Talep fonksiyonunun türetilmesi

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Marshall talep fonksiyonunu, talebin sıfırıncı derece homojenliğini, gelir-tüketim ve fiyat-tüketim eğrilerini, bütçe payını ve dolaylı fayda fonksiyonunu tanımlar.
• Anlama — Talep eğrisinin ve Engel eğrisinin, fayda maksimizasyonundan hangi değişken sabit tutularak elde edildiğini açıklar.
• Uygulama — Cobb–Douglas, yarı doğrusal ve tam tamamlayıcı tercihler için talep fonksiyonlarını türetir; esnekliklerini ve dolaylı faydayı hesaplar.
• Analiz — Hane bütçesi verilerindeki bütçe payı örüntülerini, talep kuramının öngörüleriyle karşılaştırır ve kuramın açıklayamadığı çeşitliliği ayırt eder.

Sezgi

Açılış

Bir fırının sahibi olduğunuzu düşünün. Ekmeğin fiyatını yüzde 10 artırırsanız satışlarınız ne kadar düşer? Mahallede yeni bir fabrika açılır ve insanların gelirleri artarsa, simit satışları mı artar, pasta satışları mı? Bu soruların cevabı, müşterilerinizin talep fonksiyonunda saklıdır: fiyatlar ve gelir verildiğinde her bir malın ne kadar satın alınacağını söyleyen kural.

Temel iktisat kursunda talebi, fiyat ile miktar arasındaki aşağı eğimli bir çizgi olarak ele aldık. Önceki iki derste ise tüketicinin tercihlerini ve bütçesini matematiksel olarak kurduk ve optimal seçimini hesapladık. Bu derste iki uç birleşiyor: talep eğrisi, fayda maksimizasyonunun sonucu olarak türetilecek. Böylece talebin neden belirli bir biçimde olduğunu, yani tercihlerden nasıl doğduğunu görebileceğiz.

Hikâye — Üç satırdan doğan yasa

1850'lerin Avrupa'sı, 1848 ayaklanmalarının gölgesindeydi. Sanayi Devrimi'nin şehirlere çektiği işçilerin yoksulluğu, hükümetleri halkın refahını ölçmenin yollarını aramaya itmişti. Belçika'da Édouard Ducpétiaux, 1855'te 199 işçi ailesinin harcamalarını ayrıntılı olarak kaydetti. Bir yıl sonra Brüksel'de toplanan uluslararası bir istatistik kongresi, işçilerin «sağlık ve yaşam için gerekli koşullara» ne ölçüde ulaştığını ölçmenin yollarını tartıştı.

Kongreye katılanlardan biri, Saksonya İstatistik Bürosu'nun genç müdürü Ernst Engel'di. Engel 1857'de, Ducpétiaux'nun Belçika verilerini kullanarak ünlü bir makale yazdı. Makalenin arkasında büyük bir soru vardı: Malthus'un öngördüğü gibi nüfus artışı bir felakete mi yol açacaktı? Engel'e göre felaket kaçınılmaz değildi; yeter ki ekonominin üretimi, gelir arttıkça değişen talebin bileşimine uyum sağlasın. Bunun için gelir arttıkça hanelerin harcamalarının nasıl değiştiğini bilmek gerekiyordu.

Engel'in elindeki tablo şaşırtıcı ölçüde küçüktü. Aileler üç gruba ayrılmıştı: yardımla geçinenler, yoksul ama kendi ayakları üzerinde duranlar ve rahat durumdakiler. Beslenmenin bütçedeki payı birinci grupta yüzde 70,89, ikincide 67,37, üçüncüde 62,42'ydi. Engel bu üç satırdan bir yasa çıkardı: bir aile ne kadar yoksulsa, toplam harcamasının o kadar büyük bir kısmını beslenmeye ayırmak zorundadır.

