Korelasyon

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Kovaryansı, korelasyon katsayısını, sıra korelasyonunu, sahte korelasyonu, ekolojik yanılgıyı ve Simpson paradoksunu tanımlar.
• Anlama — Korelasyon katsayısının neyi ölçtüğünü, neden yalnızca doğrusal ilişkileri gördüğünü ve toplulaştırılmış verideki bir ilişkinin bireyler için neden tersine dönebileceğini açıklar.
• Uygulama — Beş ya da on gözlemlik bir tablo üzerinde kovaryansı, korelasyon katsayısını ve sıra korelasyonunu hesaplar; bir aykırı değerin iki ölçüye etkisini karşılaştırır.
• Değerlendirme — Zaman serileri ya da ülke ortalamaları arasında bildirilen yüksek bir korelasyonun ne ölçüde anlamlı olduğunu, eğilim, toplulaştırma düzeyi ve alt grup yapısı açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

İki sayı dizisi yan yana konuyor: yıllar içinde bir ülkede satılan cep telefonu sayısı ve aynı ülkede ortalama yaşam süresi. İkisi de yükselmiş. Bir hesap tablosu, iki dizi arasındaki ilişkiyi tek bir sayıyla özetliyor: 0,97. Bire bu kadar yakın bir sayı, iki dizinin neredeyse birlikte hareket ettiğini söylüyor.

Temel iktisat dersinde, birlikte hareket etmenin neden olmak anlamına gelmediğini tartışmıştık. Ama bu ders başka bir soruyla ilgileniyor: o 0,97 nereden geliyor, tam olarak neyi ölçüyor ve hangi durumlarda doğru hesaplanmış olsa bile yanıltıcı oluyor?

Korelasyon katsayısı, istatistiğin en çok kullanılan sayılarından biridir. Basittir, birimsizdir ve her yazılımda bir tuşla hesaplanır. Bu kolaylık, onu hem çok yararlı hem de çok tehlikeli kılar. Bu ders, bu tek sayının iç yapısını ve onu okumanın kurallarını ele alıyor.

Hikâye — Nikâhlar ve ölümler

1926'da İngiliz istatistikçi George Udny Yule, Kraliyet İstatistik Kurumu'nun dergisinde yayımlanan bir makalesine, ilk bakışta tuhaf bir soruyla başladı: neden bazen zaman serileri arasında anlamsız korelasyonlar buluruz?

Yule, soruyu somutlaştırmak için iki seri seçti. Birincisi, İngiltere ve Galler'de yapılan bütün nikâhlar içinde İngiltere Kilisesi'nde kıyılan nikâhların payıydı. İkincisi, aynı yıllardaki ölüm oranıydı. 1866'dan 1911'e uzanan yaklaşık yarım asırlık dönemde iki seri arasındaki korelasyon 0,95'in üzerindeydi. Neredeyse kusursuz bir birliktelik.

Yule, bu sonucun anlamsız olduğunu açıkça yazdı. Kilisede evlenenlerin payı ile ölüm oranı arasında akla yatkın hiçbir bağ yoktu. İki seri de o yıllarda düşüyordu; büyük olasılıkla biri toplumun laikleşmesiyle, öbürü tıptaki ve kamu sağlığındaki gelişmelerle ilişkili, birbirinden bağımsız nedenlerle. Aynı yönde giden iki eğilim, birbirleriyle hiç ilgisi olmasa da, yüksek bir korelasyon üretiyordu.

Yule'ün asıl katkısı bu gözlemin ötesine geçmesiydi. Rastgele seriler üzerinde deneyler yaparak, zaman içinde birikerek ilerleyen serilerde, yani her yılın değeri bir önceki yılın değerine bağlı olan serilerde, şans eseri yüksek korelasyonların alışılmadık sıklıkta ortaya çıktığını gösterdi. Bu tür serilerde korelasyon katsayısının olağan yorumu geçerliliğini yitiriyordu.

Makalenin etkisi uzun sürdü. Yarım asır sonra iktisatçılar, zaman içinde eğilim taşıyan makroekonomik seriler arasında kurulan pek çok ilişkinin aynı tuzağa düştüğünü göstererek Yule'ün uyarısını yeniden gündeme getirdiler. Enflasyon, para arzı, gelir ve fiyat serileriyle çalışan her iktisatçı, bu tuzağı bilmek zorundadır.

