Logaritma neden astronomların dostu?

Kanca

Güneş Sistemi'ni bir cetvelin üstüne çizmek istediğini düşün. Neptün'ü otuz santimetreye koyarsan Merkür, sıfırın dibinde, dört milimetrede kalır; Merkür, Venüs, Dünya ve Mars ilk iki santimetreye sıkışır. Şimdi aynı ölçekle en yakın yıldızı da eklemeye çalış. Proxima Centauri'yi koymak için cetveli yaklaşık iki buçuk kilometre uzatman gerekir.

Hiçbir kâğıt buna yetmez. Oysa gökbilimciler bu tür sayıları her gün aynı çizelgeye sığdırır ve iki bin yıldır kullandıkları kadir sistemi de aslında bu sorunun eski bir çözümüdür. Kadir, kılık değiştirmiş bir logaritmadır.

Merkezi soru

Logaritma nedir, çarpmayı toplamaya nasıl çevirir ve gökbilimciler onu kadir sisteminde ve çok geniş aralıklı verileri tek bir ölçeğe sığdırmakta nasıl kullanır?

Anlatım

Logaritma: "on'un kaçıncı kuvveti?"

Ders K.1'de 10³'ün bin, 10⁶'nın bir milyon olduğunu gördük. Logaritma bu soruyu tersinden sorar: bir sayıyı elde etmek için on'u kaçıncı kuvvete yükseltmek gerekir? Bin için cevap üçtür. Bunu şöyle yazarız: log 1000 = 3. Sesli okunuşu: "binin logaritması üçe eşittir."

Aynı şekilde bir milyonun logaritması altı, on milyarınki ondur. Birden küçük sayılarda logaritma eksiye döner: yüzde birin, yani 0,01'in logaritması eksi ikidir. Bir'in logaritması ise sıfırdır, çünkü on üzeri sıfır, bir eder.

Aradaki sayıların logaritması ondalıklı çıkar. İki'nin logaritması yaklaşık 0,30'dur; yani on'u yaklaşık 0,30'uncu kuvvete yükseltirsen iki elde edersin. Bunları ezberlemek gerekmez; her hesap makinesinde "log" tuşu vardır.

Logaritmanın bir sayı hakkında söylediği en önemli şey, onun büyüklük mertebesidir. Merkür'ün Güneş'e uzaklığı NASA'ya göre 57,9 milyon kilometredir ve bu sayının logaritması yaklaşık 7,76'dır. Tam kısım olan yedi, sayının on milyonlar mertebesinde olduğunu söyler.

Çarpmayı toplamaya çeviren araç

Logaritmanın asıl sihri bir kuraldadır: iki sayının çarpımının logaritması, logaritmalarının toplamına eşittir. Kısaca: log (a × b) = log a + log b. Sesli okunuşu: "a çarpı b'nin logaritması, a'nın logaritması artı b'nin logaritmasına eşittir."

Bunun nedeni, üsleri tanırken gördüğümüz kuraldır: on'un kuvvetlerini çarparken üsleri toplarız. Logaritma zaten üs olduğu için, çarpma işlemi logaritmalar düzeyinde toplamaya dönüşür. Bölme de çıkarmaya dönüşür.

Bu kural, hesap makinelerinden önceki yüzyıllarda gökbilimcilerin en büyük yardımcısıydı. Büyük sayıları çarpmak yerine logaritma tablolarından değerlerini bulup topluyorlardı. Bugün hesabı makine yapıyor, ama kural başka bir yerde yaşamaya devam ediyor: parlaklık ölçeğinde.

Kadir: parlaklığın logaritması

Ders 5.8'de gördüğümüz üzere, beş kadirlik fark tam yüz kat parlaklık farkıdır; tek bir kadirlik basamak ise ışığı iki buçuk kat kadar değiştirir. OpenStax bu kuralı logaritmayla şöyle yazar: m₁ − m₂ = 2,5 log (b₂ / b₁). Sesli okunuşu: "birinci yıldızın kadiri eksi ikinci yıldızın kadiri, iki buçuk çarpı ikinci yıldızın parlaklığının birincinin parlaklığına oranının logaritmasına eşittir."

Burada m kadiri, b ise bize ulaşan parlaklığı gösterir. Formülün dediği şudur: kadir farkı, parlaklık oranının logaritmasıyla orantılıdır. Parlaklık oranları çarpılarak büyür, kadirler ise toplanarak. Beş kadir yüz katsa, beş kadir daha eklemek yüzle bir daha çarpmak, yani on bin kat demektir.

Çözümlü problem 1: Oran verilince kadir farkı

Bir yıldız ötekinden 40 kat parlak olsun. Aralarındaki kadir farkı nedir? Formüle koyalım: 2,5 × log 40. Hesap makinesi kırkın logaritmasını yaklaşık 1,60 verir. İki buçuk kere 1,60, dört eder. Sesli okunuşu: "iki buçuk çarpı kırkın logaritması, yaklaşık dört kadir." Kırk kat parlaklık farkı, yalnızca dört kadirlik bir fark olarak yazılır.

