Yüzdesel değişim ve büyüme oranları

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Büyüme oranını, yıllık bileşik büyüme oranını ve geometrik ortalamayı tanımlar.
• Uygulama — Bir serinin başlangıç ve bitiş değerinden yıllık bileşik büyüme oranını ve kişi başına büyümeyi hesaplar.
• Analiz — Birkaç yılın büyüme oranlarının aritmetik ortalamasının neden gerçek ortalama büyümeyi abarttığını çözümler.
• Değerlendirme — Büyüme oranlarındaki küçük farkların uzun dönemde yarattığı büyük farkları, ülkeler arası karşılaştırma üzerinden tartışır.

Sezgi

Açılış

TÜİK'in açıkladığı verilere göre Türkiye ekonomisi 2025'te yüzde 3,7 büyüdü. Aynı yıl ülke nüfusu binde 5, yani yüzde 0,5 arttı. Bu iki sayıdan üçüncü bir sayı çıkar: kişi başına düşen üretim ne kadar arttı? Cevap yüzde 3,7 değil, yaklaşık yüzde 3,2'dir. Üretim artmıştır, ama onu paylaşan insan sayısı da artmıştır.

Bir önceki derste eğimin bir birimlik değişimi ölçtüğünü gördük. Oysa büyüme haberlerinin dili oranlardır: ekonomi yüzde kaç büyüdü, nüfus yüzde kaç arttı. Oransal değişimle çalışmanın kendine özgü kuralları var. Bazıları sezgiye uyar; bazıları, örneğin birkaç yılın büyümesinin ortalamasını almak, sezgiyi şaşırtır.

Hikâye — bir Hintli ve bir Koreli

1985'te iktisatçı Robert Lucas, Cambridge'de verdiği bir derste dünyanın farklı ülkelerinin büyüme oranlarını karşılaştırdı ve sonradan 1988'de yayımlanan bir makaleye dönüşen hesaplar yaptı. 1960 ile 1980 arasında kişi başına gelir Hindistan'da yılda yüzde 1,4, Mısır'da yüzde 3,4, Güney Kore'de yüzde 7,0, Japonya'da yüzde 7,1 ve ABD'de yüzde 2,3 artmıştı.

Lucas bu farkların birkaç kuşak sonra ne anlama geleceğini hesapladı. Yılda yüzde 1,4 büyüyen bir ülkede kişi başına gelir yaklaşık elli yılda iki katına çıkar. Yılda yüzde 7 büyüyen bir ülkede aynı sürede otuz kattan fazla artar. Lucas'ın ifadesiyle, bu oranlar sürseydi bir Hintli ortalamada dedesinden iki kat, bir Koreli ise otuz iki kat daha iyi durumda olacaktı.

Aradaki fark, yılda yalnızca 5,6 puandı. Tek bir yılda bu fark neredeyse fark edilmez; bir ailenin bütçesinde küçük bir iyileşme ile biraz daha büyük bir iyileşme arasındaki fark gibidir. Ama bileşiklenerek birikince, iki ülkenin yurttaşlarını birbirinden bambaşka dünyalara taşır. Lucas makalesinde bu soruların insan refahı açısından sonuçlarının o kadar büyük olduğunu yazdı ki, insan onları düşünmeye başladığında başka bir şey düşünmekte zorlanıyordu.

Kavram — oranlarla hesap yapmak

Bir büyüme oranı, bir büyüklüğün bir dönemde başlangıç düzeyine göre ne kadar değiştiğidir: yeni değer eksi eski değer, bölü eski değer. Yüzde değişimin bu tanımı, yüzde ile yüzde puanı ayırdığımız dersten tanıdıktır. Bu derste yeni olan, birden çok dönemin büyüme oranlarını birleştirmek ve karşılaştırmaktır.

Birkaç yılın ortalama büyümesini bulmanın iki yolu var ve sonuçları farklıdır. Bir ekonomi üç yıl boyunca sırasıyla yüzde 10 büyüsün, yüzde 5 daralsın ve yüzde 8 büyüsün. Üç oranın aritmetik ortalaması (10 − 5 + 8) ÷ 3 = yüzde 4,3'tür. Oysa üç yılın sonunda ekonomi başlangıçtaki büyüklüğünün 1,10 × 0,95 × 1,08 ≈ 1,129 katıdır. Her yıl aynı oranda büyüseydi bu sonuca ulaşacağı oran, geometrik ortalama, yaklaşık yüzde 4,1'dir. Aritmetik ortalama, gerçekte yaşanan büyümeyi olduğundan yüksek gösterir.

