Sıcak cisimler neden ışık saçar?

Kanca

Şu anda, bu cümleyi dinlerken, sen de ışık saçıyorsun. Karanlık bir odada kimse seni göremez, ama bir ısı kamerası seni parlak bir siluet olarak gösterir. Vücudun her saniye, çevresine gözün algılayamadığı kızılötesi ışık yayıyor.

Bu ışığın ne kadar olduğunu hesaplayabiliriz. Üstelik aynı hesap, Güneş'in her saniye uzaya ne kadar enerji saçtığını da verir. Sen ile Güneş arasındaki tek fark sıcaklık ve boyuttur; kural aynıdır.

Merkezi soru

Kara cisim nedir, Wien yasası ve Stefan-Boltzmann yasası bir cismin sıcaklığı ile yaydığı ışığın rengi ve gücü arasında nasıl bir bağ kurar ve bu bağla bir yıldızın gücü ve boyutu nasıl hesaplanır?

Anlatım

Kara cisim: kusursuz bir yayıcı

OpenStax'ın tanımıyla kara cisim (blackbody), üzerine düşen bütün ışığı soğuran, hiçbirini yansıtmayan ya da saçmayan ideal bir cisimdir. Adı yanıltıcıdır: kara cisim karanlık kalmak zorunda değildir. Isındıkça ışır ve yaydığı ışığın biçimi yalnızca sıcaklığına bağlıdır, neyden yapıldığına bağlı değildir.

Kara cismin tayfı, dalga boyuna göre çizildiğinde tek tepeli, yumuşak bir tümsek gibi görünür. Kısa dalga boylarında hızla yükselir, bir tepeye ulaşır, uzun dalga boylarına doğru yavaşça azalır. Yıldızlar kusursuz kara cisim değildir, ama tayflarının genel biçimi bu tümseğe çok yakındır. Bu yüzden kara cisim yasaları, yıldızları anlamanın ilk aracıdır.

Ders 6.3'te bu tümseğin tepesinin sıcaklık arttıkça maviye kaydığını konuşmuştuk. Şimdi o kaymayı ve tümseğin altındaki toplam enerjiyi sayılarla yazacağız.

Wien yasası: tepenin yeri

OpenStax, Wien yasasını şöyle verir: λ_maks = 3 × 10⁶ / T. Sesli okunuşu: "en parlak dalga boyu nanometreyle, üç milyon bölü kelvinle yazılmış sıcaklıktır." Lambda harfi dalga boyunu, T ise mutlak sıcaklığı gösterir.

Formül bir ters orantıdır: sıcaklık iki katına çıkarsa tepe dalga boyu yarıya iner. Ters yönde de işler: bir yıldızın tayfında en parlak dalga boyunu ölçersen, sıcaklığını bulursun.

Çözümlü problem 1: Güneş'in ve evrenin tepesi

NASA'nın Güneş sayfası, Güneş'in etkin sıcaklığını 5772 kelvin olarak verir. Tepe dalga boyu: λ_maks ≈ 3 × 10⁶ / 5772 ≈ 520 nm. Bunu "üç milyon bölü beş bin yedi yüz yetmiş iki, yaklaşık beş yüz yirmi nanometre" diye okuruz. Bu, görünür ışığın ortasında, yeşil bölgededir.

Şimdi çok daha soğuk bir kara cisme bakalım: evrenin her yönünden gelen kozmik mikrodalga arka plan ışıması. Fixsen'in 2009'da ölçümleri bir araya getiren çalışmasına göre bu ışımanın sıcaklığı 2,72548 kelvindir. Tepe dalga boyu: 3 × 10⁶ / 2,725 ≈ 1,1 × 10⁶ nm, yani yaklaşık bir milimetre. Güneş'inkinin iki bin katından uzun bu dalga boyu, mikrodalga bölgesine düşer; ışımanın adı da buradan gelir.

