Trigonometri ile yıldızlara uzanmak

Kanca

Bir kalemi burnunun ucunun biraz önünde tut ve gözlerini sırayla kapat. Kalem, arkadaki duvara göre büyük bir sıçrayış yapar. Şimdi kolunu tam uzat ve aynı şeyi yinele. Sıçrayış küçülür. Kalemi ne kadar uzağa götürürsen, kayma o kadar azalır.

Bu küçük oyunun içinde bir hesap saklı. Kaymanın ne kadar olduğunu ve iki gözünün arasındaki mesafeyi bilirsen, kalemin ne kadar uzakta olduğunu hiç cetvel uzatmadan bulabilirsin. Gökbilimciler aynı hesabı iki göz yerine Dünya'nın yörüngesiyle yapar ve en yakın yıldızlara kadar uzanır. Bu hesabın adı trigonometri.

Merkezi soru

Bir dik üçgendeki açı ile kenarlar arasındaki ilişki, yakın bir yıldızın yıl içindeki küçük kaymasından onun uzaklığını hesaplamamızı nasıl sağlar?

Anlatım

Dik üçgen ve tanjant

Trigonometri, üçgenlerin açılarıyla kenarları arasındaki ilişkiyi inceler. Bizim için en önemli olanı dik üçgendir: bir açısı tam doksan derece olan üçgen.

Bir dik üçgende, dik olmayan açılardan birini seçelim. Bu açının tam karşısındaki kenara karşı kenar, açının yanında duran kısa kenara da komşu kenar denir. Karşı kenarın komşu kenara oranı, yalnızca açıya bağlıdır; üçgen büyüse de küçülse de değişmez. Bu orana o açının tanjantı (tangent) denir ve kısaca "tan" diye yazılır.

Bunu şöyle düşünebilirsin: bir rampanın dikliği, yüksekliğinin yatay uzunluğuna oranıdır. Rampa uzasa da eğimi aynı kaldıkça bu oran değişmez. Tanjant, bir açının "dikliğini" bir sayıyla söyler. Her açının tanjantı hesap makinelerinde ve telefonlarda hazır bulunur.

Çözümlü problem 1: Bir ağacın boyu

Bir ağaçtan 20 metre uzakta duruyorsun ve ağacın tepesine bakarken başını 35 derece kaldırıyorsun. Ağacın boyu, bu açının karşısındaki kenardır; 20 metre ise komşu kenar. Tanjantın tanımından: tan 35° = boy / 20 m. Sesli okunuşu: "otuz beş derecenin tanjantı, boyun yirmi metreye bölümüne eşittir."

Hesap makinesi otuz beş derecenin tanjantını yaklaşık 0,70 verir. Öyleyse boy, 0,70 kere 20 metre, yani yaklaşık 14 metredir. Ağaca tırmanmadık, yalnızca bir uzaklık ve bir açı ölçtük.

Paralaks da aynı üçgendir, yalnızca yan yatırılmış ve inanılmaz derecede uzatılmıştır.

Paralaks üçgeni

Dünya, Güneş'in çevresinde dolanırken altı ay arayla yörüngesinin iki karşı ucuna gelir. Yakın bir yıldıza bu iki uçtan bakıldığında, yıldız çok daha uzaktaki yıldızlara göre yer değiştirmiş görünür. OpenStax'ın tanımıyla paralaks, gözlemcinin bakış noktası değiştiği için uzaktaki bir cismin yönünde görülen bu değişimdir.

Gökbilimciler hesabı yarım üçgen üzerinde yapar. Üçgenin kısa kenarı, Güneş ile Dünya arasındaki uzaklık, yani bir astronomik birimdir. Uzun kenarı yıldızın uzaklığıdır. Yıldızda oluşan küçük açıya paralaks açısı denir ve p harfiyle gösterilir. Bu açı, yıldızın altı ayda yaptığı toplam kaymanın yarısıdır.

