Fonksiyonlar ve grafikler

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Fonksiyonu, bağımsız ve bağımlı değişkeni, doğrusal ve parçalı fonksiyonu tanımlar.
• Uygulama — Gelir vergisi tarifesini bir fonksiyon olarak kullanıp belirli bir gelir için vergiyi ve ortalama vergi oranını hesaplar.
• Analiz — Bir iktisadi ilişkiyi tablo, formül ve grafik olarak üç ayrı biçimde ifade eder ve aralarındaki geçişi çözümler.
• Değerlendirme — Veriden elde edilen bir ilişkinin, Engel'in gıda harcaması bulgusu gibi, bir fonksiyon olarak nerede işe yarayıp nerede yanıltabileceğini tartışır.

Sezgi

Açılış

2026'da Türkiye'de ücret geliri için gelir vergisi tarifesi beş satırlık bir tablodur. Yıllık vergiye tabi gelirin ilk 190 bin lirası için yüzde 15, 400 bin liraya kadar olan kısmı için yüzde 20, 1,5 milyon liraya kadar yüzde 27, 5,3 milyon liraya kadar yüzde 35 ve üstü için yüzde 40 vergi alınır. Bu tablo, kulağa ne kadar kuru gelirse gelsin, bir kuraldır: ona hangi geliri verirseniz, size tek bir vergi tutarı geri verir.

Yıllık vergiye tabi geliri 300 bin lira olan birinin vergisi 50.500 lira, 1 milyon lira olanınki 232.500 liradır. Her gelir düzeyi için tek bir cevap veren bu kurala matematikte fonksiyon denir. İktisat, fiyat ile talep edilen miktar, faiz ile tahvil fiyatı, gelir ile vergi gibi, bir büyüklüğün başka bir büyüklükle birlikte nasıl değiştiğini söyleyen kurallarla doludur. Bu kurs, o kuralları okumanın ve çizmenin dilini kuruyor.

Hikâye — bir matematikçinin talep formülü

1838'de Fransız matematikçi ve düşünür Antoine-Augustin Cournot, bir malın satılan miktarının fiyatına bağlı olduğunu açık bir matematik diliyle yazdı: satılan miktar, fiyatın bir fonksiyonuydu. Cournot bu kuralın tam biçimini bilmediğini kabul ediyordu, ama fiyat arttıkça miktarın azaldığını ve bu ilişkinin bir eğriyle gösterilebileceğini söylüyordu. İktisadın temel kavramlarından biri, ilk kez bir formül ve bir grafik olarak kâğıda geçmişti.

Cournot'nun fikri, sonraki on yıllarda farklı ülkelerde bağımsız olarak geliştirildi. Alman iktisatçı Karl Heinrich Rau, Fransız mühendis Jules Dupuit, Alman Hans von Mangoldt ve İskoç mühendis Fleeming Jenkin, arz ve talebi aynı grafik üzerinde iki eğri olarak çizdi ve eğrilerin kesiştiği noktada piyasa fiyatının oluştuğunu gösterdi. Bu diyagram bugün çoğu zaman İngiliz iktisatçı Alfred Marshall'ın adıyla anılır, ama iktisat tarihçisi Thomas Humphrey'nin gösterdiği gibi Marshall'dan önce en az beş kişi tarafından kurulmuş ve kullanılmıştı.

Bu tarihin bugün ders kitaplarında bir izi var. Cournot'nun formülünde fiyat bağımsız değişkendir, yani önce fiyat belirlenir, miktar ona göre değişir; matematikte bağımsız değişken genellikle yatay eksene konur. Ama iktisat kitaplarının neredeyse tamamında fiyat dikey, miktar yatay eksende durur. Bu alışkanlık, Marshall'ın diyagramlarının yaygınlaşmasıyla yerleşti ve öğrencilerin bir grafiği ilk gördüklerinde yaşadıkları kafa karışıklığının kaynaklarından biri olmaya devam ediyor.

Kavram — girdi, kural, çıktı

Bir fonksiyon, her girdiye tek bir çıktı veren kuraldır. Girdiye bağımsız değişken, çıktıya bağımlı değişken denir; çünkü çıktının değeri girdiye bağlıdır. Vergi tarifesinde bağımsız değişken yıllık gelir, bağımlı değişken ise vergidir. Aynı gelir için iki farklı vergi çıkmaz; bu yüzden tarife bir fonksiyondur.

Bir fonksiyon üç biçimde ifade edilebilir. Birincisi tablo: birkaç girdi ve onlara karşılık gelen çıktılar yan yana yazılır. İkincisi formül: kural cebirsel olarak yazılır. Üçüncüsü grafik: yatay eksende girdi, dikey eksende çıktı olmak üzere her girdi-çıktı çifti bir nokta olarak işaretlenir ve noktalar birleştirilir. Üçü de aynı bilgiyi taşır; ama her biri farklı bir soruyu kolaylaştırır. Tablo tek tek değerleri okumayı, formül hesap yapmayı, grafik ise ilişkinin genel biçimini bir bakışta görmeyi kolaylaştırır.

