Fonksiyon türleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Tanım kümesini, ikinci dereceden fonksiyonu, kuvvet fonksiyonunu, üstel fonksiyonu ve ters fonksiyonu tanımlar.
• Anlama — Farklı fonksiyon ailelerinin grafiklerinin neden farklı biçimler aldığını ve her ailenin hangi iktisadi ilişkiyi betimlemeye uygun olduğunu açıklar.
• Uygulama — Doğrusal, ikinci dereceden, kuvvet ve üstel fonksiyonların değerlerini hesaplar; bir talep fonksiyonunun tersini bulur; bir üretim fonksiyonunda girdiler katlandığında çıktının nasıl değiştiğini hesaplar.
• Değerlendirme — Bir ekonomik ilişkiyi betimlemek için hangi fonksiyon türünün seçileceğini, bu seçimin taşıdığı varsayımlar ve veriyle uyumu açısından değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir fabrika yöneticisi, üretimi artırmak için iki seçeneği tartıyor: işçi sayısını artırmak ya da yeni makineler almak. Bir sorusu var: işçi sayısını ikiye katlarsa üretim de ikiye katlanır mı? Yoksa makineler aynı kaldığı için ek işçiler birbirinin yolunu mu kesmeye başlar? Peki hem işçileri hem makineleri ikiye katlarsa ne olur?

Bu soruların cevabı, üretim ile girdiler arasındaki ilişkinin biçimine bağlıdır. İlişki bir doğruysa, her ek işçi aynı miktarda ek üretim getirir. İlişki eğriyse, ek işçilerin katkısı giderek azalabilir ya da artabilir. İktisadın dilinde bu biçimler, farklı fonksiyon türleriyle yazılır.

Temel matematik kursunda fonksiyonu bir girdi ile bir çıktıyı bağlayan kural olarak tanıdık ve en basit biçimi olan doğruyu inceledik. Bu ders, iktisatçıların en sık kullandığı fonksiyon ailelerini tanıtıyor ve her birinin grafiğinin, ekonomik davranışa dair hangi varsayımı taşıdığını soruyor.

Hikâye — Bir iktisatçı ve bir matematikçi

1920'lerin ortasında Chicago Üniversitesi'nden iktisatçı Paul Douglas, ABD imalat sanayisinin büyümesiyle ilgili bir soruya takıldı. Elinde 1899'dan 1922'ye kadar üç seri vardı: imalat sanayisindeki üretim, çalışan işçi sayısı ve kullanılan sermaye miktarı. Üç seriyi aynı grafiğe logaritmik ölçekte çizdiğinde, üretim eğrisinin emek ve sermaye eğrilerinin arasında, emek eğrisine daha yakın bir yerden geçtiğini fark etti.

Douglas, bu gözlemi bir formüle dökmek için matematikçi Charles Cobb'dan yardım istedi. İkisi birlikte, üretimi emek ve sermayenin belirli kuvvetlerinin çarpımı olarak yazan bir fonksiyon önerdiler. Veriye en iyi uyan kuvvetler, emek için yaklaşık dörtte üç, sermaye için yaklaşık dörtte birdi. Fonksiyon, 1928'de American Economic Review'da yayımlanan «A Theory of Production» başlıklı makalede sunuldu.

Bu üslerin dikkat çekici bir özelliği vardı. Emeğin üssü olan dörtte üç, o yıllarda ABD'de milli gelirin ücretlere giden payına çok yakındı; sermayenin üssü olan dörtte bir ise sermayeye giden paya. Formül yalnızca üretimi değil, gelirin emek ile sermaye arasında nasıl bölüştüğünü de açıklıyor gibi görünüyordu.

Fonksiyon kısa sürede iktisadın en çok kullanılan formüllerinden biri oldu ve iki adı birlikte anılmaya başladı. Aynı biçimin, İsveçli iktisatçı Knut Wicksell tarafından on dokuzuncu yüzyılda da kullanıldığı sonradan hatırlatıldı. Ama formülün ününü sağlayan, onu gerçek veriyle sınayan Cobb ile Douglas'ın çalışması oldu.

