Türev ve kuralları

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Fark oranını, türevlenebilir fonksiyonu, kuvvet, çarpım ve zincir kurallarını ve ikinci türevi tanımlar.
• Anlama — Türevin, küçülen aralıklardaki değişim oranının limiti olarak nasıl tanımlandığını ve iktisattaki marjinal kavramların bu tanıma nasıl dayandığını açıklar.
• Uygulama — Polinom, kuvvet, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevlerini kurallarla hesaplar; toplam maliyetten marjinal maliyeti, toplam gelirden marjinal geliri ve talep fonksiyonundan fiyat esnekliğini bulur.
• Değerlendirme — Türevle hesaplanan marjinal bir değerin, kesikli bir birimlik değişimin ne kadar iyi bir yaklaşıklığı olduğunu değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir fırının günlük toplam maliyeti, ürettiği ekmek sayısına bağlı. Fırın sahibi, beş yüzüncü ekmekten sonra bir ekmek daha üretmenin ne kadara mal olacağını bilmek istiyor. Temel matematik kursunda bu soruyu marjinal düşünceyle sorduk: karar, son birimin maliyeti ile getirisi karşılaştırılarak verilir.

Ama «bir ekmek daha» ifadesinin arkasında bir incelik var. Fırın sahibi bir ekmek yerine yarım ekmek, bir dilim ya da bir gram daha üretmeyi düşünseydi, maliyetteki değişim birim başına biraz farklı çıkardı. Değişimin hesaplandığı adım küçüldükçe, birim başına maliyet belirli bir değere yaklaşır. Bu değer, maliyet eğrisinin tam o noktadaki eğimidir.

Bir önceki derste limiti tanıdık. Bu ders, limiti bir fonksiyonun eğimine uygular ve türevi biçimsel olarak tanımlar. Sonra da her türevi baştan hesaplamak yerine, onları hızla bulmayı sağlayan kuralları kurar. Bu kurallar, iktisatta marjinal maliyetten esnekliğe kadar pek çok hesabın gündelik aracıdır.

Hikâye — Aynı buluş, iki mucit

1660'ların ortasında İngiltere'de genç Isaac Newton, hareket eden cisimlerin hızını ve eğrilerin eğimini hesaplamak için yeni bir yöntem geliştirdi. Değişen büyüklüklere akış anlamında «fluent», onların değişim hızlarına da «fluxion» adını verdi. Ama bu yöntemi uzun yıllar yayımlamadı; yalnızca bazı meslektaşlarıyla paylaştığı el yazmalarında ve mektuplarda kaldı.

1670'lerde Paris'te çalışan Alman filozof ve matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz, bağımsız olarak benzer bir yöntem geliştirdi. Leibniz 1684'te, Leipzig'de yayımlanan Acta Eruditorum dergisinde «Nova Methodus pro Maximis et Minimis», yani en büyük ve en küçük değerler için yeni bir yöntem başlıklı bir makale yayımladı. Makale, bugün diferansiyel hesap dediğimiz yöntemin ilk basılı anlatımıydı.

Leibniz'in yöntemi Avrupa'da hızla yayıldı. Birkaç yıl sonra İngiltere'de Newton'un destekçileri, Leibniz'in fikri Newton'dan aldığını iddia etmeye başladı. Tartışma giderek sertleşti. 1712'de Londra'daki Kraliyet Cemiyeti, meseleyi incelemek için bir komite kurdu. Komite Newton'u ilk mucit ilan etti. Ama sonradan anlaşıldı ki komite Newton'un destekçilerinden oluşuyordu ve raporun önemli kısımları Newton'un kendi elinden çıkmıştı. Cemiyetin başkanı da Newton'du.

Bugün tarihçilerin büyük çoğunluğu, iki matematikçinin yöntemi birbirinden bağımsız olarak geliştirdiği görüşündedir: Newton daha önce, Leibniz ise daha önce yayımlayan olarak. Kavganın kalıcı bir sonucu da oldu. İngiltere'de matematikçiler uzun süre Newton'un gösterimine bağlı kaldı. Kıta Avrupası ise Leibniz'in dy/dx gösterimini benimsedi. Bu gösterim, değişimin küçük parçalarının oranını doğrudan yazdığı için hesabı çok kolaylaştırıyordu.

