Betimsel istatistik

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Histogramı, yüzdeliği, çeyrekler arası açıklığı, varyansı, standart sapmayı ve aykırı değeri tanımlar.
• Anlama — Aynı ortalamaya ve aynı yayılım ölçüsüne sahip veri kümelerinin neden çok farklı olabileceğini ve bir veriyi özetlemeden önce neden çizmek gerektiğini açıklar.
• Uygulama — Küçük bir veri kümesi için beş sayı özetini, çeyrekler arası açıklığı ve standart sapmayı hesaplar; aykırı değerleri bir kuralla belirler.
• Değerlendirme — Bir veri kümesi için hangi merkez ve yayılım ölçüsünün uygun olduğunu, verinin biçimine ve sorulan soruya göre gerekçelendirir.

Sezgi

Açılış

Bir tabloda on bir satır ve iki sütun var. Bir sütun bir değişkeni, öbürü onunla ilişkili olduğu düşünülen başka bir değişkeni gösteriyor. Tablonun altında özet satırları duruyor: her iki sütunun ortalaması, ne kadar dağınık oldukları, aralarındaki ilişkinin gücü ve verinin içinden geçen en uygun doğrunun denklemi.

Şimdi aynı özet satırlarına sahip dört ayrı tablo düşün. Dördünün de ortalamaları, dağınıklıkları, ilişki katsayıları ve doğruları virgülden sonraki iki basamağa kadar aynı. Yalnızca özetlere bakan biri, dört tablonun aynı hikâyeyi anlattığı sonucuna varır. Oysa biri düzgün bir çizgi, biri bir kavis, biri tek bir sapkın noktanın bozduğu kusursuz bir doğru, biri de neredeyse hiçbir ilişki taşımayan bir yığındır.

Bu ders, sayı yığınlarını özetlemenin araçlarını topluyor: verinin nerede toplandığını, ne kadar yayıldığını ve hangi biçimde dağıldığını gösteren ölçüleri. Ama asıl sorusu şu: bir özet, verinin neyini gösterir ve neyini gizler?

Hikâye — Dört tablo, tek özet

1973'te İngiliz istatistikçi Francis Anscombe, The American Statistician dergisinde «Graphs in Statistical Analysis» başlıklı, birkaç sayfalık bir yazı yayımladı. Makalenin amacı, istatistikçiler arasında yaygın olan bir önyargıyla hesaplaşmaktı: sayısal hesaplar kesin, grafikler ise kaba ve süs niyetinedir. Anscombe'a göre bu yanlıştı; bir hesabın ne anlama geldiğini, ancak verinin kendisine bakarak anlayabilirdik.

Bunu göstermek için dört küçük veri kümesi kurdu. Her birinde on bir nokta vardı. Dördünde de yatay değişkenin ortalaması tam 9, varyansı tam 11'di. Dikey değişkenin ortalaması 7,50, varyansı yaklaşık 4,12'ydi. İki değişken arasındaki korelasyon 0,816'ydı ve en küçük kareler doğrusu dördünde de aynıydı: dikey değişken, 3 artı yatay değişkenin yarısı.

Grafikler bambaşkaydı. Birinci kümede noktalar, bir doğrunun etrafında makul bir gürültüyle dağılıyordu; özet istatistikler tam olarak bu tabloyu anlatmak için tasarlanmış gibiydi. İkinci kümede noktalar pürüzsüz bir kavis çiziyordu; ilişki çok güçlüydü ama doğrusal değildi, dolayısıyla doğru denklemi yanıltıcıydı. Üçüncü kümede on nokta kusursuz bir doğru üzerindeydi, tek bir nokta ise yukarıya fırlamıştı ve bu tek nokta doğrunun eğimini ve korelasyonu değiştiriyordu.

Dördüncü küme en çarpıcı olanıydı. On noktanın yatay değeri aynıydı, 8; dikey değerleri ise bir sütun hâlinde yukarı aşağı dağılıyordu. Tek bir nokta, 19'da, bütün öbürlerinden uzakta duruyordu. Bütün «ilişki», o tek noktadan geliyordu; onu çıkarınca geriye yatay değişkenle dikey değişken arasında bir bağ kalmıyordu.