Tanjantın tanımını bu üçgene uygulayalım. Paralaks açısının karşısındaki kenar bir astronomik birim, komşu kenar ise yıldızın uzaklığı: tan p = 1 AU / d. Sesli okunuşu: "p'nin tanjantı, bir astronomik birimin yıldızın uzaklığına bölümüne eşittir." Buradan uzaklık: d = 1 AU / tan p.

Küçük açı ve parsek

Yıldızların paralaks açıları o kadar küçüktür ki, bir yay saniyesine bile ulaşmaz. Ders K.3'teki küçük açı fikri burada işe yarar: çok küçük bir açının tanjantı, radyan cinsinden açının kendisine neredeyse eşittir. Bu yüzden tanjantı atıp uzaklığı doğrudan açıya bölebiliriz.

Açıyı yay saniyesiyle ölçtüğümüzde işler daha da sadeleşir. Bir radyanda 206.265 yay saniyesi olduğu için, paralaks açısı tam bir yay saniyesine eşitse yıldız 206.265 astronomik birim ötededir. OpenStax'a göre bu uzaklık 3,26 ışık yılıdır ve gökbilimciler ona özel bir ad vermiştir: parsek (parsec). Adı "bir yay saniyelik paralaksın uzaklığı" anlamına gelen İngilizce sözcüklerin birleşiminden gelir.

Parsekle çalışınca formül neredeyse bir çocuk oyuncağına döner: d = 1 / p. Sesli okunuşu: "parsek cinsinden uzaklık, bir bölü yay saniyesi cinsinden paralakstır." Paralaks yarıya inerse uzaklık iki katına çıkar; paralaks onda birine düşerse yıldız on kat uzaktadır.

Çözümlü problem 2: En yakın yıldız

Avrupa Uzay Ajansı'nın Gaia uzay aracının üçüncü veri yayınında, komşu yıldızımız Proxima Centauri'nin paralaksı 768,07 miliyay saniyesidir. Miliyay saniyesi, yay saniyesinin binde biridir; yani paralaks 0,768 yay saniyesidir.

Formülü uygulayalım: d = 1 / 0,768 ≈ 1,30 pc. Sesli okunuşu: "uzaklık, bir bölü sıfır virgül yedi yüz altmış sekiz, yaklaşık bir virgül otuz parsek." Işık yılına çevirmek için 3,26 ile çarparız: yaklaşık 4,25 ışık yılı. OpenStax da Proxima'nın uzaklığını 4,25 ışık yılı olarak verir.

Bunu kilometreyle görmek istersek Ders K.1'in bilimsel gösterimi devreye girer. 1,30 parsek, 1,30 kere 206.265 astronomik birim, her astronomik birim de yaklaşık 1,5 × 10⁸ km. Sonuç yaklaşık 4 × 10¹³ km, yani "dört çarpı on üzeri on üç kilometre." En yakın yıldız bile, Güneş'e olan uzaklığımızın iki yüz yetmiş bin katı kadar ötededir.

Çözümlü problem 3: Bessel'in yıldızı

OpenStax'ın anlattığına göre bir yıldızın paralaksı ilk kez 1838'de Friedrich Bessel (okunuşu "fridrih besel") tarafından, Kuğu takımyıldızındaki 61 Cygni için ölçüldü. Gaia bugün bu çift yıldızın parlak üyesi için 286,0 miliyay saniyelik bir paralaks veriyor, yani 0,286 yay saniyesi.

Uzaklık: d = 1 / 0,286 ≈ 3,50 pc. Sesli okunuşu: "bir bölü sıfır virgül iki yüz seksen altı, yaklaşık üç virgül elli parsek." Işık yılı olarak 3,50 kere 3,26, yaklaşık 11,4 ışık yılı eder. Bessel'in ölçtüğü açı, dört kilometreden bakılan bir bozuk paranın genişliğinden bile küçüktü. Ölçümün neden 1838'e kadar beklediği buradan anlaşılır.

Hata payı neden önemli?

