Logaritmanın ekonomideki kullanımı

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Logaritmayı, bir sayıyı elde etmek için tabanın kaç kez kendisiyle çarpılması gerektiğini söyleyen işlem olarak tanımlar.
• Anlama — Logaritmanın çarpmayı toplamaya çevirdiğini ve bu yüzden büyüme oranlarıyla çalışmayı kolaylaştırdığını açıklar.
• Uygulama — İki değerin doğal logaritmaları arasındaki farkı yüzde değişimin yaklaşığı olarak kullanır ve yaklaşımın ne zaman bozulduğunu gösterir.
• Analiz — Gelir ile yaşam memnuniyeti arasındaki ilişkinin neden logaritmik ölçekte düz bir çizgiye dönüştüğünü çözümler.

Sezgi

Açılış

Bir önceki derste Güney Kore'nin yüzde 7'lik büyümesiyle ekonominin yaklaşık on yılda iki katına çıktığını, bunu da 70'i büyüme oranına bölerek bulduğumuzu gördük. Neden 70? Neden 50 ya da 100 değil? Bu sayının arkasında, bu dersin konusu olan matematik aracı duruyor: 2'nin doğal logaritması, yaklaşık 0,693. Yüzle çarpılınca 69,3 eder; hesabı kolaylaştırmak için 70'e yuvarlanır.

İktisatçılar logaritmayı neredeyse her yerde kullanır: büyüme oranlarını hesaplarken, uzun zaman serilerini grafiğe dökerken, gelir ile sağlık ya da memnuniyet arasındaki ilişkiyi incelerken. Logaritmanın gücü tek bir özelliğinden gelir: çarpmayı toplamaya çevirir. Büyüme bir çarpma işlemi olduğu için, logaritma büyümeyle çalışmayı basit bir toplama işine dönüştürür.

Hikâye — hesabı kısaltan tablolar

17. yüzyılın başında gökbilimciler ve denizciler, büyük sayılarla uzun ve yorucu çarpma işlemleri yapmak zorundaydı. Bir gezegenin yörüngesini hesaplamak ya da açık denizde bir geminin konumunu bulmak, onlarca basamaklı çarpmalar ve bölmeler gerektiriyordu. Her hesap saatler alıyor ve her adımda hata yapma riski taşıyordu.

İskoç matematikçi John Napier bu yükü hafifletmenin bir yolunu buldu ve 1614'te yayımladığı kitapta anlattı. Fikri, çarpmayı toplamaya çevirmekti: iki sayıyı çarpmak yerine, her birine karşılık gelen özel bir sayıyı, logaritmasını bir tablodan bulup bu sayıları toplamak, sonra toplamın karşılığını tablodan geri okumak. Toplama, çarpmadan çok daha hızlı ve hatasızdı.

Napier'in kitabı Londra'da Gresham College'da profesör olan Henry Briggs'in eline geçti. Briggs Edinburgh'a iki kez giderek Napier'le çalıştı ve tabloları 10 tabanına göre yeniden düzenlemeyi önerdi; Napier bu fikri onayladı. Napier'in 1617'deki ölümünün ardından Briggs ilk 10 tabanlı logaritma tablosunu yayımladı ve 1624'te 1'den 20.000'e kadar sayıların logaritmalarını on dört basamak hassasiyetle veren kapsamlı tablolarını tamamladı. Sonraki üç yüz yıl boyunca bilim insanları, mühendisler ve muhasebeciler bu tablolar ve onlardan türeyen hesap cetvelleriyle çalıştı.

Kavram — kaç kez çarpmak gerekir?

Bir sayının logaritması, belirli bir tabanın o sayıyı elde etmek için kaç kez kendisiyle çarpılması gerektiğini söyler. 10 tabanında 1.000'in logaritması 3'tür, çünkü 10 × 10 × 10 = 1.000. 1.000.000'un logaritması 6'dır. Sayı bin kat büyürken logaritması yalnızca 3 artar. Bu yüzden logaritma, çok farklı büyüklükteki sayıları aynı ölçekte göstermeye yarar.

İktisatta en çok kullanılan logaritma doğal logaritmadır. Tabanı, yaklaşık 2,718 olan ve sürekli bileşik büyümeden doğan özel bir sayıdır. Doğal logaritmanın iktisatçılar için değerli bir özelliği vardır: iki değerin doğal logaritmaları arasındaki fark, küçük değişimler için yüzde değişime çok yakındır. 2025'te Türkiye'nin GSYH'si yüzde 3,7 büyüdü; bir yılın GSYH'sinin logaritması ile önceki yılınki arasındaki fark yaklaşık 0,036'dır, yani yüzde 3,6.

Logaritmik farkın asıl kolaylığı, toplanabilmesidir. Yüzde değişimler çarpılarak birleşir; logaritmik farklar ise basitçe toplanır. Kişi başı büyümeyi üretim artışından nüfus artışını düşerek bulmayı bir önceki derste bir kısayol olarak görmüştük; logaritmik farklarla bu kısayol yaklaşık olmaktan çıkar ve tam bir eşitliğe dönüşür. 2025'te GSYH'nin logaritmik büyümesi 0,0363, nüfusunki 0,0050'dir; kişi başı GSYH'nin logaritmik büyümesi tam olarak ikisinin farkı, 0,0313'tür.