Hikâyenin bir de tartışmalı tarafı var. Bazı iktisatçılar, Cobb-Douglas fonksiyonunun veriye bu kadar iyi uymasının bir üretim yasasını değil, milli gelirin ücretler ve kârlar olarak bölüşülmesine dair bir muhasebe özdeşliğini yansıttığını savundu. Tartışma bugün de sürüyor. Ama hangi taraf haklı olursa olsun, Cobb-Douglas'ın bir fonksiyon biçiminin ekonomik ilişkiler hakkında ne kadar çok şey söyleyebileceğini gösteren en ünlü örnek olduğu tartışmasızdır.

Kavram

Bir fonksiyonu tanımlamak için önce hangi girdilerin anlamlı olduğunu belirlemek gerekir.

Doğrudan sonra en basit eğri biçimi, bir tepe ya da bir çukur yapan eğridir.

Bir fonksiyon, bir yönden okunduğu kadar öbür yönden de okunabilir.

Veri ve kanıt

Cobb ile Douglas'ın makalesi, bir fonksiyon biçiminin ekonomik veriyle ilk sistematik sınamalarından biriydi.

Fonksiyonun bu başarısı, onu hem çok popüler hem de şüpheli kıldı. Sonraki on yıllarda pek çok iktisatçı, bu uyumun gerçekte neyi ölçtüğünü sorguladı.

Bu iki kaynak birlikte okunduğunda iki okuma ortaya çıkar. Birinci okumaya göre Cobb-Douglas, üretimin girdilere nasıl tepki verdiğini yakalayan, sade ve kullanışlı bir yaklaşıklıktır. İkinci okumaya göre fonksiyonun başarısı, veride zaten var olan bir muhasebe ilişkisinden gelir ve bir teknoloji hakkında sanıldığı kadar bilgi taşımaz. İktisatçıların çoğu bugün fonksiyonu, kusurlarını bilerek kullanılan bir araç olarak görür.

Neden önemli?

İktisat modelleri, fonksiyonlardan kurulur. Bir talep eğrisi, bir maliyet eğrisi, bir üretim fonksiyonu ya da bir büyüme yolu, her biri belirli bir fonksiyon türüyle yazılır ve bu seçim modelin sonuçlarını belirler. Doğrusal bir talep eğrisinde esneklik her noktada farklıdır; bir kuvvet fonksiyonu biçimindeki talep eğrisinde ise sabittir. Aynı veriye iki farklı fonksiyon uydurmak, bir vergi ya da fiyat değişikliğinin etkisi hakkında farklı tahminlere yol açabilir.

Fonksiyon türlerini tanımak, günlük ekonomik akıl yürütmede de işe yarar. Bir borcun faizi üstel biçimde birikir; bu yüzden erken yapılan ödemeler, geç yapılanlardan çok daha değerlidir. Bir işletmenin kârı, satış miktarıyla doğrusal değil, çoğu zaman bir tepe noktası olan bir eğriyle ilişkilidir. Bu biçimleri tanımak, «daha fazlası her zaman daha iyi» ya da «yarısı yarı etki yapar» gibi sezgisel ama yanlış çıkarımlardan korur.

İleri iktisat derslerinin neredeyse tamamı, bu fonksiyon ailelerini tanıdık kabul eder. Türev, optimizasyon ve denge analizi, bu fonksiyonların üzerinde yapılır. Bu kursun sonraki dersleri, burada tanıtılan fonksiyonların nasıl değiştiğini, en yüksek ve en düşük noktalarının nasıl bulunduğunu ve birden çok değişkenle nasıl çalışıldığını ele alacak.

Model

Bir fonksiyonu tanımlamak

Bir fonksiyon üç şeyle tanımlanır: tanım kümesi, yani hangi girdilerin kabul edildiği; kural, yani her girdiye hangi çıktının karşılık geldiği; ve değer kümesi, yani fonksiyonun alabileceği çıktıların tamamı. İktisatta bu üçünden en sık unutulanı tanım kümesidir. Bir maliyet fonksiyonu yalnızca sıfır ya da pozitif üretim miktarları için tanımlıdır. Bir talep fonksiyonu, talep edilen miktarın sıfırın altına düştüğü fiyatlarda anlamını yitirir. Bir fonksiyon yazılırken kuralın yanında bu sınırları da belirtmek, modelin yanlış yerlerde kullanılmasını önler.