Paralaks ne kadar küçükse, ölçümdeki küçük bir hata uzaklığı o kadar çok değiştirir. Paralaksı 0,001 yay saniyesi olan bir yıldız düşün: formüle göre bin parsek uzaktadır. Ölçümün yarım miliyay saniyelik bir belirsizliği varsa, gerçek paralaks 0,0005 ile 0,0015 arasında bir yerdedir. Bu da uzaklığın yaklaşık 670 ile 2000 parsek arasında olabileceği anlamına gelir: neredeyse üç katlık bir aralık.

Bu yüzden paralaks ölçümü tarihi, hassasiyet tarihidir. OpenStax'a göre Hipparcos uydusu binlerce yıldızın uzaklığını yaklaşık 300 ışık yılına kadar yüzde 10 ile 20 arası bir doğrulukla ölçtü. Gaia ise yaklaşık bir milyar yıldızın konumunu ve uzaklığını, yay saniyesinin milyonda birkaçı düzeyindeki bir doğrulukla ölçüyor.

Aslında…

Büyük resim

Paralaks, bir yıldızın uzaklığını hiçbir varsayım yapmadan, yalnızca geometriyle ölçmenin yoludur. Yıldızın ne kadar parlak olduğunu, hangi türden olduğunu, neden yapıldığını bilmek gerekmez; bir üçgen ve bir açı yeter. Bu yüzden evrenin mesafe merdiveninin en alt ve en sağlam basamağıdır.

Daha uzaktaki bütün ölçümler, yani gerçek parlaklığı bilinen yıldızlardan yapılan tahminler de, galaksilerin kırmızıya kayması da, sonunda paralaksla ölçülmüş yakın yıldızlara bağlanır. Bir ağacın boyunu ölçtüğün aynı tanjant, böylece evrenin büyüklüğünü ölçen zincirin ilk halkası olur.

Özet

1. Bir dik üçgende bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır ve yalnızca açıya bağlıdır; bir uzaklık ve bir açı bilinince öteki kenar bulunur.
2. Paralaks üçgeninde kısa kenar bir astronomik birim, uzun kenar yıldızın uzaklığıdır; açılar çok küçük olduğundan tanjant, radyan cinsinden açının kendisiyle değiştirilebilir.
3. Paralaksı bir yay saniyesi olan yıldızın uzaklığı bir parsektir (206.265 astronomik birim, 3,26 ışık yılı); parsek cinsinden uzaklık, yay saniyesi cinsinden paralaksın tersidir ve Proxima Centauri için yaklaşık 1,30 parsek eder.

Görev

Quiz

1. Bir dik üçgende bir açının tanjantı neye eşittir?
2. Bir ağaçtan 10 metre uzaktasın ve tepesine 45 derecelik açıyla bakıyorsun. Kırk beş derecenin tanjantı bir olduğuna göre ağaç kaç metredir?
3. Paralaks üçgeninin kısa kenarı nedir?
4. Paralaksı 0,5 yay saniyesi olan bir yıldız kaç parsek uzaktadır?
5. Uzak yıldızların uzaklığını paralaksla ölçmek neden daha zordur?

Cevaplar

1. Karşı kenarın komşu kenara oranına.
2. On metre, çünkü boy, bir kere on metredir.
3. Güneş ile Dünya arasındaki uzaklık, yani bir astronomik birim.
4. İki parsek, çünkü bir bölü sıfır virgül beş ikidir.
5. Çünkü paralaks açıları küçüldükçe ölçüm hatasının payı büyür; küçük bir açı hatası, uzaklıkta çok büyük bir belirsizliğe yol açar.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Proxima 1,3 parsek, Gaia'nın ölçtüğü uzak yıldızlar binlerce parsek, galaksiler milyonlarca parsek uzakta. Bu kadar farklı büyüklükleri tek bir çizelgeye sığdırmak için gökbilimciler sayıların kendisini değil, on'un kaçıncı kuvveti olduklarını kullanır. Yıldızların parlaklığını ölçen kadir sistemi de böyle bir ölçektir. Logaritma nedir ve bu ölçekler nasıl okunur?