İktisatçıların bugün marjinal maliyeti dC/dQ, bir değişkenin zamana göre değişimini dy/dt biçiminde yazması, Leibniz'in 1684'teki seçiminin mirasıdır. Bir gösterimin iyi seçilmesi, bir fikrin ne kadar kolay kullanıldığını ve yayıldığını belirleyebiliyordu.

Kavram

Türevin biçimsel tanımı, iki nokta arasındaki ortalama değişim oranıyla başlar.

Türev, bu oranın h sıfıra yaklaşırkenki limitidir: f′(x) = lim [f(x + h) − f(x)] ÷ h. Limitin var olduğu her noktada fonksiyonun tek ve belirli bir eğimi vardır.

Türevi her seferinde limitle hesaplamak zahmetlidir. Birkaç kural, bu işi mekanik hâle getirir.

Türevin kendisi de bir fonksiyondur ve onun da türevi alınabilir.

Veri ve kanıt

Leibniz'in makalesi, diferansiyel hesabın ilk yayımlanmış anlatımıdır ve bugün iktisatçıların kullandığı gösterimin kaynağıdır.

Öncelik kavgası, bilim tarihinin en çok incelenen tartışmalarından biridir. Tarihçiler, iki tarafın mektuplarını, el yazmalarını ve Kraliyet Cemiyeti'nin raporunu ayrıntılı biçimde inceledi.

Bu kavganın iktisat için dolaylı bir önemi vardır. Leibniz'in gösterimi, oranları ve değişimleri doğrudan yazdığı için kesirler gibi işlenebilir; zincir kuralı, dy/dx = dy/du × du/dx biçiminde neredeyse kendiliğinden görünür. İktisatçılar, marjinal kavramları ve esneklikleri bu gösterimle yazar.

Neden önemli?

İktisatta «marjinal» kelimesiyle başlayan her kavram, bir türevdir. Marjinal maliyet toplam maliyetin, marjinal gelir toplam gelirin, marjinal fayda toplam faydanın, marjinal ürün üretim fonksiyonunun türevidir. Marjinal tüketim eğilimi, tüketimin gelire göre türevidir. Bu kavramlarla yapılan her karar analizi, türev almayı gerektirir.

Esneklik de bir türev kavramıdır. Talebin fiyat esnekliği, talep edilen miktarın fiyata göre türevinin, fiyatın miktara oranıyla çarpılmasıyla bulunur. Esneklik, bir fiyat değişikliğinin satışları ve geliri nasıl etkileyeceğini söyler; bir vergi ya da sübvansiyonun kime yansıyacağını belirler. Türev kuralları, esnekliği herhangi bir talep fonksiyonu için hızla hesaplamayı sağlar.

Ekonomik büyüme ve enflasyon gibi zaman içinde değişen büyüklükler de türevle incelenir. Bir değişkenin logaritmasının zamana göre türevi, o değişkenin anlık büyüme oranıdır. Sürekli zamanlı büyüme modelleri, faiz hesapları ve borç dinamikleri, bu türevler üzerine kuruludur.

Model

Keseni teğete çevirmek

Bir eğri üzerinde iki nokta seçip aralarından bir doğru çizdiğimizde, bu kesen doğrunun eğimi fark oranıdır. İkinci nokta birinciye yaklaştırıldıkça kesen doğru döner ve sonunda eğriye tek bir noktada değen teğet doğruya dönüşür. Teğet doğrunun eğimi, türevdir. Bu geometrik resim, türevin neden bir limit olarak tanımlandığını açıklar: iki nokta çakıştığında fark oranı sıfır bölü sıfır olur ve doğrudan hesaplanamaz, ama ikinci nokta yaklaştıkça kesenin eğiminin neye yaklaştığı sorulabilir. Türev, eğrinin o noktadaki anlık yönüdür.

