Eğim ve değişim oranı

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Eğimi, dikey eksendeki değişimin yatay eksendeki değişime oranı olarak tanımlar.
• Uygulama — İki nokta arasındaki eğimi ve bir vergi tarifesinin her dilimdeki marjinal oranını hesaplar.
• Analiz — Eğimin birimini ve işaretini okuyarak bir iktisadi ilişkinin ne söylediğini çözümler.
• Değerlendirme — Okun ilişkisinin eğiminin ülkeden ülkeye neden farklı çıktığını ve bunun politika için ne anlama geldiğini tartışır.

Sezgi

Açılış

Bir önceki dersteki vergi tarifesine geri dönelim. Yılda 300 bin lira vergiye tabi ücret alan bir çalışanın geliri 1.000 lira artsa vergisi 200 lira artar. Geliri 1 milyon lira olan birinin geliri aynı 1.000 lira artsa vergisi 270 lira artar. Aynı artış, iki farklı noktada iki farklı sonuç veriyor.

Bu farkın bir adı var: eğim. Grafikte vergi fonksiyonu her dilimde farklı dikliğe sahip bir çizgidir; ilk dilimde yavaş, en üst dilimde hızlı yükselir. İktisatta sorulan soruların önemli bir kısmı aslında bir eğim sorusudur: fiyat bir lira artarsa satışlar ne kadar düşer, işsizlik bir puan artarsa üretim ne kadar kaybolur, bir işçi daha çalıştırılırsa üretim ne kadar artar? Bu ders o sorunun matematiğini kuruyor.

Hikâye — işsizliğin bir fiyatı var mı?

1961'de ABD'de Başkan Kennedy'nin Ekonomi Danışmanları Konseyi'nde çalışan genç bir iktisatçı, Arthur Okun, zor bir soruyla uğraşıyordu. Ekonominin tam kapasitede çalışsaydı ne kadar üretebileceğini, yani potansiyel üretimi tahmin etmesi gerekiyordu. Potansiyel üretim doğrudan gözlenemiyordu. Ama işsizlik oranı gözlenebiliyordu ve Okun, işsizlik ile üretim arasında düzenli bir ilişki olup olmadığına baktı.

Okun'un 1962'de yayımladığı bulgu yalın bir sayıydı. ABD'nin savaş sonrası verilerinde işsizlik oranı belli bir düzeyin üstüne bir puan çıktığında, reel üretim potansiyelinin yaklaşık yüzde 3 altına düşüyordu. Bu, işsizliğe bir fiyat biçmek demekti: her ek işsizlik puanı, ekonominin kaybettiği üretim olarak ölçülebiliyordu. İlişki, sonradan Okun yasası adını aldı; aslında bir yasa değil, verinin gösterdiği bir eğimdi.

Okun'un sayısı politika tartışmalarının merkezine yerleşti. İşsizliği bir puan düşürmenin ekonomiye kazandıracağı üretim, artık kabaca hesaplanabiliyordu. Sonraki on yıllarda iktisatçılar aynı ilişkiyi farklı dönemlerde ve ülkelerde yeniden tahmin etti. Oran zamanla değişti; bugünkü tahminler ABD için çoğunlukla 3'ten çok 2'ye yakın. Ama ilişkinin kendisi, iktisadın en istikrarlı bulgularından biri olarak kaldı.

Kavram — dikey değişim bölü yatay değişim

Bir fonksiyonun eğimi, dikey eksendeki değişimin, yatay eksendeki değişime oranıdır. Grafikte iki nokta seçip, ikinci noktanın birinciden ne kadar yukarıda olduğunu ne kadar sağında olduğuna bölersiniz. Bir taksi ücretinde yol 10 kilometreden 12 kilometreye çıkınca ücret 350 liradan 410 liraya çıkıyorsa, eğim 60 ÷ 2 = 30'dur: her ek kilometre 30 lira.

Eğimin bir birimi vardır ve bu birim, sayının ne anlattığını söyler. Taksi örneğinde birim «kilometre başına lira»dır. Okun ilişkisinde «işsizlik puanı başına üretim yüzdesi»dir. Birimi okumadan eğimi yorumlamak, bir hızın saatte kilometre mi yoksa saniyede metre mi olduğunu bilmeden trafik cezası kesmeye benzer.

Eğimin bir de işareti vardır. Pozitif eğim, iki değişkenin aynı yönde hareket ettiğini gösterir: gelir arttıkça vergi artar. Negatif eğim, ters yönde hareket ettiklerini gösterir: bir malın fiyatı arttıkça talep edilen miktar genellikle düşer. Sıfır eğim ise bağımlı değişkenin bağımsız değişkenden etkilenmediğini gösterir. Okun ilişkisinin eğimi negatiftir: işsizlik arttıkça üretim potansiyelinin altına düşer.