Oranlarla çalışmanın bir de işe yarar kısayolu var. İki büyüklüğün oranının büyümesi, yaklaşık olarak pay ile paydanın büyüme oranlarının farkıdır. Kişi başına gelir, toplam gelir bölü nüfustur; bu yüzden kişi başına gelirin büyümesi yaklaşık olarak gelirin büyümesi eksi nüfusun büyümesidir. 2025 için bu yüzde 3,7 eksi yüzde 0,5, yani yaklaşık yüzde 3,2'dir; tam hesap 1,037 ÷ 1,005 − 1 ≈ yüzde 3,18 verir. Aynı kısayol ters yönde de çalışır: iki büyüklüğün çarpımının büyümesi, yaklaşık olarak büyüme oranlarının toplamıdır. Kısayol küçük oranlarda iyi, büyük oranlarda kabaca işler.

Veri ve kanıt — küçük farklar, büyük sonuçlar

Lucas'ın hesabı, katlanma süresi fikriyle kolayca sınanabilir. Yılda yüzde 1,4 büyüyen bir büyüklük 70 ÷ 1,4, yani yaklaşık 50 yılda iki katına çıkar. Bir kuşağın dedesinden torununa geçen elli yıla yakın sürede Hindistan'ın kişi başına geliri bu yüzden kabaca iki kat artar. Yılda yüzde 7 büyüyen bir büyüklük ise yaklaşık 10 yılda iki katına çıkar. Elli yılda beş kez ikiye katlanmak, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 kat demektir. Lucas'ın sayısı, katlanma süresinin basit bir uygulamasıdır.

Aynı hesap, büyüme tahminlerindeki küçük farkların neden önemli olduğunu da gösterir. Bir ülkenin önümüzdeki yirmi yılda yılda yüzde 2 ya da yüzde 3 büyüyeceği arasındaki fark tek bir yıl için bir puan gibi görünür. Ama yirmi yılın sonunda, yüzde 2'yle ekonomi yaklaşık 1,49 katına, yüzde 3'le yaklaşık 1,81 katına ulaşır. Bir puanlık fark, yirmi yılda üretimin yaklaşık yüzde 22 daha büyük olması demektir.

Bu yüzden büyüme iktisatçıları, tek tek yılların inişli çıkışlı oranlarından çok, uzun dönemin yıllık bileşik büyüme oranıyla ilgilenir. Bir ülkeyi on yıl içinde dönüştüren, bir yılın parlak büyümesi değil, yıllar boyunca sürdürülen ılımlı ama istikrarlı bir büyümedir. Bir durgunluk yılı, sonraki yılın hızlı toparlanmasıyla aritmetik olarak kapanmış görünse de, geometrik olarak iz bırakır.

Neden önemli? — haberlerdeki büyüme rakamları

Büyüme rakamları haberlerde çoğu zaman tek başına verilir. Bu dersin araçları, o rakamı doğru okumak için üç soru sordurur. Birincisi: toplam mı, kişi başına mı? 2025'te Türkiye'nin yüzde 3,7'lik büyümesi, nüfus artışı düşüldüğünde kişi başına yaklaşık yüzde 3,2'ye iner. İkincisi: tek bir yıl mı, yoksa birkaç yılın ortalaması mı? Birkaç yılın ortalaması veriliyorsa, aritmetik mi yoksa bileşik mi hesaplandığını bilmek gerekir.

Üçüncüsü: büyüme hangi ölçüyle hesaplandı? Nominal ile reel ayrımını ele alırken gördüğümüz gibi, büyüme oranları reel, yani fiyat değişiminden arındırılmış serilerle hesaplanır; nominal bir artış, enflasyonun yüksek olduğu bir ülkede gerçek büyümeyi olduğundan çok daha büyük gösterir. Dolar cinsinden kişi başına gelir ise kur hareketlerinden de etkilenir; bir yılda dolar cinsinden gelirin artması ya da azalması, üretimden çok kurun değişimini yansıtabilir.

Lucas'ın sorusu hâlâ geçerli: bir ülkeyi daha hızlı büyüten nedir? Bu soru, bu kursun değil iktisadın bütün büyüme literatürünün konusu. Ama o soruyu sormadan önce, büyümeyi nasıl ölçtüğümüzü ve farklı ölçüleri nasıl birleştirdiğimizi bilmek gerekiyor.

