Üç noktalı tahmin

Sahadan bir an

Çarşamba sabahı, sevkiyat ofisi. Kenan Bey bilgisayarında son bir yılın tedarikçi yazışmalarını açmış; Ilgın yanında, elinde takvimin çıktısı.

Kenan Bey: Bu tedarikçiye son bir yılda on dört kez teyit sordum. Dokuzunda cevap ertesi gün geldi. Üçünde ertesi sabah, mesai başlamadan. İki kez de dört gün bekledim; biri bayram arifesiydi, öbüründe muhasebeleri değişmişti.

Ilgın: Ben takvime iki gün yazdım.

Kenan Bey: İki gün en sık olanı. Ama en kısa bir gün, en uzun dört gün.

Ilgın: Dört gün olursa ölçümler iki gün kayar.

Kenan Bey: Olursa. Sık olmuyor, ama oluyor.

Ilgın: O zaman bu işe tek bir sayı yazmak, sana sorduğum soruya cevap değil.

Ilgın'ın takvimindeki "iki gün", Kenan Bey'in on dört deneyiminden yalnızca en sık olanı. Gerçek ise bir aralık: bir ile dört gün arasında, iki güne yığılmış, ama uzun tarafa doğru bir kuyruk bırakan bir aralık. Takvime yalnız en sık değeri yazmak, kuyruğu silmek demek. Ve kuyruk her zaman aynı yöne bakıyor: bir iş beklenenden bir gün erken bitebilir, ama iki gün geç kalabilir.

Kavram

2.3'te PERT'in doğuşunu görmüştük: bir füze programında, daha önce yapılmamış işlerin süresini sorumlu kişilerden tahmin olarak alıp olasılıkla ifade etme çabası. Bu dersin konusu, o çabanın bugün hâlâ kullanılan en basit aracı.

Kenan Bey'in sevkiyat teyidi için üç değer belli: iyimser bir gün, en olası iki gün, kötümser dört gün. Kötümser değer bir felaket değil; Kenan Bey'in kayıtlarında iki kez gerçekten yaşanmış, makul ölçüde kötü bir durum.

Sevkiyat teyidinin beklenen süresi şöyle hesaplanıyor: bir, artı dört kere iki, artı dört; on üç, altıya bölünce iki günden biraz fazla. En olası değerden biraz uzun. Fark küçük görünüyor, ama yönü önemli: kötümser değer en olası değerden iki gün uzakta, iyimser değer ise yalnız bir gün. Aralık sağa çarpık ve beklenen süre o tarafa kayıyor. Belirsizliğin ölçüsü, dört eksi bir, altıya bölünce, yarım gün.

Ilgın aynı soruyu kritik yoldaki öteki işler için de soruyor. Selma'nın deneme planı: iyimser yarım gün, en olası bir gün, kötümser bir buçuk gün; beklenen bir gün, aralık simetrik. Günlük ölçümler: beş gün, her üç değer aynı; süre takvime bağlı, 9.9'da gördüğümüz gibi. Fikret'in eski alan temizliği: iyimser ve en olası bir gün, kötümser iki gün; beklenen bir günden biraz fazla. Gülşen'in raf iadesi: iyimser ve en olası bir gün, ama 10.2'de çıkan cıvatalı iki raf yüzünden kötümser üç gün; beklenen bir gün ve üçte bir.

Bu değerler toplanınca on iki günlük takvim, yaklaşık on iki buçuk ile on üç gün arasında bir beklenen süreye dönüşüyor. Ek yarım günün hiçbiri tek bir işten gelmiyor; her işin küçük bir sağ kuyruğu var ve kuyruklar toplanıyor. Takvim en olası değerlerle kurulduğunda, bu kuyrukların hiçbiri görünmüyordu.

Ama formülün arkasında bir varsayım var.

Bu varsayım, formülün ağırlıklarının, dörde bir ve altıya bölmenin, nereden geldiğini açıklıyor. Ama Kenan Bey'in on dört deneyiminin bir beta dağılımına uyduğunu gösteren bir şey yok. Bu yüzden bazı uygulayıcılar daha az varsayım taşıyan bir ortalamayı tercih ediyor: üç değerin düz ortalaması, yani üçgen dağılımın ortalaması. Sevkiyat teyidi için bu, yedi bölü üç, iki gün ve üçte bir; PERT formülünden biraz daha uzun, çünkü kötümser değere daha çok ağırlık veriyor. İki formülün farkı, varsayımın kendisinin bir tahmin olduğunu hatırlatıyor.