Doğrusal fonksiyon ve sınırı

Doğrusal fonksiyon, y = a + b × x biçimindedir ve her birim artışta çıktı aynı miktarda değişir. Temel matematik kursunda gördüğümüz gibi, eğim b bu sabit değişimi verir. Doğrusal fonksiyonlar basit, yorumlanması kolay ve kısa aralıklarda çoğu ilişkiye iyi bir yaklaşıklıktır. Bir önceki kursun regresyon doğruları da doğrusal fonksiyonlardı. Ama iktisattaki pek çok ilişki, geniş aralıklarda doğrusal değildir: ek işçilerin katkısı azalır, bileşik faiz hızlanır, kâr bir noktadan sonra düşer. Bu davranışları betimlemek için eğri fonksiyonlar gerekir.

Polinomlar

Doğrusal fonksiyonun genelleştirilmiş hâli polinomdur: değişkenin sıfır, bir, iki, üç gibi pozitif tam sayı kuvvetlerinin katsayılarla toplamı. En yüksek kuvvet, polinomun derecesidir. Birinci dereceden polinom doğrudur. İkinci dereceden polinom bir parabol çizer ve tek bir tepe ya da çukur noktası vardır. Üçüncü dereceden polinom iki büküm yapabilir; iktisatta toplam maliyet eğrisi bazen böyle yazılır: üretim arttıkça maliyet önce yavaşlayarak, sonra hızlanarak artar. Derece yükseldikçe fonksiyon daha esnek hâle gelir, ama yorumlanması zorlaşır ve veriye aşırı uyma riski doğar.

İkinci dereceden fonksiyonun biçimi

İkinci dereceden bir fonksiyonun, y = a × x² + b × x + c, biçimini a katsayısı belirler. a pozitifse parabol yukarı açılır ve bir en düşük noktası vardır; negatifse aşağı açılır ve bir en yüksek noktası vardır. Bu tepe ya da çukur noktası, x = −b ÷ (2a) değerinde yer alır. Bu formül, türev kullanmadan bir optimum bulmanın ilk yoludur. Örneğin bir firmanın kârı, satış miktarının aşağı açılan bir ikinci dereceden fonksiyonuysa, kârı en yüksek yapan miktar doğrudan bu formülle bulunur. Laffer eğrisi tartışmalarındaki vergi oranı ile vergi geliri ilişkisi de, basit biçimiyle, aşağı açılan bir parabole benzetilir.

Kuvvet fonksiyonları

Kuvvet fonksiyonu, y = a × xᵇ, değişkenin sabit bir üsse yükseltilmesiyle oluşur. Üssün değeri, eğrinin biçimini belirler. Üs 0 ile 1 arasındaysa, örneğin karekök fonksiyonu gibi, eğri artar ama giderek yatıklaşır: her ek birimin katkısı azalır. Bu, azalan getirinin matematiksel biçimidir. Üs 1'den büyükse eğri giderek dikleşir. Üs negatifse, x arttıkça y azalır ve eğri sıfıra yaklaşır ama ona hiç ulaşmaz. Kuvvet fonksiyonlarının iktisat için en önemli özelliği, üssün doğrudan bir esneklik olmasıdır: x yüzde 1 arttığında y yaklaşık yüzde b artar.

Sabit esneklikli talep

Kuvvet fonksiyonu biçimindeki bir talep eğrisi, Q = A × P⁻ᵉ, iktisatta özel bir yere sahiptir. Bu eğride fiyat esnekliği her noktada aynıdır ve e'ye eşittir: fiyat yüzde 1 arttığında talep edilen miktar, hangi fiyattan başlanırsa başlansın, yaklaşık yüzde e azalır. Doğrusal bir talep eğrisinde ise esneklik, eğri boyunca değişir: yüksek fiyatlarda esnek, düşük fiyatlarda esnek değildir. Bu fark, bir fiyat değişikliğinin gelire etkisini hesaplarken önemlidir. Sabit esneklikli talep, logaritması alındığında doğrusal bir ilişkiye dönüştüğü için, veriyle tahmin etmesi de kolaydır.

