Limit ve süreklilik

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Limiti, tek yönlü limiti, sürekli fonksiyonu, çentiği, büküm noktasını ve yığılmayı tanımlar.
• Anlama — Bir fonksiyonun bir noktada tanımlı olması ile o noktada sürekli olması arasındaki farkı ve vergi tarifelerindeki çentiklerin davranışı neden çarpıcı biçimde etkilediğini açıklar.
• Uygulama — Basit fonksiyonların limitlerini tablo ve cebirle hesaplar; bir parçalı fonksiyonun bir noktada sürekli olup olmadığını tek yönlü limitlerle sınar; bir vergi çentiğinin yarattığı baskın olunan bölgeyi bulur.
• Değerlendirme — Bir vergi ya da yardım tasarımında çentik ile büküm arasındaki seçimin sonuçlarını, davranış tepkileri ve adalet açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir bankaya yıllık yüzde 100 faizle bir lira yatırdığını düşün. Faiz yılsonunda bir kez eklenirse, yılın sonunda iki liran olur. Faiz altı ayda bir eklenirse, ikinci yarıda ilk yarının faizi de faiz kazanır ve yıl sonunda 2,25 liraya ulaşırsın. Aylık eklenirse biraz daha fazla, günlük eklenirse biraz daha fazla.

Soru şu: faiz saniyede bir, hatta her an eklenirse, birikim sonsuza mı gider? Sezgi iki yöne de çekebilir. Bir yanda ekleme sıklığı sınırsız artıyor; öbür yanda her eklemede eklenen faiz giderek küçülüyor. Cevap, iki eğilimin nasıl dengelendiğine bağlıdır.

Bu ders, bir sürecin sınırda neye yaklaştığını soran matematiğin dilini, yani limiti tanıtıyor. Limit, türevin ve sürekli zamanlı modellerin temelidir. Ama iktisatta ayrıca somut bir işlevi vardır: bir fonksiyonun, örneğin bir vergi tarifesinin, bir noktada kesintisiz mi aktığını yoksa sıçrama mı yaptığını söyler. Ve bu sıçramalar, insanların davranışını şaşırtıcı biçimde değiştirir.

Hikâye — Bir faiz sorusundan bir sayıya

1683'te İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli, açılıştaki soruyu sordu. Bir miktar para, yıllık yüzde 100 faizle yatırılıyor ve faiz yıl içinde giderek daha sık ekleniyordu. Yıl içindeki ekleme sayısı n ise, yıl sonundaki birikim, başlangıçtaki paranın (1 + 1/n) üzeri n katı oluyordu.

Bernoulli, n büyüdükçe bu değerin arttığını, ama giderek daha yavaş arttığını gördü. Yılda bir eklemede 2, iki eklemede 2,25, aylık eklemede 2,61 civarı, günlük eklemede 2,71'i biraz geçen bir değer çıkıyordu. Artışlar küçülüyor, dizi bir yere doğru sıkışıyordu. Bernoulli bu sınırı tam olarak hesaplayamadı, ama onun 2 ile 3 arasında olması gerektiğini gösterdi.

Birikim sonsuza gitmiyordu. Ekleme sıklığı sınırsız artsa bile, bir lira yıl sonunda belirli bir değerin, yaklaşık 2,718'in üstüne hiçbir zaman çıkmıyordu. Sonsuz sayıda sonsuz küçük artış, sonlu bir toplama ulaşıyordu. Bu, sezgiye aykırı ama matematiksel olarak kesin bir sonuçtu.

Bu sayı, yaklaşık yarım yüzyıl sonra İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in çalışmalarında merkezî bir yer kazandı. Euler, 1731'de bir mektubunda sayıyı e harfiyle gösterdi ve adı böyle kaldı. Temel matematik kursunda doğal logaritmanın tabanı olarak tanıdığımız sayı, bir faiz sorusunun sınırda neye yaklaştığı sorulduğunda ortaya çıkmıştı.

