Matris ve vektörler

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Vektörü, matrisi, iç çarpımı, matris çarpımını, devrik matrisi ve kovaryans matrisini tanımlar.
• Anlama — Çok sayıda iktisadi büyüklüğün ve aralarındaki ilişkilerin neden vektör ve matrislerle düzenli biçimde yazılabildiğini ve bir portföyün riskinin neden bir matris çarpımıyla ifade edildiğini açıklar.
• Uygulama — Bir fiyat vektörü ile bir miktar vektörünün iç çarpımıyla sepet maliyetini, bir fiyat matrisi ile bir miktar vektörünün çarpımıyla farklı yerlerdeki maliyetleri, bir kovaryans matrisiyle de bir portföyün riskini hesaplar.
• Değerlendirme — Matris hesabına dayanan portföy optimizasyonunun gerçek verilerdeki başarısını, tahmin hatası ve basit kurallarla karşılaştırma açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir market zincirinin satın alma müdürü, üç şehirdeki mağazalarında yüzlerce ürünün fiyatını ve satış miktarını izliyor. Her mağaza için her ürünün fiyatı bir sayıdır; her ürünün satış miktarı başka bir sayıdır. Müdür bu sayıları tek tek yazarsa, binlerce satırlık bir liste elde eder. Ama sayıların bir düzeni vardır: satırlar mağazalara, sütunlar ürünlere karşılık gelir.

İktisattaki pek çok soru, bu tür düzenli sayı tablolarıyla ilgilidir. Bir tüketicinin harcaması, fiyatlar listesi ile miktarlar listesinin eşleştirilip toplanmasıdır. Bir ekonominin sektörleri arasındaki alışveriş, satırları ve sütunları sektörlere karşılık gelen bir tablodur. Bir yatırımcının riski, elindeki varlıkların her ikisinin birlikte ne kadar oynadığını gösteren bir tabloya bağlıdır.

Bu tür tabloları ve listeleri tek birer nesne gibi ele almak, hesabı hem kısaltır hem de netleştirir. Matematiğin bu dili vektörler ve matrislerdir. Bu ders, bu dilin temel işlemlerini tanıtıyor ve onu, bir doktora savunmasında «iktisat değil» diye itiraz edilen ama sonunda modern finansın temeli olan bir fikre uyguluyor.

Hikâye — «Bu iktisat değil»

1950'lerin başında Chicago Üniversitesi'nde iktisat doktorası yapan Harry Markowitz, tez konusu olarak borsayı seçmişti. Bir gün John Burr Williams'ın The Theory of Investment Value kitabını okurken aklına bir fikir geldi. Williams, bir hisse senedinin değerinin, gelecekte ödeyeceği kâr paylarının bugünkü değerine eşit olması gerektiğini savunuyordu.

Markowitz, bu fikri bir adım öteye taşıdı ve bir çelişki fark etti. Bir yatırımcı yalnızca beklenen getiriyle ilgilenseydi, parasının tamamını beklenen getirisi en yüksek tek bir hisseye yatırırdı. Oysa gerçek yatırımcılar birçok hisseye yatırım yapar, yani çeşitlendirir. Bunun tek açıklaması, yatırımcıların getirinin yanında riski de önemsemesiydi. Ve bir portföyün riski, içindeki hisselerin risklerinin basit bir ortalaması değildi: hisselerin birbirleriyle birlikte nasıl hareket ettiğine de bağlıydı.

Markowitz, bir portföyün riskini ölçmek için her hisse çiftinin birlikte hareketini, yani kovaryansını hesaba kattı. Çok sayıda hisse olduğunda bu kovaryanslar büyük bir tablo, bir matris oluşturuyordu. Portföyün riski, hisselere yatırılan payları gösteren bir vektör ile bu matrisin çarpımından elde ediliyordu. Fikrini 1952'de Journal of Finance'ta «Portfolio Selection» başlığıyla yayımladı.