Üstel fonksiyonlar

Üstel fonksiyon, y = a × bˣ, kuvvet fonksiyonundan temel bir farkla ayrılır: değişken tabanda değil üstte yer alır. Bu yüzden x bir birim arttığında y sabit bir miktar değil, sabit bir oran kadar değişir. Taban b 1'den büyükse fonksiyon sabit oranla büyür, 0 ile 1 arasındaysa sabit oranla küçülür. Bileşik faiz, sabit oranlı nüfus artışı, enflasyonun fiyat düzeyini katlaması ve bir makinenin değerinin her yıl aynı oranda azalması, üstel süreçlerdir. Üstel büyümenin en çarpıcı özelliği, uzun dönemde herhangi bir kuvvet fonksiyonunu geçmesidir.

Doğal üstel fonksiyon

İktisatta sık kullanılan özel bir üstel fonksiyon, tabanı e sayısı, yaklaşık 2,718 olan doğal üstel fonksiyondur. Bileşiklemenin çok sık, sınırda sürekli yapıldığı durumda ortaya çıkar: yıllık yüzde r faizle sürekli bileşiklenen bir birikim, t yıl sonra e üzeri r çarpı t katına ulaşır. Temel matematik kursunda tanıdığımız doğal logaritma, bu fonksiyonun tersidir. Doğal üstel fonksiyonun, sonraki derslerde göreceğimiz gibi, türevinin kendisine eşit olması gibi özel bir matematiksel özelliği vardır; bu yüzden büyüme modellerinde ve finansal hesaplarda standart araç hâline gelmiştir.

Kuvvet ile üstel arasındaki fark

Kuvvet ve üstel fonksiyonlar kısa aralıklarda birbirine benzeyebilir, ama uzun dönemde çok farklı davranır. x² ile 2ˣ karşılaştırıldığında, x = 2 ve x = 4'te iki fonksiyon aynı değeri verir; ama x = 10'da x² 100, 2ˣ 1.024; x = 20'de x² 400, 2ˣ bir milyonu aşar. İktisatta bu fark önemlidir. Bir ülkenin gelirinin her yıl sabit bir miktar artması doğrusal, sabit bir oranda artması üstel büyümedir. Uzun dönemde sabit oranlı büyüme, sabit miktarlı büyümeyi her zaman geçer; bu yüzden büyüme oranlarındaki küçük farklar, on yıllar içinde çok büyük gelir farklarına dönüşür.

Ters fonksiyonlar

Bir fonksiyonun tersini bulmak, girdi ile çıktının rolünü değiştirmek demektir. Talep fonksiyonu Q = 100 − 2P, fiyat verildiğinde miktarı söyler. Bu denklem P için çözüldüğünde P = 50 − Q ÷ 2 bulunur: bu ters talep fonksiyonudur ve belirli bir miktarın satılabilmesi için fiyatın ne olması gerektiğini söyler. İktisatçılar grafiklerde fiyatı dikey eksene koydukları için, çizilen eğri aslında ters talep fonksiyonudur. Bir fonksiyonun tersinin olması için, her çıktıya tek bir girdinin karşılık gelmesi gerekir; bu da fonksiyonun sürekli artan ya da sürekli azalan olmasını gerektirir.

Logaritma ve üstel

Logaritma ve üstel fonksiyon birbirinin tersidir. Üstel fonksiyon bir oranı bir düzeye çevirirken, logaritma bir düzeyi bir oran ölçeğine geri çevirir. Bu ilişki, iktisatta iki büyük kolaylık sağlar. Birincisi, üstel bir büyüme yolu logaritması alındığında düz bir doğruya dönüşür; bu yüzden uzun dönemli gelir serileri logaritmik ölçekte çizilir. İkincisi, bir kuvvet fonksiyonunun logaritması alındığında, çarpımlar toplamlara, üsler katsayılara dönüşür. Cobb ile Douglas'ın üsleri tahmin edebilmesini sağlayan da buydu: logaritması alınan fonksiyon, doğrusal bir regresyonla tahmin edilebilir hâle geliyordu.

Cobb-Douglas fonksiyonu

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, Q = A × Lᵅ × Kᵝ, iki kuvvet fonksiyonunun çarpımıdır. A, teknolojinin düzeyini gösteren bir sabittir. α ve β, üretimin emeğe ve sermayeye göre esneklikleridir: emek yüzde 1 arttığında üretim yaklaşık yüzde α, sermaye yüzde 1 arttığında yaklaşık yüzde β artar. Üslerin her biri birin altında kaldıkça tek bir girdiyi artırmak azalan getiri sağlar: makine sayısı sabitken her yeni işçinin üretime eklediği miktar bir öncekinden küçüktür. Fonksiyonun logaritması ln Q = ln A + α × ln L + β × ln K biçiminde doğrusal olduğu için, veriyle tahmin edilmesi kolaydır.

