Kısmi türev

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kısmi türevi, marjinal ürünü, çapraz kısmi türevi, toplam diferansiyeli, homojen fonksiyonu ve Euler teoremini tanımlar.
• Anlama — Çok değişkenli bir fonksiyonda «öbür değişkenler sabitken» bir değişkenin etkisinin nasıl ölçüldüğünü ve Euler teoreminin gelirin üretim faktörleri arasında paylaşılması için ne anlama geldiğini açıklar.
• Uygulama — Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun ve çok değişkenli talep fonksiyonlarının kısmi türevlerini hesaplar; toplam diferansiyelle birden fazla değişkenin aynı anda değişmesinin etkisini tahmin eder.
• Değerlendirme — Marjinal verimlilik teorisinin gelir dağılımı hakkında neyi söyleyip neyi söylemediğini, varsayımları ve tarihsel eleştirileri açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir çiftçinin buğday üretimi, tarlasına ne kadar gübre verdiğine, ne kadar su kullandığına ve kaç işçi çalıştırdığına bağlı. Çiftçi bir torba gübre daha eklemenin üretimi ne kadar artıracağını bilmek istiyor. Ama bu soruya verilecek cevap sabit değil; sulamanın ne kadar olduğuna ve kaç işçinin çalıştığına göre değişiyor. Kuru bir tarlada ek gübre az işe yarar; iyi sulanan bir tarlada çok daha fazla.

İktisattaki fonksiyonların çoğu böyledir: birden fazla değişkene bağlıdırlar. Bir malın satışları kendi fiyatının yanında alıcıların kazancına ve rakip ürünlerin etiketlerine göre değişir. Bir fabrikanın çıktısı, çalışan sayısıyla birlikte makinelerin sayısına da bağlıdır. Fayda, tüketilen bütün malların miktarına bağlıdır. Bu fonksiyonlarda bir değişkenin etkisini ölçmek için, öbür değişkenleri sabit tutmak gerekir.

İktisatçılar bu fikri «diğer koşullar sabitken», Latince ceteris paribus diye ifade eder. Bu ders, bu fikrin matematiksel biçimini, yani kısmi türevi tanıtıyor ve onu iktisadın en eski sorularından birine uyguluyor: bir ekonomide üretilen değer, onu üretenler arasında nasıl paylaşılır?

Hikâye — Ürün tükenir mi?

On dokuzuncu yüzyılın sonunda iktisatçılar, yeni bir fikrin cazibesine kapılmıştı. Marjinal devrim, malların değerinin son birimin faydasıyla belirlendiğini göstermişti. Aynı mantık üretim faktörlerine de uygulanabilir miydi? Belki bir işçinin ücreti, son işçinin üretime yaptığı katkıyla; sermayenin getirisi, son sermaye biriminin katkısıyla belirleniyordu. Buna marjinal verimlilik teorisi deniyordu.

Ama teorinin önünde mantıksal bir engel vardı. Her faktöre, kendi marjinal katkısı kadar ödeme yapıldığını varsayalım. Emeğe düşen pay, işçi sayısı ile son işçinin katkısının çarpımı olurdu; sermayeye düşen pay da benzer biçimde. Bu payların toplamı, üretimin tamamına eşit olur muydu? Yoksa üretimin bir kısmı dağıtılmadan artar mıydı, ya da ödenmesi gerekenler üretimden fazla mı olurdu? Bu soru, «ürün tükenmesi sorunu» olarak bilinmeye başladı.

1894'te İngiliz iktisatçı ve din adamı Philip Wicksteed, An Essay on the Co-ordination of the Laws of Distribution başlıklı kısa bir kitap yayımladı. Wicksteed, belirli bir koşul altında payların toplamının tam olarak üretime eşit olacağını savundu. Koşul, üretim fonksiyonunun, bütün girdiler aynı oranda artırıldığında üretimin de aynı oranda artması, yani ölçeğe göre sabit getiri özelliğini taşımasıydı.

Aynı yıl, matematikçi kökenli iktisatçı Alfred Flux, kitap hakkında yazdığı bir değerlendirmede önemli bir noktaya dikkat çekti: Wicksteed'in uzun ve zahmetli ispatı, aslında on sekizinci yüzyılın en üretken matematikçisi Euler'in homojen fonksiyonlar için kanıtladığı bir teoremin basit bir uygulamasıydı. Kısmi türevlerle yazıldığında sonuç tek bir satıra sığıyordu.

