Optimizasyon sezgisi: En iyiyi bulmak

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Optimizasyonu, bir amacın alabileceği en iyi değeri ve o değere götüren seçimi arama işi olarak tanımlar.
• Anlama — Bir fonksiyonun tepe noktasında eğimin neden sıfır olduğunu ve bunun iktisatta «marjinal fayda eşittir marjinal maliyet» koşuluna nasıl karşılık geldiğini açıklar.
• Uygulama — Basit bir vergi hasılatı fonksiyonunda hasılatı en yüksek yapan oranı bir tabloyla bulur.
• Değerlendirme — Hasılatı en yüksek yapan vergi oranı tahminlerinin neden ölçülen davranış tepkisine bu kadar duyarlı olduğunu tartışır.

Sezgi

Açılış

Bir devlet vergi oranını sıfırda tutarsa hiç vergi geliri toplamaz. Oranı yüzde 100'e çıkarırsa, kimse kazandığının tamamını devlete vermek için çalışmayacağından, yine hiç gelir toplayamaz. Bu iki uç arasında bir yerde, vergi gelirini en yüksek yapan bir oran olmalıdır. Nerede olduğu, iktisatçıların uzun süredir tartıştığı bir sorudur.

Bu, iktisadın en sık sorduğu soru türüdür: bir miktarı hangi seçim zirveye taşır? Firmalar kârı, haneler memnuniyeti, devletler gelirleri en yüksek yapmak ister; üretim ise maliyeti en düşük tutmak ister. Bunların hepsine optimizasyon denir. Bir önceki dersin marjinal düşüncesi, optimizasyonun anahtarıdır.

Hikâye — bir restoran peçetesi

1974'te Washington'daki bir otelin restoranında dört kişi yemek yiyordu: Chicago Üniversitesi'nden iktisatçı Arthur Laffer, Wall Street Journal yazarı Jude Wanniski ve Başkan Gerald Ford'un ekibinden Donald Rumsfeld ile yardımcısı Dick Cheney. Konu, hükümetin enflasyonla mücadele için planladığı vergi artışıydı. Anlatılana göre Laffer bir peçetenin üzerine bir eğri çizdi: sıfır oranda sıfır gelir, yüzde 100 oranda sıfır gelir ve arada bir tepe noktası. Oran tepe noktasının üstündeyse, vergiyi düşürmek geliri artırabilirdi.

Wanniski bu eğriyi sonraki yıllarda yazılarında yaydı ve eğri «Laffer eğrisi» adıyla anılmaya başladı. Fikir, 1980'lerde ABD'de vergi indirimlerinin gerekçelerinden biri oldu. Bugün Washington'daki Ulusal Amerikan Tarihi Müzesi'nde bu eğrinin çizildiği bir kumaş peçete sergileniyor. Ama Laffer'ın kendisi, bunun o akşamki peçete olmadığını, büyük olasılıkla birkaç yıl sonra hatıra olarak hazırlandığını söyledi. Toplantının tarihi de kaynaklarda Eylül ile Aralık 1974 arasında farklı veriliyor.

Laffer, fikrin kendisine ait olmadığını da açıkça belirtti ve öncüllerini andı. On dördüncü yüzyılda İbn Haldun Mukaddime'de, bir devletin başlangıcında düşük vergilerle büyük gelir, sonunda ise yüksek vergilerle küçük gelir elde ettiğini yazmıştı. Eğrinin matematiği ise basittir: vergi geliri, vergi oranı ile vergilenen tabanın çarpımıdır; oran yükseldikçe taban daralıyorsa, çarpımın bir yerde tepe yapması kaçınılmazdır. Asıl tartışma, tepenin nerede olduğu ve bir ekonominin o tepenin hangi tarafında durduğudur.

Kavram — tepede eğim sıfırdır

Bir tepeye tırmandığınızı düşünün. Yokuş yukarı çıkarken zemin önünüzde yükselir; eğim pozitiftir. Tepeyi geçip inerken zemin alçalır; eğim negatiftir. Tam tepede, bir an için, zemin ne yükselir ne alçalır: eğim sıfırdır. Bir fonksiyonun en yüksek noktasında türev sıfırdır. Bu gözleme matematikte birinci sıra koşulu denir.

Basit bir örnek, Laffer eğrisinin mantığını somutlaştırır. Vergilenen taban, oran yükseldikçe doğrusal olarak daralsın: yüzde sıfır oranda taban 100, yüzde 100'de sıfır olsun. Vergi geliri oran çarpı tabandır. Aşağıdaki tablo birkaç oran için sonucu gösteriyor.

