Bükülen uzay-zaman

Kanca

2010'da ABD'nin ulusal ölçüm laboratuvarı NIST'te fizikçiler, dünyanın en hassas iki saatini yan yana kurdu. Sonra birini yalnızca 33 santimetre, yani iki basamak kadar yükseltti. Yüksekteki saat, alçaktakinden ölçülebilir biçimde hızlı işlemeye başladı.

Bu, senin için de geçerli. Ayakta dururken başının saati, ayaklarının saatinden çok az hızlı işler. Başın, ayaklarından biraz daha yaşlıdır. Fark, bir insan ömrü boyunca bir saniyenin milyonda birine bile ulaşmaz, ama gerçektir ve Einstein'ın genel görelilik kuramından hesaplanabilir.

Merkezi soru

Kütleçekimi zamanın akışını nasıl değiştirir, bu etki yüksekliğe ve kütleye göre nasıl hesaplanır ve uzay-zamanın bükülmesi ışığın yolunu ve bir cismin çökebileceği sınırı nasıl belirler?

Anlatım

Tırmanan ışık yorulur

Ders 7.6'da genel göreliliğin eşdeğerlik ilkesine dayandığını ve kütlenin uzay-zamanı büktüğünü görmüştük. Şimdi bu fikrin zamana ne yaptığını sayılarla izleyeceğiz.

OpenStax'ın anlatımıyla, güçlü kütleçekiminden çıkan ışığın dalgaları seyrekleşir: frekansı düşer. Işığın hızı sabit kalması gerektiği için bu frekans düşüşü, dalga boyunun uzamasıyla dengelenir. Buna kütleçekimsel kırmızıya kayma (gravitational redshift) denir. Bir ışık dalgasının tepeleri bir saatin tikleri gibidir; aşağıdan gelen tiklerin yukarıda daha seyrek ulaşması, aşağıdaki saatin yavaş işlediği anlamına gelir.

Kütleçekimi güçlüyse zaman yavaş akar. Yeryüzüne yakın bir saat, yukarıdaki bir saatten biraz geride kalır. OpenStax'a göre bu, 1959'da Harvard Üniversitesi'nin fizik binasının zemin katı ile en üst katı arasında, radyoaktif kobaltın yaydığı gama ışınlarının frekansı karşılaştırılarak sınandı. Deneyi yapan Pound ve Rebka, sonuçlarını 1960'ta yayımladı.

Yükseklikle zaman farkı

Yeryüzüne yakın küçük yükseklik farkları için etkinin büyüklüğü basit bir formülle yazılır: Δt / t ≈ g h / c². Sesli okunuşu: "zaman farkının toplam süreye oranı, yaklaşık olarak yerçekimi ivmesi ile yükseklik farkının çarpımının, ışık hızının karesiyle bölünmesine eşittir." Formüldeki g, yeryüzündeki yerçekimi ivmesidir, saniye karede yaklaşık 9,8 metre; h ise iki saat arasındaki yükseklik farkıdır.

Işık hızının karesi o kadar büyük bir sayıdır ki, sonuç gündelik yüksekliklerde akıl almaz derecede küçük çıkar. Ama bugünün saatleri o kadar küçük farkları bile ölçebilir.

Çözümlü problem 1: Başın ve ayakların

Ayakta dururken başın ile ayakların arasında yaklaşık 1,7 metre olsun: Δt / t ≈ 9,8 × 1,7 / (3,0 × 10⁸)² ≈ 1,9 × 10⁻¹⁶. Bunu "dokuz virgül sekiz kere bir virgül yedi, ışık hızının karesine bölünür; on üzeri eksi on altıyla çarpılmış bir virgül dokuz kadar" diye okuruz.

Seksen yıl, yaklaşık 2,5 × 10⁹ saniyedir. Bu süre boyunca hep ayakta dursaydın, başın ayaklarından yaklaşık 2,5 × 10⁹ × 1,9 × 10⁻¹⁶ ≈ 4,7 × 10⁻⁷ saniye, yani yarım mikrosaniye kadar daha yaşlı olurdu.

