Çok büyük ve çok küçük sayılarla nasıl çalışılır?

Kanca

Güneş'in kütlesini kilogram olarak bir kâğıda yazmayı dene. NASA'nın verdiği değeri yuvarlarsan önce bir 2 yazarsın, sonra arkasına sıfır eklemeye başlarsın. Onuncu sıfırda eline yorgunluk girer, yirminci sıfırda kaç tane yazdığını şaşırırsın. Bitirmek için otuz sıfır gerekir.

Şimdi bir de öbür uca bak. Tek bir hidrojen atomunun kütlesini yazmak için virgülden sonra yirmi altı sıfır dizmen gerekir. Astronomi bu iki uç arasında gidip gelir. Bu kadar sıfırla boğuşmadan hesap yapmanın bir yolu olmalı.

Merkezi soru

Astronomların kullandığı çok büyük ve çok küçük sayılar, sıfırları saymadan nasıl kısa yazılır ve bu yazılışla çarpma ve bölme nasıl kolayca yapılır?

Anlatım

Sıfırları saymak yerine

On ile çarpmak, bir sayının sonuna bir sıfır eklemektir. Yüz, onun iki kez kendisiyle çarpımıdır; bin, üç kez. Bu tekrar sayısını sayının sağ üstüne küçük bir rakamla yazarız ve buna üs deriz. 10³ yazılır, "on üzeri üç" diye okunur ve bin demektir. 10⁶ "on üzeri altı", yani bir milyondur.

Bu kısayolun güzelliği şudur: üs, aslında kaç sıfır olduğunu söyler. On üzeri otuz, 1'in arkasına otuz sıfır demektir. Kâğıda otuz sıfır dizmek yerine küçük bir "30" yazarız ve sayma hatası yapma riski ortadan kalkar.

Bilimsel gösterim

Her sayı, bir "baş sayı" ile onun kuvvetinin çarpımı olarak yazılabilir. Bilimciler burada tek bir kurala uyar: OpenStax'ın astronomi ders kitabındaki tanımla, virgülün solunda yalnızca tek bir rakam bırakılır. Bu yazılışa bilimsel gösterim (scientific notation) denir.

Bir örnekle yürüyelim. Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 150 milyar metredir. Bunu şöyle yazarız:

1,5 × 10¹¹ m. Sesli okunuşu: "bir virgül beş çarpı on üzeri on bir metre." Nereden geldiğini görmek için 150.000.000.000 sayısındaki virgülü düşün. Onu 1 ile 5'in arasına taşımak için sola doğru on bir basamak kaydırman gerekir. Kaydırdığın basamak sayısı üs olur.

NASA'nın Güneş bilgi sayfasına göre Güneş'in kütlesi 1.988.400 çarpı on üzeri yirmi dört kilogramdır. Baş sayıdaki virgülü 1 ile 9'un arasına taşımak için altı basamak sola kayarız, bu altı basamağı da üsse ekleriz:

1,9884 × 10³⁰ kg ≈ 2 × 10³⁰ kg. Sesli okunuşu: "bir virgül dokuz dokuz sekiz dört çarpı on üzeri otuz kilogram, yani yaklaşık iki çarpı on üzeri otuz kilogram." Kancadaki otuz sıfır buradan geliyor.

Çok küçük sayılar: eksi üs

Ondan küçük sayılar için üs eksiye döner. 10⁻¹ "on üzeri eksi bir" diye okunur ve onda bir, yani 0,1 demektir. 10⁻³ bin'de birdir, 0,001. Eksi işareti, sayının negatif olduğunu değil, bir'in o kadar kez ona bölündüğünü söyler.

OpenStax'ın verdiği değerle bir hidrojen atomunun kütlesi şöyledir:

1,67 × 10⁻²⁷ kg. Sesli okunuşu: "bir virgül altı yedi çarpı on üzeri eksi yirmi yedi kilogram." Burada virgülü sağa doğru yirmi yedi basamak kaydırdık; sağa kaydırma eksi üs verir. Açık yazsaydık virgülden sonra yirmi altı sıfır ve ardından 167 gelirdi.

Çarpma ve bölme: üslerle oynamak

Bilimsel gösterimin asıl gücü hesapta ortaya çıkar. OpenStax'ın özetlediği kural iki satırdır. Çarparken baş sayıları çarpar, üsleri toplarsın. Bölerken baş sayıları böler, üsleri çıkarırsın.

Kitaptaki örnek: (3 × 10⁵) × (2 × 10⁹) = 6 × 10¹⁴. Sesli okunuşu: "üç çarpı on üzeri beş ile iki çarpı on üzeri dokuzun çarpımı, altı çarpı on üzeri on dört eder." Üç kere iki altı; beş artı dokuz on dört.

Çözümlü problem 1: Işık Güneş'ten kaç saniyede gelir?

Işık saniyede yaklaşık 300 bin kilometre, yani 3 × 10⁸ metre yol alır. Güneş'e uzaklık 1,5 × 10¹¹ metre. Süre, uzaklığın hıza bölümüdür:

(1,5 × 10¹¹) ÷ (3 × 10⁸) = 0,5 × 10³ s. Sesli okunuşu: "bir virgül beş çarpı on üzeri on bir, üç çarpı on üzeri sekize bölünürse sıfır virgül beş çarpı on üzeri üç saniye eder." Baş sayılar: 1,5 bölü 3, yani 0,5. Üsler: on bir eksi sekiz, yani üç.

Sonuç kuralımıza uymuyor, çünkü virgülün solunda sıfır var. Düzeltmek için baş sayıyı on ile çarpar, üssü bir azaltırız: 5 × 10² saniye, yani 500 saniye. Bu da 8 dakika 20 saniyeye denk gelir. Güneş'e baktığında gördüğün ışık, sekiz dakikadan biraz daha önce yola çıkmıştır.