Tanımdan bir türev

Türevin tanımını basit bir fonksiyonda uygulayalım: f(x) = x². Fark oranı [(x + h)² − x²] ÷ h'dir. Pay, x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h² olarak açılır. h'ye bölününce 2x + h kalır. h sıfıra yaklaşırken bu ifade 2x'e yaklaşır. Böylece x²'nin türevi 2x'tir. Aynı yöntem x³ için 3x², x⁴ için 4x³ verir. Bu örüntü, kuvvet kuralının kaynağıdır. Kuralı her seferinde tanımdan türetmek gerekmez; bir kez kanıtlandıktan sonra doğrudan kullanılır.

Temel kurallar

Türev almayı hızlandıran kuralların çoğu, türevin tanımından doğrudan çıkar. Bir sabitin türevi sıfırdır, çünkü sabit değişmez. Fonksiyon sabit bir sayıyla ölçeklenirse, türevi de aynı sayıyla ölçeklenir. İki fonksiyonun toplamının türevi, türevlerinin toplamıdır. Bu üç kural ve kuvvet kuralı birlikte, herhangi bir polinomun türevini hemen verir. Örneğin 100 + 10q + q² fonksiyonunun türevi, sabit 100'ün türevi sıfır, 10q'nun türevi 10, q²'nin türevi 2q olduğu için, 10 + 2q'dur.

Çarpım ve bölüm kuralları

İki fonksiyonun çarpımının türevi, türevlerinin çarpımı değildir. Çarpım kuralı, birinci fonksiyonun türeviyle ikincinin çarpımına, birincinin ikincinin türeviyle çarpımının eklenmesini söyler. Sezgisi şudur: bir dikdörtgenin iki kenarı birlikte büyüdüğünde, alanın büyümesi her kenarın büyümesinin öbür kenarla çarpımından gelir. Bölüm kuralı ise f ÷ g'nin türevini [f′ × g − f × g′] ÷ g² olarak verir. İktisatta bölüm kuralı, ortalama maliyet gibi oranların türevini almak için kullanılır: ortalama maliyetin en düşük olduğu nokta, bu türevin sıfır olduğu yerdir.

Zincir kuralı

Birçok iktisadi ilişki iç içe fonksiyonlardan oluşur. Vergi geliri vergi tabanına, vergi tabanı da vergi oranına bağlıdır. Bir firmanın geliri satış miktarına, satış miktarı da reklam harcamasına bağlıdır. Zincir kuralı, dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyonun türeviyle çarpılmasını söyler. Leibniz gösterimiyle, y u'ya, u da x'e bağlıysa dy/dx = dy/du × du/dx. Örneğin y = (3x + 1)² için u = 3x + 1 alınırsa, dy/du = 2u ve du/dx = 3 olduğu için dy/dx = 6 × (3x + 1) bulunur.

Kuralları birleştirmek

Gerçek iktisadi fonksiyonlarda kurallar çoğu zaman birlikte kullanılır. Bir firmanın geliri, reklam harcamasına bağlı bir talep ile fiyatın çarpımı olabilir; bu durumda önce çarpım kuralı, sonra talebin içindeki fonksiyon için zincir kuralı uygulanır. İyi bir alışkanlık, fonksiyonu önce parçalarına ayırmak, her parçanın türevini ayrı ayrı bulmak ve sonra kurallara göre birleştirmektir. Sonucu, küçük bir adımla hesaplanan bir fark oranıyla karşılaştırmak, hataları yakalamanın en basit yoludur.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar

Doğal üstel fonksiyonun en şaşırtıcı özelliği, türevinin kendisine eşit olmasıdır: e üzeri x'in türevi yine e üzeri x'tir. Zincir kuralıyla, e üzeri (r × x)'in türevi r × e üzeri (r × x) olur. Doğal logaritmanın türevi ise 1 ÷ x'tir. Bu iki kural, büyüme hesaplarının temelidir. Bir değişken y = y₀ × e üzeri (g × t) biçiminde büyüyorsa, türevi dy/dt = g × y olur; yani değişimin düzeye oranı, büyüme oranı g'dir. Eşdeğer biçimde, ln y'nin zamana göre türevi g'dir. İktisatçıların büyüme oranlarını logaritmik farklarla hesaplamasının matematiksel gerekçesi budur.