Çözümlü problem 2: Kadir farkı verilince oran

OpenStax'ın çizelgesinde Güneş eksi 26,8 kadirle yer alıyor, gökyüzünün en parlak yıldızı Sirius ise eksi 1,5 kadirle. Aradaki fark 25,3 kadir. Oranı bulmak için formülü tersine çeviririz: oran, on üzeri kadir farkının 2,5'e bölümüdür. 25,3 bölü 2,5 yaklaşık 10,1 eder; on üzeri 10,1 ise yaklaşık 1,3 × 10¹⁰ eder; okurken "on üzeri on" kısmını on milyar diye düşünmek işi kolaylaştırır.

Güneş, gökyüzümüzde Sirius'tan yaklaşık on üç milyar kat parlak görünür. Kadir sistemi bu devasa oranı yirmi beş gibi rahat bir sayıyla anlatıyor.

Çözümlü problem 3: Teleskop kaç kadir kazandırır?

Işık toplama gücü gözünkünün bir milyon katı olan bir teleskop düşünelim. Bu, kaç kadir daha sönük yıldızları görmemizi sağlar? 2,5 × log 1.000.000, yani 2,5 kere 6, on beş kadir eder. Çıplak gözün sınırı altıncı kadirse, bu teleskop kabaca yirmi birinci kadire kadar inebilir. Milyon kat daha fazla ışık, kadir ölçeğinde yalnızca on beş basamaktır.

Logaritmik ölçeği okumak

Kancadaki cetvel sorununa dönelim. Doğrusal bir ölçekte her santimetre aynı uzunluğu gösterir. Logaritmik ölçekte ise her eşit aralık aynı oranı gösterir: bir çizgi on milyon kilometreyi gösteriyorsa, sonraki çizgi yüz milyonu, sonraki bir milyarı gösterir.

NASA'nın verdiği uzaklıklarla, kilometre cinsinden logaritmalar Merkür için yaklaşık 7,76, Dünya için 8,17, Jüpiter için 8,89, Neptün için 9,65 çıkar. Bir önceki derste hesapladığımız Proxima uzaklığı olan 4 × 10¹³ kilometrenin logaritması yaklaşık 13,6'dır. Bu değerlerin hepsi on santimetrelik bir çizgiye rahatça sığar. Merkür ile Neptün birbirinden ayrılır, en yakın yıldız da iki kilometre öteye değil, birkaç santimetre sağa düşer.

Bu ölçekte bir şeye dikkat etmelisin: iki nokta arasındaki bir birimlik mesafe, on katlık bir oran demektir. Göze yakın görünen iki nokta, gerçekte birbirinden çok farklı sayılar olabilir.

Aslında…

Büyük resim

Evren, insan ölçeğinden çok uzak büyüklüklerle doludur. Aynı gökyüzünde Güneş ile en sönük galaksi, aynı çizelgede bir gezegen ile bir galaksi kümesi yer alır. Logaritma, bu sayıları tek bir bakışta karşılaştırılabilir kılan araçtır.

Gökbilimciler bu yüzden yıldızların ışık güçlerini, uzaklıkları, kütleleri ve zamanları çoğu zaman logaritmik eksenlerde çizer. Kadir sistemi de, Hipparkhos'un gözünden gelen bu fikrin iki bin yıllık mirasıdır: göz parlaklığı oranlarla algılar, logaritma da oranları basamaklara çevirir.

Özet

1. Bir sayının logaritması, o sayıyı elde etmek için on'un yükseltilmesi gereken kuvvettir; bin için üç, bir milyon için altı, yüzde bir için eksi ikidir.
2. Çarpımın logaritması logaritmaların toplamıdır; kadir sistemi bunu kullanır: kadir farkı, parlaklık oranının logaritmasının 2,5 katıdır, bu yüzden oranlar çarpılırken kadirler toplanır.
3. Logaritmik ölçekte eşit aralıklar eşit oranları gösterir; Merkür'den en yakın yıldıza kadar uzanan uzaklıklar böyle bir ölçekte tek bir kâğıda sığar.

Görev

Quiz

1. Yüz bin sayısının logaritması kaçtır?
2. log (a × b) neye eşittir?
3. İki yıldızın kadirleri on birim farklıysa, parlak olan sönük olana göre kaç kat fazla ışık gönderir?
4. Bir yıldız ötekinden 100 kat parlaksa aralarındaki kadir farkı nedir?
5. Logaritmik bir eksende bir basamak ilerlemek ne anlama gelir?

Cevaplar

1. Beş; çünkü on üzeri beş, yüz bindir.
2. log a artı log b'ye.
3. On bin kat; beş kadir yüz kat olduğundan on kadir, yüz çarpı yüzdür.
4. Beş kadir; çünkü iki buçuk çarpı yüzün logaritması, yani iki buçuk çarpı iki, beştir.
5. Sayının on ile çarpılması; eşit aralıklar eşit oranları gösterir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste aynı gezegenleri iki farklı çizgiye yerleştirdik ve iki bambaşka resim elde ettik. Bir grafiğin ekseni, verinin ne anlattığını değiştirebilir. Gökbilimciler grafikleri nasıl okur, eksenler, ölçekler ve eğilimler bize neyi gösterir, neyi saklayabilir?