İntegral ve alan

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Ters türevi, belirli integrali, Riemann toplamını, kalkülüsün temel teoremini, bugünkü değeri ve sanal fiyatı tanımlar.
• Anlama — İntegralin, türevin tersi olarak marjinal büyüklüklerden toplam büyüklükleri nasıl geri kurduğunu ve bir eğrinin altındaki alanın iktisatta neden bir refah ölçüsü olarak kullanıldığını açıklar.
• Uygulama — Marjinal maliyetten toplam maliyeti, bir talep fonksiyonundan tüketici rantını ve sürekli bir gelir akışının bugünkü değerini integralle hesaplar.
• Değerlendirme — Yeni bir ürünün tüketicilere sağladığı faydayı talep eğrisinin altındaki alanla ölçme yaklaşımını, tahmin varsayımlarını ve yöneltilen eleştirileri tartarak yorumlar.

Sezgi

Açılış

Bir fabrika yöneticisi, bir birim daha üretmenin maliyetini her üretim düzeyinde biliyor: ilk birimler ucuz, sonrakiler giderek pahalı. Şimdi farklı bir soru soruyor: üretimi on birimden yirmi birime çıkarmanın toplam ek maliyeti ne olur? Bu sorunun cevabı, her ek birimin maliyetini toplayarak bulunur.

Önceki derslerde hep bir yönde ilerledik: bir toplamdan, örneğin toplam maliyetten başlayıp türev alarak marjinal değere ulaştık. İktisatta çoğu zaman bunun tersi de gerekir. Bir talep eğrisi, her ek birim için tüketicilerin ne kadar ödemeye razı olduğunu gösterir; bu marjinal değerleri toplamak, bir malın tüketicilere sağladığı toplam faydayı verir. Bir yatırımın her yıl getireceği gelir biliniyorsa, bu gelir akışının bugünkü toplam değeri de benzer bir toplamayla bulunur.

Bu toplama işleminin matematiksel adı integraldir. Geometrik olarak bir eğrinin altındaki alanı ölçer. Bu ders, integralin türevle nasıl bir çift oluşturduğunu ve iktisatta bir alanın nasıl bir değere, bazen de milyonlarca dolarlık bir refah tahminine dönüştüğünü ele alıyor.

Hikâye — Bir kahvaltı gevreğinin değeri

1989'da ABD'de General Mills şirketi, yeni bir kahvaltılık gevrek piyasaya sürdü: elmalı ve tarçınlı Cheerios. Raflarda zaten onlarca gevrek vardı ve yeni bir tadın eklenmesi sıradan bir olaydı. Ama iktisatçı Jerry Hausman, bu sıradan olayı önemli bir soruyu sınamak için kullandı: yeni bir ürün, tüketicilerin refahını ne kadar artırır?

Sorunun önemi, fiyat endekslerinden geliyordu. Resmî enflasyon ölçüleri, belirli bir ürün sepetinin fiyatını izler. Yeni ürünler piyasaya girdiğinde, tüketiciler daha önce sahip olmadıkları bir seçeneğe kavuşur; bu, fiyatlar değişmese bile yaşam standartlarını yükseltir. Endeksler bu kazancı görmezse, enflasyonu olduğundan yüksek ölçer. Hausman, bu kazancın büyüklüğünü ölçmenin bir yolunu arıyordu.

Yöntemi integrale dayanıyordu. Hausman, gevrek piyasasının market satış verilerinden, elmalı-tarçınlı Cheerios için bir talep eğrisi tahmin etti. Sonra şu soruyu sordu: bu ürün hiç olmasaydı, yani fiyatı talebi sıfıra indirecek kadar yüksek olsaydı, ne olurdu? Talebin sıfıra indiği bu fiyata sanal fiyat adını verdi. Ürünün tüketicilere sağladığı kazanç, gerçek fiyat ile sanal fiyat arasında talep eğrisinin altında kalan alandı.

Hesap şaşırtıcı bir sonuç verdi. Sanal fiyat, gerçek fiyatın yaklaşık iki katı çıktı. Tek bir gevrek türünün tüketicilere sağladığı refah artışı, yılda yaklaşık 78 milyon dolar olarak tahmin edildi. Hausman buradan, fiyat endekslerinin yeni ürünleri göz ardı ettiği için gevrek fiyatlarındaki artışı önemli ölçüde abarttığı sonucuna vardı.

