Dağılımlar ve normal dağılım

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Rastgele değişkeni, olasılık dağılımını, binom dağılımını, normal dağılımı, standart puanı ve kalın kuyruğu tanımlar.
• Anlama — Normal dağılımın neden bu kadar sık karşımıza çıktığını ve finansal getiriler gibi bazı ekonomik verilerde neden yanıltıcı olabildiğini açıklar.
• Uygulama — Binom dağılımıyla basit olasılıkları, standart puanla bir gözlemin ne kadar olağandışı olduğunu ve normal dağılım varsayımı altında bir kuyruk olayının beklenen sıklığını hesaplar.
• Değerlendirme — Bir risk hesabında normal dağılım varsayımının ne zaman yeterli, ne zaman tehlikeli olduğunu verinin biçimine göre değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Akşam bülteninde borsanın bir günde yüzde üç düştüğü okunuyor ve bu düşüş «olağanüstü» diye nitelendiriliyor. Aynı hafta başka bir haberde, bir ilde kira artışının «olağan dışı yüksek» olduğu söyleniyor. İki kelime de bir karşılaştırma içerir: neye göre olağanüstü?

Bir değerin olağan mı yoksa istisnai mi olduğunu söylemek için, o değerin alabileceği bütün değerlerin ve her birinin ne sıklıkla görüldüğünün bir resmine ihtiyaç vardır. Bu resim bir olasılık dağılımıdır. Olağanüstü bir değer, dağılımın uzak bir köşesinde, kuyruğunda duran değerdir.

Sorun, bu resmi çoğu zaman bilmememizdir. Onun yerine, matematiksel olarak rahat ve pek çok durumda işe yarayan hazır bir biçim kullanırız: çan eğrisi. Bu ders, o hazır biçimin ne kadar iyi bir harita olduğunu ve haritanın gerçeğe uymadığı yerde ne olduğunu soruyor.

Hikâye — Art arda birkaç gün, yirmi beş standart sapma

Ağustos 2007'de, ABD konut kredisi piyasasındaki sorunlar finans dünyasına yayılırken, dünyanın en büyük yatırım bankalarından Goldman Sachs'ın yönettiği iki büyük fon bir hafta içinde değerlerinin dörtte birinden fazlasını kaybetti. Banka, fonları desteklemek için milyarlarca dolar koymak zorunda kaldı.

Bankanın finans direktörü David Viniar, 13 Ağustos'ta yayımlanan bir gazete haberinde durumu şöyle açıkladı: art arda birkaç gün boyunca yirmi beş standart sapmalık hareketler görüyorlardı. Açıklamanın amacı, kayıpların öngörülemez bir talihsizlikten kaynaklandığını anlatmaktı. Yirmi beş standart sapma, bir olayın ne kadar nadir olduğunu anlatmak için kullanılan bir ölçüydü.

Açıklama, istatistikçilerin ve iktisatçıların dikkatini çekti. 2008'de dört araştırmacı, Kevin Dowd, John Cotter, Chris Humphrey ve Margaret Woods, «How Unlucky is 25-Sigma?» başlıklı bir makale yayımladı. Soruları basitti: getirilerin normal dağıldığı varsayılırsa, yirmi beş standart sapmalık bir kayıp ne sıklıkla beklenir?

Cevap, akla sığmayacak kadar uzun bir süreydi. Normal dağılım altında sekiz standart sapmalık bir günlük kayıp bile, evrenin bütün tarihi boyunca bir kereden az beklenir. Yirmi beş standart sapmalık bir kaybın beklenen sıklığı ise o kadar küçüktür ki onu anlatmak için evrenin yaşı bile anlamsız bir birim kalır. Art arda birkaç gün böyle bir olay yaşamak, normal dağılım varsayımı doğruysa, fiilen imkânsızdı.

Yazarların vardığı sonuç, bankanın olağanüstü şanssız olduğu değil, kullandığı modelin yanlış olduğuydu. Ya getirilerin dağılımı normal değildi ya da kullanılan standart sapma, sakin dönemlerden hesaplandığı için riski olduğundan çok küçük gösteriyordu. İki durumda da yirmi beş standart sapma, dünyanın değil modelin başarısızlığını anlatıyordu.