Stefan-Boltzmann yasası: toplam güç

Wien yasası tepenin yerini söyler; Stefan-Boltzmann yasası ise tümseğin altındaki toplam enerjiyi. OpenStax'a göre bir kara cismin her metrekaresinden saniyede yayılan enerji: F = σT⁴. Sesli okunuşu: "akı, sigma çarpı sıcaklığın dördüncü kuvvetine eşittir." Buradaki σ, yani sigma, Stefan-Boltzmann sabitidir ve değeri 5,67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)'tür.

Dördüncü kuvvet, sıcaklığın gücü ne kadar hızlı büyüttüğünü gösterir. OpenStax'ın örneğiyle, Güneş iki kat daha sıcak olsaydı, iki üzeri dört, yani on altı kat daha fazla güç yayardı. Sıcaklıktaki küçük bir artış, parlaklıkta büyük bir sıçrama yaratır.

Çözümlü problem 2: Senin ışığın ve Güneş'in yüzeyi

Vücudunun yüzeyi yaklaşık 310 kelvin olsun. Metrekare başına yayılan güç: F = 5,67 × 10⁻⁸ × 310⁴ ≈ 520 W/m². Bunu "sigma çarpı üç yüz onun dördüncü kuvveti, yaklaşık metrekare başına beş yüz yirmi vat" diye söyleriz. Bu azımsanacak bir güç değildir, ama sen de yirmi derecelik bir odadaki duvarlardan metrekare başına dört yüz vattan fazla ışıma soğurursun. Net kaybın bu ikisinin farkıdır; bu yüzden donmazsın.

Aynı formülü Güneş'in yüzeyine uygulayalım: 5,67 × 10⁻⁸ × 5772⁴ ≈ 6,3 × 10⁷ W/m². Güneş'in yüzeyinin tek bir metrekaresi, saniyede altmış milyonu aşkın jul enerji saçar. Sıcaklık oranı yaklaşık on dokuz olduğu için bu fark, on dokuzun dördüncü kuvveti kadar, yani yüz bin kattan fazladır.

Işıma gücü: yüzey çarpı akı

Bir yıldızın toplam ışıma gücüne, yani saniyede uzaya saçtığı toplam enerjiye ışıma gücü (luminosity) denir ve L harfiyle gösterilir. Kara cisim gibi davranan küresel bir yıldız için, metrekare başına akıyı yüzeyin toplam alanıyla çarparız. Bir kürenin yüzey alanı 4πR² olduğundan: L = 4πR²σT⁴. Sesli okunuşu: "ışıma gücü, dört pi çarpı yarıçapın karesi çarpı sigma çarpı sıcaklığın dördüncü kuvvetine eşittir."

Bu formül, bir yıldızın gücünü iki sayıya bağlar: boyutu ve sıcaklığı. Büyük ama soğuk bir yıldız, küçük ama sıcak bir yıldız kadar parlak olabilir.

Çözümlü problem 3: Güneş'in gücü

Güneş'in yarıçapını metreye çevirirsek 6,957 × 10⁸ m buluruz. Formüle koyalım: L = 4π × (6,957 × 10⁸)² × 5,67 × 10⁻⁸ × 5772⁴ ≈ 3,83 × 10²⁶ W. Yüksek sesle: "dört pi çarpı yarıçapın karesi çarpı sigma çarpı sıcaklığın dördüncü kuvveti, yaklaşık üç virgül seksen üç çarpı on üzeri yirmi altı vat."

NASA'nın verdiği ışıma gücü 382,8 × 10²⁴ W, yani 3,828 × 10²⁶ W'tır. Yalnızca yarıçap ve sıcaklıktan, Güneş'in gücünü binde bir farkla bulduk. Bu enerji Dünya'ya ulaştığında, 149,6 milyon kilometrelik bir kürenin yüzeyine yayılmıştır; aynı gücü bu kürenin alanına bölersek, Dünya'nın üstünde her metrekareye yaklaşık 1360 vat düştüğünü buluruz.

Çözümlü problem 4: Bir yıldızın boyunu ölçmek

Formülü tersine çevirerek görmediğimiz bir şeyi, bir yıldızın yarıçapını buluruz. Güneş'le aynı sıcaklıkta, ama yüz kat daha güçlü bir yıldız düşünelim. Sıcaklık aynıysa her metrekare aynı gücü yayar; yüz kat daha fazla güç için yüz kat daha fazla yüzey gerekir. Yüzey, yarıçapın karesiyle büyür; o halde yarıçap, yüzün karekökü kadar, yani on kat büyüktür.

