Yörüngeleri hesaplamak

Kanca

23 Eylül 1846 akşamı, Berlin Gözlemevi'nde Johann Galle (okunuşu "yohan gale") yeni gelmiş bir mektubu okuyordu. Mektubu yazan Urbain Le Verrier (okunuşu "ürben lö verye") adında bir matematikçiydi ve Galle'den gökyüzünün belirli bir noktasına bakmasını istiyordu. Orada, dediğine göre, henüz kimsenin görmediği bir gezegen olmalıydı.

Galle teleskobunu o gece o bölgeye çevirdi. Elindeki yeni yıldız haritasında olmayan bir cisim buldu: Le Verrier'nin gösterdiği yerden bir dereceden az uzakta. Neptün, teleskopla görülmeden önce kâğıt üzerinde bulunmuştu. Bunu mümkün kılan, bir yüzyıldan fazla önce yazılmış birkaç denklemdi.

Merkezi soru

Newton'un kütleçekimi yasası ve Kepler'in üçüncü yasasının Newton'un verdiği biçimi, bir cismin yörünge hızını ve süresini hesaplamamızı, bir gezegeni uydusunun hareketinden tartmamızı ve görünmeyen bir gezegenin yerini bulmamızı nasıl sağlar?

Anlatım

Kütleçekimi yasası

Newton'a göre evrendeki her iki cisim birbirini çeker. OpenStax'ın aktardığı biçimiyle bu çekimin büyüklüğü: F = G M₁ M₂ / R². Sesli okunuşu: "kuvvet, G çarpı birinci kütle çarpı ikinci kütlenin, aradaki uzaklığın karesine bölümüne eşittir." Burada G, evrensel kütleçekimi sabitidir; her yerde aynı olan, çok küçük bir sayıdır.

Formülün iki mesajı var. Kütleler büyüdükçe çekim doğru orantılı olarak artar. Uzaklık arttıkça ise çekim, uzaklığın karesiyle azalır; buna ters kare yasası denir. Uzaklık iki katına çıkarsa çekim dörtte birine, üç katına çıkarsa dokuzda birine iner.

Bunu Güneş Sistemi'nde görelim. NASA'nın çizelgesine göre Neptün, Güneş'e Dünya'dan yaklaşık 30,2 kat daha uzaktadır. Otuzun karesi dokuz yüzü aşar: Neptün'deki bir kilogramlık cisme etkiyen Güneş çekimi, Dünya'dakinden yaklaşık dokuz yüz kat zayıftır. Buna rağmen bu zayıf çekim, Neptün'ü yörüngede tutmaya yeter.

Dairesel yörünge hızı

Bir cismin dairesel bir yörüngede kalması için çekim kuvvetinin, onu çembere bükmeye tam yetecek kadar olması gerekir. Newton'un hareket yasalarıyla bu koşul yazıldığında, dolanan cismin kendi kütlesi iki tarafta da yer alır ve sadeleşir. Geriye kalan sonuç: v = √(GM / r). Sesli okunuşu: "hız, G çarpı merkezdeki kütlenin, yörünge yarıçapına bölümünün kareköküne eşittir."

Gökbilimciler çoğu zaman G ile M'yi ayrı ayrı değil, çarpımlarını kullanır; çünkü gezegen ve uydu hareketlerinden doğrudan çıkan şey bu çarpımdır. NASA'nın Dünya sayfası bu çarpımı, yani Dünya'nın GM değerini, saniye karede 398.600 kilometre küp olarak verir.

Çözümlü problem 1: Uzay istasyonunun hızı ve turu

Ders 14.3'te Uluslararası Uzay İstasyonu'nun yaklaşık 400 kilometre yükseklikte dolandığını görmüştük. Yörünge yarıçapı, Dünya'nın merkezinden ölçülür: 6371 kilometrelik ortalama yarıçapa 400 eklenir, r ≈ 6771 km olur.

Hız: v = √(398.600 / 6771) ≈ √58,9 ≈ 7,67 km/s. Sesli okunuşu: "hız, üç yüz doksan sekiz bin altı yüzün altı bin yedi yüz yetmiş bire bölümünün karekökü, yani elli sekiz virgül dokuzun karekökü, yaklaşık saniyede yedi virgül altmış yedi kilometre."