Tezini savunduğunda, jüride Milton Friedman da vardı. Markowitz'in yıllar sonra Nobel konuşmasında anlattığına göre Friedman, portföy teorisinin iktisat olmadığını ve iktisat dışı bir tez için iktisat doktorası verilemeyeceğini öne sürdü. Markowitz, Friedman'ın yarı ciddi konuştuğunu düşündü; derece uzun bir tartışma olmadan verildi.

Markowitz, Nobel konuşmasında Friedman'a hak da verdi: tezini savunduğu dönemde portföy teorisi iktisadın bir parçası değildi. Ama konuşmasını, artık öyle olduğunu söyleyerek bitirdi. Markowitz 1990'da Nobel İktisat Ödülü'nü aldı. Matris hesabı, finansın ve iktisadın gündelik dili hâline gelmişti.

Kavram

Vektörler ve matrisler, sayıları düzenli biçimde bir arada tutan nesnelerdir.

Vektörler ve matrisler arasındaki işlemler, çok sayıda hesabı tek bir adımda yapmayı sağlar.

İstatistik ile matris cebirinin buluştuğu önemli bir nesne, portföy teorisinin merkezinde durur.

Veri ve kanıt

Markowitz'in Nobel konuşması, portföy teorisinin doğuşunu kendi ağzından anlatır.

Markowitz'in yöntemi matematiksel olarak kusursuzdur, ama girdilerini, yani beklenen getirileri ve kovaryansları, veriden tahmin etmeyi gerektirir. Bu tahminlerin güvenilirliği, yöntemin gerçek dünyadaki başarısını sınar.

İki kaynak birlikte okunduğunda ilginç bir tablo çıkar. Markowitz'in matris hesabı, riskin nasıl yapılandığını anlamak için vazgeçilmezdir. Ama hesabın girdileri kusurlu tahmin edildiğinde, en iyi portföy basit bir kuraldan daha kötü sonuç verebilir. Bu, yöntemin yanlış olduğunu değil, tahmin hatasının ne kadar büyük olabileceğini gösterir.

Neden önemli?

İktisat, çok sayıda değişkenle çalışır. Bir fiyat endeksi yüzlerce ürünün fiyatını ağırlıklarıyla birleştirir; bu bir iç çarpımdır. Bir ekonominin sektörleri arasındaki alışverişi gösteren girdi-çıktı tablosu, temel matematik kursunda tanıdığımız gibi, büyük bir matristir. Bir bankanın kredi portföyünün riski, bir sigorta şirketinin yükümlülükleri ya da bir ülkenin dış ticaret akımları, hep matrislerle yazılır.

Matris dili aynı zamanda istatistiğin ve ekonometrinin dilidir. Önceki kursta tek bir açıklayıcı değişkenle regresyon kurduk. Gerçek analizlerde ise onlarca değişken aynı anda kullanılır ve bu çoklu regresyonların tahmini, matris işlemleriyle yapılır. Üst düzey iktisat derslerinin büyük kısmı, bu gösterimi okurun zaten bildiğini varsayarak ilerler.

Kişisel finans kararlarında da bu dersin ana fikri işe yarar. Bir hanenin tasarrufları farklı araçlara dağıtıldığında, toplam dalgalanmayı belirleyen şey, araçların kendi oynaklıkları kadar aralarındaki kovaryanslardır. Aynı sektördeki ya da aynı ülkedeki varlıklar birlikte hareket etme eğilimindedir; farklı türdeki varlıklar ise birbirinin dalgalanmasını kısmen dengeleyebilir.

Model

Vektörler

Bir vektör, sıralı bir sayı listesidir. Bir tüketim sepetindeki üç malın miktarları q = (3, 1, 10) biçiminde bir vektörle, aynı malların fiyatları p = (20, 50, 8) biçiminde başka bir vektörle yazılabilir. Vektörler üzerinde iki temel işlem yapılır. İki vektör toplanırken karşılıklı elemanlar toplanır: iki ayrı haftanın alışveriş sepetleri toplandığında, iki haftalık toplam sepet elde edilir. Bir vektör bir sayıyla çarpılırken her elemanı o sayıyla çarpılır: bütün miktarlar iki katına çıkarılırsa, vektör 2 ile çarpılmış olur. Bu işlemler, vektörü tek bir nesne olarak ele almayı sağlar.