Bir aile cumartesi sabahı İstanbul'dan Bursa'ya gidecek. Yol yolunda giderse iki saat, çoğu zaman iki buçuk saat; köprüde ya da otoyol gişesinde bir kaza olursa beş saat. Beklenen süre yaklaşık iki saat elli dakika; belirsizlik yarım saat. Aile öğle yemeğine on ikide bir masa ayırtıyorsa ve dokuz buçukta yola çıkarsa, en olası değere güvenmiş olur; beklenen süreye ve kuyruğa bakarsa, dokuzda çıkar.

Perde arkası

Yöntemin kökeni 1959 tarihli PERT makalesi; bu ders için makalenin özeti okundu. Formül ve beta varsayımı Wikipedia'nın üç noktalı tahmin maddesinden aktarıldı; varsayımın eleştirisi için 1962 tarihli bir mektubun özeti okundu. Tanımlar PMI'ın sözlüğünden.

Yaygın yanılgılar

İki sürüm

Öğleden sonra Ilgın, takvimin süre sütununu yeniden yazıyor.

Zayıf sürüm

Sevkiyat teyidi: 2 gün.

Raf iadesi: 1 gün.

Pilot toplam: 12 gün.

Güçlü sürüm

Sevkiyat teyidi: iyimser 1, en olası 2, kötümser 4 gün; beklenen yaklaşık 2 gün. Kaynak: Kenan Bey'in son bir yıldaki on dört teyidi.

Raf iadesi: iyimser 1, en olası 1, kötümser 3 gün; beklenen yaklaşık 1,5 gün. Kötümser değerin nedeni duvara cıvatalı iki raf.

Günlük ölçümler: 5 gün, aralıksız; süre takvime bağlı.

Pilot toplam: en olası değerlerle 12 gün; beklenen değerlerle yaklaşık 12,5–13 gün.

Varsayım: beklenen değerler PERT formülüyle; düz ortalama alınsa biraz daha uzun çıkıyor.

Not: fark tek bir işten gelmiyor; birkaç işin uzun tarafa doğru küçük paylarının toplamı.

Zayıf sürüm her işe tek bir sayı yazıyor ve bu sayıların hepsi en olası değer. Tek tek bakıldığında yanlış değiller; ama birlikte, her işin sağ kuyruğunu silerek, olduğundan iyimser bir toplam veriyorlar. Güçlü sürüm, belirsizliği olan her iş için üç değeri ve bu değerlerin nereden geldiğini yazıyor: Kenan Bey'in kayıtları, cıvatalı raflar. Belirsizliği olmayan işi de öyle olduğunu söyleyerek yazıyor; böylece okur aralıksız bir sayının bir ihmal değil bir bilgi olduğunu görüyor. Toplamı iki ayrı biçimde veriyor ve aradaki farkın kaynağını açıklıyor. Kullanılan formülü ve onun varsayımını bir satırla adlandırıyor. Sayıları yarım gün hassasiyetinde tutuyor; ondalık basamak yok.

Bağlam notu

Üç noktalı tahmin, bir tahmin verenin bildiği ama tek bir sayıya sığdıramadığı şeyi kâğıda geçirmenin en basit yoludur. Kenan Bey sevkiyat teyidinin bazen dört gün sürdüğünü biliyordu; ama "kaç gün" diye sorulunca iki gün dedi, çünkü soru tek bir sayı istiyordu. Üç soru sormak, tahmin verenin aklındaki aralığı ortaya çıkarır ve onu takvime taşır.

Belirsizlik nerede sorusu, bu derste her iş için ayrı ayrı soruluyor ve farklı cevaplar veriyor. Sevkiyat teyidinde belirsizlik bir dış tarafta: tedarikçinin muhasebesi, bayram. Raf iadesinde bir bilinmeyende: cıvatalı rafların sökümü. Ölçümlerde ise neredeyse hiç: süre takvime bağlı. Üç noktalı tahmin, belirsizliğin hangi işte yoğunlaştığını gösterir; dikkatin ve tamponun nereye gideceğini de. Kritik yolun en kırılgan halkası 9.4'te sevkiyat teyidi olarak bulunmuştu; şimdi neden kırılgan olduğu bir sayıyla görünüyor.