Tahmin tartışmasız kalmadı. Aynı kitapta yayımlanan bir yorumda iktisatçı Timothy Bresnahan, Hausman'ın talep eğrisini tahmin ederken yaptığı bir varsayımı sorguladı. Bresnahan'a göre bu varsayım yanlışsa, tahmin edilen talep eğrisi olduğundan dik çıkar ve eğrinin altındaki alan, yani refah kazancı, abartılır. Tartışma, integralin kendisinin tartışmasız, ama altında alanı ölçülen eğrinin tartışmalı olabileceğini gösterdi.

Kavram

İntegral, türevin tersine gider: marjinal bir büyüklükten toplam büyüklüğü bulur.

Alanı ölçmenin en doğrudan yolu, onu küçük parçalara bölmektir.

Türev ile integral arasındaki bağı kuran sonuç, matematiğin en önemli teoremlerinden biridir.

İktisatta integralin en sık kullanıldığı yerlerden biri zamandır.

Veri ve kanıt

Hausman'ın çalışması, yeni ürünlerin değerini integralle ölçmenin en çok anılan örneğidir.

Aynı kitapta, Hausman'ın bölümüne eleştirel bir yorum da yayımlandı.

İki tarafın tartışması, integral hesabının iktisattaki doğasını gösterir. Alanı ölçmek matematiksel olarak kesin bir işlemdir; tartışma, alanın altında kaldığı eğrinin nasıl tahmin edildiği üzerinedir. Bir talep eğrisinin eğimindeki küçük bir fark, özellikle sanal fiyat gibi verinin hiç gözlenmediği uç noktalara uzanan bir hesapta, alanda büyük bir farka yol açabilir.

Neden önemli?

İktisatta pek çok önemli büyüklük bir toplamdır ve bu toplamlar marjinal bilgilerden kurulur. Toplam maliyet, marjinal maliyetlerin; toplam gelir, marjinal gelirlerin; bir malın tüketicilere sağladığı toplam fayda, ödeme isteklerinin toplamıdır. Bu toplamları hesaplamanın matematiksel aracı integraldir. Temel mikroiktisat derslerindeki tüketici rantı, üretici rantı ve ölü ağırlık kaybı üçgenleri, doğrusal eğrilerde integralin özel hâlleridir.

Politika değerlendirmesinde integral, faydayı ölçmenin dilidir. Bir köprü, bir otoyol, bir aşı programı ya da bir vergi değişikliği, tüketicilerin ve üreticilerin refahını değiştirir. Bu değişimin büyüklüğü, ilgili talep ve arz eğrilerinin altındaki alanların farkıyla ölçülür. Maliyet-fayda analizleri, bu hesaplara dayanır.

Zaman boyunca yayılan ödemeler de integralle değerlendirilir. Bir emeklilik fonu, bir altyapı yatırımı ya da bir borç, gelecekte uzun bir süre boyunca ödemeler doğurur. Bu ödemelerin bugünkü değeri, faiz oranıyla indirgenmiş akışın integraliyle hesaplanır. Faiz oranındaki küçük değişiklikler, uzun süreli akışların bugünkü değerini büyük ölçüde değiştirebilir.

Model

Marjinalden toplama

Türev, bir toplamın ne hızla değiştiğini söyler; integral ise değişim hızlarından toplamı geri kurar. Bir firmanın marjinal maliyeti MC(q) = 4 + 0,6q ise, toplam maliyet, türevi bu ifadeye eşit olan bir fonksiyondur. Kuvvet kuralı tersinden uygulanır: 4'ün ters türevi 4q, 0,6q'nun ters türevi 0,3q²'dir. Toplam maliyet TC(q) = 4q + 0,3q² + C biçimindedir. C, integral sabitidir ve üretim sıfırken bile ödenen sabit maliyeti temsil eder; marjinal maliyetten çıkarılamaz. Sabit maliyet 50 lira ise TC(q) = 50 + 4q + 0,3q² olur.