İç çarpım ve harcama

İki vektörün iç çarpımı, karşılıklı elemanlarının çarpımlarının toplamıdır. Fiyat vektörü ile miktar vektörünün iç çarpımı, sepetin toplam maliyetidir: p · q = 20 × 3 + 50 × 1 + 8 × 10 = 60 + 50 + 80 = 190. Temel veri okuryazarlığı kursundaki fiyat endeksleri de iç çarpımlardır: sabit bir sepetin iki farklı yılın fiyat vektörleriyle iç çarpımları oranlanarak endeks hesaplanır. İç çarpımın geometrik bir anlamı da vardır: iki vektör aynı yönü gösterdikçe büyük, birbirine dik olduklarında sıfırdır. İktisatta bir bütçe kısıtı, fiyat vektörü ile miktar vektörünün iç çarpımının gelire eşit olması biçiminde yazılır.

Matrisler

Bir matris, satırlar ve sütunlar biçiminde düzenlenmiş bir sayı tablosudur. Bir market zincirinin iki şehirdeki fiyatları, satırları şehirlere, sütunları ürünlere karşılık gelen 2 × 3 boyutlu bir matrisle yazılabilir: birinci satır (20, 50, 8), ikinci satır (25, 40, 10). Matrisler de vektörler gibi toplanabilir ve bir sayıyla çarpılabilir. Bir matrisin her satırı bir satır vektörü, her sütunu bir sütun vektörüdür; bu yüzden bir matris, vektörlerin bir araya getirilmesi olarak da düşünülebilir. Satır ve sütun sayısı eşit olan matrislere kare matris denir.

Matris ile vektör çarpımı

Bir matris ile bir vektörün çarpımı, matrisin her satırının vektörle iç çarpımını alır. Fiyat matrisi ile miktar vektörü çarpıldığında, her şehirde aynı sepetin maliyetini gösteren bir vektör elde edilir. Birinci şehir için 20 × 3 + 50 × 1 + 8 × 10 = 190, ikinci şehir için 25 × 3 + 40 × 1 + 10 × 10 = 215. Tek bir işlem, iki ayrı hesabı birlikte yapar. Şehir sayısı yüzlerce, ürün sayısı binlerce olduğunda, bu gösterim hesabı yönetilebilir kılar ve bilgisayarlarda çok hızlı yapılmasını sağlar. Bölgesel fiyat endeksleri, bu tür çarpımlarla hesaplanır.

Matris çarpımı

İki matrisin çarpımı, birincinin her satırı ile ikincinin her sütununun iç çarpımından oluşur. A = [[2, 1], [1, 3]] ve B = [[1, 0], [4, 2]] olsun. A × B'nin birinci satır birinci sütun elemanı 2 × 1 + 1 × 4 = 6, birinci satır ikinci sütun elemanı 2 × 0 + 1 × 2 = 2'dir; sonuç [[6, 2], [13, 6]] olur. B × A ise [[2, 1], [10, 10]] çıkar. İki sonuç farklıdır: matris çarpımında sıra önemlidir. Çarpımın tanımlı olması için birinci matrisin sütun sayısının ikincinin satır sayısına eşit olması gerekir. Bu kurallar, hangi büyüklüklerin birbiriyle anlamlı biçimde birleştirilebileceğini de denetler.

Birim matris ve devrik matris

Köşegeninde 1'ler, başka her yerinde 0'lar bulunan kare matrise birim matris denir. Birim matris, sayılardaki 1 gibi davranır: herhangi bir matrisle çarpıldığında onu değiştirmez. Devrik matris ise satırlarla sütunların yer değiştirmesiyle elde edilir. Bir satır vektörü devrik alındığında sütun vektörüne dönüşür. Devrik alma, iç çarpımı matris çarpımı olarak yazmayı sağlar: bir satır vektörü ile bir sütun vektörünün çarpımı, tek bir sayı olan iç çarpımı verir. Bir matris devriğine eşitse, yani köşegene göre simetrikse, simetrik matris adını alır; kovaryans matrisleri böyledir.

