Denklem sistemleri: Denge nasıl bulunur?

Öğrenme çıktıları

• Hatırlama — Denklem sistemini ve piyasa dengesini, iki fonksiyonun aynı anda sağlandığı nokta olarak tanımlar.
• Uygulama — Doğrusal bir talep ve arz denkleminden denge fiyatını ve miktarını hesaplar.
• Analiz — Talepteki bir kaymanın ya da bir verginin dengeyi nasıl değiştirdiğini ve vergi yükünün alıcı ile satıcı arasında nasıl bölündüğünü çözümler.
• Değerlendirme — Leontief'in girdi-çıktı sistemini, bir ekonominin sektörleri arasındaki bağlantıları görünür kılan bir araç olarak değerlendirir.

Sezgi

Açılış

Bir mahalle pazarında domatesin fiyatını kimse tek başına belirlemez. Alıcılar fiyat düştükçe daha çok almak ister; satıcılar fiyat yükseldikçe daha çok satmak ister. İki grup da kendi kararını verir. Ama pazarın sonunda bir fiyat oluşur ve o fiyatta alınan domates ile satılan domates birbirine eşittir.

Bu fiyatı bulmak, iki kuralı aynı anda sağlamak demektir: alıcıların kuralı ve satıcıların kuralı. Matematikte buna iki denklemi birlikte çözmek, bir denklem sistemini çözmek denir. İktisatta ise bu noktaya denge adı verilir. Kâr ya da fayda hesabı, tek bir kişinin kendi kararını inceler. Denge ise binlerce alıcı ile satıcının kararlarının birbirine uyduğu yeri arar.

Hikâye — 56 saatlik bir hesap

Rus asıllı iktisatçı Wassily Leontief, 1930'larda Harvard'da alışılmadık bir işe girişti. Bir ekonominin bütün sektörlerini tek bir tabloya dökmek istiyordu: her sektörün ürününün ne kadarının öbür sektörlere girdi olarak gittiğini, ne kadarının son kullanıcıya ulaştığını. Çelik üretmek için kömür, kömür çıkarmak için çelik ve makine, makine yapmak için çelik gerekiyordu. Her sektör, öbürlerine hem müşteri hem tedarikçiydi.

Bu tablo matematik olarak dev bir denklem sistemiydi. Her sektör için bir denklem yazılıyordu ve bütün denklemlerin aynı anda sağlanması gerekiyordu: bir sektörün üretimi, onu kullanan bütün sektörlerin ihtiyacına ve son talebe tam olarak yetmeliydi. Leontief, ABD Çalışma İstatistikleri Bürosu'nun verisinden ekonomiyi 500 sektöre ayırmıştı; bu da 500 bilinmeyenli 500 denklem demekti. Böyle bir sistemi elle çözmek pratik olarak imkânsızdı ve dönemin en büyük bilgisayarlarından Harvard Mark II bile onu kaldıramıyordu. Leontief sistemi 42 sektöre indirdi. 1949 yazının sonunda delikli kartlar makineye beslendi; programlama aylar sürmüştü, hesabın kendisi elli altı saat.

Leontief'in yöntemi, bir sektördeki değişimin bütün ekonomiye nasıl yayıldığını gösteriyordu: otomobil talebi artarsa yalnızca otomobil üretimi değil, çelik, cam, lastik, elektrik ve bunların her birinin girdileri de artmalıydı. Bu yaklaşım savaş sonrası planlamada, ticaret analizinde ve kalkınma politikasında yaygın biçimde kullanıldı. Leontief 1973'te Nobel iktisat ödülünü aldı.

Kavram — iki çizginin kesiştiği yer

En basit piyasa modeli iki denklemden oluşur. Talep denklemi, her fiyatta alıcıların ne kadar almak istediğini söyler: fiyat yükseldikçe miktar düşer. Arz denklemi, her fiyatta satıcıların ne kadar satmak istediğini söyler: fiyat yükseldikçe miktar artar. Grafikte biri aşağı, öbürü yukarı eğimli iki çizgidir.

Bir örnekle hesaplayalım. Talep: miktar = 100 − 2 × fiyat. Arz: miktar = −20 + 4 × fiyat. Dengede iki miktar eşittir: 100 − 2 × fiyat = −20 + 4 × fiyat. Fiyatları bir yana, sayıları öbür yana toplayınca 120 = 6 × fiyat, yani fiyat 20 olur. Bu fiyatı herhangi bir denkleme koyunca miktar 60 çıkar. Grafikte iki çizgi, fiyatın 20 ve miktarın 60 olduğu noktada kesişir.

Denge fiyatının altında, örneğin fiyat 15'teyken, alıcılar 70 birim ister ama satıcılar yalnızca 40 birim sunar; 30 birimlik bir kıtlık oluşur ve fiyat yükselme baskısı altına girer. Denge fiyatının üstünde tersi olur: fazla mal satılamaz ve fiyat düşer. Denge, bu baskıların sıfırlandığı noktadır.