Türev ve marjinal kavramlar

İktisatta türev, marjinal kavramların biçimsel karşılığıdır. Toplam maliyet C(q) ise marjinal maliyet C′(q)'dur. Toplam gelir R(q) ise marjinal gelir R′(q)'dur. Üretim fonksiyonu Q(L) ise emeğin marjinal ürünü Q′(L)'dir. Fayda fonksiyonu U(x) ise marjinal fayda U′(x)'tir. Temel matematik kursunda bu kavramları «son birimin getirdiği» diye sezgiyle tanımlamıştık. Türev, aynı kavramı sonsuz küçük bir değişimin oranı olarak kesinleştirir. Birimler küçük olduğunda, iki tanım arasındaki fark ihmal edilebilir.

Esnekliği türevle hesaplamak

Fiyat esnekliği, talep edilen miktarın yüzde değişiminin fiyatın yüzde değişimine oranıdır. Değişimler sonsuz küçük alındığında esneklik, dQ/dP × P/Q olur: talep fonksiyonunun türevi, fiyatın miktara oranıyla çarpılır. Doğrusal bir talep fonksiyonunda türev sabittir, ama P/Q oranı eğri boyunca değiştiği için esneklik de değişir. Kuvvet biçimindeki Q = A × P üzeri (−e) fonksiyonunda ise kuvvet kuralı dQ/dP = −e × Q ÷ P verir ve esneklik her noktada −e olur. Bir önceki dersteki sabit esneklik iddiası, türevle böylece kanıtlanır.

Türevin birimleri

Bir türevin birimi, çıktının biriminin girdinin birimine oranıdır ve türevi yorumlamanın ilk adımı bu birimi yazmaktır. Toplam maliyet lira, miktar adet olarak ölçülüyorsa, marjinal maliyetin birimi adet başına liradır. Üretim ton, emek işçi-saat olarak ölçülüyorsa, emeğin marjinal ürünü işçi-saat başına tondur. Bir değişkenin zamana göre türevinin birimi, değişkenin birimi bölü zamandır: gelirin yıla göre türevi yıl başına liradır. Birimi okumadan bir türevi yorumlamak, bir hızı saatte mi dakikada mı ölçüldüğünü bilmeden karşılaştırmaya benzer. Birim, aynı zamanda türevin büyüklüğünün neden ölçeğe bağlı olduğunu da açıklar: maliyeti bin lira yerine lira ile ölçmek, marjinal maliyeti bin kat büyütür.

Logaritmik türev ve esneklik

Esnekliğin türevle ifadesi, logaritma kullanılarak daha da sadeleşir. Talep edilen miktarın logaritmasının, fiyatın logaritmasına göre türevi, doğrudan fiyat esnekliğidir: d ln Q ÷ d ln P. Bunun nedeni, zincir kuralıyla d ln Q = dQ ÷ Q ve d ln P = dP ÷ P olmasıdır; oranları, yüzde değişimlerin oranını verir. Uygulamalı çalışmalarda değişkenlerin logaritmasının alınmasının bir nedeni budur: logaritmalar arasındaki regresyonun eğimi doğrudan esneklik olarak okunur. Önceki kursun regresyon dersindeki logaritmik dönüşümün iktisadi anlamı, tam olarak bu türevdir.

