Olasılığın temelleri

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Örneklem uzayını, koşullu olasılığı, bağımsız olayları, Bayes kuralını, beklenen değeri ve taban oranı ihmalini tanımlar.
• Anlama — Bir olayın başka bir olay verildiğindeki olasılığı ile bunun tersinin neden aynı şey olmadığını ve bağımsızlık varsayımının hangi durumlarda çöktüğünü açıklar.
• Uygulama — Toplama ve çarpma kurallarıyla basit olasılıkları, Bayes kuralıyla bir uyarı işaretinin ardından bir olayın olasılığını, bir kararın beklenen değerini hesaplar.
• Değerlendirme — Olasılığın sıklık yorumu ile inanç derecesi yorumunu, bir olasılık hesabının dayandığı varsayımlar açısından karşılaştırır.

Sezgi

Açılış

Bir mahkeme salonunda, jürinin önünde bir sayı söylenir: yetmiş üç milyonda bir. Sayı, sanığın lehine olabilecek bir açıklamanın, yani iki olayın doğal nedenlerle aynı ailede yaşanmasının olasılığı olarak sunulur. Jürideki hiç kimse olasılık hesabı eğitimi almamıştır. Duydukları şey basittir: bu kadar küçük bir sayı, masum bir açıklamanın neredeyse imkânsız olduğu anlamına gelmelidir.

Sayı yanlıştır; iki ayrı nedenle. Birincisi, hesabın dayandığı bir varsayım gerçeğe uymaz. İkincisi, doğru hesaplanmış olsa bile, sayı jürinin sorduğu soruya cevap vermez. Aynı iki hata, yalnızca mahkemelerde değil, bir kredi riskinin ölçülmesinde, bir hastalık testinin yorumlanmasında ya da bir durgunluk sinyalinin okunmasında da yapılır.

Bu ders, belirsizliği sayılarla konuşmanın kurallarını kuruyor. Bir olasılık ne anlama gelir, iki olayın olasılığı nasıl birleştirilir ve yeni bir bilgi geldiğinde eski tahminimizi nasıl güncellemeliyiz?

Hikâye — Yetmiş üç milyonda bir

Kasım 1999'da İngiltere'de Sally Clark adında bir avukat, iki bebeğini öldürmekten mahkûm edildi. Bebeklerden biri 1996'nın sonunda, öbürü 1998'in başında, birkaç haftalıkken ölmüştü. Savunma, ölümlerin ani bebek ölümü sendromu gibi doğal nedenlerden kaynaklanabileceğini savunuyordu.

Davanın en çok hatırlanan anı, tanık olarak dinlenen tanınmış bir çocuk doktorunun, Roy Meadow'un ifadesi oldu. Meadow, bir araştırmaya dayanarak, Clark'ınkine benzeyen varlıklı ve sigara içilmeyen bir ailede tek bir ani bebek ölümünün olasılığını yaklaşık 8.543'te bir olarak verdi. Aynı ailede iki ölümün olasılığını bulmak için bu sayıyı kendisiyle çarptı ve yaklaşık yetmiş üç milyonda bir sonucuna ulaştı. Jüri, on oya karşı iki oyla mahkûmiyet kararı verdi.

Hesap, iki ölümün birbirinden bağımsız olduğunu varsayıyordu: bir ailede bir bebeğin bu sendromdan ölmesi, ikinci bebeğin riskini hiç değiştirmiyormuş gibi. Oysa aynı ailede aynı genetik yatkınlıkların ve çevresel koşulların bulunması son derece olasıydı. Bağımsızlık varsayımı çökünce çarpma işlemi de çöküyordu; gerçek olasılık, verilen sayıdan çok daha büyüktü.

İkinci hata daha ince ama daha tehlikeliydi. Küçük bir sayı, masum bir açıklamanın olasılığı gibi okunmuştu. Oysa sorulması gereken soru, iki bebek ölmüşken, bunun doğal nedenlerle mi yoksa bir cinayetle mi olduğunun olasılığıydı. İki bebeğin öldürülmesi de son derece nadir bir olaydır. Doğru karşılaştırma, bu iki nadir açıklamanın birbirine göre olasılığıydı.