Anscombe'un dörtlüsü, istatistik derslerinin en çok gösterilen örneklerinden biri oldu. Verdiği ders basitti: özetlemeden önce çiz. Bir ortalama, bir varyans ya da bir korelasyon, verinin biçimi hakkında hiçbir şey söylemez.

Kavram

Önceki derslerde aritmetik ortalamayı ve medyanı, yani verinin merkezini gösteren iki ölçüyü tanıdık. Ama bir veriyi betimlemek, merkezini söylemekle bitmez. Verinin nasıl dağıldığını görmenin en temel aracı bir grafiktir.

Histogram biçimi gösterir; biçimi sayılarla anlatmak için sıralamaya dayanan ölçüler kullanılır.

Yayılımı ölçmenin öbür yolu, her gözlemin ortalamadan ne kadar uzak olduğunu hesaba katmaktır.

Veri ve kanıt

Anscombe'un dört kümesinin rakamları, onun makalesinde tablo olarak yer alır ve bugün pek çok istatistik yazılımında hazır veri olarak gelir.

Anscombe'un örneği dört kümeyle sınırlıydı ve bu kümeleri nasıl bulduğunu açıklamamıştı. Kırk dört yıl sonra iki araştırmacı, aynı fikrin ne kadar ileri götürülebileceğini gösterdi. Veri görselleştirme uzmanı Alberto Cairo'nun 2016'da çizdiği dinozor biçimli bir veri kümesinden yola çıktılar ve bilgisayarla, noktaları azar azar kaydırıp özet istatistikleri sabit tutarak bu kümeyi başka biçimlere dönüştürdüler.

Bu iki çalışma, özet istatistiklerin işe yaramadığını söylemez. Söyledikleri, özetin bir sıkıştırma olduğu ve her sıkıştırmanın bilgi kaybettiğidir. Hangi bilginin kaybolduğunu görmenin tek yolu, veriye bir kez de bütün olarak bakmaktır.

Neden önemli?

Ekonomi haberlerinin büyük kısmı tek bir sayı üzerine kuruludur: ortalama ücret, ortalama kira artışı, beklenen enflasyon. Bu sayıların her biri bir dağılımın özetidir. Ortalama kira artışı yüzde elli olan bir şehirde bazı kiracılar hiç zam görmemiş, bazıları kirasının iki katına çıktığını görmüş olabilir. Hangi durumun yaygın olduğunu anlamak için ortalamanın yanında yayılıma da bakmak gerekir.

Yayılım kendi başına bir bilgidir. Bir beklenti anketinde katılımcıların tahminleri birbirine yakınsa, bu bir uzlaşma olduğunu gösterir; tahminler geniş bir alana dağılmışsa, belirsizlik yüksektir. İki anket aynı ortalamayı verip çok farklı bir tablo çizebilir.

Kişisel kararlar da yayılıma duyarlıdır. Ortalama getirisi aynı olan iki yatırım aracından birinin getirisi yıldan yıla çok daha fazla oynayabilir. Ortalama süresi aynı olan iki ulaşım güzergâhından birinde gecikme nadiren beş dakikayı geçerken, öbüründe arada bir saati bulabilir. Kararın kalitesi, çoğu zaman ortalamadan çok dağılıma bağlıdır.

Model

Betimlemek ile çıkarım yapmak

İstatistik iki büyük işi birbirinden ayırır. Betimsel istatistik, elimizdeki verinin kendisini özetler: bu şehirdeki bu kiracıların kirası ne kadar arttı? Çıkarımsal istatistik ise elimizdeki veriden daha geniş bir nüfus hakkında sonuç çıkarmaya çalışır: bu kiracılardan yola çıkarak ülkedeki bütün kiracılar için ne söyleyebiliriz? Bu ders ilk işi ele alıyor. Betimleme, çıkarımın ön koşuludur: verinin biçimini, merkezini ve yayılımını bilmeden onun üzerine kurulacak her tahmin kör kalır. Bu kursun sonraki dersleri, betimlemeden çıkarıma doğru adım adım ilerleyecek.