Kavram

Korelasyon katsayısını anlamak için önce onun ham hâline, iki değişkenin birlikte nasıl saptığını ölçen kovaryansa bakmak gerekir.

Korelasyon katsayısı doğru hesaplansa bile, verinin yapısı onu yanıltıcı kılabilir.

Veri ve kanıt

Yule'ün makalesi, zaman serilerinde korelasyonun güvenilirliği tartışmasını başlatan metin oldu.

Toplulaştırma sorunu ise sosyolog William Robinson'un 1950'de yayımladığı kısa bir makaleyle görünür oldu. Robinson, ABD'nin 1930 nüfus sayımı verisini kullanarak aynı soruyu iki farklı düzeyde sordu.

Robinson'un verisinde ilişkinin işareti, bireylerden eyaletlere geçerken tersine dönüyordu. Bunun olası açıklaması, göçmenlerin okuryazarlık düzeyi yüksek, sanayileşmiş eyaletlere yerleşme eğilimiydi. Eyalet düzeyindeki korelasyon, göçmenlerin kendileri hakkında değil, göçmenlerin nereye yerleştiği hakkında bilgi veriyordu.

Neden önemli?

İktisatta pek çok iddia bir korelasyona dayanır: eğitim ile gelir, enflasyon ile para arzı, ihracat ile büyüme, faiz ile konut satışları. Bu korelasyonların ne kadar güçlü olduğu, hangi düzeyde, yani bireyler mi, iller mi, ülkeler mi arasında hesaplandığı ve zaman serileri arasındaysa eğilimlerden arındırılıp arındırılmadığı, iddianın güvenilirliğini doğrudan belirler.

Türkiye'de il düzeyinde yayımlanan veriler, ekolojik yanılgı için geniş bir alan açar. İller arasında eğitim düzeyi ile bir sosyal göstergenin korelasyonu, o ildeki bireyler hakkında doğrudan bir şey söylemez. İl ortalamalarını karşılaştıran bir haber, bireyler hakkında genellemeye kaydığında bu dersin uyarısı devreye girer.

Finansta da korelasyon merkezî bir kavramdır. Bir portföyün riskini azaltmak için birbirleriyle zayıf korelasyonlu varlıklar seçilir. Ama sakin dönemlerde hesaplanan düşük korelasyonlar, kriz dönemlerinde birden yükselebilir: her şeyin aynı anda düştüğü günlerde çeşitlendirmenin koruması azalır.

Model

Kovaryansın mantığı

Ortak hareketi ölçmenin en doğal yolu, her gözlemde iki değişkenin de ortalamadan ne kadar saptığına bakmaktır. Bir hanenin geliri ortalamanın üstündeyken harcaması da ortalamanın üstündeyse, iki sapmanın çarpımı pozitiftir. Biri üstünde, öbürü altındaysa çarpım negatiftir. Bütün gözlemlerin çarpımları toplanıp gözlem sayısının bir eksiğine bölündüğünde kovaryans elde edilir. Pozitif bir kovaryans, iki değişkenin genellikle birlikte yükselip birlikte düştüğünü gösterir. Ama kovaryansın büyüklüğü yorumlanamaz, çünkü ölçü birimine bağlıdır: geliri lira yerine bin lira olarak ölçmek, kovaryansı bin kat küçültür.

Kovaryanstan korelasyona

Kovaryansın birim sorununu çözmenin yolu, onu iki değişkenin standart sapmalarının çarpımına bölmektir. Bu işlem, her iki değişkeni de standart puanlara çevirmekle aynı şeydir: korelasyon katsayısı, iki değişkenin standart puanlarının çarpımlarının ortalamasıdır. Sonuç birimsizdir ve her zaman −1 ile +1 arasında kalır. +1, bütün noktaların yukarı eğimli tek bir doğru üzerinde, −1 aşağı eğimli tek bir doğru üzerinde olduğunu gösterir. Sıfır ise doğrusal bir ilişkinin bulunmadığını söyler. Aradaki değerler, noktaların bir doğru etrafında ne kadar sıkı toplandığını anlatır.