Matris bir dönüşümdür

Bir matris yalnızca bir sayı tablosu değil, bir vektörü başka bir vektöre dönüştüren bir kuraldır. Fiyat matrisi, bir miktar vektörünü alıp her şehirdeki maliyetleri gösteren bir vektöre dönüştürür. Bir üretim teknolojisini gösteren bir matris, girdi vektörünü çıktı vektörüne çevirebilir. Bu bakış, matris çarpımının neden sırayla yapıldığını da açıklar: iki matrisin çarpımı, iki dönüşümün art arda uygulanmasıdır. Önce döviz kurlarıyla fiyatları liraya çevirmek, sonra miktarlarla çarpmak ile işlemleri ters sırada yapmak, boyutlar uyumsuz olduğu için anlamlı bile olmayabilir. Dönüşüm olarak düşünmek, bir matrisin iktisadi anlamını, yani neyi neye çevirdiğini sormayı kolaylaştırır.

Veriyi matrisle yazmak

İstatistik ve ekonometride veri, doğal olarak bir matris biçimindedir: satırlar gözlemlere, örneğin hanelere, şirketlere ya da yıllara; sütunlar değişkenlere, örneğin gelire, yaşa ya da eğitime karşılık gelir. Bin hane ve beş değişkenden oluşan bir anket, 1.000 × 5 boyutlu bir veri matrisidir. Önceki kursta tek açıklayıcı değişkenle kurduğumuz regresyon, çok değişkenli hâliyle bu veri matrisi üzerinden yazılır ve katsayılar, matrisin devriği ve tersi kullanılarak tek bir formülle hesaplanır. Hesap tabloları ve istatistik yazılımları, bu matris işlemlerini saniyeler içinde yapar. Verinin bir matris olarak düşünülmesi, çok değişkenli analizin kapısını açar.

Kovaryans matrisi

Birden çok değişkenin birlikte hareketi, kovaryans matrisiyle özetlenir. İki varlıklı bir portföyde, birinci varlığın getirisinin standart sapması yüzde 20, ikincininki yüzde 10, aralarındaki korelasyon 0,2 olsun. Varyanslar 0,04 ve 0,01'dir. Kovaryans, korelasyon ile iki standart sapmanın çarpımıdır: 0,2 × 0,2 × 0,1 = 0,004. Kovaryans matrisi, köşegeninde 0,04 ve 0,01, köşegen dışında 0,004 bulunan 2 × 2 simetrik bir matristir. Varlık sayısı n olduğunda matris n × n boyutludur ve n × (n − 1) ÷ 2 farklı kovaryans içerir: 50 varlıkta bu sayı 1.225'tir.

Portföyün beklenen getirisi ve riski

Bir portföyün beklenen getirisi, varlıklara yatırılan payları gösteren ağırlık vektörü ile beklenen getiriler vektörünün iç çarpımıdır. Portföyün varyansı ise ağırlık vektörü, kovaryans matrisi ve yine ağırlık vektörünün çarpımıyla, wᵀ × Σ × w biçiminde yazılır. Bu formül, iki varlıklı portföyde üç terimi birden içerir: birinci varlığın payının karesi çarpı varyansı, ikinci varlığın payının karesi çarpı varyansı ve iki katı paylar çarpımı çarpı kovaryans. Çok varlıklı portföylerde terim sayısı hızla artar; matris gösterimi, bu karmaşıklığı tek bir satırla yönetir.

Çözümlü örnek — Bir sepet ve bir portföy

Sepet maliyeti. Fiyat vektörü p = (20, 50, 8), miktar vektörü q = (3, 1, 10). İç çarpım p · q = 60 + 50 + 80 = 190 lira.

İki şehir. Fiyat matrisi, birinci satır (20, 50, 8), ikinci satır (25, 40, 10). Matris ile q'nun çarpımı (190, 215) vektörünü verir: aynı sepet ikinci şehirde 25 lira daha pahalıdır.