En basit fonksiyon türü doğrusal fonksiyondur: çıktı, sabit bir başlangıç değeri ile girdinin sabit bir katının toplamıdır. Bir taksinin açılış ücreti ile kilometre başına ücreti, ödenecek tutarı yolun uzunluğunun doğrusal bir fonksiyonu yapar. Grafiği düz bir çizgidir. Vergi tarifesi ise düz bir çizgi değildir: her dilimde farklı bir oran geçerli olduğu için grafik, her dilim sınırında eğimi artan kırık bir çizgidir. Buna parçalı fonksiyon denir.

Tablonun son sütunu, aynı fonksiyondan türetilen ikinci bir fonksiyondur: ortalama vergi oranı, yani vergi bölü gelir. 300 bin lira gelirde ortalama oran yüzde 16,8'dir, yüzde 20 değil. Çünkü gelirin ilk 190 bin lirası hâlâ yüzde 15'le vergilenir; yalnızca 190 bin liranın üstündeki kısım yüzde 20'yle vergilenir. Aynı fonksiyonun iki farklı okuması, gündelik hayatın en yaygın vergi yanılgılarından birini çözer.

Veri ve kanıt — veriden çıkan bir fonksiyon

Vergi tarifesi yasayla yazılmış bir fonksiyondur. İktisatta pek çok fonksiyon ise veriden tahmin edilir. Bunun en eski örneklerinden biri 1857'ye uzanır. Alman istatistikçi Ernst Engel, Belçika'daki işçi ailelerinin bütçelerini inceledi ve bir örüntü gördü: aileler gelirleri arttıkça gıdaya daha çok para harcıyordu, ama gıdanın toplam harcama içindeki payı düşüyordu. Bu gözlem, Engel yasası adıyla iktisadın en sağlam bulgularından biri oldu.

Engel yasası, gelir ile gıda payı arasındaki ilişkinin bir fonksiyon olarak tahmin edilebileceğini gösterir. Bu fonksiyon yasa gibi yazılmaz; bir ülkenin hane bütçesi verisinden tahmin edilir ve her ülkede, her dönemde biraz farklı çıkar. Türkiye'nin 2025 hane bütçesi verisi aynı örüntüyü gösteriyor: gelir sıralamasının en alttaki beşte birlik dilimde gıdanın bütçedeki payı 29,2, en üst dilimde 12,4 (yüzde).

Veriden tahmin edilen bir fonksiyon, yasayla yazılan bir fonksiyondan önemli bir yönden farklıdır: bir ortalamayı anlatır, her haneyi değil. Aynı gelirdeki iki hanenin gıda payı, aile büyüklüğüne, yaşadıkları şehre ve alışkanlıklarına göre farklı olabilir. Fonksiyon genel örüntüyü yakalar; tek bir hane hakkında kesin bir şey söylemez. Bir iktisadi fonksiyonu okurken ilk soru bu yüzden şudur: bu kural yazılmış mı, yoksa veriden mi tahmin edilmiş?

Neden önemli? — iktisadın dili

Bu kursta kullanacağımız matematik araçlarının çoğu, bu dersin tek fikrine yaslanıyor: bir şey, başka bir şeye bağlı olarak değişir. Talep fiyata, tüketim gelire, üretim emeğe ve sermayeye, vergi gelire bağlıdır. Bu bağımlılığı bir fonksiyon olarak yazmak, onu hesaplanabilir, karşılaştırılabilir ve sınanabilir kılar.

Grafik ise bu bağımlılığı görünür kılar. Bir haberdeki grafikle karşılaştığınızda ilk bakılacak yerler, bu dersin kavramlarıdır. Yatay eksende ne var, dikey eksende ne var? Hangisi hangisine bağlı? Çizgi düz mü, kırık mı, eğri mi? Grafik yasayla yazılmış bir kuralı mı, yoksa veriden tahmin edilmiş bir ortalamayı mı gösteriyor? Bu dört soru, hem bir iktisat kitabındaki diyagramı hem de bir gazetedeki grafiği okumaya yeter.

Bir sonraki adım, fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini ölçmek. Vergi tablosunda gelir her dilimde bir lira arttığında vergi farklı miktarda artıyor: ilk dilimde 15 kuruş, sonrakinde 20 kuruş. Bu artış hızı, grafikte çizginin dikliği olarak görünür.