Tartışma burada bitmedi. İtalyan iktisatçı Vilfredo Pareto ve İngiliz iktisatçı Francis Ysidro Edgeworth, ölçeğe göre sabit getiri varsayımının gerçekçi olmadığını savundu. Edgeworth, bu tür görüşlerle, adaletin kusursuz bir küp, akılcı davranışın da homojen bir fonksiyon olduğunu söyleyen iğneleyici bir cümleyle alay etti. Soruya kalıcı bir çözümü, yüzyılın başında İsveçli iktisatçı Knut Wicksell getirdi: rekabetçi bir piyasanın uzun dönem dengesinde firmalar, ölçeğe göre getirinin tam olarak sabit olduğu bir noktada, birim maliyetin dibe vurduğu yerde üretir. Bu yüzden ürün, bütün fonksiyonun homojen olmasına gerek kalmadan, dengede tükenir.

Kavram

Çok değişkenli bir fonksiyonda bir değişkenin etkisini ölçmek, öbürlerini sabit tutmayı gerektirir.

İktisatta kısmi türevlerin en önemli uygulaması, üretim fonksiyonudur.

Bir girdinin marjinal ürünü, öbür girdinin miktarına bağlı olabilir.

Birden çok değişken aynı anda değiştiğinde, etkileri birleştirmek gerekir.

Ölçeğe göre getiri, homojenlik kavramıyla kesinleştirilir.

Veri ve kanıt

Wicksteed'in kitabı, marjinal verimlilik teorisinin matematiksel temellerini kuran ilk çalışmalardan biridir.

Tartışmanın sonraki aşamaları, iktisatçıların bu sonucu nasıl sınadığını ve sınırlarını nasıl belirlediğini gösterir.

Bu tarih, bir matematiksel sonucun iktisadi bir iddiaya nasıl dönüştüğünü ve o iddianın varsayımlarıyla nasıl sınandığını gösterir. Euler teoremi matematiksel olarak kesindir; tartışma, teoremin koşullarının ekonomide ne kadar geçerli olduğu üzerinedir.

Neden önemli?

Kısmi türev, iktisatçıların «diğer koşullar sabitken» diye başlayan her cümlesinin matematiksel karşılığıdır. Bir talep fonksiyonunun fiyata göre kısmi türevi fiyat etkisini, gelire göre kısmi türevi gelir etkisini, başka bir malın fiyatına göre kısmi türevi çapraz etkiyi verir. Bu etkileri birbirinden ayırmak, bir politika değişikliğinin sonuçlarını anlamak için gereklidir.

Üretim fonksiyonlarının kısmi türevleri, iş piyasasının ve yatırım kararlarının temelidir. Bir işverenin ek bir işçiyi işe alıp almaması, emeğin marjinal ürününün değeri ile ücretin karşılaştırılmasına dayanır. Bir makine daha alıp almaması, sermayenin marjinal ürününün değeri ile makinenin maliyetine bağlıdır. Çapraz kısmi türevler ise teknolojinin emeği tamamlayıp tamamlamadığını ya da onun yerini alıp almadığını gösterir.

Ulusal gelirden emeğe ve sermayeye düşen paylar, günümüzün en çok tartışılan iktisadi sorularından biridir. Emeğin milli gelirden aldığı pay pek çok ülkede zaman içinde değişmiştir. Bu değişimin nedenlerini tartışmak, marjinal ürünlerin, homojenliğin ve piyasa gücünün rolünü anlamayı gerektirir.

Model

Çok değişkenli fonksiyonlar

Çok değişkenli bir fonksiyon, birden fazla girdiye tek bir çıktı atar: Q = f(L, K) gibi. Grafiği artık bir eğri değil, üç boyutlu bir yüzeydir: yatay düzlemin iki ekseni girdileri, dikey eksen çıktıyı gösterir. Bu yüzeyi iki boyutta göstermenin yolu, eş düzey eğrileridir. Aynı çıktı düzeyini veren girdi bileşimlerini birleştiren eğriler, haritalardaki eş yükselti çizgilerine benzer. Üretimde bunlara eşürün eğrileri, tüketimde farksızlık eğrileri denir. Temel mikroiktisat derslerindeki farksızlık eğrileri, çok değişkenli bir fayda fonksiyonunun eş düzey eğrileridir.

