Bir yıldızın içini hesaplamak

Kanca

Güneş'in merkezine hiçbir araç gitmedi, hiçbir teleskop oraya bakamadı. Yüzeyiyle merkezi arasında yedi yüz bin kilometrelik opak, kızgın gaz duruyor. Yine de gökbilimciler oradaki sıcaklığın yaklaşık on beş milyon kelvin, yoğunluğun suyunkinin yaklaşık yüz elli katı olduğunu söyler.

Bu sayıları nereden biliyorlar? Bir termometreden değil, bir avuç kuraldan. Güneş'in çökmeden ve patlamadan milyarlarca yıldır aynı boyda durması, içinde neler olup bittiği hakkında şaşırtıcı derecede çok şey söyler.

Merkezi soru

Bir yıldızın içini hiç göremediğimiz hâlde, hidrostatik denge, gaz yasası ve enerjinin taşınması gibi birkaç temel kural, merkezdeki sıcaklığı, yoğunluğu ve basıncı hesaplamamızı nasıl sağlar?

Anlatım

Denge: çöküşle patlama arasında

Ders 9.2'de Güneş'in neden ne çöküp ne de dağıldığını konuşurken hidrostatik dengeyle tanışmıştık. OpenStax'ın tarifiyle: Güneş'in her noktasında, merkeze doğru çeken kütleçekimini, dışarı iten gaz basıncı tam olarak karşılar. Bu derste o dengeyi sayıya çevireceğiz.

Bu dengeyi günlük hayattan tanırsın. Bir yüzme havuzunda ne kadar derine dalarsan kulakların o kadar çok basınç hisseder, çünkü üstündeki suyun ağırlığı artar. Yıldızın içi de böyledir: merkeze yaklaştıkça üstteki katmanların ağırlığı artar, bu ağırlığı taşımak için basınç da büyümek zorundadır.

Matematiksel olarak bu, basıncın içeri doğru ne kadar hızla arttığını söyleyen bir denklemdir: dP/dr = −G m(r) ρ / r². Sesli okunuşu: "basıncın yarıçapla değişimi, eksi G çarpı o yarıçapın içindeki kütle çarpı yoğunluğun, yarıçapın karesine bölümüne eşittir." Eksi işareti, dışarı çıktıkça basıncın düştüğünü anlatır.

Dört kural, bir model

OpenStax'a göre bir yıldız modeli hidrostatik dengeyi, nükleer tepkimelerle enerji üretimini ve enerjinin taşınmasını birlikte hesaba katar. Enerji üretimi, merkezdeki tepkimelerin yıldızın yüzeyinden kaybettiği enerjiyi karşılaması demektir. Taşınma ise bu enerjinin ışınımla ya da gazın kaynayan hareketiyle, yani konveksiyonla dışarı çıkmasıdır. Bunlara kütlenin tutarlı dağılması koşulu eklenir: her katmanın içindeki kütle, altındaki katmanların kütlelerinin toplamıdır.

Bunlara bir de gazın nasıl davrandığını söyleyen bir yasa eklenir. Güneş'in içindeki gaz o kadar sıcaktır ki atomlar elektronlarını yitirmiş, çekirdekler ve elektronlar serbestçe dolaşır. Bu gaz, ideal gaz yasasına çok iyi uyar: P = ρ k T / (μ m_H). Sesli okunuşu: "basınç, yoğunluk çarpı Boltzmann sabiti çarpı sıcaklığın, ortalama parçacık kütlesine bölümüne eşittir." Burada μ m_H, gazdaki bir parçacığın ortalama kütlesidir; hidrojen ve helyumun iyonlaşmış karışımı için bir hidrojen atomu kütlesinin yaklaşık 0,6 katıdır.

Bu denklemler bilgisayarda, yüzeyden merkeze katman katman birlikte çözülür. Sonuç, yıldızın her derinlikteki sıcaklığını, yoğunluğunu ve basıncını veren bir modeldir.