Katsayıyı okumak

Korelasyon katsayısı için evrensel bir «güçlü» ya da «zayıf» eşiği yoktur. Fizikte 0,9 düşük sayılabilecekken, bireylerin ekonomik davranışlarını inceleyen bir çalışmada 0,3 dikkate değer bir ilişki olabilir. Katsayının karesi, bir değişkendeki yayılımın ne kadarının öbürüyle doğrusal olarak birlikte hareket ettiğini gösterir: 0,5'lik bir korelasyon, yayılımın yalnızca dörtte birine karşılık gelir. Bu yüzden 0,5 kulağa orta güçte gelse de, tek bir değişkenin öbürünü tahmin etmek için oldukça sınırlı bir bilgi taşıdığını gösterir. Katsayının karesinin anlamı, sıradaki derste regresyonla birlikte daha ayrıntılı ele alınacak.

Çözümlü örnek — Eğitim ve gelir

Beş kişinin eğitim süresi (yıl) ve aylık geliri (bin lira) şöyle olsun: (8; 20), (10; 24), (12; 23), (14; 30), (16; 33).

Ortalamalar. Eğitimin ortalaması 12 yıl, gelirin ortalaması 26 bin liradır.

Sapmalar. Eğitim sapmaları: −4, −2, 0, 2, 4. Gelir sapmaları: −6, −2, −3, 4, 7.

Kovaryans. Sapma çarpımları: 24, 4, 0, 8, 28; toplamları 64. Kovaryans 64 ÷ 4 = 16'dır.

Korelasyon. Eğitim sapmalarının kareleri toplamı 40, gelir sapmalarının kareleri toplamı 114'tür. Korelasyon 64 ÷ √(40 × 114) = 64 ÷ 67,5 ≈ 0,95.

Sıra korelasyonu. Eğitimin sıraları 1, 2, 3, 4, 5; gelirin sıraları 1, 3, 2, 4, 5'tir. Sıra farkları 0, −1, 1, 0, 0; kareleri toplamı 2. Sıra korelasyonu 1 − 6 × 2 ÷ (5 × 24) = 0,90.

Bir aykırı değer. Son kişinin geliri 33 yerine 80 olsaydı, sıralama değişmeyeceği için sıra korelasyonu 0,90'da kalırdı. Korelasyon katsayısı ise yaklaşık 0,79'a düşerdi, çünkü tek nokta doğrusal düzeni bozar. İki ölçüyü birlikte raporlamak, verinin yapısı hakkında daha fazla bilgi verir.

Yalnızca doğrusal ilişkiler

Korelasyon katsayısı, noktaların bir doğru etrafında ne kadar toplandığını ölçer. İlişki doğrusal değilse, katsayı ilişkinin gücünü küçümser ya da tamamen gözden kaçırır. Yaş ile gelir arasındaki ilişki buna iyi bir örnektir: gelir genellikle çalışma hayatının ilk yıllarında artar, orta yaşlarda en yüksek düzeye ulaşır ve emeklilikle düşer. Bütün yaşları kapsayan bir veri kümesinde yaş ile gelir arasındaki korelasyon zayıf çıkabilir, oysa ilişki çok belirgindir. Anscombe'un dörtlüsünde gördüğümüz gibi, aynı katsayı çok farklı biçimlere karşılık gelebilir; önce çizmek bu yüzden vazgeçilmezdir.

Aykırı değerler ve kaldıraç

Korelasyon katsayısı ortalamaya ve standart sapmaya dayandığı için aykırı değerlere duyarlıdır. Tek bir uç nokta, iki yönde etki yapabilir. Öbür noktaların oluşturduğu desenden uzakta duran bir nokta, çözümlü örnekteki gibi korelasyonu düşürür. Hiçbir ilişki taşımayan bir nokta bulutunun uzağına düşen tek bir nokta ise, bulutla kendisi arasına çekilen doğru yüzünden güçlü bir korelasyon yaratabilir. Bu tür noktaların etkisine kaldıraç denir. Sıra korelasyonu ya da uç değerler çıkarılarak yapılan yeniden hesaplama, sonucun tek bir gözleme ne kadar bağlı olduğunu gösterir.