Ters türev kuralları

Ters türev almak, türev kurallarını tersinden okumaktır. x üzeri n'in ters türevi, n −1'e eşit olmadığı sürece, x üzeri (n + 1) bölü (n + 1)'dir: x'in ters türevi x² ÷ 2, x²'ninki x³ ÷ 3'tür. Bir sabitin ters türevi, sabit ile x'in çarpımıdır. Toplamların ters türevi, ters türevlerin toplamıdır. 1 ÷ x'in ters türevi doğal logaritmadır, doğal üstel fonksiyon ise kendi kendisinin ters türevidir. Bu kurallar, iktisatta karşılaşılan polinom, üstel ve logaritmik fonksiyonların çoğunu kapsar. Her ters türev, sonuna eklenen bir sabitle birlikte yazılır.

Alan olarak integral

Belirli integral, bir eğrinin altında kalan alanı ölçer. Marjinal maliyet eğrisinin 10 ile 20 birim arasında kalan alanı, üretimi 10'dan 20'ye çıkarmanın toplam ek maliyetidir. Bunun sezgisi basittir: her ek birimin maliyeti, eğrinin o noktadaki yüksekliğidir ve bu yüksekliklerin toplamı, eğrinin altındaki alandır. Alan, fonksiyon eksenin altına düştüğünde negatif sayılır: marjinal kâr negatifse, o aralıkta üretim kârı azaltır. Bu yüzden belirli integral, işaretli bir alandır; bir aralıkta kazanılan ve kaybedilen, birbirinden çıkarılır.

Riemann toplamıyla yaklaşık alan

Alanı ölçmenin en doğrudan yolu, onu dikdörtgenlere bölmektir. P = 120 − 3Q talep eğrisinin 0 ile 30 birim arasındaki alanını düşünelim. Aralık 10'ar birimlik üç parçaya bölünür. Her parçanın sol ucundaki yüksekliği kullanan toplam 120 × 10 + 90 × 10 + 60 × 10 = 2.700; sağ ucundakini kullanan toplam 90 × 10 + 60 × 10 + 30 × 10 = 1.800 verir. Orta noktaları kullanan toplam 105 × 10 + 75 × 10 + 45 × 10 = 2.250'dir. Parçalar inceldikçe sol ve sağ uç toplamları birbirine yaklaşır ve ikisi de gerçek alana, 2.250'ye yaklaşır. Doğrusal bir eğride orta nokta toplamı zaten tam sonucu verir.

Kalkülüsün temel teoremi

Riemann toplamlarını her seferinde hesaplamak zahmetlidir. Kalkülüsün temel teoremi, bu işi kolaylaştırır: bir fonksiyonun a'dan b'ye belirli integrali, herhangi bir ters türevinin b'deki değerinden a'daki değerinin çıkarılmasıyla bulunur. Marjinal maliyet örneğinde, 10'dan 20'ye integral, TC(20) − TC(10) = (80 + 120) − (40 + 30) = 130 liradır; sabit maliyet 50 bu farkta birbirini götürür. Teorem, Newton ile Leibniz'in bağımsız buluşlarının ortak özüdür: alan hesabı ile eğim hesabı, aynı madalyonun iki yüzüdür.

Tüketici rantını hesaplamak

Tüketici rantını bulmak için, alıcıların toplam ödeme isteğinden fiilen ödedikleri tutar çıkarılır. P = 120 − 3Q talebinde fiyat 30 lira ise, satılan miktar 30 birimdir. Talep eğrisinin 0 ile 30 arasındaki alanı, ters türev 120Q − 1,5Q² kullanılarak 3.600 − 1.350 = 2.250 bulunur. Bu, tüketicilerin 30 birim için ödemeye razı oldukları toplamdır. Gerçekte ödenen tutar 30 × 30 = 900 liradır. Tüketici rantı 2.250 − 900 = 1.350 liradır. Doğrusal talepte bu, bir üçgenin alanıdır: taban 30, yükseklik 120 − 30 = 90, alan 30 × 90 ÷ 2 = 1.350. Eğri doğrusal olmadığında üçgen formülü işe yaramaz, integral gerekir.

