Kuvvet, vektör ve bileşke

Açılış sahnesi

Feyza Hanım, Kapan Hanı'nın avlusuna bir tabela asmak istiyor: kırk kiloluk, ahşap bir levha, iki revak sütununun arasına iki iple asılacak. Emre ipleri neredeyse yatay çizmiş; tabela iki sütunun ortasında, iplerin hemen altında, gergin bir çizginin ortasında duruyor. «Böylece kemerin görüntüsünü kesmiyor» diyor. Kenan Usta çizime bakıp başını sallıyor. «Bu ipleri ne kadar gerdiğini biliyor musun?» diye soruyor. Emre bilmiyor; kırk kiloyu iki ipe bölüp her birine yirmi kilo yazmış. Orhan Bey bir kâğıt çekip iki ok çiziyor, ucuna bir üçüncüsünü ekliyor ve ortaya bir üçgen çıkıyor. «Kırk kiloyu yalnız aşağı doğru çekiyor» diyor. «Ama senin iplerin neredeyse yana çekiyor. Aşağıdaki ağırlığı yandan tutmaya çalışan bir ip, ağırlıktan çok daha büyük bir kuvvetle gerilir.»

Bu derste ne olacak

İlk ders bir yapının dengeyle ayakta durduğunu anlattı. Bu ders dengeyi kuran kuvvetin kendisini tanımlıyor. Bir kuvvet yalnız bir büyüklük değildir: bir yönü ve bir uygulama noktası vardır. Bu yüzden iki kuvvet sayılar gibi toplanmaz; oklar gibi toplanır. Ders önce kuvvetin büyüklüğü ve yönü olan bir nicelik, yani bir vektör olduğunu ve biriminin ne olduğunu anlatıyor. Sonra iki kuvvetin bileşkesinin, yani birlikte yaptıkları etkinin, bir paralelkenar ya da bir çokgen çizilerek nasıl bulunduğunu gösteriyor. Ardından bu çizim yönteminin, grafik statiğin, mimarlıkta nasıl kullanıldığını kısaca anlatıyor. Dersin sonunda Kapan Hanı'nın tabelasını taşıyan iki ipteki kuvveti bir çizimle bulmuş ve ipin açısı değiştikçe bu kuvvetin nasıl değiştiğini görmüş olacaksın.

Kanıt ne diyor

Bu dersin bilgisi klasik mekaniğin yerleşik bilgisidir; onu üç ansiklopedi maddesinden aktarıyoruz: kuvveti tanımlayan madde, kuvvetler paralelkenarını anlatan madde ve grafik statiği anlatan madde. Üçünün de tam metni elimizde.

Bu kartlar bir mimara güçlü bir araç veriyor: bir kuvveti hesaplamak için bir denklem çözmek zorunda değilsin, onu çizebilirsin. Bir kuvveti bir okla, yönünde ve ölçekli bir boyda çizersin; kuvvetleri uç uca eklersin; çizdiğin çokgen kapanıyorsa sistem dengededir, kapanmıyorsa kapatan ok eksik olan kuvveti verir. On dokuzuncu yüzyılın mimarları ve mühendisleri birçok yapıyı bu yolla düşündü; bugün yazılımlar aynı çizimi bir anda yapabiliyor, ama çizimi elle yapmak kuvvetin ne yaptığını görmeyi öğretir.

Sahada

Bir kuvveti çizmek üç bilgi ister: büyüklüğü, yönü ve uygulandığı nokta. Kapan Hanı'nın tabelası için büyüklük ağırlıktan gelir: kırk kilo, yani yaklaşık 9,81 çarpı 40, yaklaşık 392 newton. Yönü düşeydir, aşağı doğru. Uygulandığı nokta, iki ipin tabelaya bağlandığı yerdir. İplerin her birinin çektiği kuvvetin yönünü biliyoruz, çünkü ip ancak kendi doğrultusunda çekebilir; büyüklüğünü bilmiyoruz.