Mahkûmiyet ilk temyizde onaylandı. 2001'de İngiltere Kraliyet İstatistik Kurumu, sayının istatistiksel bir dayanağı olmadığını açıklayan bir bildiri yayımladı. Ocak 2003'teki ikinci temyizde mahkûmiyet bozuldu. Bozmanın ana nedeni, savcılık tarafındaki patoloğun ikinci bebekte doğal bir ölüm nedenine işaret eden bulguları savunmayla paylaşmamış olmasıydı. Sally Clark 2007'de hayatını kaybetti.

Kavram

Olasılık, belirsiz bir olayın gerçekleşme şansını sıfırdan bire uzanan bir ölçekte ifade eder. 0 imkânsızı, 1 kesinliği gösterir. Bir olasılıktan söz etmek için önce olası sonuçların tamamını tanımlamak gerekir.

Olasılık hesaplarının çoğu, bir bilginin bir olayın olasılığını nasıl değiştirdiğine dairdir.

Bağımsızlık bir varsayımdır ve her çarpma işleminin altında sessizce yatar. Bir kanıt geldiğinde olasılıkları güncellemenin kuralı ise koşullu olasılıktan türetilir.

Veri ve kanıt

Clark davasındaki istatistik kullanımı, İngiltere'nin istatistikçilerini alışılmadık bir adım atmaya itti: bir ceza davası hakkında kamuya açık bir bildiri yayımladılar.

Koşullu olasılığı ters çevirme hatası, yalnızca uzman tanıkların yaptığı bir hata değildir. Psikologlar Amos Tversky ve Daniel Kahneman, gündelik akıl yürütmede taban oranlarının ne kadar kolay göz ardı edildiğini, bir kaza senaryosuyla gösterdiler.

İki hikâye aynı yapıyı paylaşır. Bir kanıtın gücü, yalnızca kanıtın kendisine değil, açıklamaya çalıştığı olayın ne kadar yaygın olduğuna da bağlıdır. Nadir bir olayı işaret eden güçlü bir kanıt bile, çoğu zaman bir yanlış alarmdır.

Neden önemli?

İktisatta neredeyse her karar bir olasılık yargısı içerir. Bir banka kredi verirken borçlunun temerrüde düşme olasılığını tahmin eder. Bir sigorta şirketi prim belirlerken hasar olasılığını hesaplar. Bir merkez bankası faiz kararında, enflasyonun hedeften sapma olasılığını tartar. Bu yargıların kalitesi, olasılığın kurallarına ne kadar uyulduğuna bağlıdır.

Bağımsızlık varsayımı, finansta özellikle tehlikelidir. Sigortanın ve risk havuzunun mantığı, kayıpların büyük ölçüde birbirinden bağımsız olmasına dayanır. Aynı deprem bir bölgedeki bütün evleri aynı anda vurduğunda ya da bir faiz şoku binlerce borçluyu aynı anda zorladığında, bağımsız varsayılan riskler birlikte gerçekleşir. Bu durumda tek tek küçük görünen olasılıklar, büyük bir ortak kayba dönüşür.

Kişisel kararlar da bu kurallarla şekillenir. Bir yatırım fırsatının vaat ettiği getiriyi değerlendirirken olasılıkları ve beklenen değeri düşünmek, çarpıcı bir hikâyeye kapılmaktan korur. Bir haberde «risk iki katına çıktı» denildiğinde taban oranı sormak, gereksiz bir kaygıyı ya da yersiz bir rahatlığı önler.

Model

Olasılık ne demektir?

Olasılığın ne anlama geldiği konusunda iki büyük yorum vardır. Sıklık yorumuna göre bir olayın olasılığı, aynı deneme çok sayıda tekrarlandığında olayın gerçekleştiği sonuçların payıdır: bir paranın tura gelme olasılığının yarı olması, milyonlarca atışta turaların payının yarıya yaklaşması demektir. İnanç derecesi yorumuna göre olasılık, bir kişinin bir önermeye duyduğu güvenin tutarlı bir ölçüsüdür. Bu yorum, tekrarlanamayan olaylar için de olasılık konuşmayı mümkün kılar: gelecek yıl bir durgunluk yaşanma olasılığı gibi. İki yorum da aynı matematik kurallarını kullanır; tartışma, sayıların neyi temsil ettiği ve nereden geldiği üzerinedir.