Çözümlü problem 2: Güneş kaç hidrojen atomu ağırlığında?

Güneş'i tamamen hidrojenden yapılmış gibi düşünelim. Bu kaba bir varsayımdır, ama sayının büyüklüğünü görmek için yeterlidir. Güneş'in kütlesini bir atomun kütlesine böleriz:

(2 × 10³⁰) ÷ (1,67 × 10⁻²⁷) ≈ 1,2 × 10⁵⁷. Sesli okunuşu: "iki çarpı on üzeri otuz, bir virgül altı yedi çarpı on üzeri eksi yirmi yediye bölünürse yaklaşık bir virgül iki çarpı on üzeri elli yedi eder." Baş sayılar: 2 bölü 1,67, yaklaşık 1,2. Üsler: otuz eksi eksi yirmi yedi. Eksi bir sayıyı çıkarmak, onu eklemek demektir; otuz artı yirmi yedi, elli yedi.

Bu sayıyı açık yazmak elli yedi sıfır ister. Bilimsel gösterimle beş karakterde bitti.

Çözümlü problem 3: Dünya'nın kütlesini Güneş'ten bulmak

NASA'nın bilgi sayfası Güneş'in Dünya'dan 332.900 kat daha ağır olduğunu söyler. Bunu 3,33 × 10⁵ diye yazarız. Dünya'nın kütlesi:

(1,99 × 10³⁰) ÷ (3,33 × 10⁵) ≈ 0,6 × 10²⁵ = 6 × 10²⁴ kg. Sesli okunuşu: "bir virgül dokuz dokuz çarpı on üzeri otuz, üç virgül üç üç çarpı on üzeri beşe bölünürse yaklaşık altı çarpı on üzeri yirmi dört kilogram eder." Burada da virgülün solunda sıfır kaldı, baş sayıyı on ile çarpıp üssü bir azalttık.

Mertebe: kafadan kestirme

Bazen baş sayıyla hiç uğraşmadan yalnızca üsse bakarız. Buna mertebe (order of magnitude) denir. Güneş'in kütlesi 10³⁰ kilogram mertebesinde, Dünya'nınki 10²⁴ mertebesinde. Aradaki fark altı mertebe, yani kabaca bir milyon kat. Gerçek oran 332.900; mertebe hesabı onu üç katlık bir hatayla bildi ve bunun için tek bir çıkarma yapmak yetti.

Astronomlar bir sonuca inanmadan önce çoğu zaman önce mertebesini kafadan kestirir. Uzun hesap bambaşka bir mertebe verirse, bir yerde üs karışmıştır.

Aslında…

Büyük resim

Bilimsel gösterim, astronominin ortak dilidir. Sonraki derslerde karşına çıkacak yıldız kütleleri, galaksi uzaklıkları, ışığın dalga boyları ve atomların boyutları hep bu biçimde yazılır. Bir sayının üssüne bakmak, onun hangi dünyaya ait olduğunu hemen söyler: on üzeri artı yirmilerde gezegenler ve yıldızlar, on üzeri eksi yirmilerde atomlar yaşar.

Daha önemlisi, bu yazılış hesabı insan ölçeğine indirir. Otuz sıfırlı bir sayıyla elli yedi sıfırlı bir sayının bölümü, iki küçük sayının bölümüne ve bir çıkarmaya dönüşür. Evrenin aşırı büyüklükleri böylece kâğıt kalemle anlaşılabilir hâle gelir.

Özet

1. Bilimsel gösterimde bir sayı, virgülün solunda tek rakam olan bir baş sayı ile on'un bir kuvvetinin çarpımı olarak yazılır; Güneş'in kütlesi yaklaşık 2 × 10³⁰ kilogram, hidrojen atomununki 1,67 × 10⁻²⁷ kilogramdır.
2. Çarparken baş sayılar çarpılır ve üsler toplanır; bölerken baş sayılar bölünür ve üsler çıkarılır, sonra baş sayı yeniden tek rakama getirilir.
3. Üsteki her birim on katlık bir farktır; mertebe hesabı yalnız üslere bakarak bir sonucun büyüklüğünü kafadan kestirmeyi sağlar.

Görev

Quiz

1. 0,00347 sayısını bilimsel gösterimle yaz.
2. (4 × 10⁶) × (2 × 10³) işleminin sonucu nedir?
3. (9 × 10¹²) ÷ (3 × 10⁴) işleminin sonucu nedir?
4. 0,5 × 10³ neden bilimsel gösterim kuralına uymaz ve nasıl düzeltilir?
5. 10⁸ ile 10⁵ arasında kaç kat fark vardır?

Cevaplar

1. 3,47 × 10⁻³; virgül sağa doğru üç basamak kaydığı için üs eksi üçtür.
2. 8 × 10⁹; baş sayılar çarpılır, dört kere iki sekiz; üsler toplanır, altı artı üç dokuz.
3. 3 × 10⁸; baş sayılar bölünür, dokuz bölü üç, üç; üsler çıkarılır, on iki eksi dört, sekiz.
4. Virgülün solunda sıfır olduğu için; baş sayı on ile çarpılıp üs bir azaltılarak 5 × 10² yazılır.
5. Üsler arasındaki fark üç olduğu için bin kat.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Güneş'in Dünya'dan yaklaşık 333 bin kat ağır olduğunu bulduk; bu bir orandır. Peki bir şeyin ne kadar uzakta ya da ne kadar büyük olduğunu, bir cismin başka bir cisme göre kaç kat olduğunu bilmekten yola çıkarak nasıl bulabiliriz? Oran ve orantı, gökbilimcilere hiç dokunamadıkları nesneleri ölçme gücü veriyor.