Doğrusal bir fonksiyonun eğimi her yerde aynıdır; taksi örneğinde her kilometre 30 liradır. Doğrusal olmayan bir fonksiyonda ise eğim noktadan noktaya değişir. Vergi tarifesinde eğim her dilimde farklıdır: ilk dilimde 0,15, sonrakinde 0,20, ardından 0,27, 0,35 ve 0,40. Bu sayılar, gelirin bir lira daha artması durumunda verginin kaç lira artacağını, yani marjinal oranı gösterir. Bir önceki dersteki ortalama oran ise başka bir soruya cevap verir: gelirin tamamı üzerinden bakıldığında her liraya düşen vergi.

Veri ve kanıt — aynı ilişki, farklı eğimler

Okun ilişkisinin eğimi her ülkede aynı mı? İktisatçılar Laurence Ball, Daniel Leigh ve Prakash Loungani, 2017'de yayımladıkları bir çalışmada bu soruyu ABD'nin 1948'den, 20 gelişmiş ülkenin ise 1980'den itibaren verileriyle sınadı. Bu kez ilişkiyi ters yönden ölçtüler: üretim bir yüzde, normal düzeyinin üstüne çıktığında işsizlik kaç puan düşüyor?

Buldukları sonuç, ilişkinin neredeyse bütün ülkelerde güçlü biçimde geçerli olduğuydu, ama eğim ülkeden ülkeye çok farklıydı. Aynı büyüklükte bir üretim artışı, Japonya'da işsizliği yalnızca 0,15 puan, ABD'de 0,45 puan, İspanya'da ise 0,85 puan düşürüyordu. Yazarlara göre bu farkın bir kısmı ulusal işgücü piyasalarının kendine özgü yapısıyla açıklanıyordu; ama şaşırtıcı biçimde, işten çıkarmayı zorlaştıran yasaların sıkılığıyla ilişkili değildi.

Bu fark, bir eğimin politika için neden önemli olduğunu gösteriyor. İşsizliği bir puan düşürmek için gereken üretim artışı, İspanya'da ABD'dekinin yarısından az, Japonya'da ise çok daha fazladır. Aynı büyüme hedefi, farklı ülkelerde işsizlik üzerinde çok farklı sonuçlar doğurur. Bir ilişkinin yönünü bilmek yetmez; eğimini de bilmek gerekir.

Neden önemli? — marjinal düşünmenin girişi

Eğim, iktisadın en temel sorusunun matematiksel biçimidir: «bir birim daha ne değiştirir?» Bir firmanın bir işçi daha çalıştırıp çalıştırmayacağı, bir çalışanın fazla mesai yapıp yapmayacağı, bir ailenin bir birim daha tasarruf edip etmeyeceği, hepsi bir eğime bakılarak verilen kararlardır. Toplamlar ve ortalamalar bir durumu betimler; kararlar ise çoğu zaman marjinal, yani eğime dayalıdır.

Vergi tarifesi bunun gündelik bir örneğidir. Yıllık geliri 1 milyon lira olan ve fazla mesai teklifi alan bir çalışan için önemli olan, ortalama vergi oranı olan yüzde 23,3 değil, ek kazancına uygulanacak yüzde 27'lik marjinal orandır. Ek her 1.000 liranın 270 lirası vergiye gidecektir. Kararı bu eğim belirler.

Eğimin bir sınırı var: bir birimlik değişimi ölçer, ama bu birimin neye göre bir birim olduğunu sabit alır. Oysa iktisatta çoğu zaman oranlarla, yani bir büyüklüğün kendi düzeyine göre ne kadar değiştiğiyle ilgileniriz. 1.000 liralık bir artış, 10 bin liralık bir maaş için büyük, 1 milyon liralık bir gelir için küçüktür.