Portföy getirisi. Ağırlıklar w = (0,6; 0,4), beklenen getiriler r = (0,08; 0,04). İç çarpım 0,6 × 0,08 + 0,4 × 0,04 = 0,048 + 0,016 = 0,064; beklenen getiri yüzde 6,4.

Portföy riski. Kovaryans matrisi köşegeninde 0,04 ve 0,01, köşegen dışında 0,004. Varyans 0,36 × 0,04 + 0,16 × 0,01 + 2 × 0,6 × 0,4 × 0,004 = 0,0144 + 0,0016 + 0,00192 = 0,01792. Standart sapma √0,01792 ≈ 0,134, yani yüzde 13,4.

Karşılaştırma. Risklerin ağırlıklı ortalaması 0,6 × 20 + 0,4 × 10 = yüzde 16 olurdu. Portföyün gerçek riski yüzde 13,4'tür; aradaki fark, iki varlığın tam olarak birlikte hareket etmemesinden gelir.

Eşit ağırlık. Ağırlıklar (0,5; 0,5) olsaydı beklenen getiri yüzde 6, risk yaklaşık yüzde 12 olurdu.

Etkin sınır

Markowitz'in asıl sorusu, belirli bir beklenen getiri için riski en düşük yapan ağırlıkları bulmaktı. Bu, bir önceki dersin kısıtlı optimizasyon problemidir: amaç fonksiyonu portföy varyansı, kısıtlar ise istenen beklenen getiri ve ağırlıkların toplamının 1 olmasıdır. Her beklenen getiri düzeyi için bu problem çözüldüğünde, risk ile getiri arasındaki en iyi ödünleşimleri gösteren bir eğri ortaya çıkar; buna etkin sınır denir. Etkin sınırın altındaki portföyler, aynı riskle daha yüksek getiri ya da aynı getiriyle daha düşük risk sunan bir alternatif varken seçilmiş olur. Yatırımcı, kendi risk tercihine göre sınırın üzerinde bir nokta seçer.

Tahmin hatası sorunu

Markowitz'in yöntemi, beklenen getirilerin ve kovaryansların bilindiğini varsayar. Gerçekte bunlar geçmiş veriden tahmin edilir ve tahminler, özellikle beklenen getiriler için, çok gürültülüdür. Optimizasyon, tahmin hatalarını büyütme eğilimindedir: şans eseri yüksek görünen bir getiriye büyük bir ağırlık verir. Varlık sayısı arttıkça tahmin edilmesi gereken kovaryans sayısı hızla büyür; 50 varlıkta 1.225 kovaryans vardır. DeMiguel ve arkadaşlarının bulgusu, bu sorunun büyüklüğünü gösterir: veri yeterince uzun değilse, en iyi portföy basit bir eşit dağıtımdan daha kötü sonuç verebilir.

Savunanlar ve eleştirenler

Portföy optimizasyonunun pratik değeri tartışmalıdır. Eleştirenler, tahmin hatalarının optimizasyonun kazancını sildiğini ve basit kuralların daha sağlam olduğunu vurgular; 1/N kuralı, tahmin edilecek hiçbir parametre gerektirmediği için bu hatalardan etkilenmez. Savunanlar ise sorunun yöntemde değil, girdilerin tahmininde olduğunu hatırlatır: tahminleri daraltan, kovaryans matrisini daha sade yapılarla tahmin eden ya da ağırlıklara sınırlar koyan geliştirilmiş yöntemler, basit kuralları geçebilir. İki taraf da, Markowitz'in temel fikrinin, yani riskin varlıklar arasındaki ilişkilere bağlı olduğunun, doğru olduğunda birleşir.

Matrisler ve ekonominin bağlantıları

Matris dili, portföylerin ötesinde, bir ekonominin iç bağlantılarını yazmanın da yoludur. Temel matematik kursunda gördüğümüz girdi-çıktı tablosu, her sektörün öbür sektörlerden ne kadar girdi aldığını gösteren bir matristir. Bir sektördeki talep artışının bütün ekonomiye yayılan etkisi, bu matrisle yapılan hesaplarla bulunur. Aynı yapı, ülkeler arası ticaret akımlarını, bankalar arası borç ilişkilerini ya da bir tedarik zincirindeki bağımlılıkları göstermek için kullanılır. Bu bağlantıların hepsinde soru aynıdır: bir düğümdeki değişiklik, ağın geri kalanına nasıl yayılır?