NIST'in 33 santimetrelik deneyinde formül yaklaşık 3,6 × 10⁻¹⁷ öngörür. NIST'in duyurusuna göre ölçülen fark (4,1 ± 1,6) × 10⁻¹⁷ çıktı: belirsizlik payı içinde öngörüyle örtüşüyor.

Çözümlü problem 2: Konum uydularının asıl düzeltmesi

Yükseklik farkı büyüdüğünde, yerçekiminin azaldığını da hesaba katmak gerekir. Genel biçimde, bir cismin merkezine r uzaklıkta kütleçekimi potansiyeli −GM/r'dir ve iki saatin hızı arasındaki fark, bu iki potansiyelin farkının c²'ye bölümüdür: Δt / t ≈ GM (1/R − 1/r) / c². Sesli okunuşu: "GM çarpı, bir bölü R eksi bir bölü r; hepsi ışık hızının karesine bölünür."

Ders 15.1'deki Dünya değerlerini kullanalım: GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², yeryüzü için R = 6,371 × 10⁶ m, konum uyduları için r ≈ 2,657 × 10⁷ m. Parantezin içi yaklaşık 1,19 × 10⁻⁷ m⁻¹, sonuç ≈ 5,3 × 10⁻¹⁰. Bir günle çarpınca: 5,3 × 10⁻¹⁰ × 86.400 s ≈ 45,7 mikrosaniye. Uydu saatleri kütleçekimi yüzünden her gün yaklaşık 46 mikrosaniye ileri gider.

Ders 15.4'te aynı uyduların, hareketlerinden dolayı her gün 7,2 mikrosaniye kadar geri kaldığını bulmuştuk. İkisinin farkı yaklaşık 38 mikrosaniyedir. OpenStax'ın verdiği değer de tam budur: uydu saatleri günde yaklaşık 38 mikrosaniye ileri gider. Bu düzeltme yapılmasaydı, OpenStax'a göre konumlar tek bir günde yaklaşık yedi mil, yani on bir kilometre kayardı.

Çözümlü problem 3: Bir cisim ne kadar küçülürse kara delik olur?

Kütleçekiminin zamanı durduracak kadar güçlü olduğu bir sınır vardır. Bir kütle, belirli bir yarıçapın içine sıkışırsa, oradan ışık bile kaçamaz. Bu yarıçapa Schwarzschild yarıçapı (okunuşu "şvartsşild") denir: r_s = 2GM / c². Sesli okunuşu: "Schwarzschild yarıçapı, iki çarpı G çarpı kütlenin, ışık hızının karesine bölümüdür."

Güneş için NASA'nın verdiği GM değeri 1,327 × 10²⁰ m³/s²'dir. Hesap: 2 × 1,327 × 10²⁰ / (3,0 × 10⁸)² ≈ 2,95 × 10³ m. Güneş'in bütün kütlesi yaklaşık üç kilometrelik bir kürenin içine sıkıştırılsaydı, bir kara delik olurdu. Aynı hesap Dünya için yaklaşık dokuz milimetre verir: bir bilye kadar. Bu sayılar, kara deliklerin ne kadar aşırı bir sıkışmanın ürünü olduğunu gösterir.

Çözümlü problem 4: Güneş'in kıyısından geçen ışık

Işık da bu eğrilikten payını alır: büyük bir kütlenin yanından geçerken yolu kıvrılır. Güneş'in kenarını sıyırarak geçen bir yıldız ışığının sapma açısı, genel göreliliğe göre α = 4GM / (c²R)'dir. Sesli okunuşu: "alfa, dört çarpı GM'nin, ışık hızının karesi çarpı Güneş'in yarıçapına bölümü."