Burada kuvvetler çokgeni işe yarar. Ölçekli bir kâğıda önce ağırlığı aşağı doğru bir ok olarak çizersin, örneğin bir santim yüz newton olacak biçimde yaklaşık dört santimlik bir ok. Okun ucundan birinci ipin doğrultusunda bir çizgi, okun başından ikinci ipin doğrultusunda bir başka çizgi çekersin. İki çizginin kesiştiği nokta bir üçgeni kapatır. Üçgenin öbür iki kenarının boyu, iki ipteki kuvvetin büyüklüğüdür. Çizgiler arasındaki açı değiştikçe üçgen değişir.

Bu üçgenin bir dersi vardır. İpler neredeyse düşeyse, üçgen uzun ve dar olur ve her ip ağırlığın yarısına yakın bir kuvvetle çeker. İpler yataya yaklaştıkça üçgen basıklaşır ve iki kenarı uzar: ipler ağırlıktan çok daha büyük bir kuvvetle gerilir. Örneğin iki ip yatayla otuzar derece yaparsa, bu bizim çizimden ve geometriden yaptığımız bir hesaptır, her ip yaklaşık 392 newtonla, yani tabelanın bütün ağırlığı kadar bir kuvvetle çeker. Açı on dereceye inerse her ipteki kuvvet yaklaşık 1.130 newtona, ağırlığın yaklaşık üç katına çıkar. Bu kuvvet ipte durmaz; sütunlara, sütunların başlıklarına ve kemerlere biner.

Gri alan

Bu dersin fiziği tartışmasızdır: kuvvetler vektördür ve çizimle ya da sayılarla aynı sonucu verecek biçimde toplanır. Belirsizlik fizikte değil, gerçek yapının ayrıntılarındadır. İpteki kuvveti çizimle bulmak kolaydır, ama ipin, bağlantının ve sütun başlığının bu kuvvete nasıl dayanacağı malzemeye, işçiliğe ve yapının yaşına bağlıdır; dört yüz yıllık bir taş başlığın yana çekilmeye karşı dayanımı bir çizimle bilinemez ve bir restorasyon projesinde ayrıca incelenmelidir. Bu dersteki sayılar da yuvarlaktır: yer çekiminin değeri yere göre biraz değişir, tabelanın ağırlığı tahmindir ve ipin kendi ağırlığı ile esnemesi hesaba katılmamıştır. Gerçek bir hesapta yükler güvenlik paylarıyla ve yönetmeliklerin belirlediği değerlerle alınır. Grafik statiğin bugünkü yeri de tartışmalı bir konudur: kaynak onun yüzyıl boyunca sayısal yöntemlerin gerisinde kaldığını ve bilgisayar destekli tasarımla yeniden ilgi gördüğünü söylüyor, ama bir mimarın elle kuvvet çokgeni çizmesinin bugün ne kadar gerekli olduğu öğretimde farklı biçimlerde cevaplanan bir sorudur. Bu ders onu bir hesap aracı olarak değil, kuvveti görmeyi öğreten bir alıştırma olarak kullanıyor.

Senin işinde

Bir yükü asacağın, destekleyeceğin ya da bir yapıya bağlayacağın her durumda önce kuvvetleri ok olarak çiz: büyüklüğü bildiğin kuvveti ölçekli bir boyda, yönünü bildiğin ama büyüklüğünü bilmediğin kuvvetleri yalnız doğrultularıyla. Kuvvetleri uç uca ekle ve çokgeni kapat; kapatan kenarlar bilmediğin büyüklükleri verir. Bir askının, bir gerginin ya da bir eğik dikmenin açısını değiştirip çokgeni yeniden çiz ve kuvvetin açıyla nasıl değiştiğini gör; yatay ya da yataya yakın bir askının büyük kuvvetler doğuracağını unutma. Çizdiğin her kuvvetin, bağlandığı noktaya bir tepki olarak bineceğini ve o noktanın bu tepkiyi taşıyıp taşıyamayacağının ayrı bir soru olduğunu hatırla. Kilogram olarak verilen değerleri newtona çevirirken bunun bir yaklaşık olduğunu bil ve bir ürün etiketindeki değeri güvenlik payını bilmeden bir hesapta kullanma. Çizimin sonunda mühendise götüreceğin soruyu tek bir cümleyle yaz.