Aralığın daralması

Korelasyon, verinin kapsadığı aralığa da bağlıdır. Bir şirketin işe alım sınavındaki puanları ile işe alınanların sonraki performansı arasındaki korelasyon zayıf çıkabilir. Bunun nedeni, sınavın işe yaramaması değil, yalnızca yüksek puan alanların işe alınmış olmasıdır: verinin aralığı daraldığı için ilişki silikleşir. Aynı durum, yalnızca belirli bir gelir dilimindeki haneleri inceleyen bir çalışmada ya da yalnızca hayatta kalan şirketlere bakan bir analizde de görülür. Bir korelasyonu yorumlarken verinin hangi aralıktan geldiğini ve kimlerin dışarıda kaldığını sormak gerekir.

Zaman serilerinde eğilim tuzağı

Yule'ün uyarısı, iktisat verileri için özellikle önemlidir. Gelir, fiyat düzeyi, nüfus ve para arzı gibi pek çok seri zaman içinde büyür. Aynı dönemde büyüyen herhangi iki seri, aralarında hiçbir bağ olmasa da yüksek bir korelasyon gösterir. Bu tuzaktan kaçınmanın en basit yolu, serilerin düzeyleri yerine değişimlerini, örneğin yıllık büyüme oranlarını karşılaştırmaktır. Düzeyler arasında 0,97 olan bir korelasyon, değişimler arasında sıfıra yakın çıkabilir. İktisatçıların zaman serisi yöntemleri, bu sorunla nasıl baş edileceğine dair ayrıntılı araçlar geliştirmiştir; ileri kurslarda bu araçlar ele alınır.

Toplulaştırma ve ekolojik yanılgı

Robinson'un örneği, verinin hangi düzeyde toplandığının ne kadar önemli olduğunu gösterir. Bölge ya da ülke ortalamaları arasındaki korelasyonlar, bireyler arasındaki korelasyonlardan genellikle çok daha yüksektir, çünkü ortalama almak bireysel farklılıkları siler. Ayrıca bir bölgenin özellikleri, bireylerin nereye yerleştiğine dair seçimleri yansıtabilir. Bu yüzden toplulaştırılmış veriyle çalışmak yanlış değildir; ama sonuç, verinin düzeyinde kalmalıdır. İller arasındaki bir ilişki iller hakkında bilgi verir; o illerdeki kişiler hakkında sonuç çıkarmak için başka veri gerekir.

Simpson paradoksu

Toplulaştırmanın daha çarpıcı bir sonucu, Simpson paradoksudur. Bunun en bilinen örneği, California Üniversitesi Berkeley'in 1973 sonbaharındaki lisansüstü başvurularıdır. Bütün başvurular birlikte ele alındığında, erkek adayların yaklaşık yüzde 44'ü, kadın adayların yaklaşık yüzde 35'i kabul edilmişti. İstatistikçiler Peter Bickel, Eugene Hammel ve William O'Connell, 1975'te veriyi bölümlere ayırarak yeniden incelediler. Bölümlerin çoğunda kadınlar aleyhine anlamlı bir fark yoktu; en büyük altı bölümün dördünde kadınların kabul oranı erkeklerinkinden yüksekti. Genel farkın kaynağı, kadınların kabul oranı düşük ve rekabeti yüksek bölümlere daha çok başvurmasıydı. Genel tablo ile bölümlerin tablosu ters yönleri gösteriyordu.

Hangi tablo doğru?

Simpson paradoksu, hangi düzeydeki tablonun doğru olduğu sorusunu doğurur ve bu sorunun tek bir cevabı yoktur. Cevap, sorulan soruya ve verinin arkasındaki nedensel yapıya bağlıdır. Berkeley örneğinde bölüm seçimi, adayın kendi tercihiydi ve kabul kararı bölümler düzeyinde veriliyordu; bu yüzden bölümler içindeki karşılaştırma, kabul kararlarında bir ayrımcılık olup olmadığı sorusuna daha uygun bir cevap verir. Ama başka bir soru, örneğin neden kadınların daha rekabetçi bölümlere yöneldiği, genel tabloyu ve bölümlerin kendisini incelemeyi gerektirir. Hangi değişkene göre gruplamanın gerektiği, istatistikten çok konunun bilgisiyle belirlenir.