Kavram

Olasılık dersinde tek bir kredinin batıp batmayacağını, tek bir uyarının gelip gelmeyeceğini sorduk. Şimdi soruyu genişletiyoruz ve bir büyüklüğün bütün olası sonuçlarına birden bakıyoruz: bir portföyün yarınki getirisi, bir hanenin gelecek yılki geliri.

Bazı dağılımlar o kadar sık karşımıza çıkar ki kendi adları vardır.

Veri ve kanıt

Viniar'ın açıklaması, normal dağılım varsayımının finansal risk hesaplarındaki yerini sorgulayan bir tartışmanın simgesi hâline geldi.

Bu yalnızca 2007'ye özgü bir durum değildi. Tarihin en sert borsa günlerinden biri, yirmi yıl önce yaşanmıştı.

Günlük değişimlerin standart sapması o yıllarda birkaç puanın altındaydı. Hangi sakin dönemin standart sapması kullanılırsa kullanılsın, yüzde 22,6'lık bir düşüş normal dağılım altında pratikte imkânsız sayılacak bir uzaklıktadır. Oysa gerçekleşti.

Neden önemli?

Bankaların ve yatırım fonlarının risk ölçümleri, büyük ölçüde dağılım varsayımlarına dayanır. «Yüz günden birinde en fazla şu kadar kaybederiz» gibi bir cümle, getirilerin dağılımı hakkında bir varsayım içerir. Bu varsayım kuyrukları küçümserse, kurumlar sermayelerini ve tamponlarını gerçek riske göre değil, modelin iyimser resmine göre ayarlar.

Türkiye gibi kur ve faiz oynaklığının yüksek olduğu bir ekonomide bu konu somut bir önem taşır. Sakin aylarda hesaplanan bir oynaklık, bir kur şokunun büyüklüğünü ciddi biçimde küçümseyebilir. Dövizle borçlanan bir şirketin ya da hanenin, kurun «normal» dalgalanmasına göre değil, kuyruk olaylarına göre hazırlık yapması gerekir.

Standart puan da gündelik bir araçtır. Farklı şehirlerin kira artışlarını, farklı sınavların sonuçlarını ya da farklı ülkelerin enflasyon sürprizlerini karşılaştırırken, bir değerin kendi dağılımına göre ne kadar olağandışı olduğunu bilmek, ham sayıları karşılaştırmaktan çok daha anlamlıdır.

Model

Rastgele değişkenden dağılıma

Bir rastgele değişken, belirsiz bir sonucu bir sayıya çevirir. Kesikli rastgele değişkenler sayılabilir değerler alır: bir ayda batan kredi sayısı 0, 1, 2 olabilir ama 1,5 olamaz. Sürekli rastgele değişkenler ise iki değer arasında kesintisiz bir yelpazede herhangi bir noktaya düşebilir: yarınki kur 32,17 olabileceği gibi 32,1734 de olabilir. Kesikli bir değişkenin dağılımı, her değerin olasılığını veren bir tabloyla gösterilir. Sürekli bir değişkende tek bir değerin olasılığı sıfırdır; onun yerine bir eğri çizilir ve iki değer arasındaki olasılık, eğrinin altında o aralığa düşen alanla ölçülür. Eğrinin altındaki toplam alan 1'dir.

Bir dağılımın ortalaması ve yayılımı

Bir dağılımın da, bir veri kümesi gibi, merkezi ve yayılımı vardır. Merkez, bir önceki derste tanıdığımız beklenen değerdir: her sonucun kendi şansıyla tartıldığı ortalama. Yayılım, varyans ve standart sapmayla ölçülür; tek fark, veri kümesinde gözlemlerin, dağılımda ise olasılıkların ağırlık olmasıdır. Bir veri kümesinin histogramı, o verinin geldiği dağılımın kaba bir fotoğrafıdır. Gözlem sayısı arttıkça histogram, altta yatan dağılımın eğrisine yaklaşır. Bu yüzden betimsel istatistik ile olasılık dağılımları birbirinin iki yüzüdür: biri gözlenenin özeti, öbürü gözlenebileceklerin modeli.