Değişkenlerin türleri

Bir özet seçmeden önce, özetlenen değişkenin türünü bilmek gerekir. Nicel değişkenler sayılarla ölçülür: gelir, fiyat, işsizlik oranı. Bunlar da ikiye ayrılır. Kesikli değişkenler sayılarak elde edilir, örneğin bir hanedeki çocuk sayısı; sürekli değişkenler ise bir aralıktaki her değeri alabilir, örneğin bir kilogram ekmeğin fiyatı. Nitel değişkenler ise bir kategoriyi gösterir: meslek, bölge, sektör. Nitel bir değişkenin ortalaması alınamaz; onu özetlemek için her kategorinin payı kullanılır. En sık görülen kategoriye ya da değere tepe değer (mode) denir.

Frekans tablosundan histograma

Yüzlerce gözlemi tek tek okumak mümkün değildir. İlk adım, değerleri aralıklara bölüp her aralığa kaç gözlem düştüğünü sayan bir frekans tablosu kurmaktır. Bu tablonun grafiği histogramdır. Histogram çizerken en önemli karar aralık genişliğidir. Çok geniş aralıklar ayrıntıyı siler ve iki tepeli bir dağılımı tek tepeli gösterebilir. Çok dar aralıklar ise gürültüyü büyütür ve rastgele dalgalanmaları desen gibi gösterir. Birkaç farklı genişlik denemek ve hepsinde görünen özelliklere güvenmek, iyi bir alışkanlıktır.

Dağılımın biçimi

Bir histogramda üç şeye bakılır. Birincisi merkezdir: gözlemler nerede yoğunlaşıyor? İkincisi yayılımdır: değerler dar bir alanda mı toplanmış, geniş bir alana mı dağılmış? Üçüncüsü biçimdir. Simetrik bir dağılımda iki taraf birbirinin aynası gibidir. Çarpık bir dağılımda bir taraf uzun bir kuyruk oluşturur; gelir ve servet dağılımları tipik olarak sağa çarpıktır. Bazı dağılımların iki tepesi vardır; bu, verinin aslında iki farklı gruptan oluştuğunun işareti olabilir, örneğin kırsal ve kentsel hanelerin birlikte ölçülmesi. İki tepeli bir veride tek bir ortalama, hiçbir grubu temsil etmeyebilir.

Merkezin üç ölçüsü

Aritmetik ortalama bütün değerleri kullanır ve toplamla doğrudan bağlantılıdır: ortalama gelir ile nüfusun çarpımı toplam geliri verir. Bu yüzden bütçe, vergi ya da toplam talep hesaplarında vazgeçilmezdir. Ama uç değerlere duyarlıdır. Medyan, sıralanmış verinin tam ortasındaki değerdir ve uç değerlerden etkilenmez; çarpık dağılımlarda «tipik» gözlemi daha iyi anlatır. Tepe değer en sık görülen değerdir ve nitel veriler için tek anlamlı merkez ölçüsüdür. Simetrik bir dağılımda üçü birbirine yakındır; sağa çarpık bir dağılımda ortalama medyanın üstüne kayar.

Ağırlıklı ortalama

Her gözlemin aynı önemi taşımadığı durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır. Her değer kendi ağırlığıyla çarpılır, çarpımlar toplanır ve ağırlıkların toplamına bölünür. Enflasyon endeksi bunun tanıdık bir örneğidir: gıda fiyatlarındaki artış, harcamalar içindeki payı kadar ağırlık alır. Bir ülkenin bölgelerinin ortalama işsizlik oranını hesaplarken de her bölgenin işgücü büyüklüğü ağırlık olarak kullanılmalıdır. Aksi hâlde küçük bir bölge, büyük bir bölgeyle aynı etkiye sahip olur ve ülke ortalaması yanlış çıkar.

Yüzdelikler ve çeyrekler

Yüzdelikler, sıralanmış verinin belirli noktalarındaki değerleri verir. Medyan ellinci yüzdeliktir; birinci ve üçüncü çeyrekler yirmi beşinci ve yetmiş beşinci yüzdeliklerdir. Küçük veri kümelerinde çeyreklerin nasıl bulunacağına dair birden fazla kural vardır. Bu derste hesap tablolarının yaygın kuralını kullanıyoruz: n gözlemli sıralı bir veride p yüzdeliği, (n − 1) × p + 1'inci sıradaki değerdir; sıra tam sayı çıkmazsa iki komşu değer arasında ara değer alınır. Farklı kurallar küçük verilerde biraz farklı sonuçlar verebilir, büyük verilerde fark kaybolur.