Turun ne kadar sürdüğünü bulmak için çemberin çevresini hıza böleriz: T = 2πr / v ≈ (2 × 3,14 × 6771) / 7,67 ≈ 5550 s. Sesli okunuşu: "süre, iki pi çarpı yarıçapın hıza bölümü, yaklaşık beş bin beş yüz elli saniye." Bu, yaklaşık 92 dakika eder. NASA'nın istasyon için verdiği doksan dakikalık tur süresiyle örtüşür.

Kepler'in yasasına kütleyi eklemek

Kepler, gezegenlerin tur süresinin karesinin, Güneş'e uzaklığının küpüyle orantılı olduğunu bulmuştu; Ders 7.2 bu yasayı anlatır. Newton ise bu orantının nereden geldiğini gösterdi ve içine kütleleri yerleştirdi.

OpenStax, Newton'un biçimini, uzaklık astronomik birimle, süre yılla, kütle de Güneş kütlesiyle ölçüldüğünde şöyle yazar: a³ = (M₁ + M₂) × P². Sesli okunuşu: "yarı büyük eksenin küpü, iki kütlenin toplamı çarpı sürenin karesine eşittir." Burada a yörüngenin yarı büyük ekseni, yani ortalama yarıçapıdır; P tur süresi, M₁ ve M₂ ise iki cismin kütleleridir.

Bu birimlerle Dünya için her şey bire eşittir: bir astronomik birim, bir yıl, bir Güneş kütlesi. Yasa, Kepler'in yalnızca "orantılı" dediği şeyi bir teraziye çevirir: bir yörüngenin boyunu ve süresini ölçersen, o yörüngeyi yaratan kütleyi hesaplayabilirsin.

Çözümlü problem 2: Jüpiter'i Io ile tartmak

NASA'nın Jüpiter uyduları sayfasına göre Io, Jüpiter'in çevresinde 421.800 kilometrelik bir yarıçapla dolanır ve bir turunu 1,769 günde tamamlar. Önce birimleri çevirelim. 421.800 kilometre, bir astronomik birime bölününce yaklaşık 0,00282 AU; 1,769 gün, 365,25'e bölününce yaklaşık 0,00484 yıl eder.

Io'nun kütlesi Jüpiter'in yanında önemsiz olduğundan, iki kütlenin toplamı neredeyse Jüpiter'in kütlesidir: M ≈ a³ / P² ≈ (0,00282)³ / (0,00484)² ≈ 9,55 × 10⁻⁴. Sesli okunuşu: "kütle, sıfır virgül sıfır sıfır iki yüz seksen ikinin küpünün, sıfır virgül sıfır sıfır dört yüz seksen dördün karesine bölümü, yani Güneş kütlesinin on binde dokuz buçuğu kadar."

Bu, Güneş kütlesinin yaklaşık 1047'de biridir. Güneş'in kütlesi 1,99 × 10³⁰ kilogram olduğuna göre Jüpiter'in kütlesi yaklaşık 1,90 × 10²⁷ kilogram çıkar. NASA'nın verdiği değer 1,898 × 10²⁷ kilogramdır. Bir uydunun tur süresi ve uzaklığı, dev bir gezegeni binde bir hassasiyetle tarttı. Aynı hesabı Europa'yla yaparsan neredeyse aynı sonucu bulursun; iki uydu da aynı kütlenin çevresinde dolanıyor.

Çözümlü problem 3: Neptün'ün bir yılı

Le Verrier'nin işi, bilinmeyen bir gezegenin yörüngesini tahmin etmekti. Bunun en basit parçası, uzaklıktan tur süresini bulmaktır. Neptün'ün kütlesi Güneş'in yanında çok küçük olduğundan toplam kütleyi bir alırız ve formül P = √(a³) olur. Sesli okunuşu: "süre, yarı büyük eksenin küpünün kareköküne eşittir."

Neptün için a ≈ 30,2 AU: 30,2'nin küpü yaklaşık 27.500, karekökü yaklaşık 166 yıl eder. NASA'nın verdiği tur süresi 59.800 gün, yani yaklaşık 164 yıldır. Aradaki küçük fark, çizelgedeki ortalama uzaklığın yuvarlanmasından ve yörüngenin tam bir çember olmamasından gelir.

Görünmeyeni hesaplamak

OpenStax'ın anlattığına göre Uranüs 1781'de William Herschel tarafından keşfedildi ve zamanla hesaplanan yolundan sapmaya başladı. Gezegenler yalnızca Güneş'i değil, birbirlerini de çeker ve bu çekimler yörüngelerde küçük sapmalar yaratır. Bu sapmalara pertürbasyon (perturbation) denir.