Özet kartı

1. Büyüme oranı, yeni değer eksi eski değer bölü eski değerdir; birden çok yılın büyümesi toplanarak değil çarpılarak birleşir.
2. Birkaç yılın ortalama büyümesini doğru ölçen geometrik ortalamadır; yüzde 10, eksi 5 ve 8'lik büyümede aritmetik ortalama yüzde 4,3, geometrik ortalama yüzde 4,1'dir.
3. Kişi başına büyüme yaklaşık olarak toplam büyüme eksi nüfus büyümesidir; Türkiye'de 2025'te yüzde 3,7 eksi yüzde 0,5, yani yaklaşık yüzde 3,2.
4. Katlanma süresi yaklaşık 70 bölü büyüme oranıdır; yüzde 1,4 büyüyen bir ülke elli yılda iki kat, yüzde 7 büyüyen bir ülke otuz iki kat zenginleşir.
5. Tek bir puanlık büyüme farkı yirmi yılda üretimin yaklaşık yüzde 22 daha büyük olması demektir; uzun dönemde belirleyici olan sürdürülen yıllık bileşik büyümedir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir firmanın satışları beş yılda 100 milyon liradan 200 milyon liraya çıktı. Yıllık bileşik büyüme oranı yaklaşık kaçtır?
2. (Çıktı 1) Geometrik ortalama ile aritmetik ortalama neden farklı sonuç verir? Hangi durumda ikisi eşit olur?
3. (Çıktı 2) Bir ülkenin GSYH'si yüzde 2 büyürken nüfusu yüzde 3 artıyor. Kişi başına GSYH yaklaşık ne olur?
4. (Çıktı 2) Bir hisse bir yıl yüzde 30 değer kazanıp ertesi yıl yüzde 20 değer kaybediyor. İki yılın aritmetik ve geometrik ortalama getirisini hesapla.
5. (Çıktı 3) Birinin maaşı her yıl yüzde 5 artıyor. Maaşı yaklaşık kaç yılda iki katına çıkar?
6. (Çıktı 4) Bir ülke yirmi yıl boyunca yılda yüzde 4, bir başkası yüzde 2 büyüyor. Başlangıçta aynı kişi başı gelire sahiplerse yirmi yıl sonra aradaki oran ne olur? Bu farkı değerlendir.

Cevaplar

1. 200 ÷ 100 = 2; beş yılda iki katına çıkmıştır. 2'nin beşinci kökü yaklaşık 1,149'dur; yıllık bileşik büyüme oranı yaklaşık yüzde 14,9'dur. Katlanma süresi kısayoluyla da 70 ÷ 5 = 14 civarında bir oran bulunur.
2. Aritmetik ortalama oranları toplar, oysa büyüme oranları çarpılarak birleşir. Kayıp yılları, sonraki kazanç yıllarında daha küçük bir tabanın büyümesine yol açtığı için aritmetik ortalama gerçek büyümeyi abartır. Bütün yıllarda oran aynıysa iki ortalama eşit olur.
3. Yaklaşık yüzde 2 eksi yüzde 3, yani yüzde 1 düşer. Tam hesap 1,02 ÷ 1,03 − 1 ≈ yüzde −0,97'dir. Toplam üretim artmasına rağmen kişi başına üretim azalmıştır.
4. Aritmetik ortalama (30 − 20) ÷ 2 = yüzde 5'tir. İki yılın sonunda değer 1,30 × 0,80 = 1,04 katıdır; geometrik ortalama 1,04'ün karekökü eksi bir, yaklaşık yüzde 2'dir.
5. 70 ÷ 5 = yaklaşık 14 yıl.
6. Birincisi 1,04 üzeri 20 ≈ 2,19 katına, ikincisi 1,02 üzeri 20 ≈ 1,49 katına ulaşır. Birincinin kişi başı geliri ikincinin yaklaşık 1,47 katı olur. Yıllık yalnızca iki puanlık fark, yirmi yılda yaklaşık yarı yarıya bir refah farkı yaratır.

İleri okuma

• Robert E. Lucas, Jr. (1988). «On the Mechanics of Economic Development». Journal of Monetary Economics 22(1). Büyüme oranlarının insan refahı için anlamını tartışan klasik makale; giriş bölümü teknik değildir.
• Charles I. Jones ve Dietrich Vollrath (2013, 3. baskı). Introduction to Economic Growth. Büyüme oranlarının hesabından büyüme kuramlarına uzanan ders kitabı.
• TÜİK, Yıllık Gayrisafi Yurt İçi Hasıla ve Adrese Dayalı Nüfus Kayıt Sistemi Sonuçları (veriportali.tuik.gov.tr). Kişi başına büyümeyi kendin hesaplamak için gereken iki seri.
• Our World in Data, Economic Growth (ourworldindata.org). Ülkeler arası uzun dönem büyüme karşılaştırmaları ve grafikleri.

Sonraki derse köprü

Büyüme oranlarıyla hesap yaparken hep çarpımlarla uğraştık: yılların büyümesi çarpılıyor, kişi başı gelir bir bölme, katlanma süresi bir kuvvet. Çarpmayı toplamaya, kuvveti çarpmaya çeviren bir matematik aracı var ve iktisatçılar onu büyüme oranlarını toplanabilir kılmak, uzun serileri anlamlı grafiklere dökmek ve yüzdesel ilişkileri tahmin etmek için sürekli kullanır. Bu araç, logaritma, sıradaki dersin konusu.