Artrokinematik: Yuvarlanma, Kayma ve Dönme

Açılış

Ders 07-18'de menteşe eklemi kurarken bir şey bilerek yarım bıraktık. "Tek eksen" bir yaklaşımdı demiştik — tam uyan yüzey kilitlenirdi, dolayısıyla her menteşede küçük bir pay vardı. Ve şu cümleyi yazmıştık: "bu payın ne kadar olduğu ve neye yaradığı Bölüm 07.4'ün konusu."

O borç bugün ödeniyor.

Aynı derste kemiğin ucunun bir yay çizdiğini de söylemiştik. Bu, gözle gördüğümüz resim.

Ama bir yay çizen kemiğin ucunu değil, iki yüzeyin birbirine değdiği NOKTAYI izlersen ne görürsün? O nokta yay boyunca nasıl ilerliyor — yüzey bir tekerlek gibi mi yuvarlanıyor, bir buz üzerinde mi kayıyor, yoksa ikisi birden mi oluyor? Ve o küçük pay, tam olarak bunun neresinde duruyor?

Bu ders K3 katmanında. Sonunda gözle görülen hareketin altında üç saf hareketin ne olduğunu, saf yuvarlanmanın neden mümkün olmadığını, o küçük payın tam olarak neye yaradığını ve dönmenin bu üçlüde nasıl özel bir durum olduğunu bileceksin.

Bu derste ne olacak

Önce gözle görülen hareketin altına ineceğiz. Sonra üç saf hareketi tanımlayacağız. Ardından saf yuvarlanmanın neden mümkün olmadığını ve payın neye yaradığını türeteceğiz — dersin merkezi orası. Son olarak dönmeyi bu üçlüde özel bir durum olarak yerine oturtacağız.

Sıfır noktası

Ve Ders 07-17'nin cümlesini yanında tut: kayma, bir yüzeyin öteki üzerinde, bir eksen çevresinde dönmeden yer değiştirmesidir.

Mekanizma

Gözle görülenin altında

Ders 07-18'de menteşe eklemin ucunun bir yay çizdiğini kurmuştuk. Bu doğru — ama bu resim kemiğin bütününün nereye vardığını gösteriyor, iki yüzeyin birbirine değdiği o küçük noktada tam olarak ne olduğunu değil.

Aynı yay, farklı şekillerde çizilebilir. Temas noktası yüzeyde hiç kaymadan ilerleyebilir, ya da hiç yeni nokta katmadan tek bir noktada sürtünerek kayabilir, ya da hiç yer değiştirmeden yerinde dönebilir. Üçü de dışarıdan aynı yayı verebilir.

KEMİĞİN ÇİZDİĞİ YAY, YÜZEYİN NASIL HAREKET ETTİĞİNİ TEK BAŞINA SÖYLEMEZ — AYNI YAY FARKLI YÜZEY HAREKETLERİYLE ÜRETİLEBİLİR.

Üç saf hareket

Şimdi temas noktasının kendisine bakalım, ve üç saf hareketi ayıralım.

Yuvarlanma. Bir tekerleğin yerde yuvarlanmasını düşün: tekerleğin her noktası sırayla yere değiyor, yerin de her noktası sırayla tekerlekle değiyor. İki yüzeyde de sürekli yeni noktalar birbirine geliyor.

Kayma. Ders 07-17'de tanımlamıştık: bir yüzeyin öteki üzerinde, dönmeden yer değiştirmesi. Tekerleği düşün ama bu kez buzda kayıyor — tekerleğin tek bir noktası, karşı yüzeyin farklı noktalarına sırayla değiyor.

Dönme. Ders 07-19'da tanımlamıştık: bir kemiğin yer değiştirmeden kendi ekseni çevresinde dönmesi. Bir topaç düşün: tek bir nokta yerinde kalıp kendi çevresinde dönüyor, hiçbir yeni nokta temasa girmiyor.

YUVARLANMA HER İKİ YÜZEYDE DE YENİ NOKTALARI TEMASA GETİRİR; KAYMA AYNI NOKTAYI KARŞI YÜZEYİN FARKLI NOKTALARINA DEĞDİRİR; DÖNME AYNI NOKTAYI YERİNDE TUTUP ARADA DÖNDÜRÜR.

Bu üçü, gözle görülen her eklem hareketinin altındaki yapı taşları.

Saf yuvarlanma neden mümkün değil

Dersin merkezine geldik.

Bir yüzey yalnız yuvarlanarak hareket etseydi ne olurdu?

Ders 06-21'de kurmuştuk: eklem yüzü anlık bir alan değil, hareket boyunca temas edenlerin toplamı. Menteşede hareket eden yüzey (silindir) ile sabit yüzey (oluk) aynı büyüklükte değil — silindirin eğrisi oluğunkinden uzun.

Şimdi silindiri yalnız yuvarlayarak döndür. Her adımda hem silindirin hem oluğun yeni bir noktası temasa giriyor. Ama silindirin eğrisi daha uzun olduğu için, silindir üzerinde ilerleme oluk üzerindeki ilerlemeden daha hızlı oluyor. Sonuç: temas noktası oluğun ucuna doğru sürükleniyor ve hareket tamamlanmadan kenardan düşüyor.

BİR YÜZEY ÖTEKİNDEN DAHA UZUN BİR EĞRİYE SAHİPSE, SAF YUVARLANMA TEMAS NOKTASINI KENARA TAŞIR VE HAREKETİ YARIDA BIRAKIR.