İki yorumun tartışması

Sıklık yorumunu savunanlar, olasılığın nesnel olması gerektiğini vurgular. Bir olasılık, gözlemlenebilir sıklıklara dayanmalı, kişiden kişiye değişmemelidir. Bu yaklaşım, deneylerin ve büyük veri kümelerinin analizinde güçlüdür ve bu kursun ilerleyen derslerindeki tahmin ve test yöntemlerinin çoğu ona dayanır. İnanç derecesi yorumunu savunanlar ise iktisattaki önemli soruların çoğunun tekrarlanamaz olduğunu hatırlatır. Tek bir ülkenin bir sonraki yıldaki büyümesi için bir sıklık yoktur. Önsel inançları açıkça yazıp veriyle güncellemek, onları gizlemekten daha dürüsttür. Bugün uygulamada iki yaklaşım yan yana kullanılır ve seçim çoğu zaman sorunun türüne bağlıdır.

Olasılığın temel kuralları

Her olasılık 0 ile 1 arasındadır ve örneklem uzayındaki bütün sonuçların olasılıkları toplamı 1'dir. Bu iki kuraldan hemen bir üçüncüsü çıkar: bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, 1 eksi gerçekleşme olasılığıdır. Bu tümleyen kuralı, pek çok hesabı kolaylaştırır. On yıl boyunca her yıl yüzde 5 olasılıkla sel görülen bir bölgede, bu on yılda en az bir sel görülme olasılığını doğrudan hesaplamak zordur. Ama yılların bağımsız olduğu varsayılırsa, hiç sel görülmeme olasılığı 0,95'in onuncu kuvvetidir, yaklaşık 0,60. En az bir sel olasılığı ise yaklaşık 0,40'tır.

Toplama kuralı

İki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının toplamından birlikte gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur: P(A ya da B) = P(A) + P(B) − P(A ve B). Çıkarma gereklidir, çünkü iki olayın ortak kısmı toplama iki kez girer. Olaylar aynı anda gerçekleşemiyorsa, yani ayrık ise ortak kısım sıfırdır ve olasılıklar doğrudan toplanır. Bir hanenin gelirinin yüzde 30'unun ücretten, yüzde 20'sinin kiradan geldiğini ve yüzde 10'unun her ikisinden geldiğini düşün: bu durumda hanelerin 30 + 20 − 10 = yüzde 40'ının en az bir kaynağı vardır, yüzde 50 değil.

Koşullu olasılık ve çarpma kuralı

Koşullu olasılığın tanımı, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplamanın da yolunu verir: P(A ve B) = P(A | B) × P(B). Bir işçinin işsiz kalma olasılığı yüzde 4, işsiz kalan birinin altı aydan uzun süre iş bulamama olasılığı yüzde 25 ise, rastgele bir işçinin hem işsiz kalıp hem de altı aydan uzun iş arama olasılığı 0,04 × 0,25 = 0,01, yani yüzde 1'dir. Olaylar bağımsız olduğunda P(A | B), P(A)'ya eşit olur ve kural basit bir çarpıma dönüşür. Ama bağımsızlığı varsaymadan önce, bir olayın öbürü hakkında bir şey söyleyip söylemediğini sormak gerekir.

Bağımsızlık varsayımı ne zaman çöker?

Gerçek dünyada olaylar çoğu zaman ortak nedenlere bağlıdır. Aynı mahallede oturan borçlular aynı yerel ekonomiden, aynı sektörde çalışan işçiler aynı talep şokundan etkilenir. Bu durumda tek tek olasılıkları çarpmak, olayların birlikte gerçekleşme olasılığını ciddi biçimde küçümser. Olaylar olumlu yönde ilişkili ise, birlikte gerçekleşme olasılığı çarpımdan büyüktür. Kriz dönemlerinde bu fark çarpıcı hâle gelir: normal zamanlarda birbirinden bağımsız görünen riskler, bir şok geldiğinde aynı anda gerçekleşir. İyi bir risk analizi bu yüzden yalnızca tek tek olasılıklara değil, olaylar arasındaki ilişkiye de bakar.

