Zihinden hızlı işlem

49 × 6 işlemini kâğıtta alt alta çarpmak birkaç satır tutar. Oysa aynı hesap zihinde tek bir adımdır: 50 × 6 = 300, bir 6 fazla saydık, 300 − 6 = 294. TYT'de hesap makinesi yoktur ve sorular çoğu zaman işlem kalabalığı içinde bir fikri sınar; o fikre ulaşmak için yapılan her hesap süre harcar. Zihinden hızlı işlem, bu süreyi kısaltmanın ve işlem hatasını azaltmanın yoludur. Bu bir yetenek değil, birkaç kalıbın tekrarla oturmuş hâlidir. Sıfırdan Başla modülünün önceki derslerinde işlem önceliğini, işaretleri ve kesirleri gördük. Bu son derste o işlemleri hızlandıran kalıpları topluyoruz: yuvarlayıp düzeltmek, parçalara ayırmak, 5 ve 25 ile çarpmanın kısa yolları, 11 ile çarpma, bazı kareler ve seçenekleri hızla elemenin yolları.

• Yuvarlama ve düzeltme ile parçalama yöntemlerini çarpma, toplama ve çıkarmada uygularsın.
• 5, 25 ve 11 ile çarpmanın ve 5 ile 25'e bölmenin kısa yollarını kullanırsın.
• Sonu 5 olan sayıların karesini ve (a + b)(a − b) kalıbına uyan çarpımları zihinden hesaplarsın.
• Son basamak ve büyüklük kontrolüyle seçenekleri hesap yapmadan elersin.

Yuvarlama ve düzeltme

Bir sayı yuvarlak bir sayıya yakınsa, onu yuvarlak sayıyla değiştirip sonradan farkı düzeltmek hesabı kolaylaştırır.

• Çarpmada: 49 × 6 işleminde 49 yerine 50 alınır: 50 × 6 = 300. Bir tane 6 fazla sayıldığı için 300 − 6 = 294.
• Toplamada: 198 + 57 işleminde 198 yerine 200 alınır: 200 + 57 = 257. İki fazla eklendiği için 257 − 2 = 255.
• Çıkarmada: Çıkarmada iki sayıya da aynı miktar eklenirse fark değişmez. 503 − 298 işleminde ikisine de 2 eklenir: 505 − 300 = 205. Bu "sabit fark" yöntemi, çıkarılan sayıyı yuvarlak yapar.

Düzeltme adımının yönünü karıştırmamak için kendine sor: yuvarlarken fazla mı saydım, eksik mi? Fazla saydıysan çıkar, eksik saydıysan ekle. Yuvarlamayı her iki yöne de yapabilirsin: 51 × 8 işleminde 50 × 8 = 400 bulunur ve eksik sayılan bir 8 eklenerek 408 elde edilir.

Parçalama

Bir sayıyı onlar ve birler gibi parçalara ayırıp her parçayla ayrı ayrı işlem yapmak, dağılma özelliğinin zihindeki uygulamasıdır. 7 × 36 işlemi 7 × 30 + 7 × 6 = 210 + 42 = 252 olarak hesaplanır. Toplamada da soldan sağa parçalamak kolaylık sağlar: 346 + 237 işleminde önce yüzler (500), sonra onlar (70), sonra birler (13) toplanır ve sonuç 583'tür.

Toplamada tamamlayıcı çiftler aramak da işe yarar. 37 + 48 + 63 işleminde 37 ile 63'ün toplamı 100'dür; sonuç 148'dir. Birleşme ve değişme özellikleri, sayıları istediğin sırayla toplamana izin verir.

5 ve 25 ile çarpma ve bölme

5, 10'un yarısıdır; 25 de 100'ün dörtte biridir. Bu ilişki kısa yollar verir:

Ondalık sayılarla da aynı düşünce geçerlidir: 0,5 ile çarpmak yarısını almak, 0,25 ile çarpmak dörtte birini almaktır. 0,25 × 48 = 48 ÷ 4 = 12.

11 ile çarpma

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmanın kısa bir yolu vardır: sayının iki rakamını ayır, araya iki rakamın toplamını yaz. 43 × 11 işleminde 4 ve 3'ün toplamı 7'dir ve sonuç 473'tür. Toplam 10 ya da daha büyükse, onlar basamağındaki 1 sola eklenir: 78 × 11 işleminde 7 + 8 = 15'tir; 7'ye 1 eklenir ve sonuç 858 olur. Bu kalıbın nedeni basittir: 43 × 11 = 43 × 10 + 43 = 430 + 43.

Kareler ve özel çarpımlar

Sonu 5 olan sayıların karesi. Onlar basamağındaki sayıyı bir fazlasıyla çarp, sonuna 25 ekle. 35² için 3 × 4 = 12 ve sonuç 1225'tir. Bu kalıp iki basamaklı, sonu 5 olan bütün sayılarda çalışır.