Bernoulli'nin sorusu bugün de bankacılığın ve finansın ortasında durur. Sürekli bileşikleme, finansal modellerin standart varsayımıdır; büyüme oranları çoğu zaman sürekli oranlar olarak hesaplanır. Ama hikâyenin asıl dersi daha geneldir: bir süreç sonsuza uzatıldığında ne olacağını sezgiyle değil, limitle cevaplamak gerekir.

Kavram

Limit, bir fonksiyonun girdisi belirli bir değere yaklaştıkça çıktısının neye yaklaştığını sorar.

Bazen bir noktaya soldan ve sağdan yaklaşmak farklı sonuçlar verir.

İktisatta süreksizlikler çoğu zaman kurallardan, özellikle vergi ve yardım tasarımlarından doğar.

Veri ve kanıt

Bernoulli'nin sonucu, limitin iktisattaki ilk ve en temel uygulamasıdır: sürekli bileşikleme.

Çentiklerin ekonomik davranışa etkisi ise yakın dönemde, vergi idarelerinin ayrıntılı kayıtları kullanılarak ölçülebildi.

Bu bulgu iki biçimde okunabilir. Birinci okuma, insanların vergi teşviklerine güçlü biçimde tepki verdiğini vurgular: eşiğin altında görülen yığılma bunun açık kanıtıdır. İkinci okuma ise tepkinin önünde büyük engeller bulunduğunu hatırlatır: pek çok kişi, eşiğin altına inmek kendisine açıkça kazanç sağlayacakken bile bunu yapmamıştır; bilgisizlik, işini ya da ücretini ayarlayamama ya da dikkatsizlik bu engellerin kaynağı olabilir. Her iki okuma da politika tasarımı için önemlidir.

Neden önemli?

Limit, türevin temelidir. Bir sonraki derste göreceğimiz türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır ve bu hız, değişim oranının aralık sıfıra yaklaşırken neye yaklaştığı sorularak, yani bir limitle tanımlanır. Marjinal maliyet, marjinal fayda, marjinal vergi oranı gibi iktisadın bütün marjinal kavramları, bu limit fikrine dayanır.

Süreklilik ise politika tasarımında doğrudan önem taşır. Vergi tarifelerinde, sosyal yardımlarda, asgari ücret uygulamalarında, işletmelerin vergi rejimlerinde ve teşvik programlarında pek çok eşik vardır. Bu eşiklerin çentik mi yoksa büküm mü yarattığı, insanların ve firmaların davranışını belirler. Bir yardımın gelir eşiğinde birden kesilmesi, kişilerin eşiğin altında kalmak için daha az çalışmasına, gelirlerini düşük göstermesine ya da işlerini bölmesine yol açabilir.

Türkiye'de de gelir vergisi dilimleri, küçük işletmeler için farklı vergi rejimleri ve çeşitli yardım programları, eşiklere dayanır. Bu eşiklerin tasarımını değerlendirmek için, toplam vergi ya da yardım fonksiyonunun eşikte sürekli olup olmadığını, yani yalnızca eğimin mi değiştiğini yoksa toplamın mı sıçradığını sormak gerekir.

Model

Limit fikri

Limit, bir fonksiyonun bir noktadaki değerini değil, o noktanın yakınındaki davranışını sorar. f(x) = (x² − 4) ÷ (x − 2) fonksiyonunu düşünelim. Bu fonksiyon x = 2'de tanımlı değildir, çünkü payda sıfır olur. Ama x 2'ye yaklaştıkça fonksiyonun ne yaptığına bakabiliriz. x = 1,9'da 3,9; x = 1,99'da 3,99; x = 2,01'de 4,01 çıkar. Değerler 4'e yaklaşır. Cebirle de görülebilir: pay (x − 2)(x + 2) biçiminde çarpanlarına ayrılır ve x ≠ 2 için fonksiyon x + 2'ye eşittir. Bu yüzden x 2'ye yaklaşırken limit 4'tür, fonksiyonun 2'de tanımlı olmamasına rağmen.

