetleri hesaba katarak optimize eder: mağazalar arası farklı fiyatların müşterilerde yaratacağı adaletsizlik algısı, marka tutarlılığı ya da fiyatları tek tek yönetmenin maliyeti. İki okuma, optimizasyonun neyi en yüksek yaptığının, yani amaç fonksiyonunun doğru tanımlanmasının belirleyici olduğunu ortaya koyar.

Neden önemli?

İktisat, büyük ölçüde optimizasyon üzerine kurulmuştur. Tüketiciler faydalarını, firmalar kârlarını en yüksek yapmaya, maliyetlerini en düşük tutmaya çalışır. Politika yapıcılar, toplumsal refahı en yüksek yapacak vergi oranlarını ya da düzenlemeleri arar. Bu soruların hepsi, bir amaç fonksiyonunun zirvesini ya da dibini bulmaya indirgenebilir.

İkinci sıra koşulu yalnızca bir teknik ayrıntı değildir; iktisadi bir anlam taşır. Bir firmanın kârının en yüksek olduğu noktada marjinal kârın azalıyor olması gerekir: aksi hâlde bir birim daha üretmek kârı artırmaya devam ederdi. Artan marjinal maliyet ve azalan marjinal gelir, bu koşulun iktisadi karşılıklarıdır. Koşul sağlanmadığında, bulunan nokta aslında kârın en düşük olduğu yer olabilir ve firma yanlış yöne gitmiş olur.

Fiyat ayrımcılığı, çok değişkenli optimizasyonun gündelik bir uygulamasıdır. Havayolları, sinema salonları, müzeler ve toplu taşıma, farklı müşteri gruplarına farklı fiyatlar uygular. Hangi gruba hangi fiyatın uygulanacağı, her grubun esnekliğine göre çok değişkenli bir kâr fonksiyonunun en yüksek noktası aranarak belirlenir.

Model

Tanım kümesinin içi ve sınırı

Bir fonksiyonun uç değerleri iki tür yerde bulunabilir: tanım kümesinin içinde ya da sınırında. İçerideki bir en yüksek noktada, türevlenebilir bir fonksiyonun türevi sıfırdır; bu, birinci sıra koşuludur. Ama en iyi nokta sınırda da olabilir: bir firmanın üretimi sıfırın altına düşemez, bir tüketicinin harcaması gelirini aşamaz. Temel matematik kursunda bu durumu köşe çözümü olarak tanıdık. Bu yüzden optimizasyonun ilk adımı, tanım kümesini belirlemek; ikinci adımı, içerideki kritik noktaları ve sınırdaki değerleri birlikte değerlendirmektir.

Kritik noktaları bulmak

Tek değişkenli bir fonksiyonda kritik noktalar, birinci türevin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur. π(q) = −q³ + 12q² + 60q − 100 kâr fonksiyonunu düşünelim. Türev π′(q) = −3q² + 24q + 60'tır. Sıfıra eşitlenip −3'e bölünürse q² − 8q − 20 = 0, yani (q − 10)(q + 2) = 0 bulunur. İki kritik nokta vardır: q = 10 ve q = −2. Bunlardan ikincisi, üretim negatif olamayacağı için tanım kümesinin dışındadır. Birincisinin zirve olup olmadığı, ikinci türevin işaretinden anlaşılır.

İkinci türev sınaması

Bir kritik noktada ikinci türev negatifse, fonksiyon o noktada aşağı doğru bükülüyordur; eğim, noktanın solunda pozitif, sağında negatiftir ve nokta bir tepedir. İkinci türev pozitifse, fonksiyon yukarı bükülüyordur ve nokta bir çukurdur. Örnekte π″(q) = −6q + 24'tür. q = 10'da π″ = −36 negatiftir; nokta bir yerel en yüksek noktadır ve kâr 700'dür. q = −2'de π″ = 36 pozitiftir; bu nokta bir yerel en düşük noktadır, ama zaten tanım kümesinin dışındadır. İkinci türev sıfırsa sınama sonuç vermez; bu durumda noktanın iki yanındaki eğimlere doğrudan bakmak gerekir.