Bugünden bakınca yöntem sorunluydu. Üç grup, gelir sınıflarıyla tam örtüşmüyordu; orta gruptaki bazı aileler üst gruptaki bazı ailelerden daha fazla kazanıyordu. Engel'in makalesindeki ikinci ve daha ayrıntılı tablo, 29 gelir sınıfı için gıda paylarını gösteriyordu, ama bu sayıların çoğu gözlemden değil, eldeki birkaç noktadan yapılan hesaplamalardan geliyordu. Engel'in kendisi de yasasının «kesin bir matematiksel formüle dökülemeyeceğini» yazmıştı.

Yine de gözlem doğru çıktı. Yüz yıl sonra Hendrik Houthakker, Engel yasasının yüzüncü yılı anısına birçok ülkenin hane bütçesi verilerini karşılaştırdı ve örüntünün şaşırtıcı ölçüde genel olduğunu gösterdi. Üç satırdan doğan yasa, iktisatta en çok tekrar edilip doğrulanan gözlemlerden birine dönüştü. Ama Engel'in bu ilişkinin neden var olduğunu açıklayacak bir kuramı yoktu. O kuram, gelirin ve fiyatların talebi nasıl belirlediğini tercihlerden türeten tüketici kuramıyla geldi.

Kavram

Veri ve kanıt

Türkiye verisi, Engel'in gözlemini bir buçuk asır sonra aynı yönde tekrarlar: gelir arttıkça gıdanın bütçe payı düşer. Aynı veri, öbür yöne giden bir kalemi de gösterir: ulaştırma. En üst gruptaki haneler bütçelerinin dörtte birini ulaştırmaya ayırır; bu pay en alt gruptakinin neredeyse üç katıdır. Payın gelirle yükselmesi, ulaştırma harcamasının gelirden hızlı büyüdüğünü gösterir. Bu iki kalem birlikte, talep kuramının basit bir sonucunu gösterir: bütçe payları toplamı 1'e eşit olduğu için, bir kalemin payı düşerken başka kalemlerin payı yükselmek zorundadır.

Yorumda iki ayrı vurgu yapılabilir. Bir yanda Houthakker'den bu yana yapılan çalışmalar, bütçe payı örüntülerinin ülkeler ve dönemler arasında şaşırtıcı ölçüde tutarlı olduğunu gösterir; bu, gelir ile talep arasındaki ilişkinin tercihlerin kalıcı bir özelliğinden kaynaklandığı görüşünü destekler. Öbür yanda Chai ve Moneta'nın hatırlattığı gibi, aynı gelirdeki haneler arasında harcama yapısı büyük ölçüde farklılaşır ve modeller bu çeşitliliğin çoğunu fiyat ve gelirle açıklayamaz. Houthakker de aynı gelirdeki küçük hanelerde harcamaların büyük hanelerdekinden daha çeşitli olmasını beklemişti; büyük hanelerde temel ihtiyaçlar seçimi daha çok belirler. Ortalama örüntü sağlamdır, tek bir hanenin harcamasını öngörmek ise çok daha zordur.

Neden önemli?

Talep fonksiyonu, iktisadın en çok tahmin edilen ve en çok kullanılan fonksiyonlarından biridir. Bir şirketin fiyatlama kararı, bir hükümetin vergi politikası, bir düzenleyicinin rekabet değerlendirmesi ya da bir merkez bankasının enflasyon analizi, talebin fiyat ve gelire nasıl tepki verdiğine dair tahminlere dayanır. Bu tahminlerin anlamlı olması için, talebin tercihlerden türetildiğini ve bu yüzden belirli özellikler taşıması gerektiğini bilmek önemlidir.

Bütçe payları, Türkiye gibi enflasyonun yüksek olduğu ekonomilerde ayrıca önemlidir. Gıda fiyatları genel fiyat düzeyinden hızlı arttığında, bütçesinin daha büyük kısmını gıdaya ayıran dar gelirli haneler, genel enflasyon oranının gösterdiğinden daha yüksek bir enflasyon yaşar. Farklı gelir grupları için ayrı enflasyon hesaplamaları, bu dersteki bütçe payı kavramının doğrudan bir uygulamasıdır.