Ölçeğe göre getiri

Cobb-Douglas fonksiyonunda üslerin toplamı, girdilerin hepsi birlikte artırıldığında ne olacağını belirler. Emek ve sermaye aynı anda iki katına çıkarılırsa, üretim 2 üzeri (α + β) katına çıkar. Üslerin toplamı 1 ise üretim de tam iki katına çıkar; buna ölçeğe göre sabit getiri denir. Toplam 1'den büyükse üretim iki kattan fazla, küçükse iki kattan az artar. Cobb ile Douglas, özgün çalışmalarında üslerin toplamının 1 olduğunu varsaymıştı. Bu varsayımın ayrıca bir sonucu vardır: rekabetçi piyasalarda her girdiye marjinal ürünü kadar ödeme yapılırsa, üsler tam olarak girdilerin gelirden aldığı paylara eşit olur.

Çözümlü örnek — Dört fonksiyon

Bir üretim fonksiyonu. Bir fabrikanın üretimi Q = 10 × L^0,75 × K^0,25 olsun; L işçi sayısı, K makine sayısı. L = 16, K = 81 iken 16^0,75 = 8 ve 81^0,25 = 3 olduğu için Q = 10 × 8 × 3 = 240.

Yalnızca emeği katlamak. L = 32, K = 81 iken üretim yaklaşık 403,6 olur; emek iki katına çıkınca üretim yaklaşık yüzde 68 artar, iki katına çıkmaz.

Yalnızca sermayeyi katlamak. L = 16, K = 162 iken üretim yaklaşık 285,4 olur; artış yaklaşık yüzde 19'dur.

İkisini birden katlamak. L = 32, K = 162 iken üretim 480 olur, yani tam iki katı. Üslerin toplamı 1 olduğu için ölçeğe göre getiri sabittir.

Bir kâr fonksiyonu. Bir firmanın kârı π = −2q² + 40q − 50 olsun. a = −2 negatif olduğu için parabol aşağı açılır. Kârı en yüksek yapan miktar q = −40 ÷ (2 × −2) = 10'dur ve en yüksek kâr −200 + 400 − 50 = 150'dir.

Bir üstel yol. Yıllık yüzde 7 büyüyen 100 birimlik bir gelir, on yıl sonra 100 × 1,07¹⁰ ≈ 196,7 birime ulaşır; yaklaşık iki katına çıkar.

Bir ters talep fonksiyonu. Q = 100 − 2P ise P = 50 − Q ÷ 2'dir. 40 birim satmak için fiyatın 50 − 20 = 30 olması gerekir. Tanım kümesi 0 ile 50 arasındaki fiyatlardır; 50'nin üstünde talep negatif çıkar.

Parçalı ve eşikli fonksiyonlar

Temel matematik kursunda gördüğümüz parçalı fonksiyonlar, bu ailelerin birleşimleriyle kurulabilir. Dilimli bir vergi tarifesi dilimlerin içinde düz bir çizgi gibi ilerler, dilimler arasındaki geçişlerde ise daha dik bir çizgiye döner. Bazı sosyal yardımlar ise gelir bir eşiği aştığında birden kesilir; bu durumda fonksiyon eşikte bir sıçrama yapar. Bu tür sıçramalar, davranış üzerinde güçlü etkiler yaratabilir: eşiğin hemen altındaki bir kişi, biraz daha fazla kazanmanın yardımı kaybettireceğini bildiği için ek gelirden kaçınabilir. Fonksiyonların bu tür noktalardaki davranışı, sıradaki dersin konusu olan limit ve süreklilik kavramlarıyla incelenir.