Yerelden küresele

Bir yerel en yüksek nokta, küresel en yüksek nokta olmayabilir. Fonksiyonun birden fazla tepesi varsa, hepsinin değerleri karşılaştırılmalıdır. Ayrıca tanım kümesinin sınırlarında fonksiyonun daha yüksek değerler alıp almadığı kontrol edilmelidir. Örnekteki kâr fonksiyonunda, q = 0'da kâr −100'dür. q sınırsız büyüdükçe −q³ terimi baskın hâle gelir ve kâr eksi sonsuza gider. Bu yüzden q = 10'daki 700'lük kâr, sıfır ile sonsuz arasındaki tanım kümesinde küresel en yüksek değerdir. Bir fonksiyon her yerde içbükeyse, tek bir kritik noktası vardır ve bu nokta kendiliğinden küresel en yüksek noktadır; iktisatçılar bu yüzden içbükey kâr ve fayda fonksiyonlarını sever.

İçbükeylik ve optimizasyonun güvencesi

İçbükeylik, optimizasyonu kolaylaştıran en önemli özelliktir. İçbükey bir fonksiyonda birinci sıra koşulu, küresel en yüksek noktayı bulmak için yeterlidir: kritik noktada durmak, başka bir tepe olmadığını bilmek demektir. İktisatta pek çok varsayım, bu güvenceyi sağlamak için yapılır. Azalan marjinal fayda, fayda fonksiyonunu içbükey yapar. Azalan marjinal getiri ve artan marjinal maliyet, kâr fonksiyonunu içbükey yapmaya yardım eder. Bu varsayımlar bozulduğunda, örneğin büyük sabit maliyetler ya da ölçek ekonomileri olduğunda, kâr fonksiyonu içbükey olmayabilir ve birden fazla kritik nokta arasından doğru olanı seçmek gerekir.

Bir dibi bulmak: ortalama maliyet

Optimizasyon yalnızca en yüksek değeri aramak değildir; maliyet gibi büyüklüklerde dip aranır ve aynı araçlar kullanılır. Bir firmanın üretimden bağımsız giderleri 80.000 lira tutsun; her birim ayrıca 10 lira ile üretim büyüdükçe artan 0,2 × q liralık bir ek yük getirsin. Ortalama maliyet 80.000 ÷ q + 10 + 0,2 × q'dur. Türev −80.000 ÷ q² + 0,2'dir; sıfıra eşitlenince q² = 400.000, yani q ≈ 632 bulunur. İkinci türev 160.000 ÷ q³ pozitiftir; nokta bir diptir. Bu üretim düzeyinde ortalama maliyet yaklaşık 263 liradır. Daha az üretmek sabit maliyeti az sayıda birime yayar, daha fazla üretmek artan ek maliyetle karşılaşır; dip, iki etkinin dengelendiği yerdir.

Optimumun düz tepesi

İkinci türevin bir iktisadi sonucu daha vardır: optimumun hemen çevresinde fonksiyon neredeyse düzdür. Kendini sına bölümündeki π(q) = −2q² + 48q − 100 kâr fonksiyonunda en iyi miktar 12'dir. Firma yüzde 10 hata yapıp 13,2 birim üretse, kayıp 2 × 1,2², yani yaklaşık 2,9 lira olur; 188 liralık kârın yüzde 1,5'i. Kayıp, hatanın karesiyle orantılıdır: küçük hatalar çok küçük kayıplara yol açar. Bu gözlem, firmaların neden basit kurallar kullanabildiğini de açıklar. Optimumu tam olarak bulmanın maliyeti, ondan biraz sapmanın maliyetinden büyükse, yaklaşık bir kural akılcı bir tercih olabilir. Tek tip fiyatlama, bu tür bir kural olarak da okunabilir.

Çok değişkenli kritik noktalar

İki değişkenli bir fonksiyonda, kritik noktalar, her değişkene göre eğimin sıfıra indiği noktalardır. Bir önceki derste gördüğümüz gradyan burada sıfır vektörüdür: hiçbir yönde ilk adımda artış yoktur. İki değişken için bu, iki denklemden oluşan bir sistemi çözmek demektir: ∂f/∂x = 0 ve ∂f/∂y = 0. Değişkenler birbirini etkilemiyorsa, yani çapraz türev sıfırsa, iki denklem ayrı ayrı çözülebilir. Etkileşim varsa, denklemler birlikte çözülmelidir. Bulunan noktanın türünü belirlemek için tek değişkenli ikinci türevin yerini Hessian matrisi alır.

Hessian sınaması

İki değişkenli bir fonksiyonda bir kritik noktanın türü, ikinci kısmi türevlere bakılarak belirlenir. fxx ile fyy'nin çarpımından fxy'nin karesi çıkarılır; bu, Hessian matrisinin determinantıdır. Determinant pozitifse ve fxx negatifse nokta bir yerel en yüksek noktadır; determinant pozitifse ve fxx pozitifse bir yerel en düşük noktadır. Determinant negatifse nokta bir eyer noktasıdır. Determinant sıfırsa sınama sonuç vermez. Sınamanın sezgisi şudur: her iki doğrultuda aşağı bükülmek yetmez; çapraz etkinin bu bükülmeleri bastırmayacak kadar küçük olması da gerekir.