Model

Talep problemini kurmak

Önceki dersin problemi aynen duruyor: p₁x₁ + p₂x₂ ≤ m kısıtı altında U(x₁, x₂)'yi maksimize et. Önceki derste bu problemi yalnızca somut sayılar için çözmüştük. Şimdi aynı problemi fiyatları ve geliri harf olarak bırakarak çözeceğiz. Sonuç tek bir demet değil, her olası fiyat ve gelir bileşimi için optimal demeti veren bir kural olacak.

Talep fonksiyonu ne söyler?

Bu kural, Marshall talep fonksiyonudur: x₁(p₁, p₂, m) ve x₂(p₁, p₂, m). Talep fonksiyonunun üç girdisi vardır ve her biri ayrı bir soruyu yanıtlar. Malın kendi fiyatı değiştiğinde ne olacağı talep eğrisini, gelir değiştiğinde ne olacağı Engel eğrisini, öbür malın fiyatı değiştiğinde ne olacağı ise iki malın ikame mi tamamlayıcı mı olduğunu gösterir. Temel kursta gördüğümüz talep eğrisi, bu üç boyutlu fonksiyonun, öbür iki girdi sabit tutularak alınmış bir kesitidir.

Standart tercihlerin talep fonksiyonları

Önceki derste üç standart tercih biçimi için optimal demeti bulduk. Cobb–Douglas tercihlerde, U = x₁^a × x₂^(1−a) için, talep fonksiyonları x₁ = a × m / p₁ ve x₂ = (1 − a) × m / p₂'dir. Tam tamamlayıcılarda, U = min{x₁, x₂} için, iki malın talebi de m / (p₁ + p₂) birime eşittir. Tam ikamelerde, U = x₁ + x₂ için, tüketici ucuz olan malı alır: p₁ < p₂ ise x₁ = m / p₁ ve x₂ = 0, p₁ > p₂ ise tersi geçerlidir; fiyatlar eşitse bütçe doğrusu üzerindeki her demet optimaldir. Bu son örnekte talep fonksiyonu kesintilidir: fiyat oranı 1'i geçtiği anda talep bir uçtan öbürüne sıçrar.

Çözümlü örnek — Yarı doğrusal tercihler

Dördüncü bir tercih biçimi, uygulamada sık kullanılır: U = 2√x₁ + x₂. Burada x₂, önceki derste gördüğümüz değer ölçüsü maldır ve p₂ = 1 alınır. Fayda ikinci malda doğrusal, birincide doğrusal değildir; bu yüzden bu tercihlere yarı doğrusal denir.

Marjinal faydalar: MU₁ = 1 / √x₁ ve MU₂ = 1. MİO = MU₁ / MU₂ = 1 / √x₁'dir. Teğetlik koşulu 1 / √x₁ = p₁'dir; buradan √x₁ = 1 / p₁ ve x₁ = 1 / p₁² bulunur.

Sonuç dikkat çekicidir: birinci malın talebi gelire hiç bağlı değildir. p₁ = 0,5 ise x₁ = 4'tür; gelir 100 de olsa 10.000 de olsa tüketici bu maldan 4 birim alır ve gelirinin geri kalanını öbür harcamalara ayırır. Tek istisna, gelirin çok düşük olmasıdır: m < p₁ × x₁ = 0,5 × 4 = 2 ise, tüketici bütün gelirini birinci mala harcar ve bir köşe çözümü ortaya çıkar. Yarı doğrusal tercihler, bütçenin küçük bir kısmını oluşturan mallar, örneğin diş macunu ya da tuz için makul bir yaklaşımdır.