Limiti hesaplamanın yolları

Basit fonksiyonlarda limit çoğu zaman doğrudan yerine koyarak bulunur: sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, o noktadaki değeridir. Doğrusal, polinom, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, tanım kümeleri içinde süreklidir. Yerine koymak, sıfır bölü sıfır gibi belirsiz bir sonuç verdiğinde, fonksiyonu sadeleştirmek ya da bir tablo kurup değerleri izlemek gerekir. Tablo yöntemi, sezgi için en güçlü araçtır: noktaya giderek yaklaşan girdiler için fonksiyonun değerleri hesaplanır ve bu değerlerin nereye sıkıştığına bakılır. Bernoulli'nin yaptığı da buydu.

Sonsuzda limit

Limit, bir sayıya yaklaşmanın yanında, girdi sınırsız büyüdüğünde ne olacağını da sorar. Bir firmanın sabit maliyeti 50.000 lira, birim başına değişken maliyeti 20 lira olsun. Ortalama maliyet, 50.000 ÷ q + 20'dir. Üretim 10 birimde 5.020, 100 birimde 520, 1.000 birimde 70, 10.000 birimde 25 liradır. Üretim sınırsız arttıkça sabit maliyetin birim başına payı sıfıra yaklaşır ve ortalama maliyet 20 liraya yaklaşır. Ortalama maliyet 20'ye hiç ulaşmaz ama ona istenildiği kadar yaklaşır. Böyle bir değere yatay asimptot denir. Ölçek ekonomilerinin matematiksel özü, bu limittir.

Bernoulli'nin limiti

Bileşik faiz dizisi, sonsuzda limitin en ünlü örneğidir. (1 + 1/n) üzeri n ifadesinde iki kuvvet çatışır: n büyüdükçe taban 1'e yaklaşır, ama üs sınırsız büyür. 1'e çok yakın bir sayının çok büyük bir kuvveti, sezgiyle tahmin edilemez. Tablo sonucu gösterir: n = 1'de 2, n = 12'de 2,613, n = 365'te 2,7146, n = 8.760'ta, yani saatlik eklemede 2,7181. Değerler e'ye, yaklaşık 2,71828'e sıkışır. Aynı mantık her faiz oranına genişletilebilir: yüzde r'lik yıllık faiz sınırsız sıklıkta eklendiğinde, bir liranın t yılın sonundaki karşılığı e'nin r çarpı t'inci kuvvetine yaklaşır. Finans hesaplarındaki sürekli bileşikleme formülü, bu limitin kendisidir.

Limit kuralları

Limitleri her seferinde tabloyla hesaplamak gerekmez; birkaç kural, karmaşık ifadelerin limitini parçalarının limitlerinden bulmayı sağlar. İki fonksiyonun toplamının limiti, limitlerinin toplamıdır. Çarpımın limiti, limitlerin çarpımıdır. Bölümün limiti, paydanın limiti sıfır olmadığı sürece limitlerin bölümüdür. Bir sabitle çarpılmış bir fonksiyonun limiti, sabit ile limitin çarpımıdır. Bu kurallar, iktisatta sık karşılaşılan toplam maliyet, gelir ve kâr gibi fonksiyonların limitlerini hızla hesaplamayı sağlar. Kâr, gelir eksi maliyet olduğu için, kârın bir noktadaki limiti gelirin ve maliyetin limitlerinin farkıdır. Kuralların uygulanamadığı tek durum, sıfır bölü sıfır ya da sonsuz bölü sonsuz gibi belirsiz biçimlerdir; bu durumlarda ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

Tek yönlü limitler

Bazı fonksiyonlar, bir noktaya soldan ve sağdan yaklaşıldığında farklı davranır. Bir otoparkın ilk saat için 30 lira, sonraki her başlamış saat için 20 lira aldığını düşünelim. Ücret, park süresinin bir fonksiyonudur. Süre bir saate soldan yaklaşırken ücret 30 liradır. Bir saati biraz geçtiğinde ise 50 lira olur. Bir saatteki soldan limit 30, sağdan limit 50'dir. İki tek yönlü limit farklı olduğu için, bir saatte limit yoktur. Bu, bir sıçrama süreksizliğidir. Parçalı fonksiyonların sınır noktaları, tek yönlü limitlerin en sık hesaplandığı yerlerdir.