Bilinen gezegenlerin çekimleri hesaba katıldıktan sonra da Uranüs'ün sapması açıklanamıyordu. Cambridge'de John Couch Adams 1843'te, Fransız matematikçi Le Verrier ondan habersiz olarak aynı soruna eğildi. Soru tersine kurulmuştu: Uranüs'ü bu biçimde çekecek bir gezegen nerede olmalı, ne kütlede olmalı? Le Verrier çözümünü Haziran 1846'da yayımladı ve Galle aynı yılın Eylül ayında gezegeni buldu. OpenStax, keşfin onurunu iki matematikçinin paylaştığını belirtir.

Aslında…

Büyük resim

Bu dersteki denklemler, astronominin terazisidir. Bir çift yıldızın birbirinin çevresindeki dolanımından yıldızların kütleleri, bir ötegezegenin yıldızını nasıl salladığından gezegenin kütlesi, galaksi merkezindeki yıldızların hızlarından kara deliğin kütlesi aynı yolla hesaplanır. Bir galaksinin dış kısımlarındaki yıldızların beklenenden hızlı dolanması da karanlık madde fikrine böyle ulaştırdı.

Neptün'ün keşfi, bu terazinin yalnızca ölçmekle kalmayıp öngörebildiğini gösterdi. Denklemler yeterince iyi olduğunda, gözün henüz görmediğini kâğıt önce görür.

Özet

1. Newton'un yasasına göre çekim kuvveti kütlelerin çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır; dairesel yörünge hızı √(GM / r) ile bulunur ve 400 kilometredeki uzay istasyonu için 7,7 km/s, turu yaklaşık 92 dakika eder.
2. Kepler'in üçüncü yasasının Newton biçimi, astronomik birim, yıl ve Güneş kütlesiyle a³ = (M₁ + M₂) × P² olarak yazılır; Io'nun yörüngesinden Jüpiter'in kütlesi Güneş'in yaklaşık 1047'de biri, yani 1,90 × 10²⁷ kilogram bulunur.
3. Gezegenlerin birbirini çekmesi yörüngelerde pertürbasyonlar yaratır; Uranüs'ün açıklanamayan sapmasından Adams ve Le Verrier yeni bir gezegenin yerini hesapladı ve Galle Neptün'ü 23 Eylül 1846'da, öngörülen yerden bir dereceden az uzakta buldu.

Görev

Quiz

1. İki cisim arasındaki uzaklık üç katına çıkarsa aralarındaki çekim kuvveti nasıl değişir?
2. Dairesel yörünge hızı formülünde dolanan cismin kütlesi neden yer almaz?
3. Kepler'in üçüncü yasasının Newton biçimi, Kepler'in yasasına ne ekler?
4. Bir gezegen yıldızının çevresinde 1 astronomik birim uzaklıkta, yarım yılda bir tur atıyorsa, yıldızın kütlesi kaç Güneş kütlesidir?
5. Pertürbasyon nedir ve Neptün'ün keşfine nasıl yol açtı?

Cevaplar

1. Dokuzda birine iner, çünkü çekim uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.
2. Çünkü kütle hem çekim kuvvetini hem de cismi döndürmek için gereken kuvveti aynı oranda artırır; hesapta iki taraftan sadeleşir.
3. Kütleyi; böylece bir yörüngenin boyu ve süresinden merkezdeki kütle hesaplanabilir.
4. Dört Güneş kütlesi; bir bölü sıfır virgül beşin karesi, yani bir bölü sıfır virgül yirmi beş, dörttür.
5. Gezegenlerin birbirini çekmesinden doğan küçük yörünge sapmalarıdır; Uranüs'ün bilinen gezegenlerle açıklanamayan sapmasından yola çıkarak Adams ve Le Verrier yeni bir gezegenin yerini hesapladı.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Yörüngeler bize kütleleri verdi. Ama bir yıldızın yalnızca ne kadar ağır olduğunu değil, ne kadar sıcak olduğunu da bilmek isteriz ve ona termometre uzatamayız. Her sıcak cisim, sıcaklığına bağlı bir renkte ve güçte ışık saçar; senin vücudun bile. Kara cisim ışıması nedir ve bir yıldızın sıcaklığı ışığının renginden ve gücünden nasıl hesaplanır?