Eyer noktası

Eyer noktasının en basit örneği f(x, y) = x² − y² fonksiyonudur. Başlangıç noktasında her iki kısmi türev sıfırdır. Ama x ekseni boyunca fonksiyon x² gibi davranır ve başlangıç noktası bir çukurdur; y ekseni boyunca −y² gibi davranır ve başlangıç noktası bir tepedir. Hessian'ın determinantı 2 × (−2) − 0 = −4 negatiftir. İktisatta eyer noktaları, oyun teorisinde ve bazı dinamik modellerde önemli bir rol oynar: bir oyuncunun kazancını en yüksek, öbürünün en düşük yaptığı denge noktaları bir eyer yapısına sahip olabilir.

Çözümlü örnek — İki pazarda fiyat

Bir teleferik işletmesi, hafta içi ve hafta sonu için ayrı bilet fiyatları belirleyebiliyor olsun. Hafta içi talep P_A = 100 − 2q_A, hafta sonu talep P_B = 60 − q_B biçimindedir; q yüzler cinsinden bilet, P lira. Her biletin işletmeye maliyeti 20 liradır.

Kâr fonksiyonu. π = (100 − 2q_A) × q_A + (60 − q_B) × q_B − 20 × (q_A + q_B).

Birinci sıra koşulları. ∂π/∂q_A = 100 − 4q_A − 20 = 0, buradan q_A = 20. ∂π/∂q_B = 60 − 2q_B − 20 = 0, buradan q_B = 20.

Fiyatlar. P_A = 100 − 40 = 60 lira, P_B = 60 − 20 = 40 lira. Her pazarda marjinal gelir, marjinal maliyete, 20 liraya eşittir.

İkinci sıra koşulu. π_AA = −4, π_BB = −2, π_AB = 0. Hessian'ın determinantı (−4) × (−2) − 0 = 8 pozitif, π_AA negatiftir; nokta bir en yüksek noktadır. Kâr fonksiyonu her yerde içbükey olduğu için bu nokta küresel en yüksek noktadır.

Kâr. 60 × 20 + 40 × 20 − 20 × 40 = 1.200 + 800 − 800 = 1.200.

Tek fiyatla karşılaştırma. İşletme iki pazara aynı fiyatı uygulamak zorunda olsaydı, toplam talep 60 liranın altındaki fiyatlarda Q = 110 − 1,5P olurdu. Kâr (P − 20) × (110 − 1,5P)'dir; türevi 140 − 3P sıfıra eşitlenince P ≈ 46,67 lira, Q = 40 ve kâr yaklaşık 1.066,67 bulunur. Tek fiyat, yaklaşık 133 liralık, yani yüzde 11'lik bir kârdan vazgeçmek demektir.

Maliyet değişince optimum nasıl kayar?

Optimum, fonksiyonun parametrelerine bağlıdır ve parametreler değiştiğinde yer değiştirir. Teleferik örneğinde bilet başına maliyet 20 liradan 30 liraya çıksa, hafta içi pazarın birinci sıra koşulu 100 − 4q_A − 30 = 0 olur ve q_A = 17,5, P_A = 65 lira bulunur. Maliyetteki 10 liralık artış, fiyata yalnızca 5 lira yansır. Doğrusal talepte tekelci, maliyet artışının yarısını fiyata aktarır. Temel matematik kursunda tanıdığımız karşılaştırmalı durağanlık yöntemi, bu tür soruları optimizasyon sonuçlarına uygular: bir vergi, bir maliyet şoku ya da bir talep değişikliği, en iyi kararı ne kadar ve hangi yönde değiştirir?

Esneklik ve fiyat kuralı

Çözümlü örnekteki sonuç, genel bir kurala bağlanabilir. Tekelci, satışın getirdiği ek gelir ek maliyeti tam karşıladığında durur. Marjinal gelir, fiyat ve talep esnekliğiyle yazılabilir: marjinal gelir, fiyat çarpı bir artı esnekliğin tersidir. Bu eşitlik düzenlendiğinde, fiyatın marjinal maliyetin üstüne koyduğu pay, esnekliğin mutlak değeriyle ters orantılıdır. Esnekliği düşük olan pazarda fiyat daha yüksek, esnekliği yüksek olan pazarda daha düşük olur. Örnekte hafta içi yolcular, belki iş için seyahat ettikleri için, daha az esnektir ve daha yüksek fiyat öderler.