Kısmi türevi hesaplamak

Kısmi türev almak, tek değişkenli türev almaktan zor değildir: hangi değişkene göre türev alınıyorsa o değişken değişken olarak kalır, öbürleri birer sabit gibi davranır. f(x, y) = x² × y + 3y fonksiyonunda, x'e göre kısmi türev alınırken y sabittir: ∂f/∂x = 2x × y. y'ye göre kısmi türev alınırken x sabittir: ∂f/∂y = x² + 3. Geometrik olarak ∂f/∂x, yüzeyin y sabitken x yönündeki eğimidir; yani yüzeyi y'nin sabit olduğu bir düzlemle kestiğimizde ortaya çıkan eğrinin eğimidir.

Talep fonksiyonunun kısmi türevleri

Bir malın talebi, kendi fiyatına, tüketicilerin gelirine ve ilgili malların fiyatlarına bağlıdır. Q = 200 − 4P + 0,02 × I + 3 × P' biçiminde bir talep fonksiyonu düşünelim; P malın kendi fiyatı, I gelir, P' ise başka bir malın fiyatıdır. ∂Q/∂P = −4: fiyat bir lira artarsa, gelir ve öbür malın fiyatı sabitken talep 4 birim azalır. ∂Q/∂I = 0,02: gelir bin lira artarsa talep 20 birim artar; mal normaldir. ∂Q/∂P' = 3: öbür malın fiyatı arttığında bu malın talebi artar; iki mal birbirinin ikamesidir. Temel iktisat dersindeki çapraz esneklik, bu kısmi türevden hesaplanır.

Cobb-Douglas'ın marjinal ürünleri

Q = A × L üzeri α × K üzeri β üretim fonksiyonunda, emeğe göre kısmi türev almak için K ve A sabit tutulur ve kuvvet kuralı uygulanır: ∂Q/∂L = α × A × L üzeri (α − 1) × K üzeri β. Bu ifade, α × Q ÷ L biçiminde sadeleşir: emeğin marjinal ürünü, emeğin üssü ile emeğin ortalama ürününün çarpımıdır. Benzer biçimde sermayenin marjinal ürünü β × Q ÷ K'dir. Bu formüller iki şeyi gösterir: emek arttıkça, sermaye sabitken, Q ÷ L düştüğü için emeğin marjinal ürünü azalır; sermaye arttığında ise Q artacağı için emeğin marjinal ürünü yükselir.

Esnekliği kısmi türevle okumak

Kısmi türevler birime bağlıdır; esneklikler ise birimsiz yüzde oranlarıdır. Bir değişkene göre esneklik, kısmi türevin o değişkenin fonksiyon değerine oranıyla çarpılmasıyla bulunur: emeğe göre üretim esnekliği ∂Q/∂L × L ÷ Q'dur. Cobb-Douglas'ta bu esneklik, marjinal ürün formülü yerine konduğunda α × Q ÷ L × L ÷ Q = α'ya eşittir. Böylece fonksiyon türleri dersinde söylediğimiz «üsler esnekliktir» ifadesi, kısmi türevle kanıtlanmış olur. Talep fonksiyonlarında da fiyat esnekliği, gelir esnekliği ve çapraz esneklik, ilgili kısmi türevlerden aynı yolla elde edilir.

Çapraz kısmi türev ve tamamlayıcılık

Emeğin marjinal ürününün sermayeye göre kısmi türevi, iki girdinin nasıl etkileştiğini gösterir. Cobb-Douglas'ta bu çapraz türev α × β × Q ÷ (L × K)'dır ve üsler pozitif olduğu sürece pozitiftir: daha fazla makine, her işçiyi daha verimli kılar. Bu, girdilerin birbirini tamamladığı anlamına gelir. Başka üretim fonksiyonlarında çapraz türev negatif olabilir: yeni bir teknoloji belirli bir işçi grubunun marjinal ürününü düşürüyorsa, o teknoloji bu işçilerin ikamesidir. Otomasyonun ücretlere etkisi tartışmalarının merkezinde, bu çapraz türevin işareti vardır.