Oranlarla yazarsak: R / R☉ = √(L / L☉) × (T☉ / T)². Sesli okunuşu: "yarıçapın Güneş yarıçapına oranı, ışıma gücü oranının karekökü çarpı Güneş sıcaklığının yıldız sıcaklığına oranının karesine eşittir." Gökbilimciler bir yıldızın gücünü uzaklığı ve parlaklığından, sıcaklığını da tayfından bulur; bu formül onlara yıldızın boyunu verir. Hiçbir teleskobun disk olarak göremediği yıldızların yarıçapları böyle hesaplanır.

Aslında…

Büyük resim

Wien ve Stefan-Boltzmann yasaları, gökbilimcilere hiç dokunamadıkları cisimler için bir termometre ve bir güç ölçer verir. Bir yıldızın tayfındaki tepe, sıcaklığını; sıcaklık ve ışıma gücü birlikte, boyutunu söyler. H-R diyagramındaki dev ve cüce yıldızların boyları böyle hesaplandı.

Aynı yasalar evrenin tarihine de uzanır. Kozmik mikrodalga arka planın neredeyse kusursuz bir kara cisim tayfına sahip olması, evrenin bir zamanlar sıcak ve yoğun olduğunun en güçlü kanıtlarından biridir.

Özet

1. Kara cisim üzerine düşen bütün ışığı soğuran ideal bir cisimdir; yaydığı ışığın biçimi yalnızca sıcaklığına bağlıdır ve yıldızların tayfları bu biçime çok yakındır.
2. Wien yasası tepe dalga boyunu sıcaklığa bağlar: 3 × 10⁶ bölü kelvin cinsinden sıcaklık, nanometre verir; 5772 kelvinlik Güneş için yaklaşık 520 nanometre, 2,725 kelvinlik kozmik arka plan için yaklaşık bir milimetredir.
3. Stefan-Boltzmann yasasına göre metrekare başına güç σT⁴'tür ve ışıma gücü L = 4πR²σT⁴ ile bulunur; Güneş için sonuç 3,83 × 10²⁶ vattır ve formül tersine çevrilerek yıldızların yarıçapı hesaplanır.

Görev

Quiz

1. Kara cisim nedir?
2. Tepe dalga boyu 600 nanometre olan bir yıldızın sıcaklığı yaklaşık kaç kelvindir?
3. Bir yıldızın sıcaklığı iki katına çıkarsa, metrekare başına yaydığı güç kaç katına çıkar?
4. Aynı sıcaklıkta olan iki yıldızdan biri ötekinden dört kat daha fazla ışıma gücüne sahipse, yarıçapları arasında nasıl bir oran vardır?
5. Kozmik mikrodalga arka plan ışıması neden mikrodalga bölgesinde en parlaktır?

Cevaplar

1. Üzerine düşen bütün ışığı soğuran, hiçbirini yansıtmayan ideal bir cisimdir; yaydığı ışığın biçimi yalnızca sıcaklığına bağlıdır.
2. Yaklaşık 5000 kelvin; üç milyon bölü altı yüz.
3. On altı katına; ikinin dördüncü kuvveti.
4. Güçlü olanın yarıçapı iki kat büyüktür; dördün karekökü ikidir.
5. Çünkü sıcaklığı yalnızca 2,7 kelvin kadardır; Wien yasasına göre bu sıcaklıkta tepe dalga boyu yaklaşık bir milimetredir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Kara cismin tayfı pürüzsüz bir tümsektir. Ama bir yıldızın ışığını bir prizmadan geçirip yakından bakınca, bu tümseğin üstünde ince, karanlık çizgiler belirir; her biri belli bir elementin izidir. Atomlar ışığı neden yalnızca belirli dalga boylarında soğurur ya da yayar ve bu çizgiler bir yıldızın bileşimini nasıl ele verir?