Yuvarlak bir sayının iki yanı. Bir yuvarlak sayıya eşit uzaklıktaki iki sayının çarpımı, yuvarlak sayının karesinden uzaklığın karesi çıkarılarak bulunur: (a + b)(a − b) = a² − b². 48 × 52 işleminde 50'nin iki yanı 2 uzaklıktadır: 2500 − 4 = 2496. Bu özdeşliği çarpanlara ayırma modülünde ayrıntısıyla göreceksin; şimdilik zihinden işlemin bir aracı olarak kullan.

1'den 20'ye kadar sayıların karelerini ezbere bilmek, hem bu tür hesaplarda hem köklü sayılarda büyük kolaylık sağlar.

Yüzdelerle zihinden işlem

Yüzdeler de birkaç temel kesre dayanır. Yüzde 10 bir sayının onda biridir: 240'ın yüzde 10'u 24'tür. Yüzde 5, yüzde 10'un yarısıdır: 12. Yüzde 15 ise bu ikisinin toplamıdır: 24 + 12 = 36. Yüzde 25 dörtte bir, yüzde 50 yarı, yüzde 75 dörtte üçtür. Bu parçaları birleştirerek hemen her yüzdeyi zihinden bulabilirsin. Yüzde problemleri problemler modülünde ayrıntısıyla işlenir; buradaki amaç, o problemlerde karşına çıkacak hesapları hızlandırmaktır.

Seçenekleri hızla elemek

Çoktan seçmeli bir soruda bazen tam hesap yapmadan doğru seçeneği bulabilirsin.

• Son basamak kontrolü. İki sayının çarpımının son basamağı, yalnızca son basamaklarının çarpımına bağlıdır. 258 × 34 işleminde 8 × 4 = 32 olduğu için sonuç 2 ile biter; son basamağı 2 olmayan seçenekler elenir.
• Büyüklük kontrolü. Sonucun yaklaşık değerini tahmin et: 258 × 34 yaklaşık 260 × 35 = 9100 civarındadır; bundan çok uzak seçenekler elenir.
• Tek-çift kontrolü. Bir çarpanı çift olan çarpım çifttir.

Bu kontroller hesabın yerine geçmez, ama birkaç seçeneği saniyeler içinde eler ve yaptığın hesabı doğrulamanı sağlar.

Alıştırma alışkanlığı

Zihinden işlem, bilgiden çok alışkanlıktır. Her gün birkaç dakika bu kalıplarla işlem yapmak, sınavda onları düşünmeden kullanmanı sağlar. Başlangıçta kısa yolu seçmek uzun yoldan daha yavaş gelebilir; birkaç haftalık tekrarla bu durum tersine döner. Hangi kalıbı ne zaman kullanacağını da tekrar öğretir: 49 görünce 50'yi, 25 görünce 100'ü düşünmek zamanla kendiliğinden olur.

Soru kökleri

Bu dersin soruları bir işlemin değerini kısa yoldan bulmayı, bir hesap için en uygun kalıbı seçmeyi ya da son basamak ve büyüklük kontrolüyle seçenekleri elemeyi ister.

Örnek 1 — Yuvarlama ve düzeltme

Soru: 98 × 5 işleminin değeri kaçtır?

• A) 480
• B) 490
• C) 500
• D) 495
• E) 510

Çözüm: 100 × 5 = 500; iki tane 5 fazla sayıldığı için 500 − 10 = 490. Cevap: B.

Örnek 2 — 25 ile çarpma

Soru: 44 × 25 çarpımı kaçtır?

• A) 1100
• B) 1000
• C) 1050
• D) 1150
• E) 880

Çözüm: 44 × 100 = 4400; 4400 ÷ 4 = 1100. Cevap: A.

Örnek 3 — Sonu 5 olan kare

Soru: 55² kaça eşittir?

• A) 2525
• B) 3025
• C) 2755
• D) 3125
• E) 2925

Çözüm: 5 × 6 = 30; sonuna 25 eklenir: 3025. Cevap: B.

Örnek 4 — Son basamak

Soru: 213 × 17 çarpımı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) 3620
• B) 3622
• C) 3624
• D) 3621
• E) 3628

Çözüm: Son basamaklar 3 ve 7'dir; 3 × 7 = 21 olduğundan sonuç 1 ile biter. Yalnızca D uyar; gerçekten 213 × 17 = 3621'dir. Cevap: D.

• Düzeltmenin yönünü karıştırmak. Fazla saydıysan çıkar, eksik saydıysan ekle.
• Sabit fark yönteminde yalnızca bir sayıyı değiştirmek. İki sayıya da aynı miktar eklenir.
• 11 ile çarpmada taşmayı unutmak. 78 × 11 = 858, 7158 değil.
• Sonu 5 olan karede onlar basamağını yanlış çarpmak. 35² için 3 × 4, 3 × 3 değil.
• Kontrolleri hesabın yerine koymak. Son basamak ve büyüklük, seçenek eler; hesabı doğrular.
• Kısa yolu ezberleyip nedenini bilmemek. Neden bilinmezse kalıp yanlış yerde kullanılır.