Korelasyonun anlamlılığı

Bir örneklemde hesaplanan korelasyon, anakütledeki gerçek korelasyonun bir tahminidir ve örneklemden örnekleme değişir. Küçük örneklemlerde, gerçekte hiçbir ilişki olmasa da oldukça büyük korelasyonlar şans eseri çıkabilir. Bu yüzden bir korelasyonun sıfırdan anlamlı biçimde farklı olup olmadığı, bir önceki dersteki hipotez testi mantığıyla sınanır. Beş gözlemlik bir örneklemde 0,9'luk bir korelasyon ancak sınırda anlamlıyken, bin gözlemlik bir örneklemde 0,1'lik bir korelasyon bile anlamlı çıkabilir. Burada da istatistiksel anlamlılık ile ilişkinin önemi farklı şeylerdir.

Korelasyon ve çeşitlendirme

Korelasyonun en somut ekonomik sonuçlarından biri, riskin bir araya getirilmesinde görülür. Getirilerinin standart sapması yüzde 20 olan iki varlığa paranın yarısını ayrı ayrı yatıran bir yatırımcı düşünelim. İki varlığın getirileri tam olarak birlikte hareket ediyorsa, yani korelasyon +1 ise, portföyün standart sapması yine yüzde 20'dir; çeşitlendirme hiçbir işe yaramaz. Korelasyon sıfırsa, portföyün standart sapması 20 çarpı yarımın karekökü kadar, aşağı yukarı yüzde 14,1'e iner. Korelasyon −1 ise, iki varlığın dalgalanmaları birbirini tamamen götürür ve portföyün standart sapması sıfır olur. Bir portföyün riski, tek tek varlıkların riskine olduğu kadar, onların arasındaki korelasyona da bağlıdır.

Korelasyon matrisi

İkiden fazla değişkenle çalışıldığında, her değişken çiftinin korelasyonu bir tabloda, korelasyon matrisinde gösterilir. Matrisin köşegeni her zaman 1'dir, çünkü her değişken kendisiyle tam korelasyonludur; köşegenin iki yanındaki değerler birbirinin aynasıdır. Bu tablo, bir veri kümesine ilk bakışta hangi değişkenlerin birlikte hareket ettiğini hızla gösterir. Ama çok sayıda değişken olduğunda, bir önceki dersteki çoklu test sorunu burada da ortaya çıkar: yirmi değişkenin iki yüz kadar çifti arasında, gerçekte hiçbir ilişki olmasa da birkaç tanesinin şans eseri dikkat çekici çıkması beklenir. Matristeki en yüksek değerler, tek başına bir bulgu değil, incelenecek bir aday listesidir.

Üçüncü değişkeni sabit tutmak

İki değişken arasındaki korelasyon, çoğu zaman üçüncü bir değişkenin ikisini birden etkilemesinden kaynaklanır. Bu etkiyi ayırmanın bir yolu, üçüncü değişkenin aynı düzeyde olduğu gözlemler arasında korelasyona bakmaktır: örneğin eğitim ile gelir arasındaki ilişkiyi, yaşları birbirine yakın kişiler arasında ayrı ayrı incelemek. İstatistikte bunu formül yoluyla yapan ölçüye kısmi korelasyon denir: üçüncü değişkenin iki değişken üzerindeki doğrusal etkisi çıkarıldıktan sonra kalan korelasyondur. Kısmi korelasyon, ham korelasyondan çok daha küçük çıkabilir ya da işaret değiştirebilir. Bu fikir, birden çok değişkeni aynı anda hesaba katan regresyon yöntemlerinin temelini oluşturur.

