Evrenin geometrisi

Kanca

Bir karınca olduğunu ve kocaman bir topun yüzeyinde yaşadığını düşün. Çevrende her şey düz görünüyor. Ama bir gün iki arkadaşınla birlikte, ekvatorda birbirinden uzakta durup ikiniz de tam kuzeye, dümdüz yürümeye başlıyorsunuz. Hiç dönmediniz, yine de kutupta karşılaşıyorsunuz. Paralel başlayan iki yol birleşti.

Evrenin kendisi de böyle bir oyun oynuyor olabilir mi? Evren düz mü, yoksa bir kürenin yüzeyi gibi mi kıvrılıyor? Bu soru felsefi görünse de ölçülebilir; üstelik cevabını çeyrek yüzyıldır biliyoruz.

Merkezi soru

Uzayın geometrisi düz, kapalı ya da açık olabilir; bu üç seçenek neyi ifade ediyor, evrenin hangisi olduğunu nasıl ölçtük ve cevap bize ne anlatıyor?

Anlatım

Üç olası uzay

Einstein'ın genel göreliliğine göre madde ve enerji uzayı büker; evrendeki toplam madde ve enerji de uzayın genel biçimini belirler. OpenStax'a göre üç olasılık vardır, ve üçü de kritik yoğunluğa göre ayrılır.

Yoğunluk kritik değeri aşıyorsa uzay kapalıdır; bir küre yüzeyi gibi kıvrılır ve başlangıçta paralel giden iki ışık ışını sonunda buluşur. Buna küresel geometri denir. Yoğunluk kritik değerin altındaysa uzay açıktır; bir eyer ya da at semeri gibi kıvrılır ve paralel başlayan ışınlar birbirinden uzaklaşır. Buna hiperbolik geometri denir. Yoğunluk tam kritik değerdeyse uzay düzdür; paralel ışınlar hep paralel kalır ve okulda öğrendiğimiz Öklid geometrisi geçerlidir.

Buradaki "düz", kâğıt gibi ince demek değildir. Üç boyutlu uzayın kendi içindeki kurallarından söz ediyoruz: paraleller buluşuyor mu, bir üçgenin açıları kaç derece tutuyor?

Üçgenle eğrilik ölçmek

Düz bir kâğıtta bir üçgenin iç açıları her zaman 180 derece tutar. Kürenin yüzeyinde toplam 180'den büyüktür, eyerin yüzeyinde küçüktür. Yani büyük bir üçgen çizip açılarını ölçersen, üzerinde yaşadığın yüzeyin biçimini, dışarıdan hiç bakmadan anlayabilirsin.

Çözümlü problem: 270 derecelik bir üçgen

Dünya'yı bir küre sayalım. Bir köşesi Kuzey Kutbu'nda, öbür iki köşesi ekvatorda, boylamları birbirinden 90 derece farklı iki noktada olan bir üçgen çiz. Kutuptan inen iki kenar ekvatora dik iner; ekvatordaki iki köşede açı 90'ar derece, kutuptaki açı da iki boylam arasındaki 90 derece. Toplam 90 + 90 + 90 = 270 derece. Sesli okunuşu: doksan artı doksan artı doksan, iki yüz yetmiş.

Fazlalık 90 derece. Küresel geometride bu fazlalık üçgenin alanıyla büyür: fazlalık, radyan cinsinden, alan bölü yarıçapın karesidir. Bu üçgen kürenin sekizde biri, alanı 4πR² / 8 = πR² / 2; bölü R², π / 2 radyan, yani tam 90 derece. Sesli okunuşu: dört pi R kare bölü sekiz, pi R kare bölü iki; yarıçapın karesine bölünce pi bölü iki, doksan derece. Küçük bir üçgende ise fazlalık neredeyse sıfırdır; bu yüzden Dünya yürürken düz görünür.

Gökyüzündeki cetvel

Evren için böyle bir üçgen çizmek için, bilinen bir boydaki cismi çok uzaktan görmek gerekir. Doğa bize tam bu cetveli verdi: kozmik arka plan ışımasındaki sıcak ve soğuk lekeler. OpenStax'a göre kuramsal hesaplar bu lekelerin gerçek boylarını, evren saydamlaştığı andaki fizikten biliyor. Gökyüzünde kaç derece göründükleri ise uzayın geometrisine bağlı.

Uzay düzse lekeler tipik olarak yaklaşık bir derece görünmeli. Uzay kapalıysa ışık yolda odaklanır gibi davranır ve lekeler bir dereceden büyük görünür; açıksa küçük görünür. Bir büyüteçle bakar gibi: aynı cisim, aradaki merceğin biçimine göre büyük ya da küçük görünür.

Çözümlü problem: BOOMERanG'ın lekeleri

Antarktika'da balonla uçurulan BOOMERanG (okunuşu "bumerang") deneyi 2000'de yayımlanan haritasında, lekelerin boy dağılımında en güçlü tepeyi Legendre çok kutuplu sayısı ℓ ≈ 197'de buldu. Bu sayıyı açıya çevirmenin kaba yolu: θ ≈ 180° / ℓ. Sesli okunuşu: açı, yüz seksen derecenin ℓ'ye bölümüdür.