Young teoremi

Çapraz kısmi türevlerin önemli bir özelliği, türev alma sırasının sonucu değiştirmemesidir. Önce L'ye sonra K'ye göre türev almak, önce K'ye sonra L'ye göre türev almakla aynı sonucu verir; fonksiyon yeterince düzgün olduğu sürece. Bu sonuca Young teoremi denir. İktisadi yorumu şaşırtıcıdır: sermaye arttığında emeğin marjinal ürününün ne kadar yükseldiği, emek arttığında sermayenin marjinal ürününün ne kadar yükseldiğine eşittir. İki girdinin tamamlayıcılığı simetriktir. Bu simetri, tüketici teorisinde de karşımıza çıkar.

Toplam diferansiyel

Gerçek dünyada değişkenler çoğu zaman birlikte değişir. Talep örneğinde fiyat 2 lira artarken gelir bin lira artsın. Toplam diferansiyel, iki etkinin toplamını verir: dQ = ∂Q/∂P × dP + ∂Q/∂I × dI = −4 × 2 + 0,02 × 1.000 = −8 + 20 = +12. Fiyat artışının talebi azaltıcı etkisi, gelir artışının artırıcı etkisi tarafından fazlasıyla dengelenir ve talep 12 birim artar. Bu hesap, fiyatlar ve gelirler aynı anda değişirken talebin neden düşmeyebileceğini gösterir. Enflasyonlu dönemlerde, fiyat artışlarının etkisini tek başına değerlendirmek bu yüzden yanıltıcı olabilir.

Homojen fonksiyonlar

Bir fonksiyonun bütün girdileri aynı t katına çıkarıldığında çıktısının t üzeri k katına çıkması, fonksiyonun k'ıncı dereceden homojen olduğunu gösterir. Cobb-Douglas fonksiyonu, üslerin toplamı olan α + β dereceden homojendir. Derece 1 ise ölçeğe göre getiri sabit, 1'den büyükse artan, küçükse azalandır. Homojenlik talep teorisinde de önemlidir: bütün fiyatlar ve gelir aynı oranda artarsa, bir tüketicinin satın alabileceği mal bileşimleri değişmez; bu yüzden talep fonksiyonları fiyatlar ve gelirde sıfırıncı dereceden homojendir. Bu, para yanılsamasının olmaması anlamına gelir.

Euler teoremi

Euler teoremi, homojenlik ile kısmi türevler arasında bir bağ kurar. k'ıncı dereceden homojen bir fonksiyonda, her değişkenin kısmi türeviyle çarpımlarının toplamı, fonksiyonun k katına eşittir. Üretim fonksiyonu birinci dereceden homojense, L × ∂Q/∂L + K × ∂Q/∂K = Q olur. İktisadi yorumu şudur: işçilerin her biri emeğin, makinelerin her biri sermayenin marjinal ürünüyle ücretlendirilirse, ödemelerin toplamı üretime tam olarak eşit olur. Ne artan ne eksik kalır. Wicksteed'in ürün tükenmesi sonucu, bu teoremin iktisattaki karşılığıdır.

Çözümlü örnek — Marjinal ürünler ve ürünün paylaşılması

Bir atölyenin üretimi Q = 6 × L üzeri 0,6 × K üzeri 0,4 olsun; L = 32 işçi, K = 243 makine-saat.

Üretim. 32 üzeri 0,6 = 8 ve 243 üzeri 0,4 = 9 olduğu için Q = 6 × 8 × 9 = 432 birim.

Emeğin marjinal ürünü. ∂Q/∂L = 0,6 × Q ÷ L = 0,6 × 432 ÷ 32 = 8,1 birim. Makine-saat sabitken bir işçi daha üretimi yaklaşık 8,1 birim artırır.

Sermayenin marjinal ürünü. ∂Q/∂K = 0,4 × Q ÷ K = 0,4 × 432 ÷ 243 ≈ 0,71 birim.

Kesikli karşılaştırma. L = 33'te üretim yaklaşık 440,05'tir; artış yaklaşık 8,05 birimdir. Kısmi türev, bir işçilik kesikli değişimi iyi bir yaklaşıklıkla verir.

Euler teoremi. İşçilere kendi marjinal ürünleri üzerinden ödeme yapıldığında emeğin toplam payı 32 × 8,1 = 259,2 birim; makine-saatlere aynı kuralla ödeme yapıldığında sermayenin payı 243 × 0,711 ≈ 172,8 birim olur. İkisinin toplamı 432 birimdir; üretimin tamamı paylaşılmıştır. Emeğin payı 259,2 ÷ 432 = yüzde 60, sermayenin payı yüzde 40'tır; bunlar üslerin kendisidir.