Binom dağılımı

İktisatta pek çok soru «kaç tanesi?» biçimindedir: yüz kredinin kaçı batacak, yirmi başvurunun kaçı kabul edilecek, bin müşterinin kaçı aboneliğini yenileyecek? Her denemenin iki sonucu varsa, denemeler birbirinden bağımsızsa ve başarı olasılığı her denemede aynıysa, başarı sayısı binom dağılımına uyar. Tam olarak k başarı olasılığı, k başarının hangi denemelerde gerçekleşeceğinin kaç farklı yolu olduğu ile p'nin k'ıncı ve (1 − p)'nin kalan denemeler kadar kuvvetinin çarpımıdır. Beklenen başarı sayısı n × p'dir. Yirmi denemede başarı olasılığı 0,1 ise beklenen başarı 2, varyans 20 × 0,1 × 0,9 = 1,8, standart sapma yaklaşık 1,34'tür.

On kredinin hesabı

Bir banka on küçük işletmeye kredi vermiş olsun ve her birinin bir yıl içinde batma olasılığı yüzde 5 olsun. Batışlar bağımsızsa, hiçbir kredinin batmama olasılığı on tane 0,95'in çarpımıdır ve 0,60'a yakın çıkar. Tam olarak bir kredinin batma olasılığı, on farklı kredinin batabileceği için 10 × 0,05 × 0,95⁹ ≈ 0,32 olur. Tam olarak iki kredinin batma olasılığı yaklaşık 0,075, üç kredininki yaklaşık 0,01'dir. En az iki kredinin batma olasılığı, 1 eksi sıfır ve bir batışın olasılıklarının toplamıdır: yaklaşık 0,086. Beklenen batış sayısı 10 × 0,05 = 0,5'tir.

Bağımsızlık bozulunca

Binom hesabı, batışların bağımsız olduğunu varsayar. Oysa on işletme aynı ilde, aynı sektörde faaliyet gösteriyorsa, yerel bir talep düşüşü hepsini aynı anda vurabilir. Bu durumda beklenen batış sayısı değişmeyebilir, ama dağılımın biçimi değişir: çoğu yıl hiç batış olmaz, ama kötü bir yılda pek çok kredi birlikte batar. Olasılık kütlesi ortadan uçlara kayar ve «üç ya da daha fazla batış» gibi olayların olasılığı, bağımsız hesabın verdiği binde birkaçlık değerin çok üstüne çıkar. Bir önceki dersteki bağımsızlık tartışması, dağılımın kuyruğunda kendini burada gösterir.

Normal dağılımın biçimi

Normal dağılım, ortalaması etrafında simetrik bir çan eğrisidir. Eğrinin tepesi ortalamadadır; medyan ve tepe değer de aynı noktaya düşer. Eğrinin genişliğini standart sapma belirler: standart sapma büyüdükçe çan yayvanlaşır ve basıklaşır, küçüldükçe daralır ve sivrileşir. Ortalama ve standart sapma bilindiğinde dağılımın her özelliği hesaplanabilir. Bu iki parametreli sadelik, normal dağılımın hem en büyük gücü hem de en büyük tehlikesidir. Güçtür, çünkü hesapları kolaylaştırır; tehlikedir, çünkü verinin iki sayıya sığmayan bütün özelliklerini, özellikle kuyrukların kalınlığını, görmezden gelir.

Yüzde 68, 95 ve 99,7

Normal dağılımın en kullanışlı özelliği, olasılıkların standart sapma cinsinden sabit olmasıdır. Gözlemlerin yaklaşık yüzde 68'i ortalamanın bir standart sapma altı ile üstü arasına, yüzde 95'i iki standart sapma, yüzde 99,7'si üç standart sapma yakınına düşer. Tersinden okunursa, gözlemlerin yaklaşık yüzde 2,3'ü ortalamanın iki standart sapma üstünde, binde 1,35'i üç standart sapma üstünde yer alır. Bir yılda yaklaşık 250 işlem günü olduğu düşünülürse, normal dağılım altında iki standart sapmalık bir günlük düşüş yılda beş ya da altı kez, üç standart sapmalık bir düşüş ise yaklaşık üç yılda bir beklenir.