Sürekliliğin üç koşulu

Bir fonksiyon, bir a noktasında üç koşul birlikte sağlanıyorsa süreklidir. Birincisi, fonksiyon a'da tanımlıdır. İkincisi, a'da limit vardır, yani iki tek yönlü limit var ve eşittir. Üçüncüsü, limit fonksiyonun a'daki değerine eşittir. Bu koşullardan biri bozulursa fonksiyon a'da süreksizdir. Birinci koşulun bozulması, yukarıdaki kesirli fonksiyondaki gibi bir delik yaratır. İkincisinin bozulması, otopark örneğindeki gibi bir sıçrama yaratır. Üçüncüsünün bozulması ise fonksiyonun tek bir noktada kendi limitinden farklı bir değer almasıdır.

Kesikli zaman ve sürekli zaman

İktisat modelleri zamanı iki biçimde ele alır. Kesikli zamanlı modellerde zaman yıllar, çeyrekler ya da aylar gibi adımlarla ilerler ve değişkenler her adımda bir kez değişir: bu yılın geliri, geçen yılın geliri artı büyüme. Sürekli zamanlı modellerde ise zaman kesintisiz akar ve değişkenler her an değişebilir. Bernoulli'nin limiti, iki dünya arasındaki köprüdür: adım aralığı sıfıra yaklaştırıldığında kesikli bileşikleme sürekli bileşiklemeye dönüşür. Büyüme teorisi ve finans modellerinin çoğu, türev almayı mümkün kıldığı için sürekli zamanla kurulur. Veriler ise hep kesiklidir; bu yüzden bir modelin sonuçları veriyle karşılaştırılırken iki zaman anlayışı arasındaki farkın küçük olup olmadığı kontrol edilir.

Süreklilik neden önemli?

Sürekli fonksiyonların iktisadi modeller için değerli iki özelliği vardır. İlki, ara değer özelliğidir: sürekli bir fonksiyon iki değer arasında geçiş yaparken, aradaki her değeri mutlaka alır. Bir piyasada fiyat düşükken fazla talep, fiyat yüksekken fazla arz varsa ve fazla talep fiyatın sürekli bir fonksiyonuysa, arada fazla talebin sıfır olduğu, yani piyasanın dengeye geldiği bir fiyat mutlaka vardır. İkincisi, kapalı ve sınırlı bir aralıkta tanımlı sürekli bir fonksiyonun bir en büyük ve bir en küçük değeri mutlaka vardır. Bu, optimizasyon problemlerinin bir çözümü olduğunu güvence altına alan temel sonuçtur.

Çözümlü örnek — Çentik ile büküm

İki farklı gelir vergisi tasarımını karşılaştıralım. İkisinde de eşik 100 bin liradır.

Büküm tasarımı. 100 bin liraya kadar olan gelir yüzde 10, 100 bini aşan kısım yüzde 15 ile vergilenir. 100 bin lirada vergi 10 bin liradır. 100 bini biraz aşan bir gelirde vergi 10 bin artı aşan kısmın yüzde 15'idir. Soldan ve sağdan limit 10 bin liradır; toplam vergi süreklidir. Yalnızca eğim, yani marjinal oran, yüzde 10'dan yüzde 15'e çıkar. Eşiği aşmak, net geliri hiçbir zaman düşürmez.

Çentik tasarımı. 100 bin lira ve altındaki gelirlerde gelirin tamamı yüzde 10, 100 binin üstündeki gelirlerde gelirin tamamı yüzde 15 ile vergilenir. 100 bin lirada vergi 10 bin, net gelir 90 bin liradır. 100 bin lirayı yalnızca bir lira aşan bir gelirde vergi yaklaşık 15 bin, net gelir yaklaşık 85 bin liradır. Soldan limit 10 bin, sağdan limit 15 bin liradır; toplam vergi eşikte 5 bin lira sıçrar.

Baskın olunan bölge. Çentik tasarımında eşiğin üstünde bir X geliri, 0,85 × X net gelir bırakır. Bu net gelirin, eşikte kalındığında elde edilen 90 bin liraya ulaşması için 0,85 × X = 90.000, yani X ≈ 105.882 lira gerekir. 100 bin ile yaklaşık 105.900 lira arasında kazanan herkes, daha az kazanıp eşikte kalsaydı hem daha fazla net gelire hem daha fazla boş zamana sahip olurdu. Bu aralık baskın olunan bölgedir.