Doğrusal olmayan talep ve integral

Gerçek talep eğrileri çoğu zaman doğrusal değildir; özellikle fiyat yükseldikçe eğri giderek dikleşebilir ya da yatıklaşabilir. Sabit esneklikli bir talep eğrisinde, fiyat yükseldikçe talep sıfıra hiç ulaşmaz; eğri, fiyat ekseni boyunca sonsuza uzanır. Bu durumda tüketici rantının hesaplanması, eğrinin sonsuza kadar uzanan bir kuyruğunun altındaki alanın integralini gerektirir. Esneklik 1'den küçükse bu alan sonsuz çıkar: talep eğrisinin biçimi, ölçülen refahı doğrudan belirler. Hausman ile Bresnahan'ın tartışması tam olarak buradan doğar: sanal fiyata uzanan kuyruğun biçimi, gözlenen verinin dışında kalır ve bir varsayıma dayanır.

Üretici rantı ve arz eğrisi

Satış tarafının hesabı da aynı yolu izler. Arz eğrisi, her ek birimi satmaya razı olunan en düşük fiyatı, yani o birimin marjinal maliyetini gösterir. Satıcıların toplam kazancı, piyasada elde ettikleri fiyatın her birimin marjinal maliyetini ne kadar aştığının toplamıdır. Arz fonksiyonu P = 10 + 2Q ve piyasa fiyatı 50 lira ise satılan miktar 20 birimdir. Satıcıların eline geçen gelir 50 × 20 = 1.000 liradır. Bu 20 birimi sağlamanın toplam marjinal maliyeti, arz eğrisinin 0 ile 20 arasındaki integralidir: 10 × 20 + 20² = 600 lira. Üretici rantı 1.000 − 600 = 400 liradır. Arz eğrisi doğrusal olmadığında, örneğin maliyetler üretim arttıkça hızla yükseliyorsa, bu hesap yalnızca integralle yapılabilir. Vergilerin ve tavan fiyat uygulamalarının satıcılara yüklediği kayıp da, iki fiyat düzeyi arasında arz eğrisinin üstünde kalan alanın farkıyla ölçülür.

Bir fonksiyonun ortalama değeri

İntegralin bir başka kullanışlı sonucu, bir fonksiyonun bir aralıktaki ortalama değeridir: aralık üzerindeki integral, aralığın uzunluğuna bölünür. Bir ürünün fiyatı yıl boyunca sürekli ve düzgün biçimde artıyor, t ay olmak üzere P(t) = 100 + 6t lira biçiminde değişiyor olsun. Yıl başındaki fiyat 100, yıl sonundaki 172 liradır. Yıl boyunca ortalama fiyat, P(t)'nin 0 ile 12 arasındaki integralinin 12'ye bölünmesiyle bulunur: (1.200 + 432) ÷ 12 = 136 lira. Fiyat endekslerindeki yıllık ortalama ile yıl sonu değer arasındaki fark, bu ayrımın iktisadi karşılığıdır: bir yılın ortalama fiyat düzeyi, yıl sonundaki düzeyle aynı şey değildir ve ikisini karıştırmak enflasyon yorumlarını saptırabilir.

Ölü ağırlık kaybını ölçmek

Bir vergi, piyasada el değiştiren miktarı düşürür ve alıcılar ile satıcılar arasındaki bazı karşılıklı yararlı alışverişleri engeller. Engellenen alışverişlerin değeri, vergisiz ve vergili miktarlar arasında talep eğrisi ile arz eğrisinin arasında kalan alandır: ölü ağırlık kaybı. Doğrusal eğrilerde bu alan bir üçgendir; eğriler doğrusal değilse integralle hesaplanır. Bu hesabın önemli bir sonucu, ölü ağırlık kaybının vergi oranının karesiyle yaklaşık orantılı büyümesidir: vergi oranını iki katına çıkarmak, kaybı yaklaşık dört katına çıkarır. Bu yüzden iktisatçılar, geniş tabanlı ve düşük oranlı vergileri dar tabanlı ve yüksek oranlı vergilere genellikle tercih eder.