Açıklık ve çeyrekler arası açıklık

En basit yayılım ölçüsü açıklıktır: en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark. Hesaplaması kolaydır, ama yalnızca iki uç gözleme bakar ve tek bir aykırı değerle bütünüyle değişir. Çeyrekler arası açıklık bu zayıflığı giderir. Verinin alt ve üst dörtte birini dışarıda bırakıp ortadaki yarının genişliğini ölçer. Bu yüzden medyanın yayılımdaki karşılığı gibidir: uç değerlere dayanıklıdır ve çarpık dağılımlarda da anlamlı kalır. Beş sayı özeti, yani en küçük değer, birinci çeyrek, medyan, üçüncü çeyrek ve en büyük değer, bir dağılımı birkaç sayıyla özetlemenin en sade yoludur.

Varyans ve standart sapma

Varyans, her gözlemin ortalamadan farkını alır, bu farkların karesini alır ve bunların ortalamasını hesaplar. Karenin alınmasının iki nedeni vardır: eksi ve artı farklar birbirini götürmez ve büyük sapmalar daha fazla ağırlık alır. Elimizdeki veri daha geniş bir nüfustan alınmış bir örneklemse, kareler toplamı n'e değil n − 1'e bölünür; bunun nedeni, örneklem ortalamasının verinin kendisinden hesaplandığı için yayılımı olduğundan biraz küçük gösterme eğilimidir. Varyansın birimi verinin biriminin karesidir, bu yüzden yorumlaması zordur. Standart sapma, varyansın karekökünü alarak verinin kendi birimine döner.

Çözümlü örnek — Dokuz krizin maliyeti

Varsayımsal dokuz ülkenin bir bankacılık krizinde yaşadığı üretim kaybı, GSYH'nin yüzdesi olarak sıralı biçimde şöyle olsun: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 41.

Merkez. Toplam 90'dır; ortalama 90 ÷ 9 = 10. Dokuz değerin ortasındaki beşinci değer 6'dır; medyan 6.

Çeyrekler. n = 9 olduğu için birinci çeyrek (9 − 1) × 0,25 + 1 = 3'üncü sıradaki değerdir: 4. Üçüncü çeyrek (9 − 1) × 0,75 + 1 = 7'nci sıradaki değerdir: 9. Çeyrekler arası açıklık 9 − 4 = 5.

Aykırı değer. Üst sınır 9 + 1,5 × 5 = 16,5; alt sınır 4 − 1,5 × 5 = −3,5. 41, üst sınırı aştığı için aykırı değerdir; öbür sekiz değer sınırların içindedir.

Standart sapma. Ortalamadan farklar: −8, −7, −6, −5, −4, −2, −1, 2, 31. Kareleri: 64, 49, 36, 25, 16, 4, 1, 4, 961; toplamları 1.160. Örneklem varyansı 1.160 ÷ 8 = 145, standart sapma √145 ≈ 12,0.

Aykırı değer olmadan. 41 çıkarılınca kalan sekiz değerin toplamı 49, ortalaması 6,125 olur. Medyan dördüncü ve beşinci değerin ortası, (5 + 6) ÷ 2 = 5,5 olur. Farkların kareleri toplamı 78,875; örneklem varyansı 78,875 ÷ 7 ≈ 11,27, standart sapma ≈ 3,4.

Yorum. Tek bir gözlem, ortalamayı 10'dan 6,1'e, standart sapmayı 12,0'dan 3,4'e indirdi; medyan ise yalnızca 6'dan 5,5'e kaydı. Toplam maliyet soruluyorsa ortalama gereklidir; tipik bir krizin maliyeti soruluyorsa medyan ve çeyrekler arası açıklık daha dürüst bir özet sunar. En dürüst rapor, ikisini ve 41'lik değerin hangi ülkeye ait olduğunu birlikte verir.