Standart puan

Standart puan, her normal dağılımı aynı standart normal dağılıma, yani ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan dağılıma çevirir. Bir gözlemden ortalamayı çıkarıp standart sapmaya böldüğümüzde, gözlemin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu buluruz. Standart puanı 2 olan bir gözlem, dağılım normalse, gözlemlerin yaklaşık yüzde 97,7'sinden büyüktür. Standart puan, dağılım normal olmasa da bir gözlemin göreli konumunu anlatmak için kullanılabilir. Ama ona bağlanan olasılıklar, yani «iki standart sapma yüzde 2,3 demektir» gibi yorumlar, ancak dağılım gerçekten normale yakınsa geçerlidir.

Çözümlü örnek — Ne kadar olağandışı?

Kira artışları. A şehrinde yıllık kira artışlarının ortalaması yüzde 40, standart sapması 10 puandır; bir dairenin kirası yüzde 60 artmıştır. B şehrinde ortalama yüzde 30, standart sapma 5 puandır; bir dairenin kirası yüzde 42 artmıştır.

A şehrindeki dairenin standart puanı (60 − 40) ÷ 10 = 2,0. B şehrindeki dairenin standart puanı (42 − 30) ÷ 5 = 2,4. Ham sayılarla A'daki artış daha büyüktür, ama kendi şehrinin dağılımına göre B'deki artış daha olağandışıdır.

Günlük getiri. Bir portföyün günlük getirisinin ortalaması 0, standart sapması yüzde 1 olsun ve getirilerin normal dağıldığı varsayılsın. Yüzde 2'lik bir kaybın standart puanı −2'dir; normal dağılım altında böyle ya da daha kötü bir gün yaklaşık yüzde 2,3 olasılıkla, yani yılda 250 × 0,023 ≈ 5,7 kez beklenir. Yüzde 3'lük bir kayıp, standart puanı −3, yaklaşık binde 1,35 olasılıkla, yani 250 × 0,00135 ≈ 0,34 kez, yaklaşık üç yılda bir beklenir. Yüzde 5'lik bir kaybın olasılığı ise yaklaşık on milyonda üçtür; bu, ortalama on dört bin yılda bir güne karşılık gelir.

Veriyle karşılaştırma. Bu portföyün son on yılında yüzde 5'ten fazla kaybın yaşandığı birkaç gün varsa, normal dağılım varsayımı kuyruğu ciddi biçimde küçümsüyor demektir. Doğru tepki, bu günleri talihsizlik saymak değil, risk hesabının dağılım varsayımını değiştirmektir.

Normal dağılımla hesap yapmak

Normal dağılımın olasılıklarını elle hesaplamak zordur, çünkü eğrinin altındaki alan basit bir formülle bulunamaz. Eskiden bu yüzden standart normal dağılım için hazırlanmış tablolar kullanılırdı: her standart puan için, o puanın altında kalan alanı veren tablolar. Bugün hesap tablolarının ve istatistik yazılımlarının normal dağılım işlevleri aynı işi yapar. İzlenecek yol her zaman aynıdır: önce ilgilenilen değer standart puana çevrilir, sonra standart normal dağılımda o puanın altında ya da üstünde kalan alan bulunur. Örneğin standart puanı 1,5 olan bir değerin altında kalan alan yaklaşık 0,93'tür; yani gözlemlerin yaklaşık yüzde 93'ü bu değerden küçüktür.

Oynaklık sabit değildir

Bir dağılımın standart sapması, çoğu zaman zamandan bağımsız bir sabit gibi ele alınır. Oysa finansal piyasalarda oynaklık kümelenir: sakin günleri sakin günler, fırtınalı günleri fırtınalı günler izler. Bir kriz haftasında günlük değişimlerin standart sapması, sakin bir yılınkinin birkaç katına çıkabilir. Bu durumda uzun bir dönemin tek bir standart sapması, sakin günleri olduğundan riskli, fırtınalı günleri olduğundan sakin gösterir. Her günün getirisi kendi döneminin oynaklığıyla ölçülse normale daha yakın görünebilir; ama bütün dönem birlikte bakıldığında dağılımın kuyrukları kalınlaşır. Kalın kuyrukların bir kaynağı, tam da bu değişen oynaklıktır.