Zaman boyunca integral: bugünkü değer

Bir yatırımın her yıl sabit bir gelir getirdiğini ve gelirin yıl boyunca sürekli aktığını düşünelim. Gelecekteki her liranın bugünkü karşılığı, faiz oranıyla indirgenir: t yıl sonraki bir lira, sürekli bileşiklemede e üzeri (−r × t) lira eder. Sürekli bir akışın bugünkü değeri, akışın her anındaki indirgenmiş değerinin zaman boyunca integralidir. Yıllık 100 liralık bir akış, yüzde 5 faizle, 10 yıl boyunca sürerse bugünkü değeri 100 × (1 − e üzeri −0,5) ÷ 0,05 ≈ 787 liradır; indirgemesiz toplam olan 1.000 liradan belirgin biçimde düşüktür.

Çözümlü örnek — Üç alan

Ek maliyet. Marjinal maliyet MC(q) = 4 + 0,6q, sabit maliyet 50 lira. Toplam maliyet TC(q) = 50 + 4q + 0,3q². Üretimi 10'dan 20'ye çıkarmanın ek maliyeti TC(20) − TC(10) = 250 − 120 = 130 liradır.

Tüketici rantı. Talep P = 120 − 3Q, fiyat 30. Satılan miktar 30. Ödeme isteklerinin toplamı ∫₀³⁰ (120 − 3Q) dQ = 2.250; ödenen tutar 900; tüketici rantı 1.350.

Riemann sınaması. Aynı alan, 10'ar birimlik üç dikdörtgenle, sol uçlarla 2.700, sağ uçlarla 1.800, orta noktalarla 2.250 olarak hesaplanır; doğrusal bir eğride orta nokta toplamı tam sonucu verir.

Bugünkü değer. Yıllık 100 liralık sürekli akışın yüzde 5 faizle 10 yıllık bugünkü değeri 100 × (1 − e üzeri −0,5) ÷ 0,05 ≈ 786,94 liradır.

Faize duyarlılık. Faiz yüzde 10'a çıksa, aynı akışın bugünkü değeri 100 × (1 − e üzeri −1) ÷ 0,10 ≈ 632 liraya düşer. Faizin iki katına çıkması, bugünkü değeri yaklaşık yüzde 20 azaltır.

Sonsuz akışlar

Bazı akışlar belirli bir sonu olmadan sürer: kalıcı bir altyapının faydası, bir devlet tahvilinin sonsuza kadar ödenen faizi. Sonsuz bir süre boyunca integral, bir limit olarak tanımlanır: üst sınır sınırsız büyütülürken integralin neye yaklaştığına bakılır. Sabit bir akışın sonsuz süreli bugünkü değeri, akış ÷ faiz oranıdır: yıllık 100 liralık bir akış, yüzde 5 faizle 2.000 lira eder. Bu formül, toprağın, konutların ve kalıcı gelir getiren varlıkların fiyatlarını anlamanın temelidir. Faiz oranı düştüğünde bu tür varlıkların değeri keskin biçimde yükselir; faiz oranları ile konut fiyatları arasındaki güçlü ilişkinin bir kaynağı budur.

Yeni ürünler ve fiyat endeksleri

Hausman'ın çalışması, fiyat endeksleri için genel bir sorunun örneğidir. Endeksler, belirli bir ürün sepetinin fiyatını izler; yeni ürünler sepete ancak bir süre sonra, kendi fiyatları üzerinden girer. Ürünün piyasaya ilk girdiği andaki kazanç, yani sanal fiyattan gerçek fiyata düşüşün yarattığı tüketici rantı, endekste hiç görünmez. Bu yüzden yeni ürünlerin hızla çoğaldığı dönemlerde endeksler, hanelerin gerçekte katlandığı maliyet artışını şişirilmiş gösterebilir. Bu yanlılığın büyüklüğü tartışmalıdır; ölçmek için her yeni ürünün talep eğrisini ve sanal fiyatını tahmin etmek gerekir ve bu tahminler, Bresnahan'ın eleştirisinde görüldüğü gibi, güçlü varsayımlara dayanır.