Doğru fonksiyonu seçmek

Bir ekonomik ilişkiyi betimlemek için fonksiyon seçimi, teori ile verinin birlikte kullanılmasını gerektirir. Teori, ilişkinin nasıl davranması gerektiğine dair ipuçları verir: azalan getiri bekleniyorsa üssü 1'den küçük bir kuvvet fonksiyonu, sabit oranlı büyüme bekleniyorsa üstel bir fonksiyon uygundur. Veri ise bu beklentinin ne kadar tuttuğunu gösterir. Saçılım grafiği çizmek, logaritmik ölçek denemek ve kalıntılara bakmak, önceki kursun araçlarıyla hangi biçimin daha iyi uyduğunu anlamanın yollarıdır. Ama iyi uyum, doğru biçimin kanıtı değildir; Cobb-Douglas tartışması, iyi uyumun başka nedenlerle de ortaya çıkabileceğini hatırlatır.

Esneklik ile basitlik arasında

Fonksiyon seçiminde bir ödünleşim vardır. Basit fonksiyonlar, az sayıda parametreyle yorumlanması kolay sonuçlar verir, ama gerçeği kaba biçimde yakalar. Cobb-Douglas, iki girdi arasındaki ikame esnekliğinin her zaman bire eşit olduğunu varsayar; bu, emek ile sermayenin birbirinin yerine ne kadar kolay geçebileceği konusunda güçlü bir varsayımdır. Daha esnek fonksiyonlar bu varsayımı gevşetir, ama daha fazla parametre ve daha fazla veri gerektirir. İktisatçılar genellikle en basit uygun fonksiyonla başlar ve sonuçların fonksiyon seçimine ne kadar duyarlı olduğunu sınar.

Modelin sınırları

Fonksiyonlar, ekonomik ilişkilerin idealleştirilmiş özetleridir. Gerçek ilişkiler, belirli bir fonksiyon ailesine tam olarak uymaz; her fonksiyon, belirli bir aralıkta ve belirli koşullarda yararlı bir yaklaşıklıktır. Bir fonksiyonun tanım kümesinin dışına taşmak, örneğin doğrusal bir talep eğrisini negatif miktarlara ya da üstel bir büyüme yolunu sonsuz geleceğe uzatmak, anlamsız sonuçlar üretir. Ayrıca bir fonksiyon biçimi seçmek, o biçimin taşıdığı varsayımları da kabul etmek demektir. İyi bir model, hangi fonksiyonu neden seçtiğini ve bu seçimin hangi sonuçları etkileyebileceğini açıkça yazar.

Uygulama

Özet kartı

1. Bir fonksiyon tanım kümesi, kural ve değer kümesiyle tanımlanır; iktisatta tanım kümesi ekonomik anlamla sınırlanır ve bu sınırın dışında formül anlamsız sonuçlar üretir.
2. İkinci dereceden fonksiyonlar tek bir tepe ya da çukur noktası olan ilişkileri betimler; tepe noktası x = −b ÷ (2a) formülüyle bulunur.
3. Kuvvet fonksiyonlarında üs bir esnekliktir; üs 1'den küçükse azalan getiri söz konusudur ve kuvvet biçimindeki talep eğrisinin esnekliği her noktada sabittir.
4. Üstel fonksiyonlar sabit oranlı büyümeyi betimler ve uzun dönemde her kuvvet fonksiyonunu geçer; logaritma üstel fonksiyonun tersidir ve üstel yolları doğruya çevirir.
5. Cobb-Douglas üretim fonksiyonu iki kuvvet fonksiyonunun çarpımıdır; üslerin toplamı ölçeğe göre getiriyi belirler, veriye uyumunun neyi yansıttığı ise hâlâ tartışmalıdır.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Tanım kümesini tanımla. Q = 60 − 3P talep fonksiyonunun iktisadi olarak anlamlı tanım kümesi nedir?
2. (Çıktı 2) Kuvvet fonksiyonu ile üstel fonksiyon arasındaki temel fark nedir? Uzun dönemde hangisi daha hızlı büyür?
3. (Çıktı 3) Bir firmanın kârı π = −3q² + 60q − 100 olsun. Kârı en yüksek yapan miktarı ve en yüksek kârı bul.
4. (Çıktı 3) Q = 60 − 3P talep fonksiyonunun tersini bul. 30 birim satmak için fiyat ne olmalıdır?
5. (Çıktı 3) Üretim Q = 5 × L^0,5 × K^0,5 olsun. L = 4, K = 9 iken üretim nedir? Her iki girdi dört katına çıkarsa üretim ne olur? Ölçeğe göre getiri nasıldır?
6. (Çıktı 4) Bir araştırmacı, bir ürünün talebini doğrusal bir fonksiyonla, bir başkası sabit esneklikli bir kuvvet fonksiyonuyla tahmin ediyor. İki modelin bir fiyat artışının satış gelirine etkisi hakkında neden farklı sonuçlar verebileceğini değerlendir.