Dört gözlü tablo ve doğal sıklıklar

Koşullu olasılık hesaplarını sezgisel hâle getirmenin en iyi yolu, olasılıkları sayılara çevirmektir. Psikolog Gerd Gigerenzer ve öbür araştırmacılar, insanların bu tür hesapları yüzdelerle değil, doğal sıklıklarla, yani «bin kişiden kaçı» biçiminde sunulduğunda çok daha doğru yaptığını gösterdiler. Yöntem şöyle işler: hayali bir nüfus seçilir, örneğin 1.000 kişi; önce olayın taban oranına göre ikiye bölünür, sonra her grup kanıtın görülme olasılığına göre yeniden bölünür. Sonuç dört gözlü bir tablodur ve aranan koşullu olasılık, iki hücrenin oranı olarak doğrudan okunur.

Bayes kuralı

Bayes kuralı, bir kanıttan önceki inancı, yani önsel olasılığı, kanıttan sonraki inanca, yani sonsal olasılığa dönüştürür. Kuralın üç bileşeni vardır. Önsel olasılık, hipotezin kanıttan önceki olasılığıdır, çoğu zaman taban oranıdır. Olabilirlik, hipotez doğruyken kanıtın ne sıklıkla görüldüğüdür. Paydaki P(K) ise kanıtın toplamda ne sıklıkla görüldüğüdür; hipotez doğruyken ve yanlışken görülme olasılıklarının ağırlıklı toplamıdır. Kural, iki şeyi aynı anda söyler: güçlü bir kanıt inancı büyük ölçüde değiştirir, ama çok düşük bir önsel olasılık güçlü bir kanıtı da dengeleyebilir.

Çözümlü örnek — Bir durgunluk uyarısı

Bir öncü göstergenin kaydı şöyle olsun. Geçmiş yılların yüzde 15'inde bir durgunluk başlamıştır. Durgunluk başlayacaksa gösterge yüzde 80 olasılıkla önceden uyarı vermiştir. Durgunluk başlamayacaksa, gösterge yine de yüzde 10 olasılıkla yanlış bir uyarı vermiştir. Bu yıl gösterge uyarı verdi. Durgunluk başlama olasılığı nedir?

Doğal sıklıklar. 1.000 yıl düşünelim. Bunların 150'sinde durgunluk başlar, 850'sinde başlamaz. Durgunluklu 150 yılın 0,80 × 150 = 120'sinde uyarı gelir. Durgunluksuz 850 yılın 0,10 × 850 = 85'inde de uyarı gelir.

Koşullu olasılık. Toplam 120 + 85 = 205 uyarının 120'si gerçek bir durgunluğa aittir. P(durgunluk | uyarı) = 120 ÷ 205 ≈ 0,59.

Bayes kuralıyla aynı hesap. P(uyarı) = 0,80 × 0,15 + 0,10 × 0,85 = 0,12 + 0,085 = 0,205. P(durgunluk | uyarı) = 0,80 × 0,15 ÷ 0,205 ≈ 0,59.

Uyarı gelmezse. Uyarı gelmeyen yıllar 30 + 765 = 795'tir; bunların 30'unda durgunluk başlar. P(durgunluk | uyarı yok) = 30 ÷ 795 ≈ 0,04.

Yorum. Uyarı, durgunluk olasılığını yüzde 15'ten yüzde 59'a çıkarır; güçlü bir kanıttır. Ama yine de uyarıların yaklaşık beşte ikisi yanlış alarmdır. Göstergenin yüzde 80'lik isabeti, durgunluk olasılığının yüzde 80 olduğu anlamına gelmez; aradaki farkı taban oranı yaratır.

Ters koşul yanılgısı

Clark davasındaki ikinci hata, koşullu olasılığı ters çevirmektir. P(kanıt | masumiyet) küçük diye P(masumiyet | kanıt) küçük sanılır. Bu hata, mahkemelerde o kadar sık görülür ki savcının yanılgısı adıyla bilinir. Oysa iki olasılığı birbirine bağlayan köprü Bayes kuralıdır ve bu köprüden geçmek için öbür açıklamanın, yani suçluluğun ne kadar olası olduğunu da bilmek gerekir. Aynı hata ekonomide de yapılır: durgunlukların çoğundan önce faiz eğrisi tersine döndüyse, bu, eğrinin tersine döndüğü her seferde durgunluk geleceği anlamına gelmez.

