İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Temel Kavramlar · MAT-M01-L01

Sayı kümeleri ve rakam kavramı

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

"Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük sayı kaçtır?" İlk akla gelen cevap çoğu zaman 123 olur. Doğru cevap 102'dir, çünkü 0 da bir rakamdır ve yüzler basamağı dışında her yere oturabilir. Bu tek soru, TYT matematiğinin ilk ünitesinin neyi ölçtüğünü özetler: işlem gücünü değil, tanımları ne kadar kesin bildiğini. 0 doğal sayı mıdır, √4 irrasyonel midir, "en küçük negatif" ne demektir? Bu derste sayı kümelerini ve rakam kavramını, sonraki bütün ünitelerin üzerine kurulacağı sağlamlıkta yerleştireceğiz.

2Hedefler

  • Rakam ile sayı arasındaki farkı açıklar, bir sayının hangi kümelere (N, Z, Q, Q′, R) ait olduğunu belirlersin.
  • Ondalık gösterimine ya da kök içine bakarak bir sayının rasyonel mi irrasyonel mi olduğuna karar verirsin.
  • Farklı rakam koşulu altında bir ifadenin en büyük ve en küçük değerini katsayılara bakarak bulursun.
  • Çarpımı verilen iki sayının toplamının en küçük değerini, doğal sayı ve tam sayı durumlarını ayırarak hesaplarsın.

3Konu anlatımı

Rakam ve sayı

Rakam, sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Onluk sistemde tam on rakam vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sayı ise bir çokluğu ya da değeri anlatan kavramdır ve bir ya da birden çok rakamla yazılır. 7 hem bir rakam hem de bir sayıdır; 25 ise bir sayıdır ama rakam değildir, çünkü iki rakamdan (2 ve 5) oluşur. En büyük rakam 9, en küçük rakam 0'dır. "10 bir rakam mıdır?" sorusunun cevabı hayırdır: 10, iki rakamla yazılan bir sayıdır.

Sınavda "a, b, c birer rakam" dendiğinde her harf 0 ile 9 arasında bir tam değer alabilir. "Birbirinden farklı rakamlar" dendiğinde harfler aynı değeri alamaz. "Pozitif rakam" dendiğinde 0 dışarıda kalır ve seçenekler 1'den 9'a iner. Soruların büyük kısmı bu üç ifadeden hangisinin kullanıldığına dikkat edip etmediğini ölçer.

Sayı kümeleri

Sayılar, iç içe geçmiş kümeler hâlinde düzenlenir. Her küme bir öncekini kapsar ve ona yeni sayılar ekler.

KümeSembolÜyeleriÖrnek
Sayma sayılarıN⁺1, 2, 3, …1, 14, 300
Doğal sayılarN0, 1, 2, 3, …0, 8, 1000
Tam sayılarZ…, −2, −1, 0, 1, 2, …−15, 0, 42
Rasyonel sayılarQa/b biçiminde yazılabilen sayılar (a, b tam sayı, b ≠ 0)3/4, −2, 0,25
İrrasyonel sayılarQ′a/b biçiminde yazılamayan sayılar√2, π, √7
Gerçek (reel) sayılarRrasyonel ve irrasyonel sayıların tamamıhepsi

Kapsama ilişkisi şöyledir: N⁺ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. İrrasyonel sayılar bu zincirin dışında, doğrudan R'nin içindedir; bir sayı hem rasyonel hem irrasyonel olamaz. Bu zincirin sınavdaki karşılığı şudur: her doğal sayı bir tam sayıdır, her tam sayı bir rasyonel sayıdır (−5 = −5/1), her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır. Tersleri doğru değildir: 1/2 rasyoneldir ama tam sayı değildir, −3 tam sayıdır ama doğal sayı değildir.

Hangi sayı rasyoneldir?

Bir sayının rasyonel olup olmadığını anlamanın iki pratik yolu vardır.

Ondalık gösterime bak. Ondalık kısmı biten sayılar (0,25 = 1/4) ve bir basamak grubunu sonsuza kadar tekrarlayan devirli sayılar (0,333… = 1/3; 1,272727… = 14/11) rasyoneldir. Ondalık kısmı hiç tekrarlamadan sonsuza kadar süren sayılar irrasyoneldir: π = 3,14159… ve √2 = 1,41421… bu türdendir.