Standart sapmayı yorumlamak

Standart sapma verinin biriminde olduğu için doğrudan yorumlanabilir: yıllık getirilerin standart sapması 15 puan olan bir fonda, getirilerin çoğu ortalamanın 15 puan kadar altı ile üstü arasında gezinir. Ama farklı birimlerdeki ya da çok farklı düzeylerdeki değişkenleri karşılaştırırken standart sapma yanıltıcı olabilir. Ortalaması 100 olan bir seride 10'luk sapma küçük, ortalaması 5 olan bir seride aynı sapma çok büyüktür. Bu durumda standart sapmanın ortalamaya oranı, yani değişim katsayısı kullanılır. Bu oran yalnızca her zaman pozitif değerler alan değişkenlerde anlamlıdır.

Kutu grafiği

Beş sayı özetini tek bir resimde gösteren araç kutu grafiğidir. Bir kutu birinci çeyrekten üçüncü çeyreğe uzanır; içindeki çizgi medyanı gösterir. Kutunun iki yanından çıkan bıyıklar, aykırı sayılmayan en uç değerlere kadar uzanır; aykırı değerler ayrı noktalar olarak işaretlenir. Kutu grafiği, birkaç grubu yan yana karşılaştırmak için özellikle kullanışlıdır: farklı bölgelerin ücretlerini, farklı yılların kira artışlarını ya da farklı sektörlerin kârlılığını tek bir bakışta karşılaştırmayı sağlar. Ama tek başına iki tepeli bir dağılımı gizleyebilir; histogramla birlikte okunmalıdır.

Aykırı değerle ne yapılır?

Bir aykırı değer bulunduğunda ilk soru, nereden geldiğidir. Bir veri girişi hatası, örneğin fazladan bir sıfır, düzeltilmelidir. Ama gerçek bir gözlemse, onu silmek verinin en bilgilendirici kısmını atmak olabilir. Ekonomide uç değerler sık görülür ve çoğu zaman önemlidir: bir kriz yılı, bir hiperenflasyon dönemi, pazarın büyük kısmını elinde tutan tek bir şirket. İyi uygulama, sonuçları aykırı değerle ve onsuz raporlamak, uç değerlere dayanıklı ölçüleri, yani medyanı ve çeyrekler arası açıklığı, yanında vermektir.

Hangi özet: ortalama mı, medyan mı?

Bu seçim teknik olduğu kadar tartışmalıdır da. Medyanı savunanlar, çarpık dağılımlarda ortalamanın tipik kişiyi temsil etmediğini ve birkaç uç değerin tabloyu çarpıttığını vurgular. Ortalamayı savunanlar ise ortalamanın toplamlarla bağlantısını hatırlatır: bir politikanın toplam maliyeti ya da toplam faydası ortalama üzerinden hesaplanır ve uç değerler gerçek insanların ya da kurumların deneyimidir. İki taraf da haklı bir şey söyler. Hangi ölçünün doğru olduğu verinin kendisine değil, sorulan soruya bağlıdır; iyi bir rapor çoğu zaman ikisini birden verir ve farkı açıklar.

Zaman serilerini betimlemek

Ekonomik verilerin çoğu zaman içinde ölçülür: aylık enflasyon, çeyreklik büyüme, günlük kur. Bir zaman serisini betimlerken yalnızca bütün gözlemlerin ortalamasına ve standart sapmasına bakmak yetmez, çünkü sıranın kendisi bilgi taşır. Önce bir çizgi grafiği çizilir ve üç şey aranır: uzun dönemli bir eğilim, her yıl aynı aylarda tekrarlanan mevsimsel bir desen ve bu ikisinin dışındaki düzensiz dalgalanma. Bir serinin ortalaması, eğilimi güçlü olan dönemlerde anlamını yitirir; yirmi yıllık kira serisinin ortalaması ne bugünü ne de geçmişi anlatır. Bu yüzden zaman serilerinde betimleme, çoğu zaman değişim oranları ve belirli pencerelerdeki özetler üzerinden yapılır.