Güneş'in yarıçapı 6,957 × 10⁸ m: 4 × 1,327 × 10²⁰ / (9,0 × 10¹⁶ × 6,957 × 10⁸) ≈ 8,5 × 10⁻⁶ radyan. Sonucu 206.265 ile çarpınca yay saniyesi elde ederiz: yaklaşık 1,75. 1919 Güneş tutulmasında yıldızların yer değiştirmesiyle sınanan öngörü buydu; yarım derece genişliğindeki Güneş diskinin yanında, bir yay saniyesinden biraz fazla bir kayma.

Aslında…

Büyük resim

Genel görelilik, kütleçekimini bir kuvvet olarak değil, uzay-zamanın biçimi olarak anlatır. Bu bakış açısı, kütleçekimsel kırmızıya kaymayı, yükseklikle değişen saatleri, ışığın bükülmesini ve kara delikleri aynı kuramın farklı yüzleri hâline getirir.

Aynı denklemler evrenin bütününe uygulandığında genişleyen evren modeline, kütlesi büyük galaksi kümeleri ardındaki ışığı büküp büyüttüğünde kütleçekimsel merceklere, iki kara delik birleştiğinde de kütleçekim dalgalarına ulaşılır. Gökbilimin en uç nesneleri, başının ve ayaklarının saatini ayıran yasanın büyütülmüş hâlidir.

Özet

1. Kütleçekimi zamanı yavaşlatır: güçlü çekimden çıkan ışık kırmızıya kayar ve yeryüzüne yakın saatler, yüksekteki saatlerden Δt / t ≈ gh / c² oranında geride kalır; 1,7 metrelik bir fark için bu oran yaklaşık 1,9 × 10⁻¹⁶'dır.
2. Konum uydularının saatleri kütleçekimi yüzünden günde yaklaşık 46 mikrosaniye ileri, hızları yüzünden 7 mikrosaniye geri gider ve net olarak günde yaklaşık 38 mikrosaniye ileri gider; NIST saatleri etkiyi 33 santimetrelik yükseklik farkında ölçtü.
3. Schwarzschild yarıçapı r_s = 2GM / c² Güneş için yaklaşık 3 kilometre, Dünya için yaklaşık 9 milimetredir; Güneş'in kenarından geçen ışık 4GM / (c²R) kadar, yani yaklaşık 1,75 yay saniyesi bükülür.

Görev

Quiz

1. Kütleçekimsel kırmızıya kayma nedir?
2. İki saatten biri ötekinden 10 metre yüksekte. Aralarındaki zaman akışı oranı yaklaşık kaçtır?
3. Konum uydularının saatleri neden net olarak ileri gider?
4. Schwarzschild yarıçapı neyi gösterir ve Güneş için yaklaşık kaçtır?
5. Güneş'in kenarından geçen yıldız ışığı genel göreliliğe göre ne kadar bükülür?

Cevaplar

1. Güçlü kütleçekiminden çıkan ışığın frekansının düşmesi ve dalga boyunun uzamasıdır; bu, aşağıdaki saatin yavaş işlemesinin öbür yüzüdür.
2. Yaklaşık 1,1 × 10⁻¹⁵; dokuz virgül sekiz çarpı on, ışık hızının karesine bölünür.
3. Çünkü yüksekte kütleçekimi zayıf olduğu için saatleri günde yaklaşık 46 mikrosaniye ileri gider; hızlarının getirdiği 7 mikrosaniyelik gecikme bunun ancak bir kısmını götürür.
4. Bir kütlenin kara deliğe dönüşmesi için sıkışması gereken yarıçapı; Güneş için yaklaşık 3 kilometredir.
5. Yaklaşık 1,75 yay saniyesi.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste Güneş'in kütlesinin uzay-zamanı nasıl büktüğünü hesapladık. Ama o kütlenin içinde neler olup bittiğini hiç görmedik; Güneş'in merkezine ne bir teleskop ne de bir uzay aracı ulaşabilir. Yine de gökbilimciler oradaki sıcaklığı ve basıncı hesaplar. Bir yıldızın içini, dengede kalma koşulu ve enerjinin dışarı taşınması gibi birkaç kuraldan nasıl çözeriz?