Fiyat ayrımcılığının koşulları ve tartışması

Farklı gruplara farklı fiyat uygulamak için üç koşul gerekir: firmanın fiyat belirleme gücü olmalı, gruplar birbirinden ayırt edilebilmeli ve ucuz alan grup pahalı alana malı yeniden satamamalıdır. Fiyat ayrımcılığının refah etkisi tartışmalıdır. Destekleyenler, düşük fiyattan yararlanan grubun, tek fiyat altında piyasadan dışlanabileceğini ve bazı durumlarda toplam üretimi artırdığını vurgular; öğrenci ve yaşlı indirimleri bu mantığa dayanır. Eleştirenler ise tüketici artığının büyük kısmının firmaya aktarıldığını ve farklı fiyatların adaletsizlik algısı yarattığını hatırlatır. DellaVigna ile Gentzkow'un bulgusu, firmaların bu algıyı hesaba katarak ayrımcılıktan kaçınıyor olabileceğini düşündürür.

Sayısal optimizasyon

Gerçek problemlerde birinci sıra koşulları her zaman elle çözülebilen denklemler vermez. Bu durumda bilgisayarlar, sayısal yöntemlerle en yüksek noktayı arar. En basit yöntem, gradyanın gösterdiği yönde küçük adımlarla ilerlemektir: fonksiyonun en hızlı arttığı yönde yürüyüp artış durduğunda durmak. Bu yöntem içbükey fonksiyonlarda güvenle çalışır; ama birden çok tepesi olan fonksiyonlarda, başlanan noktaya göre farklı yerel tepelerde durabilir. Hesap tablolarının hedef arama ve çözücü araçları, bu tür yöntemleri kullanır. Hesap tablolarındaki hedef arama aracı da bu mantığın basit bir biçimidir.

Modelin sınırları

Optimizasyon modeli, karar vericinin amacını bildiğini, bu amacın bir fonksiyonla yazılabildiğini ve en iyi noktayı bulup uyguladığını varsayar. DellaVigna ile Gentzkow'un tek tip fiyatlama bulgusu, gerçek karar vericilerin modelin öngördüğü optimumdan sistematik olarak sapabildiğini gösterir. Bu sapma, iki farklı biçimde yorumlanabilir: ya karar vericiler tam optimize etmez, ya da modelin amaç fonksiyonu gerçek maliyetleri ve kaygıları eksik tanımlamıştır. İyi bir analiz, optimizasyon sonucunu mutlak bir öngörü olarak değil, bir kıyaslama noktası olarak kullanır ve gerçek davranışla arasındaki farkı ayrıca inceler.

Uygulama

Özet kartı

1. Optimizasyon, tanım kümesinin içindeki kritik noktaları ve sınırdaki değerleri birlikte değerlendirir; içerideki bir en yüksek noktada birinci türev ya da bütün kısmi türevler sıfırdır.
2. İkinci sıra koşulu, kritik noktanın türünü belirler: ikinci türev negatifse tepe, pozitifse çukurdur; iktisadi karşılığı, marjinal kârın optimumda azalıyor olmasıdır.
3. Yerel bir tepe küresel olmayabilir; içbükey fonksiyonlarda ise tek kritik nokta kendiliğinden küresel en yüksek noktadır, bu yüzden iktisatçılar içbükeyliği güvence sayar.
4. İki değişkenli optimizasyonda Hessian'ın determinantı pozitif ve fxx negatifse nokta tepe, determinant negatifse eyer noktasıdır; çapraz etkiler sınamaya girer.
5. Fiyat ayrımcılığı çok değişkenli optimizasyonun uygulamasıdır; ama DellaVigna ile Gentzkow'un bulgusu, gerçek firmaların teorik optimumdan sapabildiğini ve amaç fonksiyonunun doğru tanımlanmasının önemini gösterir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kritik noktayı tanımla. Neden her kritik nokta bir en yüksek nokta değildir?
2. (Çıktı 2) Bir yerel en yüksek nokta ile küresel en yüksek nokta arasındaki fark nedir? İçbükeylik bu ayrımı nasıl ortadan kaldırır?
3. (Çıktı 3) π(q) = −2q² + 48q − 100 kâr fonksiyonunun kritik noktasını bul, ikinci sıra koşulunu uygula ve en yüksek kârı hesapla.
4. (Çıktı 3) g(x, y) = −x² − y² + xy + 6x kritik noktasını bul ve Hessian sınamasıyla türünü belirle.
5. (Çıktı 3) Bir firma iki pazarda satış yapıyor: P_A = 90 − q_A, P_B = 70 − 2q_B, birim maliyet 10. Her pazarda kârı zirveye taşıyan satış miktarını ve fiyatı bul.
6. (Çıktı 4) DellaVigna ile Gentzkow'un tek tip fiyatlama bulgusunu, «firmalar kârı en yüksek yapar» varsayımı açısından değerlendir. Bu bulgu varsayımı çürütür mü?