Sıfırıncı derece homojenlik

Bütün fiyatlar ve gelir aynı t katına çıktığında bütçe kısıtı tp₁x₁ + tp₂x₂ ≤ tm olur. Her iki taraf t'ye bölünürse eski kısıt geri gelir; bütçe kümesi hiç değişmemiştir. Tercihler de değişmediğine göre, optimal demet de aynı kalır: x₁(tp₁, tp₂, tm) = x₁(p₁, p₂, m).

Matematik kursundaki homojen fonksiyon diliyle söylersek, talebin homojenlik derecesi sıfırdır: girdiler t katına çıkınca değer t⁰ = 1 katına, yani hiç değişmez. Cobb–Douglas talebinde bunu doğrudan görebiliriz: a × tm / tp₁ = a × m / p₁. Bu özellik, rasyonel bir tüketicinin para yanılsamasına düşmemesi anlamına gelir. Bütün fiyatlar ve maaşlar aynı oranda artarsa, rasyonel tüketici hiçbir şeyi değiştirmez. Gerçek insanların bazen bu ölçütten saptığını gösteren kanıtlar, davranışsal iktisadın konusudur.

Bütçenin tükenmesi

Tercihler monoton olduğu sürece tüketici parasını boşa harcamaz; optimal demet bütçe doğrusunun üzerindedir. Bu, her fiyat ve gelir için p₁x₁(p, m) + p₂x₂(p, m) = m eşitliğinin sağlanması demektir. Bu basit eşitliğin güçlü bir sonucu vardır: talep fonksiyonları birbirinden bağımsız olarak değişemez. Birinin artışı, harcamanın bir başka yerde azalmasıyla karşılanmak zorundadır. Bütçe payları cinsinden yazılırsa, s₁ + s₂ = 1'dir.

Gelir-tüketim eğrisi

Fiyatları sabit tutup geliri adım adım artırdığımızı düşünelim. Bütçe doğrusu her adımda dışarıya doğru paralel kayar ve her yeni doğru üzerinde yeni bir optimal demet belirir. Bu demetleri birleştiren çizgi, gelir-tüketim eğrisidir. Cobb–Douglas tercihlerde bu eğri, orijinden çıkan bir doğrudur; çünkü x₂ / x₁ = [(1 − a) / a] × p₁ / p₂ oranı gelire bağlı değildir. Tüketici zenginleştikçe iki maldan aynı oranda daha fazla alır. Yarı doğrusal tercihlerde ise eğri, x₁ = 1 / p₁² noktasında dikey bir doğrudur: gelirin bütün artışı ikinci mala gider.

Engel eğrisi

Gelir-tüketim eğrisi iki malı birlikte gösterir. Tek bir malın miktarını gelire karşı çizdiğimizde ise, temel kursta adını andığımız Engel eğrisini elde ederiz. Cobb–Douglas talebinde x₁ = a × m / p₁ olduğu için Engel eğrisi orijinden çıkan bir doğrudur; eğimi a / p₁'dir. Yarı doğrusal tercihlerde, köşe çözümü bölgesinin dışında, Engel eğrisi yataydır: gelir ne olursa olsun x₁ = 1 / p₁². Düşük bir mal için ise Engel eğrisi, belirli bir gelir düzeyinden sonra aşağı döner.

Çözümlü örnek — Esneklik ve bütçe payı

Gelir esnekliği, talep fonksiyonundan doğrudan hesaplanır: (∂x₁ / ∂m) × (m / x₁). Cobb–Douglas talebinde ∂x₁ / ∂m = a / p₁'dir ve bu, m / x₁ = p₁ / a ile çarpılınca 1 verir. Gelir esnekliği her gelirde 1'e eşittir; bütçe payı s₁ = p₁x₁ / m = a sabittir. Cobb–Douglas tercihler bu yüzden Engel yasasıyla uyuşmaz: bu tercihlere sahip bir hane, zenginleştikçe gıdaya aynı payı ayırmayı sürdürür. Yarı doğrusal tercihlerde birinci malın gelir esnekliği sıfırdır; bütçe payı p₁x₁ / m = 1 / (p₁m) ise gelir arttıkça düşer.