Göreli riski olasılıkla okumak

Haberlerdeki risk karşılaştırmaları çoğu zaman iki koşullu olasılığın oranıdır. «Kısa vadeli borcu yüksek şirketlerin iflas riski iki katı» cümlesi, P(iflas | yüksek borç) ile P(iflas | düşük borç) oranının 2 olduğunu söyler. Ama bu oran, iki olasılığın kendisi hakkında hiçbir şey söylemez. Olasılıklar binde 1 ve binde 2 ise, fark binde birdir; yüzde 10 ve yüzde 20 ise, fark on puandır. Göreli risk aynı, mutlak risk tamamen farklıdır. Bir riskin ne kadar önemli olduğunu anlamak için taban oranını, yani karşılaştırılan grubun olasılığını da bilmek gerekir.

Beklenen değer

Beklenen değer, belirsiz sonuçları tek bir sayıya indirgemenin en temel aracıdır. Her olası sonuç kendi olasılığıyla çarpılır ve çarpımlar toplanır. Bir girişimci, yüzde 30 olasılıkla 500 bin lira kâr, yüzde 70 olasılıkla 100 bin lira zarar getirecek bir projeyi değerlendiriyor olsun. Beklenen değer 0,30 × 500 + 0,70 × (−100) = 150 − 70 = 80 bin liradır. Sigortadaki beklenen kayıp ve bankacılıktaki beklenen kredi zararı, aynı hesabın uygulamalarıdır. Beklenen değer, aynı karar çok sayıda tekrarlandığında ortalama sonucun ne olacağını söyler.

Beklenen değerin sınırları

Beklenen değer tek başına iyi bir karar ölçütü değildir. Aynı beklenen değere sahip iki seçenekten biri çok daha büyük kayıplara yol açabilir; bu farkı görmek için sonuçların yayılımına, yani bir önceki dersteki standart sapmaya bakmak gerekir. Karar bir kez verilecekse ve kayıp yıkıcı olabilecekse, olumlu bir beklenen değer bile riski almaya yetmeyebilir. Bir hanenin bütün birikimini yüzde 90 olasılıkla ikiye katlayan ama yüzde 10 olasılıkla sıfırlayan bir fırsat, beklenen değeri yüksek olsa da çoğu hane için kabul edilemez. İktisat bu tercihleri, sonraki kurslarda risk tutumu kavramıyla ele alır.

Büyük sayılar yasası

Bağımsız ve aynı koşullarda tekrarlanan denemelerde, sonuçların ortalaması deneme sayısı arttıkça beklenen değere yaklaşır. Buna büyük sayılar yasası denir. Sigorta şirketlerinin ve kumarhanelerin öngörülebilir kârları bu yasaya dayanır: tek bir poliçenin sonucu belirsizdir, ama yüz bin poliçenin ortalaması oldukça kesindir. Yasa iki koşula bağlıdır. Birincisi, denemelerin sayısı gerçekten büyük olmalıdır; birkaç gözlemden sıklık çıkarmak yanıltıcıdır. İkincisi, denemeler bağımsız olmalıdır; ortak bir şok bütün sonuçları aynı yöne çekerse ortalama beklenen değerden uzak kalabilir. Bin poliçenin hepsini aynı anda vuran bir afet, havuzun sağladığı öngörülebilirliği bir gecede ortadan kaldırır.

Sezginin yanıldığı yerler

İnsanların olasılık sezgisi bazı durumlarda sistematik olarak yanılır. Kumarbaz yanılgısında bağımsız olaylar arasında bir telafi mekanizması varsayılır. Taban oranı ihmalinde çarpıcı bir kanıt, olayın genel sıklığını gölgeler. Birleşik olayların olasılığı da çoğu zaman yanlış tahmin edilir: birçok adımın hepsinin başarılı olması gereken bir projede, her adımın yüzde 90 olasılıkla başarılı olması, on adımlık bir projenin başarı olasılığını yaklaşık yüzde 35'e indirir. Bu hatalar eğitimle azalır, ama tamamen kaybolmaz; bu yüzden önemli kararlarda hesabı kâğıda dökmek iyi bir alışkanlıktır.