İki değişkeni birlikte betimlemek

Tek bir değişkenin yanında, iki değişkenin birlikte nasıl hareket ettiğini de betimlemek gerekir. Bunun temel aracı saçılım grafiğidir: her gözlem, bir değişkeni yatay, öbürünü dikey eksende gösteren bir noktadır. Grafik, ilişkinin yönünü, gücünü ve biçimini bir arada gösterir. Anscombe'un örneği, tam da bu grafik atlandığında neler olabileceğini gösteriyordu. Korelasyon, iki değişken arasındaki doğrusal birlikteliği tek bir sayıyla özetler; ama bir kavisi, bir aykırı noktanın etkisini ya da iki alt grubun varlığını göstermez. İlişkiyi sayılarla ölçmenin ayrıntıları bu kursun ilerleyen derslerinde ele alınacak.

Önce çiz

Anscombe'un dörtlüsünün pratik sonucu, her analize bir grafikle başlamaktır. Tek bir değişken için histogram ya da kutu grafiği, iki değişken arasındaki ilişki için bir saçılım grafiği çizilir. Grafik, özetlerin gözden kaçırdığı üç şeyi gösterir: doğrusal olmayan bir biçimi, özeti tek başına belirleyen bir uç noktayı ve verinin birden fazla gruptan oluştuğunu. Bir grafik bir hesabın yerini almaz; ama hesabın hangi soruya cevap verdiğini ve hangi soruyu atladığını gösterir.

Modelin sınırları

Betimsel istatistik yalnızca elimizdeki veriyi anlatır. Bir özet, verinin nasıl toplandığına dair hiçbir şey söylemez: yanlı bir örneklemden hesaplanan kusursuz bir ortalama da yanıltıcıdır. Betimleme nedensellik de kurmaz; iki serinin aynı yöne kıpırdaması, aralarında bir etki ilişkisi olduğunu kanıtlamaz. Ayrıca her özet bir seçimdir: aralık genişliği, çeyrek kuralı, aykırı değer sınırı ve ölçü seçimi sonucu değiştirir. Bu seçimleri açıkça yazmak, betimlemenin güvenilirliğinin ön koşuludur.

Uygulama

Özet kartı

1. Betimsel istatistik elimizdeki veriyi özetler; özetlemeden önce histogram, kutu grafiği ya da saçılım grafiği ile veriye bütün olarak bakmak gerekir.
2. Bir dağılım üç özellikle betimlenir: merkezi, yayılımı ve biçimi; simetri, çarpıklık ve birden fazla tepe, hangi özetin uygun olduğunu belirler.
3. Yüzdelikler ve çeyrekler sıralamaya dayanır; çeyrekler arası açıklık ortadaki yarının genişliğini ölçer ve uç değerlere dayanıklıdır.
4. Varyans ortalamadan farkların karelerinin ortalamasıdır; standart sapma onun kareköküdür ve verinin kendi biriminde yayılımı gösterir, ama uç değerlere duyarlıdır.
5. Aykırı değerler önce incelenir, gerçekse tutulur; ortalama ile medyan arasındaki seçim sorulan soruya bağlıdır ve iyi bir rapor çoğu zaman ikisini birden verir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Çeyrekler arası açıklık ile standart sapma neyi ölçer? Hangisi uç değerlere daha dayanıklıdır, neden?
2. (Çıktı 2) Anscombe'un dört veri kümesinin ortak istatistikleri neydi ve grafikleri neden bu kadar farklıydı? Bu örnek bir analize nasıl başlanması gerektiği hakkında ne söyler?
3. (Çıktı 3) Sıralı veri 3, 5, 6, 7, 9, 10, 30 olsun. Hesap tablosu kuralıyla birinci ve üçüncü çeyreği, çeyrekler arası açıklığı bul ve 1,5 katı kuralına göre aykırı değer olup olmadığını belirle.
4. (Çıktı 3) 2, 4, 6, 8 verisinin ortalamasını ve örneklem standart sapmasını hesapla.
5. (Çıktı 2) Bir histogram iki belirgin tepe gösteriyorsa bu ne anlama gelebilir? Bu durumda tek bir ortalama neden yanıltıcı olabilir?
6. (Çıktı 4) Bir belediye, ilçedeki hanelerin su tüketimini raporlayacak. Su şebekesinin toplam kapasitesini planlamak ve tipik bir hanenin faturasını anlatmak için hangi merkez ölçülerini kullanırsın? Gerekçelendir.