Aynı özellik 70 kuralını da açıklar. Sürekli bileşik büyümede bir büyüklüğün iki katına çıkma süresi, 2'nin doğal logaritmasının büyüme oranına bölümüdür. 0,693'ü yüzle çarpıp büyüme oranına böldüğümüzde, 69,3 bölü büyüme oranını buluruz. 70, bu sayının hesaplaması kolay bir yuvarlamasıdır.

Veri ve kanıt — gelir iki katına çıkınca

Logaritmanın iktisattaki en öğretici kullanımlarından biri, gelirle refah arasındaki ilişkidir. Angus Deaton, 2006'da 132 ülkede aynı soru kâğıdıyla yapılan Gallup Dünya Anketi'nin verilerini inceledi. Anketteki bir soru, katılımcılardan hayatlarını 0 ile 10 arasında bir ölçekte değerlendirmelerini istiyordu. Deaton, ülkelerin ortalama yaşam memnuniyetini kişi başına gelirleriyle karşılaştırdı.

Gelir olağan bir eksende çizildiğinde ilişki eğri görünür: yoksul ülkeler arasında gelirdeki küçük farklar büyük memnuniyet farklarıyla birlikte gelir, zengin ülkeler arasında ise gelir farkı büyük olsa da memnuniyet farkı küçük kalır. Bu görüntü, «para bir noktadan sonra mutluluk getirmez» diye yorumlanmıştı. Ama Deaton gelir eksenini logaritmik ölçeğe çevirdiğinde ilişki neredeyse düz bir çizgiye dönüştü. Gelirdeki her iki katına çıkış, 0–10 ölçeğinde yaklaşık bir puanlık memnuniyet artışıyla birlikte görülüyordu ve bu etki, en yoksuldan en zengine bütün gelir düzeylerinde geçerliydi; zengin ülkelerde hatta biraz daha güçlüydü.

Bu bulgu, logaritmanın bir ilişkiyi nasıl yeniden okuttuğunu gösteriyor. Gelir 1.000 dolardan 2.000 dolara çıkmak ile 32.000 dolardan 64.000 dolara çıkmak, mutlak olarak çok farklı artışlardır; ama ikisi de bir iki katına çıkıştır ve ikisi de yaklaşık aynı memnuniyet artışıyla birlikte gelir. İlişki «para bir noktada işe yaramaz» değil, «her ek lira, zaten sahip olunan gelire oranla değer taşır» biçiminde okunmalıdır. 1.000 dolardan 64.000 dolara çıkış altı kez iki katına çıkmaktır; logaritmik ölçekte bu altı eşit adımdır.

Neden önemli? — logaritmik gözle bakmak

Logaritmik düşünme, iktisatta pek çok ilişkinin doğal dilidir. İnsanlar bir fiyat değişimini, bir zammı ya da bir kaybı çoğu zaman mutlak lira olarak değil, sahip olduklarına oranla değerlendirir. 1.000 liralık bir zam, 20 bin liralık bir maaşta büyük, 200 bin liralık bir maaşta küçüktür. Logaritma, bu oransal bakışın matematiğidir.

Uzun zaman serilerini okurken de logaritmik ölçek vazgeçilmezdir. Türkiye'nin tüketici fiyat endeksi gibi, yıllar içinde katlanarak büyüyen bir seri olağan bir eksende çizildiğinde, son yıllar dev bir duvar gibi yükselir ve önceki on yıllar düz bir çizgiye gömülür. Logaritmik ölçekte ise her dönemin enflasyon hızı çizginin eğimi olarak görünür; yüksek enflasyon dönemleri dik, düşük enflasyon dönemleri yatık çizilir. Hangi dönemde fiyatların daha hızlı arttığını görmek için logaritmik ölçek gerekir.

Logaritma bir de sonraki derslere bir kapı açar. Bir fonksiyonun eğimi bir birimlik değişimin etkisini, logaritmik bir fonksiyonun eğimi ise yüzde değişimin etkisini ölçer. Talebin fiyata duyarlılığı, üretimin emeğe duyarlılığı gibi pek çok iktisadi kavram, aslında logaritmik ölçekteki eğimlerdir.

