Hız sınırı olan bir evren

Kanca

Uluslararası Uzay İstasyonu'nda altı ay geçirip dönen bir astronot, yerde kalan ikiz kardeşinden biraz daha genç döner. Fark, bir göz kırpmasından bile kısadır, ama gerçektir ve hesaplanabilir. Bunun nedeni, astronotun saniyede sekiz kilometreye yakın bir hızla yol almasıdır.

Hızlı hareket edenin saati yavaş işler. Bu cümle bir bilimkurgu romanından değil, 1905'te yayımlanmış bir fizik makalesinden gelir. Üstelik her gün cebindeki telefonun konumunu doğru göstermesi için bu etkinin hesaba katılması gerekir.

Merkezi soru

Işık hızının her gözlemci için aynı olması neden zamanın ve uzunluğun gözlemciye göre değişmesine yol açar ve zaman genişlemesi Lorentz çarpanıyla nasıl hesaplanır?

Anlatım

İki ilke

OpenStax'ın fizik kitabına göre Einstein, özel görelilik kuramını 1905'te yayımladığı ilk makalesinde iki ilke üzerine kurdu. Birincisi: fizik yasaları, birbirine göre sabit hızla hareket eden bütün gözlemciler için aynıdır. İkincisi: ışık, boşlukta, bu gözlemcilerin hepsi için her yönde aynı c hızıyla ilerler. Bu hız saniyede yaklaşık 3,00 × 10⁸ metredir.

Birinci ilke tanıdıktır. Düzgün giden bir trenin içinde top oynarken, top yerdeki bir sahadakiyle aynı biçimde sekerdi. İkinci ilke ise gündelik sezgiye tamamen aykırıdır. Hareket eden bir trenden ileri doğru atılan top, yerdeki birine trenin hızı eklenmiş olarak görünür. Işık için bu toplama işlemez: ışığa doğru koşsan da, ondan kaçsan da, onun hızını hep aynı ölçersin.

Işık saati

Bunun sonucunu görmek için hayali bir saat kuralım. İki ayna birbirine bakıyor, aralarında bir ışık darbesi gidip geliyor. Her gidiş dönüş bir tik. Saat bizimle birlikte duruyorsa, ışık düz yukarı ve düz aşağı gider.

Şimdi aynı saati hızla yanımızdan geçen bir trene koyalım. Trendeki biri için ışık yine düz yukarı aşağı gider. Ama yerdeki bizim için aynalar hareket ettiği için ışık eğik bir yol çizer; yukarı çıkarken ileri kayar, aşağı inerken yine ileri kayar. Bu eğik yol, düz yoldan daha uzundur.

Işık hızı iki gözlemci için de aynıysa, daha uzun yolu gitmek daha uzun sürmelidir. Yerdeki biz, trendeki saatin her tikinin daha uzun sürdüğünü, yani saatin daha yavaş işlediğini görürüz. Bu yavaşlama saatin bir kusuru değil, zamanın kendisinin özelliğidir. Buna zaman genişlemesi (time dilation) denir.

Lorentz çarpanı

Işık saatinin geometrisi, Pisagor teoremiyle çözülür ve sonuç tek bir sayıya bağlanır. Bu sayıya Lorentz çarpanı denir ve gama harfiyle yazılır: γ = 1 / √(1 − v²/c²). Sesli okunuşu: "gama, bir bölü, bir eksi hızın karesinin ışık hızının karesine oranının karekökü."

Zaman genişlemesi de bu çarpanla yazılır: Δt = γ Δτ. Sesli okunuşu: "delta t, gama çarpı delta tau." Buradaki Δτ, yani delta tau, özzaman (proper time) denen süredir: iki olayın aynı yerde gerçekleştiğini gören gözlemcinin, yani saatle birlikte hareket edenin ölçtüğü süre. Δt ise saatin hareket ettiğini gören gözlemcinin ölçtüğü, daha uzun süredir.

Çözümlü problem 1: Gama nasıl büyür?

Işık hızının yarısında, yani v = 0,5c'de: v²/c² = 0,25; bir eksi 0,25, 0,75; karekökü yaklaşık 0,866; bire bölününce γ ≈ 1,15. Bizim bir saatimiz geçerken hareket eden saat yalnızca elli iki dakika kadar ilerler; yani her saatte yaklaşık sekiz dakika geri kalır.

Aynı hesapla ışık hızının yüzde doksanında γ ≈ 2,29, yüzde doksan dokuzunda γ ≈ 7,09 çıkar. Hız ışık hızına yaklaştıkça paydadaki karekök sıfıra yaklaşır ve gama sınırsız büyür. Işık hızına ulaşmak için sonsuz enerji gerekir; bu yüzden kütlesi olan hiçbir cisim c'ye erişemez. Evrenin hız sınırı budur.

Çözümlü problem 2: Yere ulaşmaması gereken parçacıklar

OpenStax'ın örneğinde, atmosferde kozmik ışınların ürettiği bir müon, yani elektronun ağır bir kuzeni, durgun hâlde ortalama 2,20 mikrosaniye yaşar ve ışık hızının yüzde doksan beşiyle hareket eder. Görelilik olmasaydı bu sürede gidebileceği yol, 0,95 × 3 × 10⁸ m/s × 2,20 × 10⁻⁶ s ≈ 630 metre olurdu. Bunu "sıfır virgül doksan beş çarpı ışık hızı çarpı iki virgül yirmi mikrosaniye, yaklaşık altı yüz otuz metre" diye okuruz.

Oysa bu hızda γ ≈ 3,20'dir. Yerdeki gözlemci için müonun ömrü: Δt = 3,20 × 2,20 μs ≈ 7,05 μs. Bu sürede müon yaklaşık iki kilometre yol alır, yani üç kat daha uzağa gider. Kozmik ışın müonlarının atmosferin derinliklerine ve yeryüzüne bu kadar çok ulaşabilmesi, zaman genişlemesinin gündelik bir kanıtıdır.