Uygulama

Retro sorusu

Pilot projende biri sana bir süre söylediğinde, o sayının en iyi durumu mu, en sık durumu mu, yoksa güvenli bir durumu mu anlattığını sordun mu?

Kapanış

1. Üç noktalı tahmin bir işin süresini iyimser, en olası ve kötümser değerlerle verir; beklenen süre bu üçünün ağırlıklı ortalamasıdır ve aralık sağa çarpıksa en olası değerden uzundur.
2. Takvimi yalnızca en olası değerlerle kurmak her işin uzun taraftaki payını siler; küçük paylar kritik yol boyunca toplanır ve toplam süreyi sistematik olarak iyimser gösterir.
3. PERT formülü bir dağılım varsayımına dayanan bir yaklaşımdır; üç değerin kalitesinden daha iyi olamaz ve sonucu kaba bir hassasiyetle, varsayımını adlandırarak vermek gerekir.

Beş soru

1. Kenan Bey'in "iki gün"ü neden sorulan soruya tam bir cevap değildi?
2. Sevkiyat teyidinin beklenen süresi neden en olası süreden uzun çıkıyor?
3. Günlük ölçümlere neden üç ayrı değer verilmedi?
4. Bir dişçi bir hastaya kanal tedavisinin kaç seans süreceğini söyleyecek. Çoğu hastada iki seans, bazen bir seansta bitiyor, kıvrık köklü dişlerde dört seansa çıkıyor. Beklenen seans sayısını PERT formülüyle hesaplayın ve dişçinin hastaya ne söylemesi gerektiğini yazın.
5. Güçlü sürüm neden toplamı iki ayrı biçimde veriyor?

Yanıtlar

1. Çünkü yalnızca en sık olanı anlatıyordu. Kenan Bey'in on dört deneyiminde süre bir ile dört gün arasında değişmişti; iki gün bunların en sık olanıydı. Tek bir sayı istendiğinde, aralığın kuyruğu, yani iki kez yaşanmış dört günlük bekleyiş, cevapta görünmedi.
2. Çünkü aralık sağa çarpık: kötümser değer en olası değerden iki gün, iyimser değer ise yalnızca bir gün uzakta. Ağırlıklı ortalama uzun tarafa doğru kayıyor. Bir iş bir gün erken bitebilir ama iki gün geç kalabilirse, ortalama beklenti en sık değerin biraz üstündedir.
3. Çünkü süresi emekle değil takvimle belirleniyor: deneme, beş ayrı günün partisini görmek için kuruldu. İyimser bir senaryo onu kısaltmaz. Üç değeri de aynı olan bir iş için üç değer yazmak bilgi eklemez; ama süresinin aralıksız olduğunu ayrıca belirtmek, okura bunun bir ihmal olmadığını söyler.
4. İyimser bir, en olası iki, kötümser dört seans: bir artı sekiz artı dört, on üç, altıya bölünce yaklaşık iki seans ve biraz fazlası. Dişçinin hastaya "büyük olasılıkla iki seans; dişin kökleri kıvrıksa dörde çıkabilir" demesi, yalnızca "iki seans" demesinden daha dürüsttür; hasta üçüncü seansa çağrıldığında şaşırmaz.
5. Çünkü iki toplamın farkı bir bilgi taşıyor. En olası değerlerle on iki gün, takvimin herkesin bildiği hâli; beklenen değerlerle on iki buçuk ile on üç gün arası, kuyrukların toplamı. Yalnız birini vermek, ya iyimser bir tabloyu ya da kaynağı belirsiz bir sayıyı gösterirdi; ikisini yan yana vermek, belirsizliğin hangi işlerde biriktiğini ve toplamda kaç güne vardığını görünür kılar.

Sonraki derse köprü

Pilotun aralığı dar çıktı: yarım günle bir gün arası. Ama Recep Bey, pilottan sonra gelecek tam taşınma için aynı soruyu sorduğunda Ilgın'ın üç değeri sekiz hafta ile yirmi hafta arasında açılıyor. "Neden bu kadar geniş?" Tam taşınmanın kapsamı kâğıtta bile yok; deponun yeni düzeni Kenan Bey'in masasında bir taslak. Belirsizlik projenin başında büyük; ilerledikçe daralacağı varsayılıyor. 10.4, belirsizlik konisinin ne iddia ettiğini ve gerçek veride nasıl göründüğünü ele alıyor.