Cevaplar

1. Çeyrekler arası açıklık, verinin ortadaki yarısının genişliğini ölçer; standart sapma ise gözlemlerin ortalamadan tipik uzaklığını ölçer. Çeyrekler arası açıklık daha dayanıklıdır, çünkü alt ve üst dörtte biri hesaba katmaz; standart sapma ise farkların karesini aldığı için uç değerlere büyük ağırlık verir.
2. Dördünde de yatay değişkenin ortalaması 9 ve varyansı 11, dikey değişkenin ortalaması 7,50 ve varyansı yaklaşık 4,12, korelasyon 0,816 ve regresyon doğrusu aynıydı. Ama biri doğrusal bir ilişki, biri bir kavis, biri tek aykırı noktanın bozduğu bir doğru, biri de tek bir uç noktanın yarattığı bir ilişkiydi. Özet istatistikler biçimi göstermez; bir analize veriyi çizerek başlamak gerekir.
3. n = 7. Birinci çeyrek (7 − 1) × 0,25 + 1 = 2,5'inci sıradadır, yani 5 ile 6'nın ortası: 5,5. Üçüncü çeyrek (7 − 1) × 0,75 + 1 = 5,5'inci sıradadır, yani 9 ile 10'un ortası: 9,5. Çeyrekler arası açıklık 4. Üst sınır 9,5 + 6 = 15,5, alt sınır 5,5 − 6 = −0,5. 30 üst sınırın üstünde olduğu için aykırı değerdir.
4. Ortalama (2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 = 5. Farklar −3, −1, 1, 3; kareleri 9, 1, 1, 9; toplamları 20. Örneklem varyansı 20 ÷ 3 ≈ 6,67; standart sapma ≈ 2,58.
5. İki tepe, verinin iki farklı gruptan oluştuğunu gösterebilir; örneğin kırsal ve kentsel haneler ya da iki farklı sektörün çalışanları. Tek bir ortalama iki tepenin arasına düşebilir ve iki grubu da temsil etmeyen bir değer verebilir. Verinin gruplara ayrılıp her birinin ayrı betimlenmesi gerekir.
6. Toplam kapasiteyi planlamak için ortalama gereklidir, çünkü ortalama ile hane sayısının çarpımı toplam tüketimi verir; yüksek tüketimli birkaç hane de şebekeyi gerçekten yükler. Tipik bir hanenin faturasını anlatmak için medyan daha uygundur, çünkü su tüketimi büyük bahçeli ya da havuzlu birkaç hane yüzünden sağa çarpık olabilir. Rapor ikisini de vermeli, farkı ve yayılımı da açıklamalıdır.

İleri okuma

• F. J. Anscombe (1973). «Graphs in Statistical Analysis». The American Statistician 27(1). Özet istatistiklerin sınırını gösteren dört veri kümesi.
• Justin Matejka, George Fitzmaurice (2017). «Same Stats, Different Graphs». CHI 2017 Bildirileri. Aynı özet istatistiklere sahip on üç farklı biçim.
• John W. Tukey (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley. Kutu grafiğinin ve keşifsel veri analizinin temel kaynağı.
• David Spiegelhalter (2019). The Art of Statistics: Learning from Data. Pelican. Betimsel özetlerden çıkarıma uzanan, genel okura yönelik bir giriş.

Sonraki derse köprü

Bu derste elimizdeki verinin ne söylediğini özetledik: nerede toplandığını, ne kadar yayıldığını, hangi biçimde dağıldığını. Ama bu özetler, olmuş olanı anlatır. Gelecek yılın enflasyonunun belirli bir eşiği aşıp aşmayacağını, bir kredinin geri ödenip ödenmeyeceğini, bir anketin sonucunun tesadüf olup olmadığını sormak için belirsizliği sayılarla konuşmamızı sağlayan bir dil gerekir. Bir olayın olasılığı ne demektir ve nasıl hesaplanır? Olasılığın temellerini sıradaki ders kuruyor.