Genel ilke şudur: bir malın gelir esnekliği 1'den küçükse bütçe payı gelirle düşer, 1'den büyükse yükselir. Gıdanın gelir esnekliğinin 1'in altında, ulaştırmanınkinin ise 1'in üzerinde olması, Türkiye verisindeki bütçe payı örüntüsünü açıklar.

Engel toplamı

Bütçenin tükenmesi eşitliği, gelir esnekliklerine de bir kısıt koyar. p₁x₁ + p₂x₂ = m eşitliğinin gelire göre türevi alınırsa p₁(∂x₁ / ∂m) + p₂(∂x₂ / ∂m) = 1 bulunur. Her terimi uygun biçimde düzenlersek s₁η₁ + s₂η₂ = 1 elde ederiz; burada η, gelir esnekliğidir. Bütçe paylarıyla ağırlıklandırılmış gelir esnekliklerinin ortalaması 1'e eşittir.

Bu sonuç, basit ama önemli bir şey söyler: bütün mallar zorunlu mal olamaz. Gelir arttığında ek gelirin tamamı bir yere harcanır; bazı mallara gelirden yavaş artan harcama yapılıyorsa, başka mallara gelirden hızlı artan harcama yapılmalıdır.

Çözümlü örnek — Gıda zorunluysa, gerisi ne olmalı?

Bir hanenin bütçesinin yüzde 30'unu gıdaya ayırdığını ve gıdanın gelir esnekliğinin 0,5 olduğunu varsayalım. Gıda dışındaki kalemleri birleştirip tek bir kalem sayarsak, Engel toplamı 0,3 × 0,5 + 0,7 × η₂ = 1 verir. Buradan 0,7 × η₂ = 0,85 ve η₂ ≈ 1,21 bulunur. Gıda dışındaki harcamalar, ortalamada gelirden yaklaşık yüzde 21 daha hızlı artmalıdır. Gelir yüzde 10 artarsa gıda harcaması yaklaşık yüzde 5, öbür harcamalar yaklaşık yüzde 12,1 artar. Sağlama: 0,3 × 5 + 0,7 × 12,1 = 1,5 + 8,47 ≈ 10, yani toplam harcama yüzde 10 artmıştır.

Fiyat-tüketim eğrisi

Şimdi gelir ve ikinci malın fiyatı sabitken birinci malın fiyatını değiştirelim. p₁ düştükçe bütçe doğrusu, ikinci malın ekseninde sabit kalan ucundan dışarıya açılır ve her yeni doğru üzerinde yeni bir optimal demet belirir. Bu demetleri birleştiren çizgi fiyat-tüketim eğrisidir. Cobb–Douglas tercihlerde bu eğri yataydır: x₂ = (1 − a) × m / p₂, p₁'e bağlı değildir. Birinci mal ucuzladığında tüketici ikinci maldan ne daha fazla ne daha az alır; bütün değişiklik birinci malın miktarında olur.

Talep eğrisini türetmek

Fiyat-tüketim eğrisindeki her noktada, birinci malın fiyatını ve bu fiyatta talep edilen miktarı okuyabiliriz. Bu fiyat-miktar çiftlerini ayrı bir grafiğe taşıyıp fiyatı yukarı doğru, miktarı sağa doğru işaretlediğimizde talep eğrisini elde ederiz. Böylece temel kursta varsayılan talep eğrisi, tercihlerden ve bütçeden türetilmiş olur. Cobb–Douglas tercihlerde talep eğrisi x₁ = a × m / p₁ bir hiperboldür: fiyat iki katına çıkınca miktar yarıya iner.

Çözümlü örnek — Talep eğrisinden esneklikler

Cobb–Douglas talebinin fiyat esnekliği: (∂x₁ / ∂p₁) × (p₁ / x₁) = (−a × m / p₁²) × (p₁ / (a × m / p₁)) = −1. Talep her fiyatta birim esnektir. Bunun anlamı, birinci mala yapılan harcamanın, p₁ × x₁ = a × m, fiyat ne olursa olsun sabit kalmasıdır. Çapraz fiyat esnekliği ise sıfırdır: x₁, p₂'ye bağlı değildir.

