Oranlar evreni nasıl ölçer?

Kanca

İki bin yılı aşkın bir süre önce, Mısır'daki İskenderiye'de Eratosthenes (okunuşu "eratostenes") adlı bir bilgin, yazın ilk gününün öğle saatinde bir sütunun gölgesine bakıyordu. Elinde uydu da, uçak da, dünya haritası da yoktu. Yalnızca bir gölge, güneyde bir kuyu hakkında duyduğu bir bilgi ve iki şehir arasındaki uzaklık vardı.

Bu üç parçadan Dünya'nın çevresini hesapladı ve bulduğu değer, hangi yoruma göre okunursa okunsun, doğru cevaba şaşırtıcı biçimde yakındı. Bunu yapan şey, dersin konusu olan basit bir araçtı: oran.

Merkezi soru

Oran ve orantı nedir, ve gökbilimciler bu basit araçla Dünya'nın çevresi, Ay'ın çapı ya da Güneş'in büyüklüğü gibi hiç dokunamadıkları büyüklükleri nasıl ölçer?

Anlatım

Oran: kaç kat?

Oran, iki büyüklüğün birbirine göre kaç kat olduğunu söyler. Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci varsa, kızların erkeklere oranı 12'ye 18, sadeleştirince 2'ye 3'tür. Oranın güzelliği, birimden bağımsız olmasıdır: iki uzunluğu da santimetreyle ya da kilometreyle ölçsen, oranları değişmez.

Ders K.1'in sonunda bir oranla karşılaşmıştık: Güneş'in kütlesi, Dünya'nın kütlesinin 332.900 katıdır. Bu sayı, iki kütlenin ne olduğunu bilmeden de anlamlıdır; yalnızca birinin ötekine göre ne kadar büyük olduğunu söyler.

Orantı: iki oranın eşitliği

İki oran birbirine eşitse buna orantı deriz. Tarifte iki bardak una bir bardak şeker giriyorsa, altı bardak una kaç bardak şeker girer? Oranı bozmamak için şekeri de üç katına çıkarırız: üç bardak.

Bunu yazıya dökersek: 2 / 1 = 6 / x. Sesli okunuşu: "iki bölü bir, altı bölü x'e eşit." Bilinmeyeni bulmanın kısa yolu içler dışlar çarpımıdır: çapraz duran sayıların çarpımları birbirine eşittir. İki kere x, bir kere altıya eşit; buradan x üç çıkar.

Astronomide yaptığımız şey tam olarak budur. Oranın bir tarafını yeryüzünde, elimizle ölçebileceğimiz bir şeyden kurarız. Öbür tarafında gökteki büyüklük durur. Orantı, bu iki dünyayı birbirine bağlar.

Çözümlü problem 1: Eratosthenes'in hesabı

OpenStax'ın anlattığına göre güneydeki Siyene'de (bugünkü Asvan yakınlarında) yazın ilk günü öğle vakti Güneş ışığı dik bir kuyunun dibine kadar iniyordu. Yani Güneş tam tepedeydi. Aynı anda İskenderiye'de ise bir sütun kısa bir gölge düşürüyordu. Eratosthenes gölgeden, Güneş ışınlarının dikeyle bir çemberin ellide biri kadar açı yaptığını buldu.

Güneş çok uzakta olduğu için ışınları iki şehre de birbirine paralel ulaşır. O zaman bu farkın tek bir açıklaması kalır: Dünya'nın yüzeyi eğridir ve iki şehrin "tam tepe" yönleri farklıdır. Eratosthenes bundan, İskenderiye ile Siyene arasındaki yayın, Dünya'nın çevresinin de ellide biri olması gerektiği sonucuna vardı.

İki şehir arasındaki uzaklık 5000 stadion olarak ölçülmüştü. Stadion, o dönemin bir uzunluk birimidir. Orantıyı kuralım: 1 / 50 = 5000 / Ç. Sesli okunuşu: "bir bölü elli, beş bin bölü Dünya'nın çevresine eşit." İçler dışlar çarpımıyla çevre, elli kere beş bin, yani 250.000 stadion çıkar.

Stadionun bugünkü birimlerle tam karşılığı bilinmiyor. OpenStax'a göre Eratosthenes olimpiyat stadionunu kullandıysa sonucu yaklaşık yüzde yirmi büyüktür; başka bir yoruma göre ise bugünkü 40.000 kilometreye yüzde bir yakınlıktadır. İki durumda da, bir gölge ve bir orantı, gezegenin büyüklüğünü doğru mertebede vermiştir.

Çözümlü problem 2: Ay'ın çapını bir kâğıt parçasıyla bulmak

Benzer üçgenler, orantının geometrideki hâlidir. Gözünden Ay'ın iki kenarına iki çizgi çektiğini düşün. Aynı iki çizgi arasına sığan küçük bir cisim de aynı biçimde bir üçgen oluşturur. İki üçgen benzerdir: kenarlarının oranı aynıdır.

NASA'nın Ay bilgi sayfasına göre Ay'ın ortalama yarıçapı 1737,4 kilometre, yani çapı yaklaşık 3475 kilometredir; Dünya'ya ortalama uzaklığı ise 384.400 kilometredir. Uzaklığı çapa bölersek yaklaşık 110 buluruz. Bu, bir santimetre çaplı yuvarlak bir kâğıdın, gözünden yaklaşık 110 santimetre uzakta tutulduğunda Ay'ı tam örteceği demektir.