Normal dağılım neden bu kadar yaygın?

Normal dağılımın her yerde karşımıza çıkmasının bir nedeni vardır. Birbirinden bağımsız çok sayıda küçük etkinin toplamı, tek tek etkiler nasıl dağılırsa dağılsın, normal dağılıma yaklaşır. Bunu gösteren en ünlü düzenek, Francis Galton'un on dokuzuncu yüzyılda tasarladığı çivili tahtadır. Yukarıdan bırakılan bilyeler her çivide rastgele sağa ya da sola sapar; alttaki bölmelerde toplandıklarında bir çan eğrisi oluşturur. Her bilyenin son konumu, pek çok küçük ve bağımsız sapmanın toplamıdır. Boy uzunluğu, ölçüm hataları ya da çok sayıda bağımsız müşterinin toplam harcaması, bu mantıkla normale yaklaşır. Bu ilkenin örneklemeye uygulanması, bu kursun sıradaki dersinin konusudur.

Normal olmayan dağılımlar

Aynı mantık, normal dağılımın nerede işe yaramadığını da gösterir. Etkiler toplanmak yerine çarpılırsa sonuç sağa çarpık olur. Gelir ve servet, yıllar boyunca yüzdesel artışlarla birikir; bir artış, bir önceki düzeyin üzerine eklenir. Bu yüzden gelir dağılımları sağa çarpıktır ve logaritmaları normale daha yakındır. Etkiler bağımsız değilse, yani bir şok bütün birimleri aynı yöne itiyorsa, uç değerler normalin öngördüğünden sık görülür. Bazı büyüklükler, örneğin şirket büyüklükleri ya da şehir nüfusları, çok kalın kuyruklu dağılımlara uyar: en büyük birkaç birim, toplamın orantısız bir kısmını oluşturur.

Kalın kuyruklar ve finansal getiriler

Finansal getiriler, kalın kuyrukların en iyi bilinen örneğidir. Günlük getirilerin çoğu küçüktür ve ortalamanın yakınında toplanır; ama çok büyük hareketler, normal dağılımın öngördüğünden defalarca sık yaşanır. Matematikçi Benoît Mandelbrot, 1963'te pamuk fiyatlarındaki değişimleri inceleyerek bu özelliği gösteren ilk araştırmacılardan biri oldu. Kalın kuyrukların nedenleri tartışmalıdır: yatırımcıların birbirini taklit etmesi, kaldıraçlı kurumların zorunlu satışları, oynaklığın kendisinin sakin ve fırtınalı dönemler arasında değişmesi. Sonuç ise açıktır: sakin dönemlerden hesaplanmış bir standart sapma, fırtına geldiğinde riski yanlış ölçer.

Normal dağılımı savunanlar ve eleştirenler

Normal dağılımın finanstaki yeri tartışmalıdır. Savunanlar, onun şeffaf ve hesaplanabilir olduğunu, sıradan günlerin büyük kısmını iyi betimlediğini ve pek çok standart yöntemin temelini oluşturduğunu vurgular. Daha karmaşık dağılımların parametrelerini tahmin etmek için de uç olaylara ait veri gerekir ve bu veri doğası gereği azdır. Eleştirenler ise asıl önemli olanın tam da kuyruklar olduğunu, bir kurumu batıran şeyin sıradan günler değil nadir ve büyük kayıplar olduğunu hatırlatır. Uygulamada birçok kurum iki yaklaşımı birleştirir: günlük risk için normale dayalı ölçüler, kuyruk riski için geçmiş krizlerin yeniden oynatıldığı stres testleri.