Beklenen davranış. Çentik tasarımında, eşiğin hemen altında bir yığılma ve baskın olunan bölgede bir boşluk beklenir. Büküm tasarımında da eşikte hafif bir yığılma görülebilir, ama baskın olunan bir bölge yoktur.

Çentiklerin davranışsal etkisi

Çentik, eşiğin iki yanında çok güçlü bir teşvik yaratır. Eşiğin hemen üstünde kazanan biri için, birkaç bin lira daha az kazanmak net gelirini artırır. Bu yüzden rasyonel ve tepki verebilen kişilerin baskın olunan bölgede hiç bulunmaması, eşiğin hemen altında toplanması beklenir. Kleven ile Waseem'in Pakistan verisi, bu yığılmanın gerçekten olduğunu ama baskın olunan bölgenin boşalmadığını gösterdi. Eşiğin hemen altındaki yığılma, insanların teşviklere tepki verdiğini; baskın olunan bölgede kalan büyük kitle ise tepkinin önünde güçlü engeller bulunduğunu gösterir. Bu engeller, bilginin eksikliğinden işin ya da ücretin kolayca ayarlanamamasına kadar uzanır.

Yığılmayı ölçmek

Yığılma, bir eşik etrafındaki verinin dağılımına bakılarak ölçülür. Araştırmacılar, eşikten uzak bölgelerdeki dağılıma bir eğri uydurur ve bu eğrinin, eşik olmasaydı eşiğin yanında kaç kişinin bulunacağını gösterdiğini varsayar. Gerçekte gözlenen sayı ile bu karşı olgusal sayı arasındaki fark, fazladan yığılmayı verir. Bu yöntemle, çentik ya da büküm karşısında kişilerin gelirlerini ne kadar değiştirdiği, yani vergilere karşı esneklikleri tahmin edilebilir. Yöntemin gücü, doğrudan bir deney gerektirmeden, idari verilerdeki dağılımın biçiminden davranış hakkında bilgi çıkarmasıdır. Zayıf yanı ise karşı olgusal eğrinin biçimine dair varsayımdır: farklı eğriler, farklı yığılma tahminleri verebilir.

Yardımlardaki çentikler

Çentikler yalnızca vergi tarifelerinde değil, sosyal yardımlarda da ortaya çıkar. Bir yardım, gelir belirli bir eşiğin altındayken tam olarak veriliyor, eşik aşıldığında tamamen kesiliyorsa, hane için toplam kaynak fonksiyonu eşikte sıçrar. Eşiği biraz aşan bir hane, eşiğin altındaki bir haneden daha kötü durumda olabilir. Bu durum, hanelerin gelirlerini artırmaktan kaçınmasına, kayıt dışı çalışmaya yönelmesine ya da gelirlerini düşük beyan etmesine yol açabilir. Tasarımcılar bu yüzden yardımların eşikte birden kesilmesi yerine, gelir arttıkça kademeli olarak azaltılmasını, yani çentiği bir büküme çevirmeyi önerir.

Çentikleri savunanlar ve eleştirenler

Çentiklerin kötü bir tasarım olduğu yaygın bir görüştür, ama tartışmanın iki tarafı vardır. Eleştirenler, çentiklerin baskın olunan bölgeler yarattığını, çalışmayı ve gelir artırmayı cezalandırdığını ve kaynakların israfına yol açtığını vurgular. Savunanlar ise basit eşiklerin uygulanmasının ve anlaşılmasının kolay olduğunu, küçük işletmeler için basitleştirilmiş vergi rejimleri gibi bazı çentiklerin idari maliyetleri azalttığını ve kademeli geçişlerin hesaplanması karmaşık yeni kurallar gerektirdiğini hatırlatır. Tasarımcının görevi, basitliğin faydası ile çentiğin yarattığı davranış bozulmasının maliyetini tartmaktır.