Şimdi bu hesabı ters çevirelim. Ay'ın uzaklığını bildiğimizi, çapını ise bilmediğimizi varsayalım. Kâğıdı Ay'ı tam örtene dek ileri geri götürüp 110 santimetrede durduk. Orantı: 1 / 110 = D / 384.400. Sesli okunuşu: "bir bölü yüz on, Ay'ın çapı bölü üç yüz seksen dört bin dört yüz kilometreye eşit." Buradan Ay'ın çapı, 384.400 bölü 110, yaklaşık 3495 kilometre çıkar. Gerçek değer 3475 kilometre; bir kâğıt ve bir cetvelle yüzde birden az yanıldık.

Çözümlü problem 3: Güneş ne kadar büyük?

Gökyüzünde Güneş ile Ay neredeyse aynı büyüklükte görünür; tam Güneş tutulmalarının olabilmesinin nedeni de budur. Benzer üçgenler bize şunu söyler: iki cisim aynı büyüklükte görünüyorsa, çaplarının oranı uzaklıklarının oranına eşittir.

NASA'ya göre Güneş'e ortalama uzaklık 149,6 milyon kilometre. Bunu Ay'ın uzaklığına bölersek yaklaşık 389 buluruz: Güneş, Ay'dan 389 kat uzaktadır. Öyleyse çapı da yaklaşık 389 kat büyük olmalıdır. 389 kere 3475 kilometre, yaklaşık 1,35 milyon kilometre, bilimsel gösterimle 1,35 × 10⁶ km eder. Sesli okunuşu: "bir virgül üç beş çarpı on üzeri altı kilometre."

NASA'nın verdiği Güneş yarıçapı 695.700 kilometre, yani çapı yaklaşık 1,39 milyon kilometre. Tek bir orantıyla, yüzde üç kadar bir farkla Güneş'in boyunu bulduk. Aradaki küçük fark, Güneş ile Ay'ın aslında birebir aynı büyüklükte görünmemesinden geliyor.

Aslında…

Büyük resim

Oran, astronominin en eski ve en sağlam aracıdır. Sonraki derslerde karşılaşacağın yöntemlerin çoğu, aslında birer orantıdır: yakın yıldızların uzaklığını ölçen paralaks, parlaklıktan uzaklık bulan standart mumlar, bir gezegenin yıldızının önünden geçerken ışığı ne kadar azalttığından boyutunu bulmak. Hepsinde bildiğimiz bir oran, bilmediğimiz bir büyüklüğe köprü olur.

Bu yöntemin gücü, ölçeğin değişmesine aldırmamasıdır. Bir mutfak tarifinde işleyen aynı mantık, bir gölgeden gezegeni, bir kâğıt parçasından Ay'ı, Ay'dan da Güneş'i ölçmeye yeter.

Özet

1. Oran iki büyüklüğün birbirine göre kaç kat olduğunu söyler ve birimden bağımsızdır; iki oranın eşitliğine orantı denir ve bilinmeyen, içler dışlar çarpımıyla bulunur.
2. Eratosthenes, İskenderiye'deki gölgenin çemberin ellide biri kadar eğik olmasından ve Siyene'ye 5000 stadionluk uzaklıktan, Dünya'nın çevresini 250.000 stadion olarak hesapladı.
3. Benzer üçgenlerle, yakında ölçtüğümüz küçük bir cisim gökteki büyük bir cisme bağlanır; Ay'ın çapı yaklaşık 110'da bir oranından, Güneş'in çapı ise Ay'dan 389 kat uzak olmasından bulunabilir.

Görev

Quiz

1. Oran ile orantı arasındaki fark nedir?
2. 3 / 4 = 12 / x orantısında x kaçtır?
3. Eratosthenes, iki şehirdeki gölge farkından Dünya'nın çevresini hesaplarken hangi varsayımı yaptı?
4. Bir santimetrelik bir daire gözden 110 santimetre uzakta Ay'ı tam örtüyorsa, Ay'ın çapı uzaklığının kaçta biridir?
5. Güneş ve Ay gökte aynı büyüklükte göründüğüne göre, Güneş'in Ay'dan 389 kat uzakta olması çapı hakkında ne söyler?

Cevaplar

1. Oran iki büyüklüğün birbirine göre kaç kat olduğunu söyler; orantı ise iki oranın birbirine eşit olduğunu söyleyen ifadedir.
2. İçler dışlar çarpımıyla üç kere x, dört kere on ikiye eşittir; x on altıdır.
3. Güneş ışınlarının iki şehre paralel ulaştığını, yani Güneş'in çok uzakta olduğunu; gölge farkını da Dünya yüzeyinin eğriliğine bağladı.
4. Yaklaşık 110'da biri.
5. Aynı büyüklükte görünen iki cismin çaplarının oranı uzaklıklarının oranına eşit olduğundan, Güneş'in çapı da Ay'ınkinden yaklaşık 389 kat büyüktür.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste "çemberin ellide biri" dedik, "110 santimetrede bir santimetre" dedik. İkisi de aynı şeyi anlatmanın farklı yollarıydı: bir cismin gökte ne kadar yer kapladığını. Gökbilimciler bunun için ortak bir dil kullanır. Derece, yay dakikası ve yay saniyesi nedir, ve uzattığın elin parmakları gökyüzünde bir açı cetveline nasıl dönüşür?