Hesabı denetlemek

Matris hesaplarında hatalar çoğu zaman sessizdir: yanlış sırayla yapılan bir çarpım ya da ters dizilmiş bir sütun, sonuç vermeye devam eder ama sonuç anlamsızdır. Birkaç basit denetim bu hataları yakalar. Boyutlar her adımda yazılmalı ve uyumlu olduğu kontrol edilmelidir. Portföy ağırlıklarının toplamı 1 olmalı, bir kovaryans matrisi simetrik olmalı ve köşegenindeki varyanslar negatif olmamalıdır. Hesaplanan portföy riski, en riskli varlığın riskinden büyük çıkıyorsa, bir yerde hata vardır.

Modelin sınırları

Vektörler ve matrisler, çok sayıda değişkeni ve ilişkiyi düzenli biçimde yazmanın güçlü bir yoludur; ama düzenli bir gösterim, girdilerin doğru olduğunu güvenceye almaz. Bir kovaryans matrisi geçmiş veriden tahmin edilir ve ilişkiler zamanla değişir; kriz dönemlerinde, sakin dönemlerde düşük olan korelasyonlar birden yükselir. Bir girdi-çıktı tablosu belirli bir yılın yapısını gösterir ve teknoloji değiştikçe eskir. Matris hesabı, bu girdileri kusursuz biçimde işler; sonucun kalitesi, girdilerin kalitesini aşamaz.

Uygulama

Özet kartı

1. Vektör sıralı bir sayı listesi, matris satır ve sütunlardan oluşan bir sayı tablosudur; çok sayıda iktisadi büyüklüğü tek bir nesne olarak ele almayı sağlar.
2. İç çarpım karşılıklı elemanların çarpımlarının toplamıdır; fiyat ve miktar vektörlerinin iç çarpımı sepet maliyetini, bütçe kısıtını ve fiyat endekslerini verir.
3. Matris çarpımı satırlarla sütunların iç çarpımlarından oluşur; boyutların uyumunu gerektirir ve çarpım sırası önemlidir.
4. Kovaryans matrisi varyansları köşegende, kovaryansları köşegen dışında taşır; portföy varyansı wᵀ × Σ × w'dir ve varlıklar tam birlikte hareket etmedikçe risklerin ağırlıklı ortalamasından düşüktür.
5. Markowitz'in matris hesabı çeşitlendirmenin mantığını kurar; ama girdiler veriden tahmin edildiği için, tahmin hatası en iyi portföyü basit kurallardan kötü kılabilir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Vektör ile matris arasındaki farkı açıkla ve her birine iktisattan bir örnek ver.
2. (Çıktı 2) Bir portföyün riski neden varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalamasından düşük olabilir? Kovaryans matrisinin bu sonuçtaki rolünü açıkla.
3. (Çıktı 3) Fiyat vektörü p = (15, 4, 30), miktar vektörü q = (2, 10, 1) ise sepetin maliyetini iç çarpımla hesapla.
4. (Çıktı 3) A = [[1, 2], [3, 0]] ve B = [[2, 1], [1, 4]] matrisleri için A × B ve B × A çarpımlarını hesapla. Sonuçları karşılaştır.
5. (Çıktı 3) İki varlığın standart sapmaları yüzde 30 ve yüzde 10, korelasyonları 0; ağırlıklar (0,5; 0,5). Portföy varyansını ve standart sapmasını hesapla.
6. (Çıktı 4) DeMiguel ve arkadaşlarının 1/N bulgusu, Markowitz'in portföy teorisinin yanlış olduğunu mu gösterir? Değerlendir.