Bir dağılım varsayımını sınamak

Bir verinin normal dağılıma uyup uymadığını görmek için birkaç basit yol vardır. İlki, verinin histogramını çizmek ve üzerine aynı ortalama ve standart sapmaya sahip bir normal eğri yerleştirmektir; kuyruklarda eğrinin çok üstüne çıkan sütunlar kalın kuyruğa işaret eder. İkincisi, uç değerleri saymaktır: üç standart sapmanın dışında kalan gözlemlerin payı binde üçü belirgin biçimde aşıyorsa, normal varsayım kuyrukları küçümsüyordur. Üçüncüsü, verinin farklı dönemlere bölünüp her dönemin standart sapmasının karşılaştırılmasıdır; oynaklık dönemden döneme çok değişiyorsa, tek bir standart sapma yanıltıcıdır.

Modelin sınırları

Olasılık dağılımları, belirsizliği düzenli bir biçimde düşünmemizi sağlayan modellerdir; gerçeğin kendisi değildir. Normal dağılım, pek çok küçük ve bağımsız etkinin toplandığı durumlarda iyi bir yaklaşımdır, ama ekonomideki en önemli olaylar çoğu zaman tam da bu koşulların bozulduğu anlardır. Bir dağılımın parametreleri geçmiş veriden tahmin edilir; geçmiş sakin geçtiyse, tahmin fırtınayı göremez. Bu yüzden bir risk hesabı, hangi dağılımın varsayıldığını ve hangi dönemin verisinin kullanıldığını açıkça belirtmelidir. Aksi hâlde yirmi beş standart sapma gibi sayılar, olayın değil modelin ne kadar yanlış olduğunu ölçer.

Uygulama

Özet kartı

1. Rastgele değişken belirsiz bir sonucu sayıya çevirir; olasılık dağılımı bu sayının alabileceği değerlerin olasılıklarını verir ve sürekli değişkenlerde olasılık eğrinin altındaki alanla ölçülür.
2. Binom dağılımı, bağımsız ve aynı olasılıklı denemelerde başarı sayısını modeller; bağımsızlık bozulduğunda olasılık uçlara kayar ve toplu kayıplar sıklaşır.
3. Normal dağılım ortalama ve standart sapmayla belirlenir; gözlemlerin yaklaşık yüzde 68'i bir, 95'i iki, 99,7'si üç standart sapma yakınındadır.
4. Standart puan bir gözlemin ortalamadan kaç standart sapma uzak olduğunu gösterir ve farklı dağılımlardaki değerleri karşılaştırmayı sağlar; olasılık yorumları ise dağılımın normale yakınlığına bağlıdır.
5. Pek çok küçük bağımsız etkinin toplamı normale yaklaşır; ama gelir, servet ve finansal getiriler gibi değişkenler çarpık ya da kalın kuyrukludur ve normal varsayım kuyruk riskini küçümser.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Kesikli ve sürekli rastgele değişken arasındaki farkı birer ekonomik örnekle açıkla. Sürekli bir değişkende olasılık nasıl ölçülür?
2. (Çıktı 2) Viniar'ın yirmi beş standart sapma açıklaması neden bir kötü şans iddiası olarak değil, bir model sorunu olarak okundu?
3. (Çıktı 3) Her birinin batma olasılığı yüzde 10 olan ve birbirinden bağımsız dört kredide hiçbirinin batmama olasılığı ve en az birinin batma olasılığı nedir? Beklenen batış sayısı kaçtır?
4. (Çıktı 3) Bir sınavda ortalama 60, standart sapma 8; başka bir sınavda ortalama 75, standart sapma 5. Birinci sınavdan 76, ikinci sınavdan 83 alan iki öğrenciden hangisi kendi sınavına göre daha iyi bir sonuç almıştır?
5. (Çıktı 3) Günlük getirileri ortalama 0, standart sapma yüzde 1,5 olan normal dağılıma uyan bir portföyde yüzde 3'lük ya da daha büyük bir günlük kayıp yılda yaklaşık kaç kez beklenir? Yılda 250 işlem günü varsay.
6. (Çıktı 4) Bir banka, kredi portföyünün riskini batışların bağımsız olduğu ve günlük piyasa getirilerinin normal dağıldığı varsayımlarıyla hesaplıyor. Bu iki varsayımın hangi durumlarda riski küçümseyeceğini değerlendir ve bankanın hesabını nasıl tamamlaması gerektiğini öner.