Risk ve belirsizlik

İktisatçı Frank Knight, 1921'de yayımlanan kitabında, olasılıkları bilinen durumlarla bilinmeyen durumları birbirinden ayırdı. Zar atışında ya da geniş bir sigorta havuzunda olasılıklar sıklıklardan tahmin edilebilir; Knight buna risk dedi. Yeni bir teknolojinin başarısı ya da bir savaşın sonucu gibi durumlarda ise güvenilir bir sıklık yoktur; buna belirsizlik dedi. Bu ayrım bugün de tartışılır. Bazı iktisatçılar her belirsizliğe öznel bir olasılık atanabileceğini savunur; bazıları ise hesaplanmış bir olasılığın, bilinmeyeni biliniyormuş gibi gösterme tehlikesine dikkat çeker.

Modelin sınırları

Olasılık kuralları kesindir, ama onlara giren sayılar kesin değildir. Bir olasılık hesabı, taban oranının, olabilirliklerin ve bağımsızlık varsayımının doğru olmasına dayanır. Bu girdilerden biri yanlışsa, kusursuz bir hesap yanlış bir sonuç üretir; Clark davası bunun acı bir örneğidir. Geçmiş sıklıklar geleceğe taşınırken de dikkat gerekir: bir ekonominin yapısı değiştiğinde, eski sıklıklar yeni olasılıkları yansıtmayabilir. İyi bir olasılık yargısı, hesabın yanında varsayımlarını da açıkça yazar. Böylece okuyan kişi, hangi varsayım değişirse sonucun nasıl değişeceğini kendisi sınayabilir ve bir sayıya, dayandığı bilgiden daha fazla güven duymaz.

Uygulama

Özet kartı

1. Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını sıfırdan bire uzanan bir ölçekte ifade eder; sıklık yorumu ile inanç derecesi yorumu aynı kuralları kullanır ama sayıların anlamında ayrışır.
2. Toplama kuralı ortak kısmı bir kez sayar; çarpma kuralı koşullu olasılığa dayanır ve olasılıkları doğrudan çarpmak ancak olaylar bağımsızsa doğrudur.
3. P(A | B) ile P(B | A) farklıdır; ikisini karıştırmak, mahkemelerden ekonomi göstergelerine kadar pek çok yanlış sonucun kaynağıdır.
4. Bayes kuralı önsel olasılığı kanıtla günceller; güçlü bir kanıt bile, nadir bir olayı işaret ediyorsa çoğu zaman yanlış alarmdır ve doğal sıklıklar bu hesabı sezgisel kılar.
5. Beklenen değer belirsiz sonuçları tek bir sayıda özetler, ama yayılımı ve yıkıcı kayıpları göstermez; büyük sayılar yasası yalnızca çok sayıda bağımsız tekrarda işler.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Koşullu olasılığı ve bağımsız olayları tanımla. İki olay bağımsızsa P(A | B) neye eşittir?
2. (Çıktı 2) Clark davasındaki yetmiş üç milyonda bir sayısının iki ayrı hatasını açıkla.
3. (Çıktı 3) Bir bölgede her yıl yüzde 10 olasılıkla kuraklık yaşanıyor ve yıllar birbirinden bağımsız. Üç yıl içinde en az bir kuraklık yaşanma olasılığı nedir?
4. (Çıktı 3) Bir hastalık nüfusun yüzde 1'inde görülüyor. Test hastalarda yüzde 90 olasılıkla pozitif, sağlıklılarda yüzde 9 olasılıkla yanlış pozitif sonuç veriyor. Testi pozitif çıkan birinin hasta olma olasılığı nedir?
5. (Çıktı 3) Bir yatırım yüzde 60 olasılıkla 200 lira kazandırıyor, yüzde 40 olasılıkla 250 lira kaybettiriyor. Beklenen değeri nedir? Bu yatırımı yalnızca beklenen değere bakarak değerlendirmek neden yetersiz olabilir?
6. (Çıktı 4) «Gelecek yıl bu ülkede durgunluk olasılığı yüzde 30» cümlesi, sıklık yorumu ve inanç derecesi yorumu açısından ne anlama gelir? Hangi yorum bu cümle için daha uygundur, neden?