Diferansiyel ile tahmin

Türev, bir girdideki küçük bir değişimin çıktıyı ne kadar değiştireceğini tahmin etmek için de kullanılır. Girdi dx kadar değişirse, çıktının yaklaşık değişimi dy = f′(x) × dx'tir; buna diferansiyel denir. Bir ülkenin vergi geliri, vergi oranının bir fonksiyonu olarak biliniyorsa ve oran yarım puan artırılacaksa, gelirdeki değişim, gelir fonksiyonunun türevi ile yarım puanın çarpımı olarak tahmin edilebilir. Bu tahmin, değişim küçük olduğu sürece iyidir. Politika tartışmalarında sık yapılan hata, büyük değişimler için de bu doğrusal tahmini kullanmaktır; oysa büyük değişimlerde fonksiyonun bükülmesi, tahmini ciddi biçimde saptırabilir.

Çözümlü örnek — Fırının marjinal maliyeti

Bir fırının günlük toplam maliyeti, q yüz ekmek olmak üzere, C(q) = 100 + 10q + q² bin lira olsun.

Marjinal maliyet. Türev alınır: C′(q) = 10 + 2q. q = 5'te, yani beş yüz ekmekte marjinal maliyet 10 + 10 = 20 bin liradır; yüz ekmek başına.

Fark oranıyla karşılaştırma. C(5) = 100 + 50 + 25 = 175, C(6) = 100 + 60 + 36 = 196. Beşinci yüzden altıncı yüze geçişin maliyeti 196 − 175 = 21'dir. Adım 0,1'e küçültülünce fark oranı 20,1'e, 0,01'e küçültülünce 20,01'e iner. Adım küçüldükçe fark oranı türeve, 20'ye yaklaşır.

Bir gelir fonksiyonu. Fırının ekmeklerine olan talep P = 100 − 2q olsun; P yüz ekmeğin fiyatı. Toplam gelir R(q) = P × q = 100q − 2q²'dir. Marjinal gelir R′(q) = 100 − 4q. q = 5'te marjinal gelir 80'dir.

Esneklik. Talep, miktar cinsinden q = 50 − P ÷ 2 biçiminde yazılır; dq/dP = −0,5. P = 60'ta q = 20'dir ve esneklik −0,5 × 60 ÷ 20 = −1,5 olur: talep bu fiyatta esnektir.

İkinci türev. C″(q) = 2 pozitiftir; marjinal maliyet üretim arttıkça yükselir. R″(q) = −4 negatiftir; marjinal gelir üretim arttıkça düşer.

İkinci türevin anlamı

İkinci türev, eğimin kendisinin nasıl değiştiğini söyler ve fonksiyonun bükülmesini gösterir. İkinci türev pozitifse fonksiyon dışbükeydir: eğri yukarı doğru kıvrılır ve teğet doğrular eğrinin altında kalır. Negatifse içbükeydir: eğri aşağı doğru kıvrılır. İktisatta bu ayrım her yerde karşımıza çıkar. Azalan marjinal getiri, üretim fonksiyonunun içbükey olmasıdır. Artan marjinal maliyet, maliyet fonksiyonunun dışbükey olmasıdır. Azalan marjinal fayda, fayda fonksiyonunun içbükey olmasıdır ve riskten kaçınmanın matematiksel temelini oluşturur. Bir sonraki optimizasyon dersinde, ikinci türev bir en yüksek noktayı en düşük noktadan ayırmak için kullanılacak.

Türevin olmadığı yerler

Her fonksiyonun her noktada bir türevi yoktur. Bir fonksiyon bir noktada süreksizse, o noktada türevlenemez. Sürekli olsa bile, bir büküm noktasında soldan ve sağdan eğimler farklıysa, fark oranının limiti yoktur. Mutlak değer fonksiyonu sıfırda böyledir; kademeli bir vergi tarifesi dilim sınırlarında böyledir. İktisatta bu noktalar önemlidir: bir büküm noktasında marjinal oran tanımsız olduğu için, standart türev koşulları doğrudan uygulanamaz ve kişilerin bu noktalarda yığılması, bir önceki derste gördüğümüz gibi, türev hesabının kaçırdığı davranışları gösterir.