Gelir yüzde 50'de en yüksektir. Bu noktanın altında oranı artırmak geliri artırır; üstünde azaltır. Tam yüzde 50'de, oranı biraz artırmanın gelire ek katkısı, yani marjinal geliri, sıfırdır: oranın yükselmesiyle kazanılan, tabanın daralmasıyla kaybedilenle dengelenir. Bu, iktisatta sürekli karşımıza çıkan koşulun bir örneğidir: en iyi noktada, bir birim daha yapmanın marjinal faydası ile marjinal maliyeti eşittir.

Gerçek kararların çoğunda bir de kısıt vardır. Bir hane memnuniyetini en yüksek yapmak ister, ama bütçesiyle sınırlıdır. Bu durumda en iyi dağılımın kuralı, harcanan son liranın her maldan aynı ek faydayı getirmesidir. Bir malın son lirası öbüründen daha fazla fayda sağlıyorsa, parayı ona kaydırmak memnuniyeti artırır; bu kaydırma, son liraların faydası eşitlenene kadar sürer. Buna eşit marjinal ilke denir.

Veri ve kanıt — tepe nerede?

Laffer eğrisinin tepesinin yeri, vergilenen tabanın orana ne kadar duyarlı olduğuna bağlıdır. Taban çok duyarlıysa, yani insanlar yüksek oranlarda çalışmayı, gelirini açıklamayı ya da yatırım yapmayı hızla azaltıyorsa, tepe düşük oranlarda olur. Taban az duyarlıysa, tepe yüksek oranlardadır. Bu duyarlılığı ölçmek, vergi iktisadının en çok tartışılan işlerinden biridir.

İktisatçılar Peter Diamond ve Emmanuel Saez, 2011'de yayımladıkları bir çalışmada ABD için en yüksek gelir dilimine uygulanacak, geliri en yüksek yapan oranı tahmin etti. Hesap iki şeye dayanıyordu: en yüksek gelirlerin dağılımının biçimi ve vergilendirilebilir gelirin vergi oranına duyarlılığı. Duyarlılık için literatürdeki orta düzey bir tahmini, 0,25'i kullandıklarında, en yüksek dilimde geliri en yüksek yapan birleşik oran yaklaşık yüzde 73 çıkıyordu.

Bu sonuç tartışmasız değildir. Duyarlılık tahmini değiştiğinde tepe büyük ölçüde kayar: daha yüksek bir duyarlılık, tepeyi belirgin biçimde aşağı çeker. Eleştirmenler, yüksek oranların uzun vadede girişimciliği, eğitim yatırımını ve vergi kaçınmasını etkileyebileceğini ve bu etkilerin kısa dönem tahminlerine yansımayabileceğini savundu. Tartışmanın özü, optimizasyonun matematiğinde değil, o matematiğe giren duyarlılık sayısındadır. Formül aynı kalır; girdiler değişince cevap değişir.

Neden önemli? — en iyiyi aramanın dili

Optimizasyon, iktisatta karar veren herkesin davranışını anlatmanın ortak dilidir. Bir firmanın kaç işçi çalıştıracağı, bir önceki dersteki kafe örneğinde olduğu gibi, son işçinin getirdiği kârın sıfırlandığı noktada belirlenir. Bir hanenin gelirini yiyecek, kira ve ulaşım arasında nasıl böldüğü, eşit marjinal ilkeyle anlatılır. Bir devletin vergi oranını nerede tuttuğu, gelir ile başka amaçlar arasındaki dengeyle belirlenir.

Bu, insanların her kararı bir hesap makinesiyle verdiği anlamına gelmez. Optimizasyon, insanların davranışını tahmin etmek için kullanılan bir modeldir: insanlar bir seçeneğin ek faydası ek maliyetinden fazlaysa o yöne kayma eğilimindedir. Kişisel finans kursunda gördüğümüz psikolojik eğilimler, insanların bu hesaptan sistematik biçimde nerede saptığını gösterir; ama sapmayı tanımlamak için bile önce en iyi noktanın nerede olduğunu bilmek gerekir.

Optimizasyonun sınırı da burada: tek bir kişinin ya da firmanın en iyi kararını bulur. Oysa bir piyasada pek çok alıcı ve satıcı aynı anda kendi en iyi kararını arar. Hepsinin kararlarının birbiriyle uyuştuğu nokta ayrı bir hesap gerektirir.