Cevaplar

1. Kritik nokta, birinci türevin ya da çok değişkenli durumda bütün kısmi türevlerin sıfır olduğu noktadır. Türev tepede de çukurda da sıfırdır; çok değişkenli fonksiyonlarda eyer noktalarında da sıfırdır. Bu yüzden bir kritik noktanın en yüksek nokta olduğunu söylemek için ikinci sıra koşuluna bakmak gerekir.
2. Yerel en yüksek nokta, yalnızca yakın çevresine göre en yüksektir; küresel en yüksek nokta, bütün tanım kümesindeki en yüksek değerdir. İçbükey bir fonksiyonun tek bir kritik noktası vardır ve bu nokta hem yerel hem küresel en yüksek noktadır; bu yüzden içbükeylik, bulunan tepenin en yüksek tepe olduğunu güvenceye alır.
3. π′(q) = −4q + 48 = 0'dan q = 12 bulunur. π″(q) = −4 negatif olduğu için nokta bir tepedir. En yüksek kâr −2 × 144 + 48 × 12 − 100 = −288 + 576 − 100 = 188'dir.
4. ∂f/∂x = −2x + y + 6 = 0 ve ∂f/∂y = −2y + x = 0. İkinci denklemden x = 2y; birincide yerine konunca −4y + y + 6 = 0, y = 2, x = 4. fxx = −2, fyy = −2, fxy = 1. Determinant (−2)(−2) − 1² = 3 pozitif, fxx negatif; nokta (4, 2) bir yerel en yüksek noktadır.
5. Pazar A: π_A = (90 − q_A)q_A − 10q_A; türev 90 − 2q_A − 10 = 0'dan q_A = 40, P_A = 50. Pazar B: π_B = (70 − 2q_B)q_B − 10q_B; türev 70 − 4q_B − 10 = 0'dan q_B = 15, P_B = 40. İkinci türevler −2 ve −4 negatiftir; iki nokta da en yüksek noktadır.
6. Bulgu, zincirlerin mağazalar arasında fiyatları talep koşullarına göre ayarlamadığını ve bu yüzden hesaplanan optimuma göre kârdan vazgeçtiğini gösterir. Ama varsayımı tek başına çürütmez: zincirler, fiyat farklılaştırmanın yönetim maliyetlerini, müşterilerin adaletsizlik algısını ya da marka tutarlılığını hesaba katıyor olabilir; bu durumda modelin amaç fonksiyonu eksiktir. Ayrıca zincirler arasındaki fiyat farkları optimumla uyumludur. Bulgu, firmaların bazı kararları basit kurallarla verdiğini ve amaç fonksiyonunun doğru tanımlanmasının önemini gösterir.

İleri okuma

• Antoine Augustin Cournot (1838). Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. İngilizce çevirisi Nathaniel T. Bacon (1897), Macmillan. Tekel optimizasyonunun kurucu metni.
• Stefano DellaVigna, Matthew Gentzkow (2019). «Uniform Pricing in U.S. Retail Chains». Quarterly Journal of Economics 134(4). Gerçek firmaların fiyat optimizasyonundan sapması.
• Hal R. Varian (2014). Intermediate Microeconomics: A Modern Approach. 9. baskı, W. W. Norton. Tekel, fiyat ayrımcılığı ve optimizasyon bölümleri.
• Rangarajan K. Sundaram (1996). A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. Kritik noktalar, ikinci sıra koşulları ve içbükeylik üzerine sistematik bir anlatım.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir fonksiyonun en yüksek noktasını, değişkenlerin serbestçe seçilebildiği durumda aradık. Ama iktisadın temel sorusu kıtlıktır: bir tüketici harcamalarını gelirine sığdırmak, bir firma üretimini bütçesiyle sınırlamak zorundadır. Bir amaç, bir kısıt altında en yüksek noktaya nasıl ulaşır? Bütçe doğrusu farksızlık eğrisine teğet olduğunda ne olur ve kısıtı bir birim gevşetmenin değerini ölçen gölge fiyat nedir? Kısıtlı optimizasyonu ve Lagrange yöntemini sıradaki ders ele alıyor.