Süreklilik ve türevlenebilirlik

Büküm noktasında toplam vergi fonksiyonu süreklidir ama eğimi birden değişir. Bu, sürekliliğin bir fonksiyonun her noktada düzgün olduğunu güvence altına almadığını gösterir. Bir fonksiyonun bir noktada kesintisiz olması başka, o noktada tek ve belirli bir eğiminin olması başka bir şeydir. Büküm noktasında soldan bakıldığında eğim yüzde 10, sağdan bakıldığında yüzde 15'tir; tek bir eğimden söz edilemez. Sıradaki derste göreceğimiz türev, tam da bu eğimi bir limitle tanımlar ve büküm noktaları, türevin tanımlı olmadığı yerlerdir.

Modelin sınırları

Limit ve süreklilik, matematiksel olarak kesin kavramlardır. İktisatta ise gerçek veriler kesiklidir: para kuruşla, ürünler adetle, zaman günle ölçülür. Sürekli fonksiyonlar, bu kesikli gerçekliğin kullanışlı yaklaşıklıklarıdır; birimler yeterince küçük olduğunda iyi çalışır. Ayrıca bir fonksiyonun sürekli olması, ona tepki veren insanların davranışının da sürekli olacağı anlamına gelmez. Kleven ile Waseem'in bulgusu, matematiksel olarak güçlü bir teşvikin bile pek çok kişinin davranışını değiştirmediğini gösterir. Matematiksel model, teşvikin yapısını gösterir; teşvike verilen tepki, ampirik bir sorudur.

Uygulama

Özet kartı

1. Limit, bir fonksiyonun girdisi bir değere yaklaştıkça çıktısının neye yaklaştığını sorar; fonksiyonun o noktadaki değerinden bağımsızdır ve fonksiyon orada tanımlı olmasa da var olabilir.
2. Bernoulli'nin bileşik faiz dizisi, ekleme sıklığı sınırsız artsa bile sonlu bir sınıra, e sayısına yaklaşır; sürekli bileşikleme bu limite dayanır.
3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlıysa, orada limiti varsa ve limit fonksiyonun değerine eşitse süreklidir; iki tek yönlü limitin farklı olması bir sıçrama süreksizliğidir.
4. Vergi ve yardım tarifelerinde çentik toplamın sıçramasıdır ve baskın olunan bir bölge yaratır; büküm ise toplamı sürekli bırakıp yalnızca marjinal oranı değiştirir.
5. Çentikler eşiğin altında yığılmaya yol açar, ama Pakistan verisi pek çok kişinin güçlü teşviklere bile tepki vermediğini gösterir; büküm noktaları, türevin tanımlı olmadığı yerlerdir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin, o noktadaki değerinden neden ayrı bir şey olduğunu bir örnek üzerinde göster.
2. (Çıktı 2) Kademeli bir gelir vergisinde üst dilime geçmek neden net geliri düşürmez, çentikli bir tarifede neden düşürebilir?
3. (Çıktı 3) f(x) = (x² − 9) ÷ (x − 3) fonksiyonunun x = 3'teki limitini bul. Fonksiyon x = 3'te sürekli midir?
4. (Çıktı 3) Bir firmanın ortalama maliyeti 80.000 ÷ q + 15 olsun. Üretim sınırsız arttığında ortalama maliyet neye yaklaşır? 4.000 birimde ortalama maliyet nedir?
5. (Çıktı 3) Bir tarifede 200 bin liraya kadar olan gelirlerin tamamı yüzde 5, 200 bini aşan gelirlerin tamamı yüzde 12 ile vergilensin. Eşikteki tek yönlü limitleri ve vergideki sıçramayı hesapla. Baskın olunan bölge hangi gelir aralığıdır?
6. (Çıktı 4) Bir hükümet, gelir eşiğini aşan hanelerin yardımını tamamen kesen bir program yerine, eşiği aşan her lira için yardımı 50 kuruş azaltan bir program düşünüyor. İki tasarımı, davranış etkileri, bütçe ve uygulanabilirlik açısından değerlendir.