Özet kartı

1. Logaritma, bir tabanın bir sayıyı elde etmek için kaç kez kendisiyle çarpılması gerektiğini söyler; çarpmayı toplamaya çevirir. Napier 1614'te bu fikri hesap yükünü azaltmak için geliştirdi.
2. İki değerin doğal logaritmaları arasındaki fark, küçük değişimlerde yüzde değişime yakındır; logaritmik farklar toplanabildiği için kişi başı logaritmik büyüme, üretimin ve nüfusun logaritmik büyümelerinin farkına tam olarak eşittir.
3. 70 kuralı, 2'nin doğal logaritması olan 0,693'ten gelir: iki katına çıkma süresi yaklaşık 69,3 bölü büyüme oranıdır.
4. Yaklaşım büyük değişimlerde bozulur: yüzde 31,51'lik bir artışın logaritmik farkı yüzde 27,4'tür.
5. Deaton'ın bulgusunda gelirin her iki katına çıkışı yaşam memnuniyetini yaklaşık bir puan artırıyor; ilişki logaritmik ölçekte düz bir çizgidir ve bütün gelir düzeylerinde geçerlidir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) 10 tabanında 100'ün, 10.000'in ve 1'in logaritması kaçtır?
2. (Çıktı 1) Bir sayı 100 kat büyürse 10 tabanındaki logaritması ne kadar artar?
3. (Çıktı 2) Bir ülkenin üretimi art arda üç yıl logaritmik olarak 0,02, 0,03 ve 0,04 artıyor. Üç yılın toplam logaritmik büyümesi nedir? Bunun yaklaşık yüzde karşılığı nedir?
4. (Çıktı 3) Bir fiyat 100 liradan 102 liraya çıkıyor. Yüzde değişim ve logaritmik fark birbirine yakın mı? Fiyat 100 liradan 200 liraya çıksaydı ne olurdu?
5. (Çıktı 3) 70 kuralıyla, yılda yüzde 3,5 artan bir büyüklüğün ikiye katlanma süresini bul. Bu sayı neden 2'nin doğal logaritmasıyla ilgilidir?
6. (Çıktı 4) Deaton'ın bulgusuna göre geliri 2.000 dolardan 4.000 dolara çıkan bir ülke ile 40.000 dolardan 80.000 dolara çıkan bir ülkede yaşam memnuniyetinin artışı nasıl karşılaştırılır? Bu, «para belli bir noktadan sonra mutluluk getirmez» iddiası hakkında ne söyler?

Cevaplar

1. 100'ün logaritması 2, 10.000'inki 4, 1'inki 0'dır; çünkü 10'un sıfırıncı kuvveti 1'dir.
2. 2 artar. 100 = 10 × 10 olduğu için 100 kat büyüme, logaritmada 2 birimlik artışa karşılık gelir.
3. Toplam logaritmik büyüme 0,02 + 0,03 + 0,04 = 0,09'dur. Bu, yaklaşık yüzde 9,4'lük bir toplam büyümeye karşılık gelir; logaritmik büyüme toplamı 0,09, gerçek yüzde büyümeden biraz küçük kalır ve fark, büyüme büyüdükçe açılır.
4. 100'den 102'ye yüzde değişim yüzde 2, logaritmik fark yaklaşık 0,0198'dir; ikisi çok yakındır. 100'den 200'e yüzde değişim yüzde 100, logaritmik fark ise yaklaşık 0,693'tür; büyük değişimde ikisi belirgin biçimde ayrılır.
5. 70 ÷ 3,5 = 20 yıl. İki katına çıkma süresi, 2'nin doğal logaritmasının, yaklaşık 0,693'ün, büyüme oranına bölümüdür; yüzle çarpılınca 69,3 eder ve 70'e yuvarlanır.
6. İki ülkede de gelir iki katına çıkmıştır; Deaton'ın bulgusuna göre ikisinde de memnuniyet yaklaşık bir puan artar. Bu, paranın bir noktada etkisini yitirmediğini, ama etkisinin mutlak tutarla değil orantılı artışla ölçüldüğünü gösterir: zengin bir ülkede aynı etki için çok daha büyük bir mutlak artış gerekir.

İleri okuma

• Angus Deaton (2008). «Income, Health, and Well-Being around the World: Evidence from the Gallup World Poll». Journal of Economic Perspectives 22(2). Gelir ile yaşam memnuniyeti ve sağlık arasındaki ilişkiyi logaritmik ölçekte inceleyen çalışma.
• Betsey Stevenson ve Justin Wolfers (2008). «Economic Growth and Subjective Well-Being: Reassessing the Easterlin Paradox». Brookings Papers on Economic Activity. Aynı soruya ülkeler arası ve zaman içinde bakan tartışma.
• Eli Maor (1994). e: The Story of a Number. Doğal logaritmanın tabanı olan sayının ve logaritmanın tarihini, matematik bilgisi az olan okura da açık biçimde anlatır.
• Steven Strogatz (2019). Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe. Logaritmadan türeve uzanan fikirlerin tarihini ve sezgisini formülsüz anlatan kitap.

Sonraki derse köprü

Deaton'ın bulgusunda ek her liranın değeri, zaten sahip olunan gelire bağlıydı: yoksul biri için bir lira, zengin biri için aynı liradan daha çok şey ifade ediyordu. «Bir birim daha ne getirir?» sorusu, eğimi anlatırken de karşımıza çıkmıştı. Bu soruyu bir eğrinin tek bir noktasında, son birimin katkısı olarak sormak, iktisatçıların marjinal düşünce dediği şeyin ve türevin sezgisel temelidir. Sıradaki ders bu soruyu açıyor.