Kendin dene

Aklında kalsın

Bir kuvvetin büyüklüğü, yönü ve uygulandığı noktası vardır; kuvvetler vektördür ve sayılar gibi değil, oklar gibi toplanır. Birimi newtondur ve bir kilogramlık kütlenin ağırlığı yaklaşık 9,81 newtondur. İki kuvvetin bileşkesi bir paralelkenarla, ikiden fazla kuvvetinki bir kuvvetler çokgeniyle bulunur; çokgen kapanıyorsa kuvvetler dengededir. Bu çizim yöntemi, grafik statik, on dokuzuncu yüzyıl mimarlığında yaygındı ve bugün de kuvveti görmeyi öğretir. İki iple asılan bir yük, ipler yataya yaklaştıkça iplerde kendisinden çok daha büyük kuvvetler doğurur ve bu kuvvetler iplerin bağlandığı yerlere biner.

Sonraki derse köprü

Kapan Hanı'nın tabelası kırk kiloydu ve ağırlığını kolayca tahmin ettik. Ama bir yapıya binen yükler bundan çok daha çeşitli: yapının kendi ağırlığı hiç değişmez, içindeki insanlar ve eşyalar gelip gider, kış gelince çatıya kar yığılır, fırtınada rüzgâr duvarı iter. Her biri başka bir büyüklükte, başka bir yönde ve başka bir zamanda gelir ve her birinin değeri bir yerden okunmalıdır. Yük türlerini, yani ölü yükü, hareketli yükü, kar ve rüzgâr yükünü birbirinden ayırmak ve değerlerinin nereden geldiğini öğrenmek M01-D03'ün konusu.

Kendini sına

Soru 1 · Kavram

Kuvvetin bir «vektör» olması ne demektir?

• A) Kuvvetin yalnız bir büyüklüğü olduğu.
• B) Kuvvetin hem büyüklüğü hem yönü olduğu ve bu yüzden oklar gibi, uç uca eklenerek toplandığı.
• C) Kuvvetin her zaman aşağı doğru olduğu.
• D) Kuvvetin birimi olmadığı.

Cevap: B. Farklı yönlerdeki kuvvetler sayılar gibi toplanmaz; paralelkenar ya da çokgen çizilerek toplanır.

Soru 2 · Kanıt

Grafik statikte bir kuvvetler çokgeninin kapanması ne gösterir?

• A) Kuvvetlerin dengede olduğunu.
• B) Kuvvetlerden birinin eksik çizildiğini.
• C) Yapının çökeceğini.
• D) Kuvvetlerin hepsinin aynı yönde olduğunu.

Cevap: A. Çokgen kapanmıyorsa, kapatan kenar verilen kuvvetleri dengeleyen kuvveti gösterir.

Soru 3 · Senaryo

Kırk kiloluk bir tabela iki iple asılacak ve tasarımcı iplerin neredeyse yatay olmasını istiyor. Her ipteki kuvvet için hangisi doğrudur?

• A) Her ip yirmi kilo taşır.
• B) İplerdeki kuvvet açıdan bağımsızdır.
• C) İpler yataya yaklaştıkça her ipteki kuvvet hızla büyür ve tabelanın ağırlığından birkaç kat fazla olabilir; bu kuvvet iplerin bağlandığı yerlere biner.
• D) Yatay ipler hiçbir kuvvet taşımaz.

Cevap: C. Kuvvetler çokgeni ipler yataya yaklaştıkça basıklaşır ve iki kenarı uzar.

Soru 4 · Tuzak

Bir öğrenci bir ipin ürün etiketinde yazan kopma dayanımını kilodan newtona çevirip doğrudan bir taşıma hesabında kullanmak istiyor. Bu adımda ne eksik?

• A) Kilonun newtona hiç çevrilemeyeceği.
• B) Etiketlerin her zaman doğru olduğu.
• C) İplerin hiç kopmayacağı.
• D) Etiketteki değerin bir güvenlik payı içerip içermediğini ve hangi koşulda ölçüldüğünü bilmeden onu bir hesapta kullanmanın doğru olmadığı; değerin mühendisle birlikte değerlendirilmesi gerektiği.

Cevap: D. Kilogram-kuvveti newtona çevirmek yaklaşık 9,81 ile çarpmaktır; ama bir değerin hesapta kullanılabilirliği bu çeviriden ibaret değildir.