Kök içine bak. Karekök içindeki sayı bir tam kare ise kök tam sayıya ya da kesre dönüşür ve sonuç rasyoneldir: √16 = 4, √(9/4) = 3/2, √0,25 = 0,5. Kök içi tam kare değilse sonuç irrasyoneldir: √2, √5, √8, √12. Burada en sık yapılan hata, kök işaretini gördüğü anda sayıyı irrasyonel saymaktır. √4 ve √(25/9) kök işaretiyle yazılmış rasyonel sayılardır.

Bir tuzak da π ile 22/7 arasındadır. 22/7 = 3,142857…, π'ye çok yakın bir kesirdir; ama bir kesir olduğu için rasyoneldir. π ise irrasyoneldir. "π = 22/7" ifadesi bir yaklaşıklıktır, eşitlik değildir.

Kümelerin özel üyeleri: 0 ve 1

0 doğal sayıdır, tam sayıdır, rasyoneldir ve gerçek sayıdır. Ama pozitif de değildir, negatif de değildir; sayı doğrusunda bu iki bölgeyi ayıran noktadır. Bu yüzden "pozitif tam sayı" dendiğinde 0 dışarıda kalır, "negatif olmayan tam sayı" dendiğinde ise içeride kalır. Sayma sayıları kümesi (N⁺) ile doğal sayılar kümesi (N) arasındaki tek fark da 0'dır.

1 hem sayma sayısı hem doğal sayıdır. Asal sayılar dersinde göreceğimiz gibi 1'in asal sayılmaması bu dersteki tanımlardan değil, asal sayı tanımından gelir; şimdilik 1'i yalnızca bir rakam ve sayma sayısı olarak düşün.

Farklı rakam sorularında en büyük ve en küçük değer

"a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere 2a + 3b − c ifadesinin en büyük değeri kaçtır?" türü sorular tek bir mantıkla çözülür: en büyük değeri, en büyük katsayılı terime ver.

  1. Artı işaretli terimleri katsayılarına göre büyükten küçüğe sırala. En büyük katsayılı terime 9'u, sonrakine 8'i ver.
  2. Eksi işaretli terime mümkün olan en küçük rakamı (0, pozitif rakam isteniyorsa 1) ver; çünkü çıkarılan sayı küçüldükçe sonuç büyür.
  3. En küçük değer istenirse her şeyi tersine çevir: artı işaretli terimlere küçük rakamları, eksi işaretli terime 9'u ver.

Örneğin 2a + 3b − c için b = 9, a = 8, c = 0 alınır ve sonuç 2·8 + 3·9 − 0 = 43 olur. a = 9, b = 8 alınsaydı 2·9 + 3·8 = 42 çıkardı; katsayı sırasını gözetmemek bir birim kaybettirir.

Aynı mantık sayı yazarken de işler. Rakamları farklı üç basamaklı en büyük sayı 987, en küçüğü 102'dir. Tek ya da çift olma koşulu eklenince son basamağı ayarlarsın: rakamları farklı en büyük üç basamaklı tek sayı 987, en büyük çift sayı 986'dır.

Negatif sayılarda yön döner. −987 ile −102'den küçük olan −987'dir, çünkü sayı doğrusunda daha soldadır. Bu yüzden "rakamları farklı üç basamaklı en küçük negatif tam sayı" −987, "en büyük negatif tam sayı" ise −102'dir. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Çarpımı sabit iki sayının toplamı

"x ve y pozitif tam sayılar, x·y = 24 ise x + y en az kaçtır?" Çarpımı 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini yaz: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6). Toplamlar 25, 14, 11, 10'dur. Çarpan çifti birbirine ne kadar yakınsa toplam o kadar küçük, ne kadar uzaksa toplam o kadar büyük olur. En küçük toplam 10, en büyük toplam 25'tir.