Türev bir yaklaşıklıktır

Türev, bir fonksiyonu bir noktanın yakınında doğrusal bir fonksiyonla yaklaşık olarak temsil etmenin yoludur. f(x + h) ≈ f(x) + f′(x) × h yaklaşıklığı, h küçük olduğunda iyi çalışır. Fırın örneğinde, beş yüz ekmekten beş yüz on ekmeğe geçişin maliyeti, türevle 20 × 0,1 = 2 bin lira olarak tahmin edilir; gerçek değişim 2,01 bin liradır. Ama h büyüdükçe, eğrinin bükülmesi yüzünden yaklaşıklık bozulur. İktisatçılar marjinal analizi kullanırken, küçük değişimlerde türevin çok iyi, büyük değişimlerde ise kaba bir yaklaşıklık olduğunu hatırlamalıdır.

Türev ile gerçek dünya

İktisattaki pek çok değişken kesiklidir: ekmekler tek tek, işçiler kişi kişi, fiyatlar kuruş kuruş değişir. Türev ise sürekli ve pürüzsüz fonksiyonlar gerektirir. Bu uyumsuzluk, genellikle sorun yaratmaz: bir fabrika binlerce birim ürettiğinde, bir birimlik değişim toplamın çok küçük bir kısmıdır ve sürekli yaklaşıklık iyi çalışır. Ama küçük ölçekli kararlarda, örneğin bir kafenin ikinci bir garson alıp almamasında, türev yerine doğrudan iki seçeneğin maliyet ve getirisini karşılaştırmak daha doğrudur. Türev, bir düşünme biçimi olarak her zaman yararlıdır; bir hesap aracı olarak ise ölçeğe uygun kullanılmalıdır.

Modelin sınırları

Türev kuralları kesindir, ama iktisatta uygulandıkları fonksiyonlar birer modeldir. Bir maliyet fonksiyonunun türevi, ancak fonksiyonun kendisi gerçek maliyetleri iyi temsil ediyorsa anlamlı bir marjinal maliyet verir. Tahmin edilmiş bir fonksiyonun türevi, tahminin belirsizliğini de taşır. Ayrıca türev yalnızca yerel bilgi verir: bir noktadaki eğim, uzaktaki noktalarda neler olacağını söylemez. İyi bir analiz, türevin verdiği yerel bilgiyi, fonksiyonun genel biçimine ve verinin kapsadığı aralığa dair bilgiyle birlikte kullanır.

Uygulama

Özet kartı

1. Türev, fark oranının adım sıfıra yaklaşırkenki limitidir; geometrik olarak kesen doğrunun teğete dönüşmesidir ve fonksiyonun bir noktadaki anlık eğimini verir.
2. Kuvvet, toplam, sabit çarpan, çarpım, bölüm ve zincir kuralları, türevi her seferinde limitten hesaplamadan bulmayı sağlar; üstel fonksiyonun türevi kendisine, doğal logaritmanın türevi 1 ÷ x'e eşittir.
3. Marjinal maliyet, marjinal gelir, marjinal ürün ve marjinal fayda birer türevdir; esneklik, türevin fiyat ile miktar oranıyla çarpımıdır.
4. İkinci türev eğimin değişimini gösterir; azalan marjinal getiri içbükeyliğe, artan marjinal maliyet dışbükeyliğe karşılık gelir.
5. Türev yerel ve yaklaşık bir bilgidir: küçük değişimlerde bir birimlik marjinal değeri çok iyi yaklaşık verir, büküm noktalarında ve büyük değişimlerde ise dikkatli kullanılmalıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Fark oranını tanımla ve türevin bu orandan nasıl elde edildiğini açıkla.
2. (Çıktı 2) Neden sürekli bir fonksiyonun her noktada türevi olmayabilir? İktisattan bir örnek ver.
3. (Çıktı 3) C(q) = 50 + 4q + 0,5q² maliyet fonksiyonu için marjinal maliyeti bul. q = 10'da marjinal maliyet nedir?
4. (Çıktı 3) Talep P = 80 − q ise toplam gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bul. Marjinal gelir hangi miktarda sıfır olur?
5. (Çıktı 3) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bul: y = 5x⁴; y = (2x + 3)³; y = e üzeri 0,05t; y = ln(4x).
6. (Çıktı 4) Bir firmanın marjinal maliyeti türevle q = 1.000'de 12 lira bulunmuş olsun. Firma, üretimi 1.000'den 1.500'e çıkarmanın ek maliyetini 500 × 12 = 6.000 lira olarak tahmin ediyor. Bu tahmini değerlendir.