Tam tamamlayıcılarda durum farklıdır: x₁ = m / (p₁ + p₂) talebinin fiyat esnekliği −p₁ / (p₁ + p₂)'dir. Birinci malın fiyatı 2, ikincininki 4 iken bu −1/3 olur; talep esnek değildir. İkinci mal ucuz olduğunda ise esneklik −1'e yaklaşır. Burada çapraz fiyat esnekliği de negatiftir: tamamlayıcı mal pahalanınca birinci malın talebi düşer.

Dolaylı fayda fonksiyonu

Talep fonksiyonlarını fayda fonksiyonuna yerleştirirsek, her fiyat ve gelir bileşiminde ulaşılabilecek en yüksek faydayı buluruz: v(p₁, p₂, m) = U(x₁(p, m), x₂(p, m)). Bu, dolaylı fayda fonksiyonudur. Tüketicinin refahını mal miktarlarıyla değil, karşılaştığı fiyatlar ve geliriyle ifade eder. Dolaylı fayda gelirde artan, fiyatlarda azalandır ve talep fonksiyonları gibi sıfırıncı dereceden homojendir.

Çözümlü örnek — Pahalanmayı telafi etmek

U = √(x₁x₂) tercihleri için talepler x₁ = m / (2p₁) ve x₂ = m / (2p₂)'dir. Bunları yerleştirince v = √[m² / (4p₁p₂)] = m / (2√(p₁p₂)) bulunur. Önceki dersin sayısal örneğine dönelim: gelir 120, fiyatlar 2 ve 4 iken v = 120 / (2 × √8) ≈ 120 / 5,657 ≈ 21,21. Sağlama: √(30 × 15) = √450 ≈ 21,21.

Şimdi birinci malın fiyatı 2'den 4'e çıksın. Aynı gelirle dolaylı fayda 120 / (2 × √16) = 15'e düşer. Tüketiciyi eski refah düzeyine geri getirmek için ne kadar gelir gerekir? 21,21 = m / (2 × 4) eşitliğinden m ≈ 169,7 bulunur. Bir malın fiyatının iki katına çıkması, bu tüketici için yaklaşık yüzde 41'lik bir gelir kaybına denktir. Bu hesap, bir fiyat değişiminin refah maliyetini gelir cinsinden ölçmenin temelidir; enflasyon endekslerinin ve telafi politikalarının arkasındaki mantık da budur.

Bireysel talepten piyasa talebine

Bir piyasadaki toplam talep, bireysel talep fonksiyonlarının toplamıdır. Her fiyat düzeyinde tek tek tüketicilerin istediği miktarlar üst üste eklenir. Piyasa talebi, bireysel taleplerin fiyatlara ve gelirlere bağlı olmasının yanında, gelirin tüketiciler arasında nasıl dağıldığına da bağlıdır. Aynı toplam gelir, zengin ve yoksul haneler arasında farklı paylaşıldığında, gıda ve ulaştırma gibi farklı gelir esnekliğine sahip malların piyasa talebi değişir.

Modelin sınırları

Talep kuramı, ortalama örüntüleri açıklamada güçlüdür: bütçe paylarının gelirle nasıl değiştiğini, fiyat artışlarının talebi hangi yönde etkilediğini ve talebin hangi özellikleri taşıması gerektiğini söyler. Ama aynı gelir ve fiyatlarla karşılaşan hanelerin neden birbirinden çok farklı harcadığını açıklamakta zayıftır. Hane büyüklüğü, yaş, alışkanlıklar ve sosyal çevre gibi etkenler, talep fonksiyonuna ancak ek değişkenler olarak eklenebilir. Uygulamalı çalışmalar bu yüzden kuramın koyduğu kısıtları, örneğin homojenliği ve bütçenin tükenmesini, korurken geniş bir hane özellikleri kümesini de hesaba katar.