Çözümlü problem 1: Merkezin sıcaklığını kestirmek

Bilgisayara gerek kalmadan, dengenin ne gerektirdiğini kabaca hesaplayabiliriz. Bir gaz parçacığının ısıl enerjisi, onu yıldıza bağlayan kütleçekimi enerjisiyle aynı mertebede olmalıdır; yoksa gaz ya çöker ya da dağılır. Bu düşünce şu kestirimi verir: T ≈ G M μ m_H / (k R). Sesli okunuşu: "sıcaklık, yaklaşık olarak G çarpı kütle çarpı ortalama parçacık kütlesinin, Boltzmann sabiti çarpı yarıçapa bölümüdür."

Güneş için değerleri koyalım: G = 6,67 × 10⁻¹¹, M = 1,99 × 10³⁰ kg, R = 6,96 × 10⁸ m, parçacık kütlesi hidrojen atomununkinin 0,6 katı, Boltzmann sabiti k = 1,38 × 10⁻²³ J/K. Sonuç: T ≈ 1,4 × 10⁷ K. Bunu "yaklaşık on dört milyon kelvin" diye okuruz.

OpenStax'ın aktardığı model değeri yaklaşık on beş milyon, NASA'nın verdiği ise 1,571 × 10⁷ kelvindir. Yalnızca Güneş'in kütlesi ve yarıçapıyla, hiçbir ayrıntılı model kurmadan merkezin sıcaklığını doğru mertebede bulduk. Füzyonun başlaması için gereken koşulların merkezde kendiliğinden oluşmasının nedeni de budur: kütleçekimi, gazı bu sıcaklığa kadar sıkıştırır.

Çözümlü problem 2: Ortalama yoğunluk ve merkezdeki yoğunluk

Güneş'in ortalama yoğunluğu, kütlesinin hacmine bölümüdür: ρ̄ = M / (4/3 π R³). Sesli okunuşu: "ortalama yoğunluk, kütlenin, dört bölü üç pi çarpı yarıçapın küpüne bölümüdür." Değerleri koyunca yaklaşık 1410 kg/m³, yani santimetreküp başına 1,41 gram çıkar. NASA'nın verdiği değer 1408 kg/m³, yani neredeyse aynı.

Bu, suyunkinden yalnızca biraz fazladır. Oysa OpenStax'a göre merkezdeki yoğunluk suyunkinin yaklaşık yüz elli katıdır. Aradaki yüz katlık fark, kütlenin merkezde yoğunlaştığını gösterir: OpenStax'ın modeline göre enerji üreten bölge, yarıçapın yalnızca dörtte biri kadar yer kaplar ama Güneş'in kütlesinin yaklaşık üçte birini içerir.

Çözümlü problem 3: Merkezdeki basınç

Merkez değerlerini gaz yasasına koyalım: yoğunluk 1,5 × 10⁵ kg/m³, sıcaklık 1,5 × 10⁷ K, parçacık kütlesi yine hidrojenin 0,6 katı. P = ρkT / (μ m_H) ≈ 3 × 10¹⁶ Pa. Yüksek sesle: "yaklaşık üç çarpı on üzeri on altı paskal."

NASA'nın Güneş sayfasındaki model değeri 2,477 × 10¹¹ bar, yani yaklaşık 2,5 × 10¹⁶ paskaldır; kaba hesabımız aynı mertebeye düştü. Deniz seviyesindeki hava basıncı ise yaklaşık 10⁵ paskaldır. Güneş'in merkezindeki basınç bunun yüz milyarlarca katıdır. Kütleçekiminin üstteki katmanları taşımak için gerektirdiği basınç budur; bu basınç ve sıcaklık altında hidrojen çekirdekleri kaynaşır.

Enerji dışarı nasıl çıkar?

OpenStax'a göre merkezde üretilen enerji, yarıçapın yaklaşık yüzde yetmişine kadar ışınımla taşınır. Fotonlar yoğun gazda sürekli soğrulup yeniden salındığı için bu yolculuk, OpenStax'ın verdiği aralıkla, 10⁵ ila 10⁶ yıl sürer. Dış kısımda gaz, altı ısıtılan bir tencere çorba gibi kaynamaya başlar ve enerjiyi konveksiyon akımları taşır.