Cevaplar

1. Fark oranı, bir fonksiyonun x'ten x + h'ye geçerken çıktısındaki değişimin h'ye oranıdır: [f(x + h) − f(x)] ÷ h; iki nokta arasındaki kesenin eğimidir. Türev, h sıfıra yaklaşırken bu oranın limitidir; kesen doğrunun teğete dönüştüğü andaki eğimdir.
2. Türevlenebilirlik için fark oranının soldan ve sağdan aynı değere yaklaşması gerekir. Sürekli bir fonksiyon bir noktada bükülüyorsa, soldan ve sağdan eğimler farklıdır ve türev yoktur. Kademeli gelir vergisinde toplam vergi dilim sınırlarında süreklidir, ama marjinal oran sınırın iki yanında farklı olduğu için, örneğin bir yanda yüzde 20, öbür yanda yüzde 27 olduğunda, o noktalarda türev tanımlı değildir.
3. C′(q) = 4 + q'dur. q = 10'da marjinal maliyet 4 + 10 = 14'tür.
4. Toplam gelir R(q) = P × q = 80q − q²'dir. Marjinal gelir R′(q) = 80 − 2q'dur. Marjinal gelir 80 − 2q = 0'dan q = 40'ta sıfır olur; bu miktarda toplam gelir en yüksektir.
5. y = 5x⁴'ün türevi 20x³'tür. y = (2x + 3)³'ün türevi, zincir kuralıyla, 3 × (2x + 3)² × 2 = 6 × (2x + 3)²'dir. y = e üzeri 0,05t'nin türevi 0,05 × e üzeri 0,05t'dir. y = ln(4x)'in türevi, zincir kuralıyla, (1 ÷ 4x) × 4 = 1 ÷ x'tir.
6. Türev, q = 1.000'deki anlık marjinal maliyettir ve küçük değişimler için iyi bir yaklaşıklıktır. 500 birimlik değişim büyüktür; marjinal maliyet üretim arttıkça değişiyorsa, örneğin artan marjinal maliyet varsa, gerçek ek maliyet 6.000 liradan fazla olur. Doğru hesap, toplam maliyet fonksiyonunun 1.500 ve 1.000'deki değerlerinin farkıdır ya da marjinal maliyetin bu aralıktaki ortalamasının 500 ile çarpımıdır.

İleri okuma

• G. W. Leibniz (1684). «Nova Methodus pro Maximis et Minimis». Acta Eruditorum. Diferansiyel hesabın ilk basılı anlatımı.
• A. Rupert Hall (1980). Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge University Press. Öncelik kavgasının ayrıntılı tarihçesi.
• Carl P. Simon, Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists. W. W. Norton. İktisatçılar için türev ve uygulamaları.
• Michael Hoy vd. (2011). Mathematics for Economics. 3. baskı, MIT Press. Marjinal kavramların türevle anlatımı.

Sonraki derse köprü

Bu derste tek değişkenli fonksiyonların türevini aldık: maliyetin miktara, gelirin miktara, talebin fiyata göre değişimi. Ama iktisattaki fonksiyonların çoğu birden fazla değişkene bağlıdır: üretim hem emeğe hem sermayeye, talep hem fiyata hem gelire, fayda birçok malın miktarına. Öbür değişkenler sabit tutulurken yalnızca birinin değişmesinin etkisi nasıl ölçülür? Emeğin marjinal ürünü, sermaye sabitken üretimin emeğe göre değişimi olarak nasıl hesaplanır? Kısmi türevi sıradaki ders ele alıyor.