Denklem sistemlerinin asıl gücü, bir şey değiştiğinde ne olacağını hesaplamaktır. Talep artsın ve talep denklemi miktar = 130 − 2 × fiyat olsun. Yeni denge 150 = 6 × fiyat, yani fiyat 25 ve miktar 80 olur. Şimdi de talep değişmeden kalsın, ama devlet satıcılardan birim başına 3 lira vergi alsın. Satıcıların eline geçen fiyat, alıcının ödediğinden 3 lira azdır; arz denklemi miktar = −20 + 4 × (fiyat − 3) olur. Yeni denge fiyatı 22, miktar 56'dır. Alıcı 20 yerine 22 lira öder; satıcının eline 20 yerine 19 lira geçer. Vergi satıcıdan alınsa da, yükünün üçte ikisini alıcı taşır.

Veri ve kanıt — bir sistemin sürprizi

Leontief'in denklem sistemi, iktisadın en ünlü sürprizlerinden birini de üretti. Uluslararası ticaretin yerleşik kuramına göre bir ülke, bol bulunan üretim faktörünü yoğun kullanan malları ihraç etmeliydi. İkinci Dünya Savaşı sonrasında dünyanın en fazla sermayeye sahip ülkesi ABD olduğuna göre, ABD'nin ihracatının sermaye yoğun, ithalatının ise emek yoğun olması bekleniyordu.

Leontief 1953'te bu beklentiyi, 1947 yılı için hazırladığı ABD girdi-çıktı tablosuyla sınadı. Her ihraç malının ve ithal malının yerine yurt içinde üretilecek karşılığının, doğrudan ve dolaylı olarak ne kadar sermaye ve emek gerektirdiğini hesapladı. Dolaylı kısmı hesaplamak ancak bütün sektörleri birbirine bağlayan denklem sistemiyle mümkündü. Sonuç beklenenin tersiydi: ABD'nin ihracatı, ithalatının yerini alacak mallardan işçi başına daha az sermaye kullanıyordu.

Bu bulgu, «Leontief paradoksu» adıyla onlarca yıl tartışıldı. İktisatçılar paradoksu açıklamak için emeğin nitelikli ve niteliksiz diye ayrılması gerektiğini, doğal kaynakların hesaba katılmasını ya da ülkeler arasında teknoloji farklarını öne sürdü. Tartışmanın kendisi, bir denklem sisteminin değerini gösteriyordu: dolaylı bağlantıları görünür kılarak sezginin kaçırdığını ortaya çıkarmak.

Neden önemli? — ekonominin bağlantı haritası

Girdi-çıktı tabloları bugün de istatistik kurumlarının düzenli ürettiği temel veriler arasında. TÜİK, 2023 yılı için Türkiye ekonomisini 64 sektör ve 64 ürün grubuna ayıran arz, kullanım ve girdi-çıktı tablolarını yayımladı. Bu tablolar, örneğin inşaat sektöründeki bir yavaşlamanın çimento, demir-çelik, taşımacılık ve finans sektörlerini ne ölçüde etkileyeceğini hesaplamaya imkân veriyor.

Denge fikri iktisadın her yerindedir. Döviz kuru, döviz talebi ile arzının dengesinde; faiz, tasarruf ile yatırımın dengesinde; ücret, emek talebi ile arzının dengesinde oluşur. Her birinde iki ya da daha fazla ilişkinin aynı anda sağlanması gerekir ve her birinde karşılaştırmalı durağanlık, bir şok karşısında dengenin nereye kayacağını söyler. Bir vergi, bir teşvik ya da bir fiyat tavanı tartışıldığında, arkadaki soru her zaman aynıdır: yeni denge nerede olacak ve yükü kim taşıyacak?

Bu dersteki hesaplar kâğıt üzerinde yapılabilecek kadar küçüktü. Gerçek bir ekonominin denklem sistemleri ise yüzlerce sektör ve binlerce satırlık veri içerir. Leontief'in elli altı saatlik hesabı bugün bir dizüstü bilgisayarda saniyeler sürüyor.

Özet kartı

1. Denge, bir modeldeki bütün koşulların aynı anda sağlandığı noktadır; piyasada talep edilen ve arz edilen miktarın eşitlendiği fiyattır.
2. Talep 100 − 2 × fiyat, arz −20 + 4 × fiyat ise iki denklem birlikte çözülünce denge fiyatı 20, miktarı 60 olur.
3. Karşılaştırmalı durağanlık, bir koşul değişince yeni dengeyi hesaplar; birim başına 3 liralık vergi fiyatı 22'ye çıkarır ve yükün üçte ikisini alıcıya taşır.
4. Leontief 1949'da 500 sektörü 42'ye indirip girdi-çıktı sistemini 56 saatte çözdü; 1953'te aynı yöntemle ABD ihracatının beklenenin aksine emek yoğun olduğunu buldu.
5. TÜİK 2023 için 64 sektörlü girdi-çıktı tabloları yayımladı; bu tablolar bir sektördeki şokun ekonomiye nasıl yayıldığını hesaplamaya yarar.