Korelasyon zamanla değişir

İki değişken arasındaki korelasyon sabit bir doğa yasası değildir; ekonominin yapısı değiştikçe değişir. Finans piyasalarında bu özellikle görünürdür. Hisse senetleri ile devlet tahvillerinin getirileri bazı on yıllarda ters yönde, bazılarında aynı yönde hareket etmiştir. Farklı ülkelerin borsaları sakin dönemlerde görece bağımsız hareket ederken, kriz dönemlerinde birlikte düşme eğilimi gösterir. Bu yüzden geçmiş bir dönemden hesaplanan bir korelasyonu geleceğe taşırken, o dönemin koşullarının sürüp sürmediğini sormak gerekir.

Bir korelasyonu raporlamak

İyi bir korelasyon raporu tek bir sayıdan fazlasını içerir. Katsayının yanında gözlem sayısı, verinin hangi düzeyde toplandığı ve hangi dönemi kapsadığı yazılır. Saçılım grafiği, okuyucunun ilişkinin biçimini ve aykırı noktaları kendi gözüyle görmesini sağlar. Aykırı değerlere dayanıklılığı göstermek için sıra korelasyonu ya da uç gözlemlerin çıkarıldığı bir hesap eklenir. Zaman serilerinde düzeylerin yanında değişimlerin korelasyonu da verilir. Bu bilgiler, okuyucunun katsayıya ne kadar güveneceğine kendisinin karar vermesini mümkün kılar.

Modelin sınırları

Korelasyon katsayısı bir çift değişkenin doğrusal yakınlığını bir sayıya indirir. Bu sadelik, sınırlarını da belirler: doğrusal olmayan ilişkileri, alt grupların farklı davranışını, verinin düzeyini ve zaman içindeki eğilimleri tek başına göremez. Nedensellik hakkında ise, temel iktisat dersinde tartıştığımız gibi, doğrudan bir şey söylemez. İyi bir analiz, korelasyonu bir başlangıç noktası olarak kullanır: saçılım grafiğini çizer, aykırı değerleri inceler, alt gruplara bakar, zaman serilerinde eğilimi ayırır ve ancak ondan sonra bir yorum yapar.

Uygulama

Özet kartı

1. Kovaryans iki değişkenin ortalamadan sapmalarının birlikte hareketini ölçer ama birime bağlıdır; korelasyon katsayısı onu standart sapmalara bölerek −1 ile +1 arasında birimsiz bir ölçüye çevirir.
2. Korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçer ve aykırı değerlere duyarlıdır; sıra korelasyonu daha dayanıklıdır ve sürekli artan ya da azalan ilişkileri yakalar.
3. Zaman içinde eğilim taşıyan serilerde yüksek korelasyonlar sahte olabilir; düzeyler yerine değişimleri karşılaştırmak bu tuzağı azaltır.
4. Toplulaştırılmış veriler arasındaki bir korelasyon bireyler için geçerli olmayabilir, hatta ters yönde olabilir; bu ekolojik yanılgıdır.
5. Simpson paradoksunda alt gruplardaki ilişki birleşik veride tersine dönebilir; hangi tablonun doğru olduğu, sorulan soruya ve nedensel yapıya bağlıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kovaryans ile korelasyon katsayısı arasındaki farkı açıkla. Geliri lira yerine bin lira olarak ölçmek ikisini nasıl etkiler?
2. (Çıktı 2) Yule'ün kilise nikâhları ile ölüm oranı arasında bulduğu yüksek korelasyon neden anlamsızdı? Bu tuzaktan kaçınmanın basit bir yolu nedir?
3. (Çıktı 3) Dört gözlem (2; 5), (4; 9), (6; 7), (8; 11) olsun. Kovaryansı ve korelasyon katsayısını hesapla.
4. (Çıktı 3) Aynı dört gözlemin sıra korelasyonunu hesapla.
5. (Çıktı 2) Robinson'un verisinde yurt dışında doğmak ile okuma yazma bilmemek arasındaki ilişki bireyler düzeyinde pozitif, eyaletler düzeyinde negatifti. İki sonuç nasıl aynı anda doğru olabilir?
6. (Çıktı 4) Bir araştırmacı, 30 ülkenin verisinde internet kullanım oranı ile ortalama yaşam süresi arasında 0,8'lik bir korelasyon bulmuş ve internetin sağlığı iyileştirdiği sonucuna varmıştır. Bu çıkarımı bu dersin kavramlarıyla değerlendir.