Şimdi Ders 07-18'in payına dönelim. Orada tam uyan iki yüzeyin kilitleneceğini (Ders 07-08), dolayısıyla her menteşede küçük bir boşluk bırakıldığını kurmuştuk.

İşte o payın işi burada ortaya çıkıyor: yuvarlanmanın temas noktasını kenara sürüklediği her anda, kayma o noktayı geri, yüzeyin ortasına doğru düzeltiyor. Pay, kaymanın olacağı kadar yer açıyor.

PAYIN İŞİ TAM OLARAK BUDUR: YUVARLANMANIN KENARA SÜRÜKLEDİĞİ TEMAS NOKTASINI, EŞLİK EDEN KAYMANIN GERİ ÇEKEBİLMESİ İÇİN YER AÇMAK.

Ders 07-18'in kapanışta bıraktığı soru buydu — pay ne kadar ve neye yarıyor. Cevap: pay, yuvarlanma ile kaymanın birlikte çalışabilmesinin geometrik şartı. Yani menteşenin çizdiği yay, saf bir yuvarlanmanın değil, yuvarlanma ile kaymanın toplamının izi.

Dönme: payın gerekmediği özel durum

Kapanışa doğru bir istisnaya bakalım.

Ders 07-19'da pivot eklemi kurmuştuk: kemik yer değiştirmeden kendi ekseni çevresinde dönüyordu. Orada silindir bir halkanın içinde, kendi merkezinde dönüyordu — iki yüzeyin eğrileri farklı uzunlukta değil, çünkü zaten aynı merkezi paylaşıyorlar.

İKİ YÜZEY AYNI MERKEZİ PAYLAŞTIĞINDA YUVARLANMA VE KAYMAYA GEREK KALMAZ — GERİYE YALNIZ DÖNME KALIR.

Yani dönme, yuvarlanma ile kaymanın eksik kaldığı bir durum değil; ikisine hiç ihtiyaç duyulmayan özel bir geometri. Menteşe ve kondiloidde iki yüzey farklı merkezlere sahip olduğu için yuvarlanma-kayma ikilisi gerekiyordu; pivotta merkez ortak olduğu için üçüncü hareket tek başına yetiyor.

Ve bu son bir bağlantı kuruyor. Ders 07-11'de kurduğumuz uyum ölçeğini hatırla: tam uyan iki yüzey kilitlenir, hiç uymayan dar temasta kalır. Yüksek uyumlu eklemlerde (yüzeyler birbirinin eğrisine çok yakın) yuvarlanma payı azalır, dönme ve kayma baskınlaşır; düşük uyumlu, farklı eğrilikteki yüzeylerde yuvarlanma-kayma ikilisi zorunlu hâle gelir.

Kaynağın bu dersi stabilite üçlüsünden hemen sonra vermesi bir sıra kararı: eklemin yerinde kalmasını önce kurmadan, hareket ederken yüzeylerin ne yaptığını anlatmak karışırdı. Şimdi ikisi ayrıldığına göre, hareketin kendisine bakılabilir.

Kendin dene

Toparlayalım

• Ders 07-18 payın neye yaradığı sorusunu Bölüm 07.4'e bırakmıştı.
• Kemiğin ucunun çizdiği yay, gözle görülen bütünün yoludur.
• KEMİĞİN ÇİZDİĞİ YAY, YÜZEYİN NASIL HAREKET ETTİĞİNİ TEK BAŞINA SÖYLEMEZ.
• Yuvarlanmayı görmek yüzeyin "tekerlek gibi döndüğünü" varsaymaya götürmemeli.
• Yuvarlanmada iki yüzeyde de sürekli yeni noktalar temasa girer.
• Kaymada aynı nokta karşı yüzeyin farklı noktalarına değer (Ders 07-17).
• Dönmede aynı nokta yerinde kalıp arada döner (Ders 07-19).
• Menteşede hareket eden yüzeyin eğrisi sabit yüzeyinkinden uzundur.
• SAF YUVARLANMA TEMAS NOKTASINI KENARA TAŞIR VE HAREKETİ YARIDA BIRAKIR.
• Tam uyan iki yüzey kilitlenirdi, bu yüzden küçük bir pay bırakılmıştı (Ders 07-08, Ders 07-18).
• PAYIN İŞİ, YUVARLANMANIN KENARA SÜRÜKLEDİĞİ NOKTAYI KAYMANIN GERİ ÇEKEBİLMESİ İÇİN YER AÇMAKTIR.
• Menteşenin yayı, saf yuvarlanmanın değil yuvarlanma-kayma toplamının izidir.
• İki yüzey aynı merkezi paylaştığında yuvarlanma ve kayma gerekmez (Ders 07-19).
• GERİYE YALNIZ DÖNME KALIR — eksiklik değil, farklı bir geometri.
• Yüksek uyumda dönme-kayma baskınlaşır, düşük uyumda yuvarlanma-kayma zorunludur (Ders 07-11).

Bir sonraki derste yuvarlanma ile kaymanın birlikte çalıştığını gördük ama yönlerine hiç bakmadık. İkisi her zaman aynı yönde mi ilerliyor, yoksa bazen ters mi? Ve bu, yüzeyin dışbükey mi içbükey mi olduğuna göre değişiyor mu? Konveks-Konkav Kuralı.