Sayısal integral

Pek çok gerçek fonksiyonun ters türevi basit bir formülle yazılamaz ya da fonksiyonun kendisi yalnızca veri noktaları olarak bilinir. Bu durumda integral, Riemann toplamlarının geliştirilmiş biçimleriyle sayısal olarak hesaplanır. Yamuk kuralı, her parçada dikdörtgen yerine eğrinin iki ucunu birleştiren bir yamuk kullanır ve çoğu durumda çok daha isabetlidir. Hesap tablolarında bu tür hesaplar, bir sütuna noktaları, yanındaki sütuna parça alanlarını yazıp toplayarak kolayca yapılır. İktisatçılar, anket ve satış verilerinden tahmin edilen talep eğrilerinin altındaki alanları çoğu zaman bu yolla hesaplar.

Modelin sınırları

İntegral, bir eğrinin altındaki alanı kesin biçimde ölçer; ama ölçülen şeyin anlamı, eğrinin kendisine bağlıdır. Talep eğrisinin altındaki alan, ancak eğri tüketicilerin gerçek ödeme isteklerini yansıtıyorsa refahın bir ölçüsüdür. Gelir etkileri büyük olduğunda, tüketici rantı refah değişimini yalnızca yaklaşık olarak ölçer. Veri, eğrinin yalnızca bir bölümünü gösterir; sanal fiyat gibi gözlenmeyen bölgelere uzanan hesaplar, varsayımlara dayanır. Bugünkü değer hesapları ise seçilen faiz oranına son derece duyarlıdır. İyi bir analiz, alanın büyüklüğünü raporlarken eğrinin nasıl tahmin edildiğini ve sonucun hangi varsayımlara bağlı olduğunu da açıklar.

Uygulama

Özet kartı

1. İntegral türevin tersidir: marjinal büyüklüklerden toplam büyüklüğü geri kurar; ters türev bir sabite kadar belirlidir ve bu sabit, örneğin sabit maliyet, ayrıca bilinmelidir.
2. Belirli integral, bir eğrinin iki sınır arasındaki işaretli alanıdır; Riemann toplamlarının parçalar incelirken yaklaştığı limittir.
3. Kalkülüsün temel teoremi, belirli integrali bir ters türevin iki uçtaki değerlerinin farkı olarak hesaplamayı sağlar ve türev ile integralin birbirinin tersi olduğunu kurar.
4. Tüketici rantı, üretici rantı ve ölü ağırlık kaybı, eğriler arasındaki alanlardır; sürekli bir akışın bugünkü değeri, indirgenmiş akışın zaman boyunca integralidir ve faiz oranına çok duyarlıdır.
5. Yeni bir ürünün değeri, gerçek fiyat ile sanal fiyat arasında talep eğrisinin altındaki alanla ölçülür; ama Hausman ile Bresnahan'ın tartışması, alanın ölçüldüğü eğrinin tahmin varsayımlarına bağlı olduğunu gösterir.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Ters türevi ve belirli integrali tanımla. Aralarındaki ilişkiyi hangi teorem kurar?
2. (Çıktı 2) Bir malın tüketicilere sağladığı toplam fayda neden o mala yapılan harcamadan büyüktür? Bunu bir talep eğrisi üzerinde alanlarla açıkla.
3. (Çıktı 3) Marjinal maliyet MC(q) = 10 + 2q, sabit maliyet 200 lira. Toplam maliyet fonksiyonunu yaz ve üretimi 5'ten 15'e çıkarmanın ek maliyetini hesapla.
4. (Çıktı 3) Talep P = 90 − 2Q ve fiyat 30 lira ise tüketici rantını integralle hesapla ve üçgen formülüyle doğrula.
5. (Çıktı 3) Yıllık 500 liralık sürekli bir gelir akışının, yüzde 4 faizle, sonsuz süreli bugünkü değerini hesapla. Faiz yüzde 5'e çıkarsa bu değer ne olur?
6. (Çıktı 4) Hausman'ın yeni ürün değeri tahminine Bresnahan'ın itirazını değerlendir. Talep eğrisinin eğimindeki bir hata, sanal fiyata dayanan bir refah hesabını neden özellikle büyük ölçüde etkiler?