Cevaplar

1. Kovaryans, sapmaların çarpımlarının ortalamasıdır ve birimi iki değişkenin birimlerinin çarpımıdır; büyüklüğü tek başına yorumlanamaz. Korelasyon katsayısı, kovaryansın standart sapmaların çarpımına bölünmesiyle elde edilen birimsiz bir ölçüdür. Geliri bin lira olarak ölçmek kovaryansı bin kat küçültür, korelasyon katsayısını ise hiç değiştirmez.
2. İki seri de o dönemde birbirinden bağımsız nedenlerle, büyük olasılıkla biri laikleşme, öbürü sağlıktaki gelişmeler yüzünden, düşüyordu; ortak eğilim, gerçek bir bağ olmadan yüksek bir korelasyon üretti. Basit bir çözüm, serilerin düzeyleri yerine yıllık değişimlerini karşılaştırmaktır.
3. Ortalamalar 5 ve 8'dir. Sapmalar: x için −3, −1, 1, 3; y için −3, 1, −1, 3. Çarpımlar 9, −1, −1, 9; toplamları 16; kovaryans 16 ÷ 3 ≈ 5,33. Sapma kareleri toplamı x için 20, y için 20'dir. Korelasyon 16 ÷ √(20 × 20) = 0,80.
4. x'in sıraları 1, 2, 3, 4; y'nin sıraları 1, 3, 2, 4'tür. Sıra farkları 0, −1, 1, 0; kareleri toplamı 2. Sıra korelasyonu 1 − 6 × 2 ÷ (4 × 15) = 1 − 0,2 = 0,80.
5. Bireyler düzeyinde göçmenlerin okuma yazma bilmeme oranı daha yüksekti. Ama göçmenler, okuryazarlık düzeyi genel olarak yüksek olan sanayileşmiş eyaletlere yerleşme eğilimindeydi. Bu yüzden göçmen payı yüksek eyaletlerde, göçmenlerin kendisinden değil o eyaletlerin genel özelliklerinden dolayı, okuma yazma bilmeyenlerin payı düşüktü. Eyalet düzeyindeki ilişki, bireylerin değil yerleşim tercihlerinin izini taşıyordu.
6. Korelasyon ülke ortalamaları arasında hesaplanmıştır; internet kullanan bireylerin daha uzun yaşadığını doğrudan göstermez. Gelir düzeyi ve altyapı gibi ortak etkenler, hem internet kullanımını hem de yaşam süresini artırabilir. Otuz gözlemlik örneklemde birkaç çok zengin ya da çok yoksul ülke korelasyonu sürükleyebilir. Nedensel bir sonuç için, bu etkenleri dikkate alan ve mümkünse birey düzeyinde veriye dayanan bir analiz gerekir.

İleri okuma

• G. Udny Yule (1926). «Why do we Sometimes get Nonsense-Correlations between Time-Series?». Journal of the Royal Statistical Society 89(1). Zaman serilerinde sahte korelasyonun klasik incelemesi.
• W. S. Robinson (1950). «Ecological Correlations and the Behavior of Individuals». American Sociological Review 15(3). Ekolojik yanılgının kurucu makalesi.
• P. J. Bickel, E. A. Hammel, J. W. O'Connell (1975). «Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley». Science 187(4175). Simpson paradoksunun en bilinen uygulaması.
• Judea Pearl, Dana Mackenzie (2018). The Book of Why: The New Science of Cause and Effect. Basic Books. Simpson paradoksunu ve birlikteliğin nedensel okunuşunu uzman olmayan okur için tartışan bir kitap.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir ilişkinin yönünü ve sıkılığını, eksi birden artı bire uzanan bir ölçekte okuduk. Ama korelasyon katsayısı, iki değişkenin birbirine göre ne kadar değiştiğini söylemez: bir yıl fazla eğitimin geliri kaç lira artırdığı, faizdeki bir puanlık artışın konut satışlarını kaç adet azalttığı gibi sorular, birimi olan bir cevap ister. Veri noktalarının içinden en iyi geçen doğru nasıl bulunur, eğimi ne anlatır ve bu doğru tahmin için nasıl kullanılır? Basit doğrusal regresyonu sıradaki ders ele alıyor.