Çözümlü problem 3: Konum uydularının saati

Ders 7.6'da konum belirleme uydularının saatlerinin, hızları yüzünden günde yaklaşık yedi mikrosaniye geri kaldığını görmüştük. Bu sayıyı kendimiz bulabiliriz. Uydular yerden yirmi bin kilometre kadar yukarıda, yani Dünya'nın merkezinden 26.570 kilometre kadar uzakta dolanır. Ders 15.1'deki yörünge hızı formülüyle: v = √(398.600 / 26.570) ≈ 3,87 km/s.

Bu hız ışık hızının yanında çok küçüktür. Böyle küçük hızlarda gama, bir artı v²/2c²'ye çok yakındır. v/c ≈ 1,29 × 10⁻⁵, karesinin yarısı ≈ 8,3 × 10⁻¹¹. Bir gün 86.400 saniye olduğuna göre günlük gecikme: 8,3 × 10⁻¹¹ × 86.400 s ≈ 7,2 × 10⁻⁶ s. Yüksek sesle: "sekiz virgül üç kere on üzeri eksi on bir, kere seksen altı bin dört yüz saniye, yaklaşık yedi virgül iki mikrosaniye."

Yedi mikrosaniye önemsiz görünebilir. Ama ışık bu sürede iki kilometreden fazla yol alır ve uydu sistemleri konumu ışığın yolculuk süresinden hesapladığı için, düzeltilmemiş bir hata her gün konumu kilometrelerce kaydırabilirdi.

Uzunluk da kısalır

Zamanın genişlemesinin bir eşi vardır: hareket eden bir cisim, hareket yönünde kısalmış ölçülür. Müonun kendi bakış açısından bakarsak, onun saati normal işler, ama atmosfer ona doğru ışık hızının yüzde doksan beşiyle koşar ve kalınlığı gama kadar kısalmış görünür. İki gözlemci farklı şeyler ölçer, ama aynı sonuçta buluşur: müon yere ulaşır.

Aslında…

Büyük resim

Özel görelilik, ışık hızını evrenin en temel sayılarından birine dönüştürdü. Hiçbir sinyal ondan hızlı gidemez; bu yüzden uzaklık ile zaman birbirine bağlanır ve en yakın yıldızdan gelen haber bile en az dört yıl gecikir. Uzak yıldızlara yolculuk, bu sınırın gölgesinde düşünülmek zorundadır.

Gökbilimde görelilik her yerdedir. Kara deliklerden ışık hızına yakın fırlatılan madde fıskiyeleri, kozmik ışınlar, uzak kuasarların ışığı, hepsi Lorentz çarpanıyla hesaplanır. Aynı kuram, kütle ile enerjinin eşdeğerliğini de ortaya koydu; yıldızların nasıl parladığını açıklayan da budur.

Özet

1. Özel görelilik iki ilkeye dayanır: fizik yasaları sabit hızla hareket eden bütün gözlemciler için aynıdır ve ışığın boşluktaki hızı hepsi için aynıdır; bu ikincisi zamanın ve uzunluğun gözlemciye göre değişmesine yol açar.
2. Hareket eden bir saatin ölçtüğü süre, Lorentz çarpanı γ = 1 / √(1 − v²/c²) kadar uzamış görünür; ışık hızının yarısında gama 1,15, yüzde doksan dokuzunda 7,09'dur ve c'ye yaklaştıkça sınırsız büyür.
3. Zaman genişlemesi ölçülmüştür: ışık hızının yüzde doksan beşiyle giden müonların ömrü 2,20'den 7,05 mikrosaniyeye uzar ve konum uydularının saatleri hızları yüzünden günde yaklaşık 7 mikrosaniye geri kalır.

Görev

Quiz

1. Özel göreliliğin iki ilkesi nedir?
2. Işık saati düşüncesinde, hareket eden saatin ışığı neden daha uzun bir yol izler?
3. Işık hızının yüzde doksanında hareket eden bir saatin bir saniyesi, yerdeki gözlemciye göre yaklaşık kaç saniye sürer?
4. Kozmik ışın müonlarının yeryüzüne ulaşabilmesi zaman genişlemesini nasıl kanıtlar?
5. Kütlesi olan bir cisim neden ışık hızına ulaşamaz?

Cevaplar

1. Fizik yasaları sabit hızla hareket eden bütün gözlemciler için aynıdır; ışığın boşluktaki hızı da bütün bu gözlemciler için aynıdır.
2. Yerdeki gözlemci için aynalar ilerlediğinden ışık düz değil eğik bir yol çizer ve bu yol daha uzundur.
3. Yaklaşık 2,29 saniye; bu hızda Lorentz çarpanı 2,29'dur.
4. Durgun ömürleriyle yalnızca birkaç yüz metre gidebilecekken, zaman genişlemesi ömürlerini uzattığı için çok daha uzağa, yeryüzüne kadar ulaşırlar.
5. Çünkü hız ışık hızına yaklaştıkça Lorentz çarpanı sınırsız büyür ve cismi daha da hızlandırmak için gereken enerji sonsuza gider.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste hızın zamanı yavaşlattığını gördük. Ama konum uydularının saatinde başka bir etki daha var: yüksekte oldukları için, hızlarının getirdiği gecikmeden daha büyük bir miktarda ileri giderler. Kütleçekimi de zamanı etkiler. Genel görelilik, kütlenin uzay-zamanı nasıl büktüğünü ve başının saatinin ayaklarınınkinden neden biraz hızlı işlediğini nasıl açıklar?