Cevaplar

1. Tanım kümesi, bir fonksiyonun kabul ettiği girdilerin tamamıdır. Q = 60 − 3P'de fiyat negatif olamaz ve talep edilen miktar sıfırın altına düşmemelidir: 60 − 3P ≥ 0 koşulu P ≤ 20 verir. Anlamlı tanım kümesi 0 ile 20 arasındaki fiyatlardır.
2. Kuvvet fonksiyonunda değişken tabanda, üs sabittir: y = a × xᵇ. Üstel fonksiyonda taban sabit, değişken üsttedir: y = a × bˣ. Üstel fonksiyon her birim artışta sabit bir oranla büyür ve uzun dönemde, tabanı 1'den büyük olduğu sürece, herhangi bir kuvvet fonksiyonunu geçer.
3. a = −3, b = 60 olduğu için tepe noktası q = −60 ÷ (2 × −3) = 10'dur. En yüksek kâr −3 × 100 + 60 × 10 − 100 = −300 + 600 − 100 = 200'dür.
4. Q = 60 − 3P denklemi P için çözülürse 3P = 60 − Q, yani P = 20 − Q ÷ 3 bulunur. 30 birim satmak için fiyat 20 − 10 = 10 olmalıdır.
5. L = 4, K = 9 iken Q = 5 × 2 × 3 = 30'dur. İki girdi dört katına çıkarsa L = 16, K = 36 ve Q = 5 × 4 × 6 = 120 olur; üretim de dört katına çıkar. Üslerin toplamı 0,5 + 0,5 = 1 olduğu için ölçeğe göre getiri sabittir.
6. Doğrusal bir talep eğrisinde esneklik eğri boyunca değişir: yüksek fiyatlarda talep esnektir ve fiyat artışı geliri düşürür, düşük fiyatlarda esnek değildir ve fiyat artışı geliri artırır. Sabit esneklikli kuvvet fonksiyonunda ise esneklik her fiyatta aynıdır; esneklik 1'den büyükse fiyat artışı her fiyatta geliri düşürür, küçükse her fiyatta artırır. Aynı veriye uyan iki model, özellikle verinin kapsadığı aralığın dışındaki fiyatlarda çok farklı tahminler verebilir; hangisinin daha güvenilir olduğunu anlamak için verinin geniş bir fiyat aralığını kapsayıp kapsamadığına ve kalıntılara bakmak gerekir.

İleri okuma

• Charles W. Cobb, Paul H. Douglas (1928). «A Theory of Production». American Economic Review 18(1). Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun kurucu makalesi.
• Jesus Felipe, F. Gerard Adams (2005). «"A Theory of Production": The Estimation of the Cobb-Douglas Function: A Retrospective View». Eastern Economic Journal 31(3). Fonksiyonun ampirik başarısına eleştirel bir bakış.
• Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright (2005). Fundamental Methods of Mathematical Economics. 4. baskı, McGraw-Hill. İktisatçılar için matematiğin standart ders kitabı.
• Knut Sydsæter, Peter Hammond (2012). Essential Mathematics for Economic Analysis. 4. baskı, Pearson. Fonksiyon türleri ve iktisadi uygulamaları.

Sonraki derse köprü

Bu derste iktisatçıların en sık kullandığı fonksiyon ailelerini tanıdık ve her birinin grafiğinin hangi davranışı anlattığını gördük. Ama bazı fonksiyonlar, belirli noktalarda beklenmedik biçimde davranır: bir vergi tarifesi dilim sınırında eğimini değiştirir, bir sosyal yardım gelir eşiğinde birden kesilir, bir fonksiyon sıfıra yaklaşırken sonsuza kaçar. Bir fonksiyon bir noktaya yaklaşırken değeri neye yaklaşır, ne zaman kesintisiz akar ve ne zaman sıçrar? Limit ve süreklilik kavramlarını sıradaki ders ele alıyor.