Uygulama

Özet kartı

1. Marshall talep fonksiyonu, fayda maksimizasyonunun çözümüdür ve her malın miktarını bütün fiyatların ve gelirin fonksiyonu olarak verir; temel kurstaki talep eğrisi bu fonksiyonun bir kesitidir.
2. Talep sıfırıncı dereceden homojendir, çünkü fiyatlar ile gelir ortak bir çarpanla ölçeklenince bütçe kümesi aynı kalır; tercihler monotonsa bütçe tükenir ve bütçe payları toplamı 1'dir.
3. Gelir-tüketim eğrisi ve Engel eğrisi gelirin, fiyat-tüketim eğrisi ve talep eğrisi fiyatın değişimini izler; Cobb–Douglas talebinde bütçe payları sabit, gelir esnekliği 1 ve fiyat esnekliği −1'dir, yarı doğrusal tercihlerde birinci malın talebi gelire bağlı değildir.
4. Engel toplamı, bütçe paylarıyla ağırlıklandırılmış gelir esnekliklerinin 1'e eşit olmasını gerektirir; bu yüzden bütün mallar zorunlu mal olamaz ve gıdanın payı düşerken ulaştırma gibi kalemlerin payı yükselir.
5. Dolaylı fayda fonksiyonu, refahı fiyat ve gelir cinsinden ölçer ve bir fiyat artışının gelir cinsinden maliyetini hesaplamaya izin verir; kuram ortalama örüntüleri iyi açıklar, ama haneler arası çeşitliliğin çoğunu fiyat ve gelirle açıklayamaz.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Talep fonksiyonunun sıfırıncı dereceden homojen olması ne anlama gelir? Bu özellik neden her zaman sağlanır?
2. (Çıktı 2) Gelir-tüketim eğrisi ile Engel eğrisi arasındaki ilişkiyi açıkla. Talep eğrisi hangi eğriden, hangi değişkenler sabit tutularak elde edilir?
3. (Çıktı 3) U = x₁^0,3 × x₂^0,7 tercihlerine sahip bir tüketici için talep fonksiyonlarını yaz. Gelir 500, p₁ = 5 ve p₂ = 7 ise optimal demet nedir? Birinci malın bütçe payı nedir?
4. (Çıktı 3) U = 4√x₁ + x₂ tercihleri ve p₂ = 1 için birinci malın talep fonksiyonunu türet. p₁ = 2 iken tüketici birinci maldan ne kadar alır? Gelir iki katına çıkarsa ne olur?
5. (Çıktı 3) Bir hanenin bütçesinin yüzde 40'ı gıdaya gidiyor ve gıdanın gelir esnekliği 0,6. Gıda dışındaki harcamaların ortalama gelir esnekliği ne olmalıdır?
6. (Çıktı 4) Türkiye'de en alt gelir grubunda gıdanın bütçe payı yüzde 29,2, en üst grupta yüzde 12,4'tür. Bir arkadaşın «Demek ki zenginler gıdaya yoksullardan daha az para harcıyor ve bu veri talep kuramının her haneyi doğru öngördüğünü kanıtlıyor» diyor. Bu iki iddiayı değerlendir.