Çapraz türev. ∂²Q/∂L∂K = 0,6 × 0,4 × 432 ÷ (32 × 243) ≈ 0,013. Pozitiftir: bir makine-saat daha, her işçinin marjinal ürününü biraz artırır.

Teknik ikame oranı. Emeğin marjinal ürününün sermayeninkine oranı 8,1 ÷ 0,711 ≈ 11,4'tür: üretimi sabit tutmak için bir işçi azalırsa yaklaşık 11,4 makine-saat eklemek gerekir.

Teknik ikame oranı

Kısmi türevler, bir girdiden vazgeçip öbürüyle telafi etmenin bedelini de ölçer. Üretimi sabit tutarken bir işçiden vazgeçmek için kaç birim sermaye eklemek gerektiği, emeğin marjinal ürününün sermayenin marjinal ürününe oranıdır. Buna teknik ikame oranı denir ve eşürün eğrisinin eğimini verir. Toplam diferansiyelden kolayca çıkar: üretimin değişmemesi için ∂Q/∂L × dL + ∂Q/∂K × dK = 0 olmalıdır; buradan dK ÷ dL = −(∂Q/∂L) ÷ (∂Q/∂K) bulunur. Tüketici teorisindeki marjinal ikame oranı da aynı mantıkla, iki malın marjinal faydalarının oranı olarak tanımlanır. Bir firma, bu oranı girdilerin göreli fiyatıyla karşılaştırarak maliyetini en aza indirecek girdi bileşimini seçer.

Gradyan

Bir fonksiyonun bütün kısmi türevleri bir araya getirildiğinde, gradyan denen bir vektör oluşur: Q = f(L, K) için gradyan, emeğin ve sermayenin marjinal ürünlerinden oluşan ikilidir. Gradyanın geometrik anlamı şudur: yüzey üzerinde durulan noktada, fonksiyonun en hızlı arttığı yönü gösterir. Bir firmanın elinde sınırlı bir ek bütçe varsa ve girdilerin fiyatları eşitse, bu bütçeyi gradyanın gösterdiği yönde, yani marjinal ürünü daha yüksek olan girdiye doğru harcamak üretimi en hızlı artırır. Sıradaki derslerde göreceğimiz optimizasyon yöntemlerinin çoğu, gradyanın sıfır olduğu, yani hiçbir yönde artışın mümkün olmadığı noktaları arar.

Marjinal ürün ve ücretler

Rekabetçi bir iş piyasasında bir firma, bir işçi daha almanın getirisini maliyetiyle karşılaştırır. Getiri, emeğin marjinal ürünü ile ürünün fiyatının çarpımıdır; maliyet ise ücrettir. Firma, bu ikisi eşitlenene kadar işçi alır. Bu koşul, marjinal verimlilik teorisinin ücretleri nasıl açıkladığını gösterir: rekabetçi bir piyasada ücret, emeğin marjinal ürününün değerine eşittir. Aynı mantık sermaye için de geçerlidir. Bu koşullar ve Euler teoremi birlikte, Cobb-Douglas bir ekonomide emeğin gelirden aldığı payın α'ya eşit ve sabit olacağını öngörür; Cobb ile Douglas'ın gözlemlediği sabit paylar böyle açıklanır.

Teorinin sınırları ve eleştiriler

Marjinal verimlilik teorisinin varsayımları güçlüdür ve tarih boyunca eleştirilmiştir. Rekabetçi piyasa varsayımı, işverenlerin ya da çalışanların pazarlık gücüne sahip olduğu durumlarda bozulur; iş imkânlarının tek bir büyük fabrikaya bağlı olduğu bir ilçede ücretler marjinal ürünün altında kalabilir. Ölçeğe göre sabit getiri varsayımı, Pareto ve Edgeworth'un eleştirdiği gibi, büyük sabit maliyetlerin ve bölünmezliklerin bulunduğu sektörlerde tutmaz. Bazı iktisatçılar ise sermayenin tek bir büyüklükle ölçülmesinin kendisini sorunlu bulur. Savunucular, teorinin uzun dönemde ve rekabetçi piyasalarda gözlenen örüntüleri iyi açıkladığını, eleştirilerin teorinin geçerli olduğu alanı daralttığını ama onu geçersiz kılmadığını hatırlatır.