180 / 197 ≈ 0,91 derece; yani lekeler yaklaşık bir derece. Ekip bunun düz, yani Öklid geometrisine uyan bir evrenle tutarlı olduğunu yazdı. Karşılaştırma için: dolunay gökyüzünde yaklaşık yarım derece kaplar. En tipik lekeler, yan yana konmuş iki dolunay boyundadır.

Bütün gökyüzü yaklaşık 41.253 derecekaredir, yani dört pi steradyanın dereceye çevrilmiş hâli. Bir derecelik lekelerden gökyüzüne kabaca kırk bin tane sığar. Planck uydusu bu lekeleri tüm gökyüzünde haritaladı.

Cevap: düz

OpenStax'a göre WMAP ve Planck, BOOMERanG'ın sonucunu doğruladı: düz, kritik yoğunlukta bir evrende yaşıyoruz. 2018 sonuçlarında Planck, kendi haritasını baryon akustik salınımlarıyla, yani galaksi haritalarında izi kalan bir ses dalgası cetveliyle birleştirdi; uzayın eğriliği, binde dört mertebesinde bir payın içinde sıfır çıktı. Ders 18.4'te gördüğümüz enflasyon, düz bir evreni zaten öngörüyordu; ölçüm bu öngörüyle örtüşüyor.

Ama "düz" demek, ölçebildiğimiz sınırlar içinde eğrilik göremiyoruz demektir. Dünya'da yürürken de yüzey düz görünür; çok büyük bir küre üzerinde küçük bir bölgedeysen eğrilik ölçüm hatasının altında kalır. Evrenin görebildiğimiz parçasının ötesinde ne olduğunu bu ölçüm söylemez.

Geometri ve kader

Karanlık enerjinin keşfinden önce geometri, evrenin geleceğini de söylüyordu: kapalı bir evren bir gün çökecek, açık ya da düz bir evren sonsuza dek genişleyecekti. OpenStax'a göre karanlık enerjinin keşfinden sonra büyük bir çöküş olası görünmüyor; yani bu eski bağ koptu. Bugün düz uzayın içindeki toplam yoğunluğun yaklaşık üçte ikisi karanlık enerji; evrenin sonunu belirleyen, uzayın biçiminden çok karanlık enerjinin davranışı.

Aslında…

Büyük resim

Evrenin geometrisini ölçmek, kozmolojinin en zarif başarılarından biri. Kimse evrenin dışına çıkıp ona bakamaz; ama içeriden, gökyüzündeki bir cetvelin kaç derece göründüğünü ölçerek, uzayın biçimini anlayabildik. Karınca, topun üzerinde üçgen çizerek aynı şeyi yapabilir.

Sonuç, birbirinden bağımsız ölçümleri birbirine bağlıyor. Düz bir uzay, toplam yoğunluğun kritik değerde olmasını gerektirir; madde yalnızca yaklaşık üçte birini verdiği için, geri kalanın karanlık enerji olması da bu hesapla uyuşuyor. Kozmik arka plan, süpernovalar ve galaksi haritaları aynı resmi çiziyor.

Özet

1. Kritik değerin üstünde bir yoğunlukla uzay kapalı ve küreseldir, paralel ışınlar buluşur; altındaysa açık ve hiperboliktir, ışınlar ayrılır; tam eşitse düzdür, paraleller paralel kalır ve üçgenin açıları 180 derece tutar.
2. Kozmik arka plandaki lekelerin gerçek boyu bilindiği için gökyüzündeki açıları geometriyi ölçer: düz bir evrende yaklaşık bir derece. BOOMERanG 2000'de tepeyi ℓ ≈ 197'de, yani yaklaşık 0,9 derecede buldu.
3. BOOMERanG, WMAP ve Planck evrenin düz olduğunu gösterdi; Planck'ın 2018 ölçümünde eğrilik binde dört içinde sıfır. Karanlık enerji yüzünden geometri artık evrenin kaderini tek başına belirlemiyor.

Görev

Quiz

1. Kapalı, açık ve düz uzay neye göre ayrılır?
2. Düz bir uzayda paralel başlayan iki ışın ne yapar, kapalı bir uzayda ne yapar?
3. Kuzey Kutbu'nda ve ekvatorda köşeleri olan, boylamları 90 derece farklı üçgenin açıları toplamı kaçtır?
4. Kozmik arka plandaki lekeler geometriyi ölçmek için neden kullanışlıdır?
5. Evrenin düz çıkması onun sonu hakkında neden tek başına her şeyi söylemez?

Cevaplar

1. Toplam yoğunluğun kritik yoğunluğa göre büyük, küçük ya da eşit olmasına göre.
2. Düz uzayda hep paralel kalırlar; kapalı uzayda sonunda buluşurlar.
3. 270 derece; her köşede 90 derece.
4. Çünkü gerçek boyları evren saydamlaştığı andaki fizikten biliniyor; gökyüzünde kaç derece göründükleri uzayın geometrisine bağlı.
5. Çünkü karanlık enerji, geometri ile kader arasındaki eski bağı kopardı; evrenin geleceğini artık karanlık enerjinin davranışı belirliyor.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Uzay düz ve karanlık enerji öne geçmiş. Peki bu hikâye nasıl bitecek? Galaksiler birbirinden giderek uzaklaşacak, yıldızlar bir gün sönecek; belki de evren tek bir büyük donmayla, belki de akla gelmeyen bir biçimde sona erecek. Evrenin sonu nasıl olacak, ve bunu bugünden ne kadar kestirebiliyoruz?