Özet kartı

1. Fonksiyon, her girdiye tek bir çıktı veren kuraldır; girdi bağımsız, çıktı bağımlı değişkendir.
2. Bir fonksiyon tablo, formül ve grafik olarak ifade edilebilir; üçü aynı bilgiyi taşır, farklı soruları kolaylaştırır.
3. Doğrusal fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir; gelir vergisi tarifesi ise her dilimde farklı oranla işleyen parçalı bir fonksiyondur.
4. 2026 ücret tarifesinde 300 bin liralık gelirin vergisi 50.500 liradır ve ortalama oran yüzde 16,8'dir; bir üst dilime geçmek bütün gelirin yüksek oranla vergilenmesi demek değildir.
5. Arz-talep diyagramı Cournot'dan Marshall'a uzanan bir geçmişe sahiptir; fiyatın dikey eksende durması bu geçmişin izidir. Veriden tahmin edilen fonksiyonlar, Engel yasası gibi, ortalamayı anlatır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Bir taksinin açılış ücreti 50 lira, kilometre başına ücreti 30 lira olsun. Ödenecek tutarı yol uzunluğunun fonksiyonu olarak yaz. Bağımsız ve bağımlı değişken hangisidir?
2. (Çıktı 1) Bir sınıfta her öğrenciyi doğum tarihiyle eşleştiren kural bir fonksiyon mudur? Peki her doğum tarihini o gün doğmuş öğrenciyle eşleştiren kural?
3. (Çıktı 2) 2026 ücret tarifesiyle yıllık vergiye tabi geliri 250 bin lira olan birinin vergisini ve ortalama vergi oranını hesapla.
4. (Çıktı 2) Yıllık vergiye tabi geliri 400 bin liradan 410 bin liraya çıkan birinin vergisi ne kadar artar? Yeni ortalama oran kaçtır?
5. (Çıktı 3) Taksi ücreti fonksiyonunu bir tablo, bir formül ve bir grafik olarak ifade et. Grafiğin biçimi ne olur?
6. (Çıktı 4) Bir hanenin geliri iki katına çıktı. Engel yasasına dayanarak bu hanenin gıda harcamasının toplam harcama içindeki payı hakkında ne söylenebilir, ne söylenemez?

Cevaplar

1. Tutar = 50 + 30 × kilometre. Bağımsız değişken yol uzunluğu, bağımlı değişken ödenecek tutardır.
2. Öğrenciden doğum tarihine giden kural bir fonksiyondur: her öğrencinin tek bir doğum tarihi vardır. Tersi fonksiyon değildir: aynı gün doğmuş iki öğrenci olabilir, o zaman bir girdiye iki çıktı düşer.
3. İlk 190 bin lira için 28.500 lira, kalan 60 bin lira için yüzde 20'den 12.000 lira; toplam 40.500 lira. Ortalama oran 40.500 ÷ 250.000 = yüzde 16,2.
4. Artan 10 bin lira yüzde 27'lik dilime düşer; vergi 2.700 lira artarak 73.200 lira olur. Ortalama oran 73.200 ÷ 410.000 ≈ yüzde 17,9.
5. Tablo: 0 km → 50 TL, 5 km → 200 TL, 10 km → 350 TL. Formül: tutar = 50 + 30 × km. Grafik: dikey eksende 50'den başlayan ve düzenli olarak yükselen düz bir çizgi.
6. Engel yasasına göre gıda harcamasının tutarı büyük olasılıkla artar ama toplam harcama içindeki payı düşer. Ancak bu bir ortalama eğilimdir; tek bir hanenin aile büyüklüğü, yaşadığı yer ya da alışkanlıkları bu örüntüden sapmasına yol açabilir.

İleri okuma

• Thomas M. Humphrey (1992). «Marshallian Cross Diagrams and Their Uses before Alfred Marshall». Federal Reserve Bank of Richmond Economic Review 78(2). Arz-talep diyagramının tarihçesi.
• Gelir İdaresi Başkanlığı, Gelir Vergisi Tarifesi 2026 (gib.gov.tr). Bu dersteki parçalı fonksiyonun resmî metni.
• Carl P. Simon ve Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists. Fonksiyonlardan optimizasyona iktisatta kullanılan matematiğin kapsamlı başvuru kitabı.
• Knut Sydsæter ve Peter Hammond (güncel baskılar). Essential Mathematics for Economic Analysis. Bu kursun konularını daha ayrıntılı işleyen, alıştırmalı ders kitabı.

Sonraki derse köprü

Vergi tablosunda gelir bir lira arttığında vergi her dilimde başka bir miktar artıyordu: ilk dilimde 15 kuruş, en üst dilimde 40 kuruş. Grafikte bu fark, çizginin dikliğinin dilim sınırlarında değişmesi olarak görünür. Bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini ölçen bu diklik, yani eğim, ve iktisatta «bir birim daha» sorusunu nasıl cevapladığı, sıradaki dersin konusu.