Betimleme ile değerlendirme

Marjinal verimlilik teorisinin tarihindeki en önemli ayrımlardan biri, betimsel bir iddia ile ahlaki bir iddia arasındadır. Amerikalı iktisatçı John Bates Clark, 1899'da, rekabetçi bir ekonomide her faktörün ürettiği kadarını aldığını ve bunun doğal bir adalet yasası olduğunu savundu. Pek çok iktisatçı bu ikinci adıma itiraz etti: bir faktörün marjinal ürününün ne kadar olduğu, o faktörün sahibinin başlangıçta ne kadar kaynağa sahip olduğuna, piyasa yapısına ve teknolojiye bağlıdır; bunların hiçbiri kendiliğinden adil değildir. Bugün iktisatçılar genellikle teoriyi, gelir dağılımının nasıl oluştuğunu anlamanın bir aracı olarak kullanır ve adalet sorusunu ayrı bir tartışma olarak ele alır.

Modelin sınırları

Kısmi türevler, çok değişkenli fonksiyonların yerel davranışını kesin biçimde ölçer; ama «öbür değişkenler sabitken» varsayımı, gerçek dünyada nadiren tam olarak geçerlidir. Bir değişken değiştiğinde öbürleri de tepki verir; bu tepkileri hesaba katmak için toplam diferansiyele ya da daha kapsamlı modellere ihtiyaç vardır. Ayrıca kısmi türevler, fonksiyonun biçimine bağlıdır: Cobb-Douglas varsayımı altında hesaplanan marjinal ürünler ve çapraz türevler, başka bir fonksiyon biçimi altında farklı çıkabilir. Kısmi türevle yapılan iktisadi yorumlar, fonksiyon seçimiyle ve varsayımlarla birlikte okunmalıdır.

Uygulama

Özet kartı

1. Kısmi türev, öbür değişkenler sabitken tek bir değişkene göre türevdir ve «diğer koşullar sabitken» ifadesinin matematiksel karşılığıdır; öbür değişkenler birer sabit gibi ele alınır.
2. Üretim fonksiyonunun kısmi türevleri marjinal ürünlerdir; Cobb-Douglas'ta emeğin marjinal ürünü α × Q ÷ L'dir ve kısmi türevle hesaplanan esneklik doğrudan üsse eşittir.
3. Çapraz kısmi türev, girdilerin birbirini tamamlayıp tamamlamadığını gösterir ve türev alma sırasından bağımsızdır; toplam diferansiyel, birden çok değişkenin birlikte değişmesinin etkisini birleştirir.
4. Euler teoremi, birinci dereceden homojen bir üretim fonksiyonunda faktörler marjinal katkılarıyla ödüllendirildiğinde ürünün tam olarak tükendiğini söyler; bu, Wicksteed'in 1894'teki sonucunun matematiksel özüdür.
5. Marjinal verimlilik teorisi rekabetçi piyasalarda ücretleri ve faktör paylarını betimler; ama piyasa gücü, ölçeğe göre getiri ve ölçüm sorunları sınırlarını çizer ve betimleme, adalet yargısıyla karıştırılmamalıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kısmi türevi tanımla. Bir kısmi türevi hesaplarken öbür değişkenlere ne yapılır?
2. (Çıktı 2) Euler teoremi, her faktöre marjinal ürünü kadar ödeme yapılan bir ekonomide gelir dağılımı hakkında ne söyler? Hangi koşula dayanır?
3. (Çıktı 3) f(x, y) = 3x²y + 2y² fonksiyonunun ∂f/∂x ve ∂f/∂y kısmi türevlerini ve çapraz kısmi türevini bul.
4. (Çıktı 3) Q = 5 × L üzeri 0,5 × K üzeri 0,5 iken L = 25, K = 100 için üretimi, emeğin ve sermayenin marjinal ürünlerini bul. Euler teoremini sına.
5. (Çıktı 3) Talep Q = 500 − 10P + 0,05I olsun. Fiyat 3 lira artarken gelir 2.000 lira artarsa talepteki yaklaşık değişim nedir?
6. (Çıktı 4) Bir yorumcu, «Rekabetçi bir ekonomide herkes ürettiği kadarını alır, bu yüzden gelir dağılımı adildir» diyor. Bu iddiayı, bu dersin kavramları ve tarihsel eleştiriler açısından değerlendir.