Model yalnızca bir kuram değildir. Güneş yüzeyinin yaklaşık beş dakikalık salınımlarını inceleyen güneş sismolojisi (helioseismology), OpenStax'ın aktardığı gibi konveksiyon bölgesinin yüzeyden içeri yarıçapın yüzde otuzu kadar uzandığını gösterdi. Merkezden gelen nötrinoların sayısı da, modellerin öngördüğü değerle örtüştü.

Aslında…

Büyük resim

Bir yıldızın iç yapısını hesaplamak, astrofiziğin en büyük başarılarından biridir. Aynı kurallar, kütlesi ve bileşimi farklı her yıldıza uygulanabilir. Bu modeller bir yıldızın ışıma gücünü, ne kadar yaşayacağını ve ölürken ne olacağını öngörür; H-R diyagramındaki ana dizinin biçimi de bu hesaplardan çıkar.

Güneş sismolojisi ve nötrinolar, modeli dışarıdan sınamanın iki yolu oldu. Güneş'in içini görmesek de, onu dinleyerek ve içinden kaçan en hayalet parçacıkları sayarak, hesabımızın doğru olduğunu biliyoruz.

Özet

1. Hidrostatik dengede her noktada içeri yönelen kütleçekimi dışarı yönelen gaz basıncıyla dengelenir; basınç merkeze doğru dP/dr = −G m(r) ρ / r² ile artar ve bir yıldız modeli bununla birlikte kütle dağılımı, enerji üretimi ve enerji taşınması koşullarını sağlar.
2. Kütleçekimi enerjisiyle ısıl enerjinin dengesinden Güneş'in merkez sıcaklığı T ≈ GMμm_H / (kR) ile yaklaşık 14 milyon kelvin çıkar; modelin değeri 15 milyon kelvindir.
3. Güneş'in ortalama yoğunluğu santimetreküp başına 1,41 gramken merkezdeki yoğunluk suyunkinin yaklaşık 150 katı, merkez basıncı da 10¹⁶ paskal mertebesindedir; model güneş sismolojisi ve nötrinolarla doğrulanmıştır.

Görev

Quiz

1. Hidrostatik denge bir yıldızın içinde neyin neyle dengelenmesidir?
2. Bir yıldız modelinde aynı anda sağlanması gereken koşullar nelerdir?
3. Güneş'in merkez sıcaklığını kabaca kestirmek için hangi iki enerjinin eşit mertebede olduğu varsayılır?
4. Güneş'in ortalama yoğunluğu ile merkezdeki yoğunluğu arasındaki büyük fark neyi gösterir?
5. Güneş'in iç modeli dışarıdan hangi yollarla sınanmıştır?

Cevaplar

1. Her noktada içeri yönelen kütleçekiminin dışarı yönelen gaz basıncıyla tam olarak dengelenmesidir.
2. Hidrostatik denge, tutarlı kütle dağılımı, enerji üretimi ve enerjinin ışınım ya da konveksiyonla taşınması; bunlara gazın davranışını anlatan bir gaz yasası eklenir.
3. Bir gaz parçacığının ısıl enerjisiyle onu yıldıza bağlayan kütleçekimi enerjisi.
4. Kütlenin merkezde yoğunlaştığını; enerji üreten bölge yarıçapın dörtte biri kadar yer kaplar ama kütlenin üçte birini içerir.
5. Yüzeydeki salınımları inceleyen güneş sismolojisiyle ve merkezden gelen nötrinoların sayılmasıyla.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste kütlenin bir yıldızın içini nasıl sıkıştırdığını hesapladık. Kütle yalnızca kendi içini değil, çevresindeki uzay-zamanı da büker ve arkasından gelen ışığı bir büyüteç gibi odaklar. Önde duran bir galaksi, arkasındaki çok daha uzak bir galaksinin görüntüsünü nasıl büyütür, çoğaltır ya da bir halkaya çevirir?