Özet kartı

1. Optimizasyon, bir amacın zirvesini ya da dibini aramaktır; zirvede eğim, yani türev, sıfırdır.
2. İktisatta bu koşul «marjinal fayda eşittir marjinal maliyet» biçiminde görünür; bir bütçe kısıtı varsa, son liranın her maldan aynı ek faydayı getirmesi gerekir.
3. Laffer eğrisi, vergi gelirinin oranla önce artıp sonra azaldığını anlatır; 1974'teki peçete hikâyesinin tarihi ve müzedeki peçetenin kendisi tartışmalıdır, fikrin öncülleri İbn Haldun'a uzanır.
4. Basit bir örnekte taban oranla doğrusal daralıyorsa gelir yüzde 50'de en yüksektir; gerçek tepenin yeri tabanın orana duyarlılığına bağlıdır.
5. Diamond ve Saez, duyarlılığı 0,25 alarak ABD'nin en yüksek gelir dilimi için geliri en yüksek yapan oranı yaklaşık yüzde 73 buldu; farklı duyarlılık tahminleri çok farklı cevaplar verir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir firmanın kârını en yüksek yapmak ile maliyetini en düşük tutmak arasındaki fark nedir? Her ikisi de optimizasyon mudur?
2. (Çıktı 1) Bir fonksiyonun tepe noktasında türevin sıfır olmasını, bir tepeye tırmanma benzetmesiyle açıkla.
3. (Çıktı 2) Tablodaki örnekte oran yüzde 50'den yüzde 60'a çıkarsa vergi geliri ne olur? Neden?
4. (Çıktı 3) Vergilenen taban oran yükseldikçe daha hızlı daralsaydı, gelirin tepe noktası nasıl kayardı?
5. (Çıktı 2) Bir öğrencinin iki sınava çalışmak için 10 saati var. Birinci sınava ayrılan son saat 3 puan, ikinciye ayrılan son saat 5 puan kazandırıyorsa, çalışma saatlerini nasıl yeniden dağıtmalıdır?
6. (Çıktı 4) Bir politikacı «vergileri düşürürsek gelir artar» diyor. Bu iddiayı Laffer eğrisi ve Diamond ile Saez'in bulgusu ışığında değerlendir.

Cevaplar

1. Kârı en yüksek yapmak, gelir ile maliyet arasındaki farkın en büyük olduğu noktayı aramaktır; maliyeti en düşük tutmak, belirli bir üretimi en ucuza yapmanın yolunu aramaktır. İkisi de optimizasyondur; biri en yüksek, öbürü en düşük değeri arar.
2. Tepeye çıkarken zemin yükselir, eğim pozitiftir; inerken zemin alçalır, eğim negatiftir. Tam tepede zemin bir an için ne yükselir ne alçalır; eğim sıfırdır. Fonksiyonun en yüksek noktası da, türevin sıfır olduğu noktadır.
3. Gelir 25'ten 24'e düşer. Oranın artışıyla kazanılan gelir, tabanın 50'den 40'a daralmasıyla kaybedilenden azdır; tepe noktası aşılmıştır.
4. Tepe noktası daha düşük bir orana kayardı. Taban daha duyarlıysa, oranı artırmanın taban kaybı daha erken, daha düşük oranlarda kazancı aşar.
5. İkinci sınava ayrılan son saat daha fazla puan kazandırdığı için, birinci sınavdan ikinciye saat kaydırmalıdır. Kaydırma, iki sınavdaki son saatin kazandırdığı puanlar eşitlenene kadar sürmelidir.
6. İddia yalnızca mevcut oran gelir tepesinin üstündeyse doğrudur. Diamond ile Saez'in tahmini, ABD'nin en yüksek dilimi için tepenin yaklaşık yüzde 73'te olabileceğini gösteriyor; o dilimdeki oran bunun çok altındaysa, vergiyi düşürmek geliri artırmaz, azaltır. Ama tahmin, tabanın orana duyarlılığı varsayımına çok bağlıdır; farklı bir duyarlılık, farklı bir sonuç verir.

İleri okuma

• Peter Diamond ve Emmanuel Saez (2011). «The Case for a Progressive Tax». Journal of Economic Perspectives 25(4). Gelir vergisinde en iyi üst oranın hesabını anlatan ve tartışan makale.
• İbn Haldun (14. yüzyıl). Mukaddime. Devletlerin yükseliş ve çöküşünü anlatırken vergi ile gelir ilişkisine değinen klasik eser; Türkçe çevirileri mevcut.
• Avinash Dixit (1990, 2. baskı). Optimization in Economic Theory. İktisatta optimizasyonun matematiğini sezgiyle anlatan kısa ders kitabı.
• Smithsonian Magazine (2017). «The Restaurant Doodle That Launched a Political Movement». Laffer peçetesinin hikâyesi ve etrafındaki belirsizlikler.

Sonraki derse köprü

Optimizasyon, tek bir karar vericinin en iyi noktasını bulur. Bir piyasada ise alıcılar ne kadar alacaklarına, satıcılar ne kadar satacaklarına kendi optimizasyonlarıyla karar verir. Alıcıların istediği miktar ile satıcıların sunduğu miktar aynı anda nasıl eşitlenir? Bu, iki ayrı fonksiyonun ortak bir noktasını bulmayı, yani iki denklemi birlikte çözmeyi gerektirir. Dengenin matematiği, sıradaki dersin konusu.