Cevaplar

1. Koşullu olasılık, bir B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığıdır; P(A ve B) ÷ P(B) ile bulunur. Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşmesinin öbürünün olasılığını değiştirmediği olaylardır. Bağımsızlık durumunda P(A | B) = P(A) olur.
2. Birinci hata, iki ölümün bağımsız varsayılıp tek ölüm olasılığının kendisiyle çarpılmasıdır; aynı ailedeki ortak genetik ve çevresel etkenler iki ölümü ilişkili kılar ve gerçek olasılığı çok büyütür. İkinci hata, küçük bir P(iki doğal ölüm) sayısının masumiyet olasılığı gibi yorumlanmasıdır; doğru karşılaştırma, iki doğal ölüm ile iki cinayet gibi iki nadir açıklamanın birbirine göre olasılığıdır.
3. Hiç kuraklık yaşanmama olasılığı 0,90 × 0,90 × 0,90 = 0,729'dur. En az bir kuraklık olasılığı 1 − 0,729 = 0,271, yani yaklaşık yüzde 27'dir.
4. 10.000 kişi düşünelim: 100'ü hasta, 9.900'ü sağlıklıdır. Hastaların 90'ı pozitif çıkar; sağlıklıların 0,09 × 9.900 = 891'i de pozitif çıkar. Toplam 981 pozitifin 90'ı gerçekten hastadır: 90 ÷ 981 ≈ 0,09, yani yaklaşık yüzde 9.
5. Beklenen değer 0,60 × 200 + 0,40 × (−250) = 120 − 100 = 20 liradır. Beklenen değer olumludur, ama tek bir seferde sonuç ya 200 kazanç ya 250 kayıptır; kayıp kişi için ağır sonuçlar doğurabiliyorsa ya da yatırım bir kez yapılacaksa, sonuçların yayılımı ve kaybın katlanılabilirliği de hesaba katılmalıdır.
6. Sıklık yorumunda cümle, bu ülkeye benzeyen koşullardaki pek çok yılın yaklaşık yüzde 30'unda durgunluk görüldüğünü söyler; ama tam olarak aynı koşullar tekrarlanmadığı için bu sıklık dolaylı olarak kurulabilir. İnanç derecesi yorumunda cümle, tahmincinin mevcut bilgilerle durgunluğa duyduğu güvenin ölçüsüdür. Tekrarlanamayan tek bir olay söz konusu olduğu için inanç derecesi yorumu daha doğal görünür; ama tahminin geçmiş sıklıklarla ve modellerle desteklenmesi güvenilirliğini artırır.

İleri okuma

• Royal Statistical Society (2001). Sally Clark davasına ilişkin basın bildirisi. Mahkemelerde istatistiğin kötü kullanımına dair kurumsal uyarı.
• Amos Tversky, Daniel Kahneman (1982). «Evidential Impact of Base Rates». Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases içinde. Cambridge University Press. Taban oranı ihmalinin deneysel kanıtı.
• Gerd Gigerenzer (2002). Calculated Risks: How to Know When Numbers Deceive You. Simon & Schuster. Doğal sıklıklarla risk iletişimi.
• Frank H. Knight (1921). Risk, Uncertainty and Profit. Houghton Mifflin. Risk ile belirsizlik ayrımının klasik kaynağı.

Sonraki derse köprü

Bu derste tek tek olayların olasılığını hesapladık: bir kredinin batması, bir uyarının gelmesi, bir yılın kurak geçmesi. Ama iktisatta çoğu zaman bir sayının alabileceği bütün değerlerle ilgileniriz: gelecek ayın enflasyonu, bir hisse senedinin yarınki getirisi, bir hanenin gelirinin alabileceği değerler. Bu değerlerin her birine bir olasılık bağlayan yapıya olasılık dağılımı denir. Dağılımlar hangi biçimlerde karşımıza çıkar, çan eğrisi denen normal dağılım neden bu kadar önemlidir ve bir önceki dersin standart sapması bu eğride ne anlatır? Bu soruları sıradaki ders açıyor.