Cevaplar

1. Limit, girdi bir noktaya yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değerdir; fonksiyonun o noktadaki değeri ise tam o noktada aldığı değerdir. (x² − 4) ÷ (x − 2) fonksiyonu x = 2'de tanımlı değildir, ama x 2'ye yaklaşırken değeri 4'e yaklaşır; limit 4'tür, fonksiyonun o noktada değeri yoktur.
2. Kademeli tarifede üst dilimin oranı yalnızca eşiği aşan kısma uygulanır; toplam vergi eşikte sürekli kalır, yalnızca eğimi artar. Eşiği aşan her lira, en fazla üst dilim oranı kadar vergilenir ve net geliri artırır. Çentikli tarifede ise yüksek oran gelirin tamamına uygulanır; eşikte toplam vergi sıçrar ve eşiği biraz aşan kişi, eşiğin altındakinden daha az net gelir elde edebilir.
3. Pay (x − 3)(x + 3) olarak çarpanlarına ayrılır; x ≠ 3 için fonksiyon x + 3'e eşittir. x 3'e yaklaşırken limit 6'dır. Fonksiyon x = 3'te tanımlı olmadığı için orada sürekli değildir; bu bir deliktir.
4. Üretim sınırsız arttıkça 80.000 ÷ q sıfıra yaklaşır ve ortalama maliyet 15'e yaklaşır. 4.000 birimde ortalama maliyet 80.000 ÷ 4.000 + 15 = 20 + 15 = 35 liradır.
5. Soldan limit, 200 bin liranın yüzde 5'i olan 10 bin liradır. Sağdan limit, 200 bin liranın yüzde 12'si olan 24 bin liradır. Vergi eşikte 14 bin lira sıçrar. Eşikte net gelir 190 bin liradır. Eşiğin üstündeki X geliri 0,88 × X net gelir bırakır; 0,88 × X = 190.000'den X ≈ 215.909 bulunur. Baskın olunan bölge yaklaşık 200 bin ile 215.900 lira arasıdır.
6. Tamamen kesen tasarım bir çentik yaratır: eşiği biraz aşan hane tüm yardımı kaybeder, baskın olunan bir bölge oluşur ve hanelerin gelirlerini artırmaktan kaçınma ya da düşük beyan etme teşviki güçlüdür. Kademeli azaltma çentiği bir büküme çevirir: toplam kaynak sürekli kalır, eşiği aşmak hiçbir zaman kaynağı düşürmez, ama bu bölgede her ek liranın yarısı yardım kaybıyla gider, yani örtük marjinal oran yüzde 50 olur. Kademeli tasarım daha fazla haneye kısmi yardım verdiği için bütçeyi artırır ve hesaplanması daha karmaşıktır. Seçim, davranış bozulmasını azaltmanın faydası ile bütçe ve uygulama maliyeti arasındaki bir tercihtir.

İleri okuma

• Eli Maor (1994). e: The Story of a Number. Princeton University Press. Bernoulli'nin bileşik faiz sorusundan başlayarak e sayısının tarihçesi.
• Henrik J. Kleven, Mazhar Waseem (2013). «Using Notches to Uncover Optimization Frictions and Structural Elasticities: Theory and Evidence from Pakistan». Quarterly Journal of Economics 128(2). Vergi çentiklerine verilen tepkilerin ölçümü.
• Henrik J. Kleven (2016). «Bunching». Annual Review of Economics 8. Yığılma yöntemine genel bir bakış.
• Michael Hoy, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees, Thanasis Stengos (2011). Mathematics for Economics. 3. baskı, MIT Press. Limit ve süreklilik kavramlarının iktisadi uygulamalarla anlatımı.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken ne yaptığını limitle sorduk ve bir büküm noktasında fonksiyonun kesintisiz aktığı hâlde eğiminin birden değiştiğini gördük. Bir fonksiyonun tam bir noktadaki eğimi, yani anlık değişim hızı nasıl tanımlanır? Değişim oranını giderek küçülen aralıklarda hesaplayıp limitini aldığımızda ne elde ederiz ve bu hızı her fonksiyon için ezberlemek yerine hangi kurallarla hızlıca bulabiliriz? Türevi ve kurallarını sıradaki ders ele alıyor.