Kavram sözlüğü

Kendini sına

1. (Çıktı 1) Denge fiyatının altındaki bir fiyatta piyasada ne olur? Bu durum neden kendiliğinden değişme eğilimindedir?
2. (Çıktı 2) Talep miktar = 80 − fiyat, arz miktar = −10 + 2 × fiyat ise denge fiyatı ve miktarı nedir?
3. (Çıktı 2) Aynı piyasada talep miktar = 110 − fiyat olarak artarsa yeni denge nedir?
4. (Çıktı 3) Dersteki örnekte vergi satıcıdan değil alıcıdan alınsaydı, yani alıcı ödediği fiyatın üstüne birim başına 3 lira vergi verseydi, alıcının toplam ödediği ve satıcının eline geçen fiyat ne olurdu? Sonucu dersteki sonuçla karşılaştır.
5. (Çıktı 3) Talebin fiyata hiç duyarlı olmadığı, yani fiyat ne olursa olsun aynı miktarın alındığı bir mal düşün. Satıcıdan alınan bir verginin yükünü kim taşır?
6. (Çıktı 4) İnşaat sektöründe bir yavaşlamanın ekonomiye etkisini girdi-çıktı tablosuyla hesaplamak neden yalnızca inşaat sektörünün kendi üretimine bakmaktan daha doğru sonuç verir?

Cevaplar

1. Denge fiyatının altında talep edilen miktar arz edilen miktardan fazladır; kıtlık oluşur. Mal bulamayan alıcılar daha yüksek fiyat vermeye razı olur, satıcılar fiyatı yükseltir; fiyat dengeye doğru hareket eder.
2. 80 − fiyat = −10 + 2 × fiyat, yani 90 = 3 × fiyat; fiyat 30, miktar 50.
3. 110 − fiyat = −10 + 2 × fiyat, yani 120 = 3 × fiyat; fiyat 40, miktar 70.
4. Alıcının ödediği toplam fiyat p + 3 olsun; talep miktar = 100 − 2 × (p + 3), arz miktar = −20 + 4 × p. Eşitlenince 114 = 6p, p = 19. Satıcının eline 19 lira geçer, alıcı toplam 22 lira öder, miktar 56 olur. Sonuç dersteki sonuçla aynıdır: vergiyi yasal olarak kimin ödediği, yükün dağılımını değiştirmez.
5. Yükün tamamını alıcılar taşır. Alıcılar fiyat ne olursa olsun aynı miktarı aldığı için satıcılar vergiyi fiyata tamamen yansıtabilir.
6. İnşaat, çimento, demir-çelik, taşımacılık ve finans gibi başka sektörlerden girdi alır; bu sektörler de kendi girdilerini başkalarından alır. Girdi-çıktı tablosu bu dolaylı bağlantıları hesaba katar; yalnızca inşaatın kendi üretimine bakmak, etkinin ekonomiye yayılan kısmını gözden kaçırır.

İleri okuma

• Wassily Leontief (1986, 2. baskı). Input-Output Economics. Leontief'in yönteme dair makalelerinin derlemesi; ilk bölümler teknik olmayan bir girişle başlar.
• David C. Lay (güncel baskılar). Linear Algebra and Its Applications, 1. bölüm. Denklem sistemlerini Leontief'in hesabıyla açan ve girdi-çıktı modelini adım adım çözen bir ders kitabı.
• TÜİK, Arz ve Kullanım Tabloları, Girdi-Çıktı Tabloları (veriportali.tuik.gov.tr). Türkiye ekonomisinin sektörler arası bağlantı haritası.
• N. Gregory Mankiw (güncel baskılar). Principles of Economics, arz ve talep ile vergi yükü bölümleri. Bu dersteki modelin grafiklerle anlatımı.

Sonraki derse köprü

Leontief'in elli altı saatlik hesabı bugün bir dizüstü bilgisayarda saniyeler sürüyor, ama bu hesapları yapmak için programcı olmak gerekmiyor. Bu kursta gördüğümüz büyüme oranlarını, logaritmik farkları, vergi fonksiyonlarını ve denge hesaplarını bir hesap tablosunda birkaç formülle yapmak mümkün. Bir ekonomi verisini indirip düzenlemek, hesaplamak ve grafiğe dökmek için gereken temel araçlar, kursun son dersinin konusu.