Cevaplar

1. Kısmi türev, birden çok değişkene bağlı bir fonksiyonun, öbür değişkenler sabitken tek bir değişkene göre türevidir. Hesaplanırken öbür değişkenler birer sabit sayı gibi ele alınır ve tek değişkenli türev kuralları uygulanır.
2. Euler teoremine göre, üretim fonksiyonu birinci dereceden homojense, yani ölçeğe göre getiri sabitse, her faktöre marjinal ürünü kadar ödeme yapıldığında ödemelerin toplamı üretimin tamamına eşittir; ürün tam olarak paylaşılır, ne artan kalır ne eksik. Sonuç, ölçeğe göre sabit getiri koşuluna dayanır; Wicksell, rekabetçi uzun dönem dengesinde bu koşulun yerel olarak sağlandığını göstermiştir.
3. ∂f/∂x = 6xy, ∂f/∂y = 3x² + 4y. Çapraz kısmi türev, ∂f/∂x'in y'ye göre türevi, 6x'tir; ∂f/∂y'nin x'e göre türevi de 6x'tir.
4. Q = 5 × 5 × 10 = 250. Emeğin marjinal ürünü 0,5 × 250 ÷ 25 = 5; sermayenin marjinal ürünü 0,5 × 250 ÷ 100 = 1,25. Euler: 25 × 5 + 100 × 1,25 = 125 + 125 = 250, üretime eşittir; fonksiyon birinci dereceden homojen olduğundan teorem tam olarak sağlanır.
5. dQ = −10 × 3 + 0,05 × 2.000 = −30 + 100 = +70. Fiyat artışına rağmen, gelir artışının etkisi daha büyük olduğu için talep yaklaşık 70 birim artar.
6. Marjinal verimlilik teorisi, belirli varsayımlar altında rekabetçi piyasalarda faktör ödemelerinin marjinal ürünlere eşit olduğunu betimler; bu betimsel bir iddiadır. Ama bir faktörün marjinal ürünü, sahibinin başlangıçtaki kaynaklarına, piyasa yapısına ve teknolojiye bağlıdır ve bunların hiçbiri kendiliğinden adil değildir. Ayrıca piyasa gücü ve pazarlık, ödemeleri marjinal üründen uzaklaştırabilir; ölçeğe göre sabit getiri varsayımı da her sektörde tutmaz. Clark'ın betimlemeden adalet yargısına geçmesi bu yüzden eleştirilmiştir; adalet sorusu, ayrı bir değerlendirme gerektirir.

İleri okuma

• Philip H. Wicksteed (1894). An Essay on the Co-ordination of the Laws of Distribution. Macmillan. Ürün tükenmesi sorununun kurucu metni.
• George J. Stigler (1941). Production and Distribution Theories: The Formative Period. Macmillan. Marjinal verimlilik teorisinin ve ürün tükenmesi tartışmasının tarihçesi.
• John Bates Clark (1899). The Distribution of Wealth. Macmillan. Marjinal verimlilik teorisinin adalet iddiasıyla birlikte sunumu.
• Knut Sydsæter, Peter Hammond, Atle Seierstad, Arne Strøm (2008). Further Mathematics for Economic Analysis. 2. baskı, Pearson. Çok değişkenli fonksiyonlar ve homojenlik üzerine ileri düzey bir kaynak.

Sonraki derse köprü

Bu derste çok değişkenli fonksiyonların her yöndeki eğimini kısmi türevlerle ölçtük. Ama iktisatçıların çoğu zaman sorduğu soru, bir eğimin ne olduğu değil, bir fonksiyonun en yüksek ya da en düşük değerini nerede aldığıdır: kârı en yüksek yapan üretim düzeyi, maliyeti en düşük yapan girdi bileşimi. Tek değişkenli bir fonksiyonda en yüksek nokta nasıl bulunur, birden çok değişkenli bir fonksiyonda bütün kısmi türevlerin aynı anda sıfır olması ne anlama gelir ve bulunan noktanın bir tepe mi yoksa bir çukur mu olduğu nasıl anlaşılır? Serbest optimizasyonu sıradaki ders ele alıyor.