İki koşul sonucu değiştirir. Birincisi, sayılar "birbirinden farklı" istenirse eşit çift yasaklanır: x·y = 36 için 6 + 6 = 12 olamaz, cevap 4 + 9 = 13 olur. İkincisi, sayılar "tam sayı" olarak verilirse negatif çiftler de devreye girer. Çarpımı 24 olan (−1, −24) çiftinin toplamı −25'tir ve bu, pozitif çiftlerin hiçbirinin ulaşamayacağı kadar küçük bir değerdir. "Tam sayı" sözcüğünü "pozitif tam sayı" gibi okuyan öğrenci, en küçük değer sorusunda yanlış cevaba gider.

Aynı ilişki ters yönde de işler: toplam sabitken sayılar birbirine yaklaştıkça çarpım büyür. x + y = 10 için 1·9 = 9, 3·7 = 21, 5·5 = 25 olur; en büyük çarpım eşit sayılarla elde edilir. Sayıların farklı olması istenirse eşit çift yine yasaklanır ve en yakın farklı çifte geçilir.

Soru kökleri

Bu ünitenin soruları iki türde gelir. Birinci tür bir tanım denetimidir: "Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı değildir?", "Hangisi doğrudur?" gibi kökler, seçeneklerdeki her sayıyı ait olduğu kümeye yerleştirmeni ister. İkinci tür bir en büyük–en küçük sorusudur: "a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere … en az kaçtır?" Bu türde ilk iş, harflerin rakam mı, pozitif rakam mı, doğal sayı mı, tam sayı mı olduğunu ve farklı olmalarının istenip istenmediğini işaretlemektir. Sonuç çoğu zaman bu işaretlemede belirlenir.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Kök içi tam kare mi?

Soru: Aşağıdakilerden hangisi rasyonel sayı değildir?

  • A) √16
  • B) 0,25
  • C) −3
  • D) √7
  • E) 1,333…

Çözüm: √16 = 4 bir tam sayıdır. 0,25 = 1/4 sonlu bir ondalık sayıdır. −3 = −3/1 bir tam sayıdır. 1,333… = 4/3 devirli bir ondalık sayıdır. √7'de kök içi tam kare değildir, sonuç devirsiz sonsuz bir ondalık sayıdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Rakamları farklı sayılar

Soru: Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en büyük tek sayı ile rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük çift sayının farkı kaçtır?

  • A) 875
  • B) 885
  • C) 886
  • D) 895
  • E) 897

Çözüm: En büyük sayı için basamaklara soldan başlayarak en büyük rakamları ver: 987. Son rakam 7 tek olduğu için 987 zaten tektir. En küçük sayı için yüzler basamağına 1, onlar basamağına 0 gelir; birler basamağına 0 ve 1 dışında en küçük çift rakam olan 2 yazılır: 102. Fark 987 − 102 = 885. Cevap: B.

Örnek 3 — Katsayıya göre dağıtma

Soru: a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere 2a + 3b − c ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

  • A) 41
  • B) 42
  • C) 43
  • D) 44
  • E) 45

Çözüm: Artı işaretli terimlerden en büyük katsayılı olan 3b'dir; b = 9 alınır. Sonra 2a için a = 8 alınır. Çıkarılan c için en küçük rakam olan 0 seçilir. Sonuç 2·8 + 3·9 − 0 = 16 + 27 = 43. a = 9, b = 8 alınsaydı sonuç 42 olurdu. Cevap: C.

Örnek 4 — Çarpımı sabit, toplamı en küçük

Soru: x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere x·y = 24 ise x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?

  • A) 10
  • B) 11
  • C) 14
  • D) 25
  • E) 26

Çözüm: Çarpımı 24 olan pozitif çiftler (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)'dır; toplamları sırasıyla 25, 14, 11, 10'dur. Birbirine en yakın çarpanlar en küçük toplamı verir. Cevap: A.