Cevaplar

1. Ters türev, türevi verilen fonksiyona eşit olan fonksiyondur ve bir sabite kadar belirlidir. Belirli integral, fonksiyonun iki sınır arasında eğrinin altında kalan işaretli alanıdır. Kalkülüsün temel teoremi, belirli integralin herhangi bir ters türevin üst ve alt sınırdaki değerlerinin farkına eşit olduğunu söyler.
2. Harcama, fiyat ile miktarın çarpımıdır ve talep eğrisinin altında, fiyat düzeyine kadar uzanan bir dikdörtgendir. Toplam fayda ise talep eğrisinin altındaki alanın tamamıdır; çünkü her birim için tüketicilerin ödemeye razı olduğu tutar, eğrinin o noktadaki yüksekliğidir. İlk birimler için bu tutar fiyattan yüksektir. Toplam fayda ile harcama arasındaki fark, fiyatın üstünde, talep eğrisinin altında kalan tüketici rantıdır.
3. TC(q) = 200 + 10q + q². TC(15) = 200 + 150 + 225 = 575; TC(5) = 200 + 50 + 25 = 275. Ek maliyet 575 − 275 = 300 liradır; sabit maliyet farkta birbirini götürür.
4. Fiyat 30 iken 90 − 2Q = 30'dan Q = 30. Ödeme isteklerinin toplamı ∫₀³⁰ (90 − 2Q) dQ = 90 × 30 − 30² = 2.700 − 900 = 1.800. Ödenen tutar 30 × 30 = 900. Tüketici rantı 1.800 − 900 = 900. Üçgen formülü: taban 30, yükseklik 90 − 30 = 60, alan 30 × 60 ÷ 2 = 900.
5. Sonsuz süreli bugünkü değer akış ÷ faiz oranıdır: 500 ÷ 0,04 = 12.500 lira. Faiz yüzde 5'e çıkarsa 500 ÷ 0,05 = 10.000 liraya düşer; faizdeki bir puanlık artış, değeri yüzde 20 azaltır.
6. Bresnahan, Hausman'ın talep eğrisini tanımlarken ülke genelinde ortak talep şokları olmadığını varsaydığını ve bu varsayım yanlışsa tahmin edilen eğrinin olduğundan dik olacağını söyler. Sanal fiyat, talebin sıfıra indiği noktadır ve genellikle verinin gözlendiği fiyatların çok ötesindedir. Dik bir eğri, sanal fiyatı yükseltir ve gerçek fiyatla sanal fiyat arasındaki alanı büyütür. Hesap, verinin olmadığı bir bölgeye dışa taşma içerdiği için, eğimdeki küçük bir hata alanda büyük bir hataya dönüşür.

İleri okuma

• Jerry A. Hausman (1997). «Valuation of New Goods under Perfect and Imperfect Competition». Bresnahan ve Gordon (ed.), The Economics of New Goods içinde. University of Chicago Press. Yeni ürünlerin değerinin talep eğrisinin altındaki alanla ölçülmesi.
• Timothy F. Bresnahan (1997). «The Apple-Cinnamon Cheerios War: Valuing New Goods, Identifying Market Power, and Economic Measurement». Aynı kitapta. Hausman'ın yöntemine eleştirel bir yorum.
• Robert D. Willig (1976). «Consumer's Surplus without Apology». American Economic Review 66(4). Tüketici rantının refah ölçüsü olarak geçerliliği.
• Angus Deaton, John Muellbauer (1980). Economics and Consumer Behavior. Cambridge University Press. Tüketici refahının ölçülmesi ve talep eğrilerinin altındaki alanların yorumu.

Sonraki derse köprü

Bu derste tek bir değişkenin marjinal değerlerinden toplamı, tek bir eğrinin altındaki alanı hesapladık. Ama bir ekonomide aynı anda binlerce mal, sektör ve piyasa vardır ve her biri öbürlerine bağlıdır: çelik sektörünün üretimi otomobil sektörünün talebine, otomobil sektörü de çeliğe bağlıdır. Çok sayıda değişkeni ve aralarındaki ilişkileri düzenli bir biçimde nasıl yazarız? Satırları ve sütunları olan bir sayı tablosu, bir ekonominin bağlantılarını nasıl temsil eder? Matrisleri ve vektörleri sıradaki ders ele alıyor.