Özet kartı

1. Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır; bağımsız değişken bir birim arttığında bağımlı değişkenin ne kadar değiştiğini gösterir.
2. Eğimin birimi ve işareti yorumun anahtarıdır: pozitif eğim aynı yönde, negatif eğim ters yönde hareketi gösterir; birim değişirse sayı da değişir.
3. Doğrusal fonksiyonun eğimi sabittir; vergi tarifesi gibi doğrusal olmayan fonksiyonlarda eğim noktadan noktaya değişir. Vergide eğim marjinal orandır.
4. Okun 1962'de işsizlikteki her ek puanın üretimin yaklaşık yüzde 3 kaybıyla ilişkili olduğunu buldu; sonraki tahminler bu oranı 2'ye yakın buluyor.
5. Aynı ilişkinin eğimi ülkeden ülkeye farklıdır: yüzde 1'lik üretim artışı işsizliği Japonya'da 0,15, ABD'de 0,45, İspanya'da 0,85 puan düşürüyor.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir fabrikanın 10 işçiyle günlük üretimi 200 birim, 12 işçiyle 236 birimdir. Bu aralıktaki eğim nedir, birimi nedir?
2. (Çıktı 1) Bir malın fiyatı 20 liradan 25 liraya çıktığında satışlar 1.000 adetten 800 adede düşüyor. Eğimi hesapla ve işaretini yorumla.
3. (Çıktı 2) 2026 ücret tarifesinde yıllık vergiye tabi geliri 1,2 milyon lira olan birinin marjinal vergi oranı nedir? Geliri 5.000 lira artarsa vergisi ne kadar artar?
4. (Çıktı 2) Bir önceki dersteki tabloya göre gelir 400 bin liradan 1 milyon liraya çıktığında ortalama değişim oranı nedir? Bu sayı hangi dilimin oranına eşittir, neden?
5. (Çıktı 3) Aynı talep ilişkisi, fiyat lira yerine kuruş cinsinden ölçülürse eğim nasıl değişir? Bu, ilişkinin kendisini değiştirir mi?
6. (Çıktı 4) Bir hükümet işsizliği 1 puan düşürmeyi hedefliyor. Okun ilişkisinin eğimlerine göre bu hedef için gereken üretim artışı İspanya'da mı, Japonya'da mı daha büyüktür? Neden?

Cevaplar

1. Eğim (236 − 200) ÷ (12 − 10) = 18. Birimi işçi başına günlük üretim birimidir: bu aralıkta her ek işçi günde 18 birim ek üretim sağlıyor.
2. Eğim (800 − 1.000) ÷ (25 − 20) = −40. Birimi lira başına adettir. Negatif işaret, fiyat arttıkça satışların düştüğünü gösterir: fiyattaki her 1 liralık artış satışları 40 adet azaltıyor.
3. 1,2 milyon lira üçüncü dilimdedir; marjinal oran yüzde 27'dir. 5.000 liralık artışın vergisi 5.000 × 0,27 = 1.350 liradır.
4. Vergi 70.500 liradan 232.500 liraya çıkar; (232.500 − 70.500) ÷ (1.000.000 − 400.000) = 0,27. Bu, yüzde 27'lik dilimin oranına eşittir, çünkü bu aralığın tamamı aynı dilimin içinde kalır ve eğim bu aralıkta sabittir.
5. Fiyat kuruş cinsinden ölçülürse yatay değişim yüz kat büyür ve eğimin sayısal değeri yüz kat küçülür. İlişki değişmez; yalnızca ölçü birimi değişir.
6. Japonya'da. Üretimdeki yüzde 1'lik artış Japonya'da işsizliği yalnızca 0,15 puan düşürür; 1 puanlık düşüş için yaklaşık yüzde 6,7'lik bir üretim artışı gerekir. İspanya'da aynı düşüş yaklaşık yüzde 1,2'lik bir artışla sağlanabilir. Eğim ne kadar küçükse, aynı sonuç için o kadar büyük bir değişim gerekir.

İleri okuma

• Arthur M. Okun (1962). «Potential GNP: Its Measurement and Significance». İşsizlik ile üretim arasındaki ilişkinin ilk tahmini; kısa ve teknik olmayan bir bildiri.
• Laurence Ball, Daniel Leigh ve Prakash Loungani (2017). «Okun's Law: Fit at 50?». JMCB 49(7). İlişkinin 50 yıl sonra ülkeler arasında nasıl durduğunu inceleyen çalışma.
• Edward S. Knotek (2007). «How Useful Is Okun's Law?». Federal Reserve Bank of Kansas City Economic Review. İlişkinin zaman içindeki değişimini okunabilir biçimde anlatan makale.
• Alpha C. Chiang ve Kevin Wainwright (2005, 4. baskı). Fundamental Methods of Mathematical Economics. İktisatta kullanılan matematiğin klasik ders kitabı; eğim ve türev bölümleri sezgiyle başlar.

Sonraki derse köprü

Eğim bir birimlik değişimi ölçer, ama 1.000 liralık bir artışın küçük bir maaş için büyük, büyük bir gelir için küçük olduğunu söylemez. İktisatta çoğu zaman bir büyüklüğün kendi düzeyine göre ne kadar değiştiğini sorarız: bir ekonomi yüzde kaç büyüdü, bir fiyat yüzde kaç arttı, bir birikim yıllar içinde hangi oranla büyüyor? Mutlak değişimden oransal değişime ve büyüme oranlarının nasıl hesaplanıp birleştirildiğine geçmek, sıradaki adım.