5Tuzaklar

  • 0'ı unutmak. 0 bir rakamdır ve bir doğal sayıdır; rakamları farklı en küçük üç basamaklı sayı 123 değil, 102'dir.
  • Kök işaretini irrasyonellik sanmak. √16, √(9/4), √0,25 rasyoneldir; belirleyici olan kök içinin tam kare olup olmadığıdır.
  • π ile 22/7'yi eşit saymak. 22/7 bir kesirdir, rasyoneldir; π irrasyoneldir.
  • Negatiflerde yönü şaşırmak. −987, −102'den küçüktür; negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.
  • "Tam sayı"yı "pozitif tam sayı" gibi okumak. Çarpımı verilen iki tam sayının toplamı negatif çiftlerle çok daha küçük olabilir.
  • Katsayıyı gözetmemek. En büyük rakam en büyük katsayılı terime gider; 2a + 3b'de 9 b'ye verilir.

6Tekrar kartı

  • Rakamlar: 0–9, toplam on tane. 25 bir sayıdır, rakam değildir.
  • N⁺ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; irrasyoneller (Q′) doğrudan R'nin içindedir.
  • 0: doğal, tam, rasyonel; ne pozitif ne negatif.
  • Sonlu ve devirli ondalık → rasyonel; devirsiz sonsuz ondalık → irrasyonel.
  • Kök içi tam kare → rasyonel (√16 = 4); değilse irrasyonel (√7).
  • En büyük değer: en büyük rakam en büyük katsayıya, çıkarılana en küçük rakam.
  • Çarpım sabitse, çarpanlar yakınlaştıkça toplam küçülür; tam sayılarda negatif çiftleri de dene.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Aşağıdakilerden hangisi bir rakam değildir?

    1. A)0
    2. B)1
    3. C)5
    4. D)9
    5. E)10
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 10 iki rakamla (1 ve 0) yazılan bir sayıdır; rakamlar 0 ile 9 arasındaki on semboldür.

  2. Soru 2 · Kolay

    Aşağıdakilerden hangisi bir doğal sayı değildir?

    1. A)−2
    2. B)0
    3. C)3
    4. D)12
    5. E)100
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Doğal sayılar 0'dan başlar ve negatif sayı içermez; −2 bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir.

  3. Soru 3 · Kolay

    Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?

    1. A)√9
    2. B)2/3
    3. C)0,5
    4. D)√5
    5. E)−4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 5 bir tam kare olmadığı için √5 devirsiz sonsuz bir ondalık sayıdır; √9 = 3 rasyoneldir.

  4. Soru 4 · Kolay

    İki basamaklı en büyük doğal sayı ile iki basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?

    1. A)99
    2. B)100
    3. C)109
    4. D)110
    5. E)199
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. İki basamaklı en büyük doğal sayı 99, en küçüğü 10'dur; toplamları 109 eder.

  5. Soru 5 · Orta

    Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır?

    1. A)1000
    2. B)1002
    3. C)1012
    4. D)1023
    5. E)1234
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Binler basamağına 1, sonra sırasıyla 0, 2 ve 3 gelir; 1000, 1002 ve 1012 tekrar eden rakam içerir.

  6. Soru 6 · Orta

    a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

    1. A)0
    2. B)3
    3. C)6
    4. D)7
    5. E)24
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Farklı en küçük üç rakam 0, 1 ve 2'dir; toplamları 3'tür. 6 ise pozitif rakam koşulunda çıkacak cevaptır.

  7. Soru 7 · Orta

    Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

    1. A)Her rasyonel sayı bir tam sayıdır.
    2. B)0 bir doğal sayı değildir.
    3. C)Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
    4. D)√4 irrasyonel bir sayıdır.
    5. E)π sayısı 22/7'ye eşittir.
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabilir; A'yı 1/2, D'yi √4 = 2 çürütür, E ise bir yaklaşıklıktır.

  8. Soru 8 · Orta

    a ve b birbirinden farklı rakamlar olmak üzere 2a − b ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

    1. A)9
    2. B)16
    3. C)17
    4. D)18
    5. E)27
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Artı işaretli terime en büyük rakam (a = 9), çıkarılan terime en küçük rakam (b = 0) verilir: 18 − 0 = 18.

  9. Soru 9 · Orta

    x ve y doğal sayılar olmak üzere x·y = 18 ise x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?

