Gezegenler neden elips çizer?

Kanca

19 Temmuz 1595'te Graz'da genç bir matematik öğretmeni sınıfta ders anlatırken aklına bir fikir geldi. O zamanlar bilinen altı gezegen vardı ve geometride de tam beş kusursuz düzgün cisim: küp, dörtyüzlü, sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Ya bu beş cisim, iç içe geçmiş kürelerin arasına yerleştirilince gezegenlerin Güneş'e uzaklıklarını veriyorsa?

Johannes Kepler (okunuşu "Yohannes Kepler") bu fikri 1596'da bir kitapta yayımladı. Fikir güzeldi, ama yanlıştı. Kepler, hatalı bir fikirden doğru yasaları buldu. Onu doğruya götüren, fikrini sınamak için peşine düştüğü çok hassas gözlemlerdi.

Merkezi soru

Kepler gezegenlerin hareketine dair hangi üç yasayı buldu ve bu yasalar gezegenlerin yollarını ve hızlarını nasıl anlatır?

Anlatım

En iyi gözlemlerin peşinde

Kepler kendi iç içe küreler modelini sınamak için dönemin en hassas gezegen ölçümlerine ihtiyaç duyuyordu. Bu ölçümler Danimarkalı gökbilimci Tycho Brahe'deydi. Tycho, teleskop henüz icat edilmeden, büyük ve özenle yapılmış aletlerle yirmi yıl boyunca gezegenlerin konumlarını ölçmüştü. Ölçümleri bir ya da iki açı dakikası hassasiyetindeydi; bir açı dakikası, bir derecenin altmışta biridir.

Kepler 1600'de Prag'da Tycho'nun yanına çalışmaya gitti. Tycho ona en zorlu görevi verdi: Mars'ın yörüngesini çözmek. Tycho kısa süre sonra, 1601'de öldü ve Kepler onun gözlemlerini devraldı.

Sekiz açı dakikası

Kepler, Kopernik'ten beri kabul edildiği gibi, Mars'ın Güneş çevresinde bir daire çizdiğini varsayarak yıllarca hesap yaptı. Kurduğu daire modeli, Tycho'nun gözlemlerinin çoğuna çok iyi uyuyordu. Ama bazı gözlemlerde model ile ölçüm arasında sekiz açı dakikalık bir fark kalıyordu. Bu, gökyüzünde dolunay genişliğinin dörtte biri kadar bir açıdır.

Başka biri bu farkı gözlem hatası sayıp geçebilirdi. Kepler geçmedi. Tycho'nun ölçümlerinin bu kadar büyük bir hata içermeyeceğini biliyordu. O küçük fark, dairenin yanlış olduğunu söylüyordu. Kepler daireyi bıraktı ve sonunda Mars'ın yolunun bir elips olduğunu buldu. Bu sonuçları 1609'da Yeni Astronomi adlı kitabında yayımladı.

Birinci yasa: yörüngeler elipstir

Elips, hafifçe basık bir çemberdir. Bir çemberin tek bir merkezi vardır; elipsin ise odak (focus) denen iki özel noktası bulunur. Elipsin üzerindeki her noktanın bu iki odağa uzaklıklarının toplamı hep aynıdır. İki çiviye bağlanmış gevşek bir ipin içine kalem sokup ipi gergin tutarak dolaştırırsan, kalemin çizdiği şekil bir elipstir.

Kepler'in birinci yasası şunu söyler: her gezegen Güneş'in çevresinde bir elips çizer ve Güneş bu elipsin odaklarından birindedir. Öbür odakta hiçbir şey yoktur. Gezegenlerin çoğunun elipsi çembere çok yakındır. Dünya'nın yörüngesi o kadar az basıktır ki bir kâğıda doğru ölçekte çizilse gözle çemberden ayırt edilemez. Mars'ınki biraz daha basıktır; Kepler'in işini zorlaştıran da buydu. Kuyruklu yıldızlar ise çok uzun, ince elipsler çizer.

İkinci yasa: eşit sürede eşit alan

Güneş ile gezegeni birleştiren hayali bir çizgi düşün. Gezegen yörüngesinde ilerledikçe bu çizgi, bir saatin yelkovanı gibi dönerek bir alan tarar. Kepler'in ikinci yasası, bu çizginin eşit sürelerde eşit alanlar taradığını söyler.

Bunun sonucu şaşırtıcıdır: gezegenin hızı yörüngesi boyunca değişir. Güneş'e yakınken çizgi kısadır; aynı alanı taramak için gezegenin daha uzun bir yay boyunca, yani daha hızlı ilerlemesi gerekir. Güneş'ten uzakken çizgi uzundur ve gezegen yavaşlar. Gezegenler Güneş'e en yakın oldukları yerde en hızlı, en uzak oldukları yerde en yavaş hareket eder. Dünya da ocak ayında Güneş'e en yakınken, temmuzdakinden biraz daha hızlı ilerler.

Üçüncü yasa: uzaklık ve süre

Kepler, bir yörüngenin boyutu ile o yörüngeyi dolanma süresi arasında da bir bağ aradı ve on yıl sonra, 1619'da Dünyanın Uyumu adlı kitabında yayımladı. Üçüncü yasa şöyle der: bir gezegenin Güneş çevresindeki dolanım süresinin karesi, Güneş'e ortalama uzaklığının küpüyle orantılıdır.