Cevaplar

1. Vektör, sıralı bir sayı listesidir; örneğin bir tüketim sepetindeki malların miktarları. Matris, satır ve sütunlardan oluşan bir sayı tablosudur; örneğin satırları şehirlere, sütunları ürünlere karşılık gelen bir fiyat tablosu ya da bir girdi-çıktı tablosu. Bir matris, satır ya da sütun vektörlerinin bir araya getirilmesi olarak da düşünülebilir.
2. Portföy varyansı, varlıkların kendi varyanslarının yanında her çiftin kovaryansını da içerir; bu bilgiler kovaryans matrisinde toplanır. Varlıklar tam olarak birlikte hareket etmiyorsa, yani korelasyonları 1'den küçükse, kovaryans terimleri tam korelasyon durumundakinden küçüktür ve bir varlığın düşüşü öbürünün yükselişiyle kısmen dengelenir. Bu yüzden portföyün standart sapması, risklerin ağırlıklı ortalamasından düşük olur.
3. p · q = 15 × 2 + 4 × 10 + 30 × 1 = 30 + 40 + 30 = 100.
4. A × B: birinci satır (1 × 2 + 2 × 1, 1 × 1 + 2 × 4) = (4, 9); ikinci satır (3 × 2 + 0 × 1, 3 × 1 + 0 × 4) = (6, 3). B × A: birinci satır (2 × 1 + 1 × 3, 2 × 2 + 1 × 0) = (5, 4); ikinci satır (1 × 1 + 4 × 3, 1 × 2 + 4 × 0) = (13, 2). İki sonuç farklıdır; matris çarpımında sıra önemlidir.
5. Varyanslar 0,09 ve 0,01, kovaryans 0'dır. Portföy varyansı 0,25 × 0,09 + 0,25 × 0,01 = 0,0225 + 0,0025 = 0,025. Standart sapma √0,025 ≈ 0,158, yani yaklaşık yüzde 15,8; risklerin ağırlıklı ortalaması olan yüzde 20'den düşüktür.
6. Bulgu, teorinin yanlış olduğunu değil, girdilerinin tahmin edilmesinin çok zor olduğunu gösterir. Markowitz'in temel fikri, riskin varlıklar arasındaki ilişkilere bağlı olduğu ve çeşitlendirmenin riski azalttığıdır; bu fikir 1/N kuralının da dayanağıdır. Sorun, geçmiş veriden tahmin edilen beklenen getirilerin ve kovaryansların gürültülü olması ve optimizasyonun bu gürültüyü büyütmesidir. Tahmin hatasını azaltan yöntemler ya da çok uzun veri, optimizasyonun avantajını geri kazandırabilir.

İleri okuma

• Harry M. Markowitz (1952). «Portfolio Selection». Journal of Finance 7(1). Portföy teorisinin kurucu makalesi.
• Harry M. Markowitz (1990). «Foundations of Portfolio Theory». Nobel konuşması, nobelprize.org. Teorinin doğuşu ve Friedman'la yaşanan tartışma.
• Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi, Raman Uppal (2009). «Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?». Review of Financial Studies 22(5). Tahmin hatası ve basit kuralların gücü.
• Gilbert Strang (2016). Introduction to Linear Algebra. 5. baskı, Wellesley-Cambridge Press. Vektörler ve matrislerin sezgisel ve kapsamlı bir anlatımı.

Sonraki derse köprü

Bu derste vektörleri ve matrisleri tanıdık, onları çarpmayı ve bir portföyün riskini bir matris çarpımıyla hesaplamayı öğrendik. Ama matrislerin iktisattaki en önemli kullanımlarından biri, çok sayıda bilinmeyenli denklem sistemlerini çözmektir. Birçok piyasanın aynı anda dengeye geldiği fiyatlar, bir ekonominin sektörlerinin karşılıklı bağımlılığı altındaki üretim düzeyleri nasıl bulunur? Bir denklem sistemini bir matris ve iki vektörle nasıl yazarız, ters matris bu sistemi nasıl çözer ve bir sistemin tek bir çözümü olup olmadığını hangi sayı söyler? Doğrusal denklem sistemlerini sıradaki ders ele alıyor.