Cevaplar

1. Kesikli değişken sayılabilir değerler alır; örneğin bir ayda kapanan şirket sayısı. Sürekli değişken iki değer arasındaki herhangi bir noktaya düşebilir; örneğin bir ekmeğin fiyatı ya da döviz kuru. Sürekli bir değişkende tek bir değerin olasılığı sıfırdır; olasılık, dağılım eğrisinin altında iki değer arasına düşen alanla ölçülür.
2. Normal dağılım altında sekiz standart sapmalık bir günlük olay bile evrenin tarihi boyunca bir kereden az beklenir; yirmi beş standart sapmalık hareketlerin art arda birkaç gün yaşanması fiilen imkânsızdır. Bu yüzden asıl açıklama, getirilerin normal dağılmadığı, kuyrukların kalın olduğu ya da standart sapmanın sakin bir dönemden hesaplanıp riski küçümsediğidir.
3. Hiçbirinin batmama olasılığı 0,9⁴ = 0,6561'dir. En az birinin batma olasılığı 1 − 0,6561 = 0,3439, yani yaklaşık yüzde 34'tür. Beklenen batış sayısı 4 × 0,1 = 0,4'tür.
4. Birinci öğrencinin standart puanı (76 − 60) ÷ 8 = 2,0; ikinci öğrencininki (83 − 75) ÷ 5 = 1,6. Birinci öğrenci kendi sınavına göre daha olağandışı, yani daha iyi bir sonuç almıştır.
5. Yüzde 3'lük kaybın standart puanı 3 ÷ 1,5 = 2'dir. Normal dağılım altında standart puanı −2 ya da daha düşük olma olasılığı yaklaşık yüzde 2,3'tür. Yılda 250 × 0,023 ≈ 5,7, yani beş ya da altı kez beklenir.
6. Batışların bağımsızlığı varsayımı, bir durgunluk ya da bölgesel bir şok gibi pek çok borçluyu aynı anda vuran olaylarda toplu batış olasılığını küçümser. Normal dağılım varsayımı, finansal getirilerin kalın kuyrukları nedeniyle büyük günlük kayıpların sıklığını küçümser; standart sapma sakin bir dönemden hesaplanmışsa sorun büyür. Banka, batışlar arasındaki ilişkiyi hesaba katan modeller kullanmalı, standart sapmayı fırtınalı dönemleri de içeren uzun verilerden tahmin etmeli ve geçmiş krizlerin yeniden yaşandığı stres senaryolarıyla sermayesinin yeterliliğini sınamalıdır.

İleri okuma

• Kevin Dowd, John Cotter, Christopher Humphrey, Margaret Woods (2008). «How Unlucky is 25-Sigma?». Journal of Portfolio Management 34(4). Normal dağılım varsayımının uç olaylardaki çöküşü.
• Benoît Mandelbrot (1963). «The Variation of Certain Speculative Prices». Journal of Business 36(4). Fiyat değişimlerinde kalın kuyrukların erken kanıtı.
• Francis Galton (1889). Natural Inheritance. Macmillan. Çivili tahta düzeneğinin ve normal dağılımın erken tartışmasının kaynağı.
• Federal Reserve History, «Stock Market Crash of 1987». Kara Pazartesi'nin kısa tarihçesi.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir değişkenin bütün olası değerlerini bir dağılımla betimledik ve pek çok küçük etkinin toplamının neden çan eğrisine yaklaştığını gördük. Ama gerçekte bir dağılımın ortalamasını ve standart sapmasını hiçbir zaman doğrudan görmeyiz; onları bütün nüfusun küçük bir kısmından, bir örneklemden tahmin ederiz. Bin kişilik bir anket seksen beş milyonluk bir ülke hakkında nasıl bir şey söyleyebilir? Aynı ankete farklı bin kişi katılsaydı sonuç ne kadar değişirdi ve örneklem büyüdükçe bu değişkenlik nasıl küçülür? Örneklemeyi sıradaki ders ele alıyor.