Bu yasayı Dünya'yı ölçü alarak kullanmak kolaydır. Uzaklığı Dünya-Güneş uzaklığı cinsinden, süreyi yıl cinsinden yazarsak, uzaklığın küpü ile sürenin karesi aynı sayıyı verir. Mars, Güneş'e Dünya'dan yaklaşık bir buçuk kat daha uzaktır. Bir buçuğun küpü üç buçuğa yakındır; karesi üç buçuk olan sayı ise aşağı yukarı bir virgül dokuzdur. Gerçekten de Mars, Güneş çevresindeki turunu yaklaşık bir virgül dokuz yılda tamamlar. Uzaktaki gezegenlerin hem dolanacakları çember büyüktür hem de hızları düşüktür; bu yüzden yılları çok uzundur.

Neden elips?

Kepler yasalarını gözlemlerden buldu, ama gezegenlerin neden böyle hareket ettiğini açıklayamadı. Açıklama, Ders 4.7'de gördüğümüz Newton'dan geldi. Newton, uzaklığın karesiyle zayıflayan bir kütleçekimi altında hareket eden bir cismin tam olarak elips, eşit alan ve Kepler'in üçüncü yasasındaki ilişkiye uyan yollar izlemesi gerektiğini matematikle gösterdi. Kepler'in üç yasası, Newton'un kütleçekimi yasasının gökyüzündeki imzasıydı.

Aslında…

Kepler'in hikâyesi de bir yanılgıyı düzeltir: bilimde yanlış bir fikirle yola çıkmak başarısızlık değildir. Önemli olan, fikri gözlemlerle dürüstçe sınamak ve gözlemler aykırı düştüğünde fikri değiştirebilmektir.

Büyük resim

Kepler'in yasaları, gökyüzündeki hareketleri geometrik bir kesinlikle anlatan ilk yasalardır. İki bin yıllık "gezegenler kusursuz dairelerde döner" inancını bir kenara bırakıp, verinin gösterdiğine uyan bir düzen buldu. Bu yasalar bugün de yalnızca gezegenler için değil, Dünya çevresindeki uydular, başka yıldızların çevresindeki gezegenler ve birbirinin çevresinde dönen çift yıldızlar için kullanılır.

Kepler'in yolculuğu, bilimin nasıl çalıştığının da güzel bir örneğidir. Tycho'nun sabırlı ölçümleri, Kepler'in inatçı hesapları ve Newton'un açıklaması birbirini tamamladı. Sekiz açı dakikalık küçük bir fark, gökbilimin yönünü değiştirdi.

Özet

1. Kepler, Tycho Brahe'nin çok hassas Mars gözlemlerindeki sekiz açı dakikalık farkı ciddiye alarak gezegen yörüngelerinin daire değil elips olduğunu buldu.
2. Gezegenler, Güneş odaklarından birinde olmak üzere elips çizer ve Güneş'e yakınken daha hızlı, uzakken daha yavaş hareket eder; Güneş ile gezegeni birleştiren çizgi eşit sürelerde eşit alanlar tarar.
3. Dolanım süresinin karesi, Güneş'e ortalama uzaklığın küpüyle orantılıdır; Newton, bu üç yasanın kütleçekiminin doğal sonucu olduğunu gösterdi.

Görev

Quiz

1. Kepler'in 1596'da yayımladığı ilk evren modeli neydi?
2. Kepler dairesel yörünge fikrinden neden vazgeçti?
3. Kepler'in birinci yasası ne söyler?
4. Bir gezegen yörüngesinin hangi noktasında en hızlı hareket eder ve bunun sebebi nedir?
5. Kepler'in üçüncü yasası hangi iki büyüklüğü birbirine bağlar?

Cevaplar

1. Beş düzgün geometrik cismin iç içe geçmiş küreler arasına yerleştirilerek altı gezegenin Güneş'e uzaklıklarını verdiği bir model.
2. Çünkü Mars için kurduğu daire modeli, Tycho Brahe'nin bir iki açı dakikası hassasiyetindeki gözlemlerinden sekiz açı dakikası kadar sapıyordu.
3. Her gezegenin Güneş çevresinde bir elips çizdiğini ve Güneş'in bu elipsin odaklarından birinde bulunduğunu.
4. Güneş'e en yakın olduğu noktada; Güneş ile gezegeni birleştiren çizgi eşit sürelerde eşit alanlar taradığı için, çizgi kısayken gezegen daha hızlı ilerlemek zorundadır.
5. Gezegenin dolanım süresini ve Güneş'e ortalama uzaklığını; sürenin karesi uzaklığın küpüyle orantılıdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Newton'un kütleçekimi yasası gezegenlerin neden elips çizdiğini açıkladı. Ama bir soru hâlâ kafa karıştırır: Ay'ı Dünya'ya doğru çeken bir kuvvet varsa, Ay neden bir gün Dünya'ya düşmüyor? Cevabın şaşırtıcı bir yanı var: belki de Ay, her an düşüyordur.