Cevaplar

1. Fiyat etiketleri ve maaş bordrosu aynı gün aynı oranda yenilenirse tüketicinin sepeti olduğu gibi kalır. Bütçe kısıtının iki tarafı aynı sayıyla çarpıldığında bütçe kümesi değişmez; tercihler de değişmediği için optimal demet aynı kalır. Bu, rasyonel bir tüketicinin para yanılsamasına düşmediği anlamına gelir.
2. Gelir-tüketim eğrisi, fiyatlar sabitken gelir değiştikçe seçilen demetleri iki mallı diyagramda gösterir; Engel eğrisi ise bu demetlerdeki tek bir malın miktarını gelire karşı çizer. Talep eğrisi, gelir ile ikinci malın fiyatı donmuş kabul edilerek fiyat-tüketim eğrisinden elde edilir: her fiyat için talep edilen miktar okunur ve fiyat-miktar grafiğine aktarılır.
3. x₁ = 0,3 × m / p₁ ve x₂ = 0,7 × m / p₂. Sayılarla x₁ = 0,3 × 500 / 5 = 30 ve x₂ = 0,7 × 500 / 7 = 50. Sağlama: 5 × 30 + 7 × 50 = 150 + 350 = 500. Birinci malın bütçe payı 150 / 500 = 0,3'tür ve fiyatlardan ya da gelirden bağımsız olarak sabittir.
4. MU₁ = 2 / √x₁ ve MU₂ = 1; teğetlik koşulu 2 / √x₁ = p₁ verir. Buradan √x₁ = 2 / p₁ ve x₁ = 4 / p₁² bulunur. p₁ = 2 iken x₁ = 1'dir. Gelir iki katına çıkarsa, gelir köşe çözümüne yol açmayacak kadar yüksek olduğu sürece birinci malın talebi değişmez; bütün ek gelir ikinci mala gider.
5. Engel toplamı: 0,4 × 0,6 + 0,6 × η₂ = 1. Buradan 0,6 × η₂ = 0,76 ve η₂ ≈ 1,27 bulunur. Gıda dışındaki harcamalar ortalamada gelirden yaklaşık yüzde 27 daha hızlı artmalıdır.
6. Birinci iddia yanlıştır: bütçe payının düşük olması, harcama tutarının düşük olduğu anlamına gelmez. Zengin haneler gıdaya genellikle daha fazla para harcar, ama bu harcama gelirlerinden yavaş arttığı için payı düşüktür. İkinci iddia da aşırıdır: veri, ortalama örüntünün kuramla uyuştuğunu gösterir, ama aynı gelir grubundaki haneler arasında büyük farklar vardır ve Chai ile Moneta'nın hatırlattığı gibi talep modelleri bireysel davranıştaki çeşitliliğin büyük kısmını açıklayamaz. Kuram ortalamayı iyi, tek haneyi zayıf öngörür.

İleri okuma

• Andreas Chai ve Alessio Moneta (2010). «Retrospectives: Engel Curves». Journal of Economic Perspectives 24(1). Engel'in 1857 makalesinin bağlamı, yöntemi ve modern Engel eğrisi çalışmalarıyla ilişkisi.
• Hendrik S. Houthakker (1957). «An International Comparison of Household Expenditure Patterns, Commemorating the Centenary of Engel's Law». Econometrica 25(4). Engel yasasının yüzüncü yılında farklı ülkelerin hane bütçesi verilerinin karşılaştırılması.
• S. J. Prais ve H. S. Houthakker (1955). The Analysis of Family Budgets. Cambridge University Press. Hane bütçesi verilerinden Engel eğrisi tahmininin klasik çalışması; zorunlu ve lüks mallar için farklı fonksiyon biçimleri önerir.

Sonraki derse köprü

Pahalanmayı telafi etme örneğinde, birinci malın fiyatı iki katına çıkınca tüketicinin refahının düştüğünü ve bunu telafi etmek için gelirin yaklaşık yüzde 41 artması gerektiğini bulduk. Ama fiyat artışının talep üzerindeki etkisi tek bir hareket değildir. Fiyat arttığında malın göreli değeri yükselir ve tüketici ondan uzaklaşır; aynı zamanda tüketicinin satın alma gücü düşer ve bu da talebi ayrıca etkiler. Sıradaki ders, bu iki etkiyi birbirinden ayırmanın yolunu ele alıyor: gelir ve ikame etkileri ile Slutsky denklemi. Bir fiyat değişiminin toplam etkisini bu iki parçaya nasıl ayırabiliriz ve düşük bir malın talebi hangi koşulda fiyatla birlikte artabilir?