    1. A)7
    2. B)9
    3. C)11
    4. D)18
    5. E)19
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Çarpımı 18 olan çiftlerin toplamları 19, 11 ve 9'dur; birbirine en yakın çift olan 3 ile 6 en küçük toplamı verir.

  10. Soru 10 · Orta

    a ve b birbirinden farklı iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere a + b toplamı en çok kaçtır?

    1. A)195
    2. B)196
    3. C)197
    4. D)198
    5. E)199
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Sayılar farklı olmak zorunda olduğu için 99 ile 98 seçilir; 99 + 99 = 198 bu koşulu bozar.

  11. Soru 11 · Orta

    Aşağıdaki sayılardan hangisi bir tam sayıdır, ancak doğal sayı değildir?

    1. A)0
    2. B)1/2
    3. C)√2
    4. D)−7
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. −7 tam sayılar kümesindedir ama negatif olduğu için doğal sayı değildir; 0 ve 8 her iki kümededir.

  12. Soru 12 · Zor

    x ve y tam sayılar olmak üzere x·y = 12 ise x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?

    1. A)−13
    2. B)−8
    3. C)−7
    4. D)7
    5. E)13
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Tam sayılarda negatif çiftler de geçerlidir; (−1, −12) çifti −13 toplamını verir ve bu, bütün çiftlerin en küçüğüdür.

  13. Soru 13 · Zor

    a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a + b = 2c olduğuna göre c en çok kaçtır?

    1. A)5
    2. B)6
    3. C)7
    4. D)8
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. c = 9 için a + b = 18 gerekir, bu da yalnızca 9 + 9 ile olur ve farklılık bozulur; c = 8 için 9 + 7 = 16 uygundur.

  14. Soru 14 · Zor

    Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en küçük negatif tam sayı kaçtır?

    1. A)−999
    2. B)−987
    3. C)−123
    4. D)−102
    5. E)−100
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür; rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayı 987 olduğu için cevap −987'dir.

  15. Soru 15 · Zor

    a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere 3a + 2b − c ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

    1. A)−9
    2. B)−8
    3. C)−7
    4. D)−6
    5. E)−5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Çıkarılan c'ye 9, en büyük katsayılı a'ya 0, b'ye 1 verilir: 0 + 2 − 9 = −7. a = 1, b = 0 seçilirse sonuç −6 olur.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Tek ve çift sayılar» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Aşağıdakilerden hangisi rasyonel bir sayıdır?

    1. A)√2
    2. B)√3
    3. C)π
    4. D)√8
    5. E)√(25/9)
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 25/9 bir tam karedir ve kökü 5/3 kesrine eşittir; öteki sayıların ondalık gösterimi devirsiz sonsuzdur.

  2. Soru 2 · Orta

    Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı en büyük çift sayı kaçtır?

    1. A)978
    2. B)986
    3. C)987
    4. D)996
    5. E)998
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Yüzler ve onlar basamağına 9 ve 8 gelir; birler basamağına kalan en büyük çift rakam 6 yazılır. 996 ve 998 rakam tekrarı içerir.

  3. Soru 3 · Zor

    x ve y birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere x·y = 36 ise x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?

    1. A)13
    2. B)14
    3. C)15
    4. D)20
    5. E)37
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. En yakın çift 6 ile 6 olurdu, ama sayıların farklı olması gerekir; sıradaki en yakın çift 4 ile 9, toplam 13 verir.

  4. Soru 4 · Zor

    a, b, c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere a·b − c ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

    1. A)63
    2. B)72
    3. C)73
    4. D)80
    5. E)81
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Çarpıma en büyük iki farklı rakam (9 ve 8), çıkarılana 0 verilir: 72 − 0 = 72. 81 için 9·9 gerekir ve farklılık bozulur.

  5. Soru 5 · Zor

    x ve y birbirinden farklı tam sayılar olmak üzere x + y = 10 ise x·y çarpımının en büyük değeri kaçtır?

    1. A)9
    2. B)16
    3. C)21
    4. D)24
    5. E)25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Toplam sabitken sayılar birbirine yaklaştıkça çarpım büyür; 5 ile 5 farklılığı bozar, 4 ile 6 ise 24 verir.

M01 — Temel Kavramlar

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.